10．1 相交线 第2课时 垂直
知识点1 垂线的定义与画法
1．如图，直线AB，CD相交于点O，下列条件中，不能说明AB⊥CD的是( )
A.∠AOD＝90°
B．∠AOC＝∠BOC
C．∠BOC＋∠BOD＝180°
D．∠AOC＋∠BOD＝180°
2．如图，已知AC⊥AB，∠1＝30°，则∠2的度数是( )
A.40° B．50°
C．60° D．70°
3．下列各图中，用三角板分别过点C画线段AB的垂线.
知识点2 垂线的性质
4．在某次世乒联冠军赛男单决赛中，甲运动员战胜乙运动员，夺得冠军赛后，甲运动员跑到赛场边围挡处喝水，沿垂直于围挡的路AB走才能使所走的路程最少，这是因为( )
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．经过一点有无数条直线
5．(广西崇左期末)如图，为方便群众，需要从新建的广场O处修一条人行通道到小路AB，沿OC，OD，OE均可，其中OD⊥AB，在资金紧张的情况下应将人行通道修在( )处．
A．OC B．OD
C．OE D．不能确定
知识点3 点到直线的距离
6．下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC距离的是( )
7．如图，立定跳远比赛时，小明从点A起跳落在沙坑内B处，跳远成绩是4.6米，则小明从起跳点到落脚点的距离__ __(填“大于”“小于”或“等于”)4.6米.
易错易混点 混淆垂线的性质
8．数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是( )
A．测量跳远成绩
B．木板上弹墨线
C．弯曲河道改直
D．两钉子固定木条
9．(广西玉林期末)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是( )
A．3 B．2.5
C．2.4 D．2
10．(广西梧州期末)如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，OF平分∠BOE，若∠COF＝23°，则∠AOE的度数为( )
A.32° B．46°
C．60° D．64°
11．如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝4，D是线段BC的中点，P是线段BC上一个动点，若S△ACD＝2，则AP的最小值是( )
A．1 B．1.5
C．2 D．2.5
12．(广西桂林模拟)如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠BOC∶∠BOD＝2∶1，射线OE⊥CD，则∠AOE度数为__ __.
13．如图，DH⊥AB于点H，AC⊥BD于点C，DH与AC相交于点E，仔细观察图形，回答以下问题：
(1)∠AEH和∠B是什么关系？为什么？
(2)若∠B＝70°，那么∠A和∠CED各是多少度？
【母题P134T3】 如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝35°，EO⊥CD，垂足为O，求∠DOB，∠BOE的度数．
【变式1】 如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠DOB，EO⊥OC，垂足为O，∠FOB＝50°.求∠BOE的度数．
【变式2】 (1)如图1，直线AB，CD相交于点O，FO⊥CD于点O，且∠EOF＝∠DOB.试说明：EO⊥AB；
(2)如图2，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠AOC＝58°，DO⊥EO，求∠BOE的度数.
14．(应用意识&模型观念)如图，为了解决A，B，C，D四个小区的缺水问题，市政府准备投资修建一个水厂．
(1)不考虑其他因素，请你画图确定水厂H的位置，使之与四个小区的距离之和最小；
(2)另外，计划把河流EF中的水引入水厂H中，使之到点H的距离最短，请你画图确定铺设引水管道的位置，并说明理由．10．1 相交线 第2课时 垂直
知识点1 垂线的定义与画法
1．如图，直线AB，CD相交于点O，下列条件中，不能说明AB⊥CD的是( C )
A.∠AOD＝90°
B．∠AOC＝∠BOC
C．∠BOC＋∠BOD＝180°
D．∠AOC＋∠BOD＝180°
若∠AOD＝90°，则可根据垂直的定义判定AB⊥CD；若∠AOC＝∠BOC.又因为∠AOC＋∠BOC＝180°，所以2∠AOC＝180°，所以∠AOC＝90°，所以根据垂直的定义可判定AB⊥CD；若∠AOC＋∠BOD＝180°.又因为∠AOC和∠BOD是对顶角，所以∠AOC＝∠BOD，所以2∠AOC＝180°，所以∠AOC＝90°，所以根据垂直的定义可判定AB⊥CD.若∠BOC＋∠BOD＝180°，则不能判定AB⊥CD.综上，选项A，B，D中条件都能说明AB⊥CD，选项C中条件不能说明AB⊥CD.
2．如图，已知AC⊥AB，∠1＝30°，则∠2的度数是( C )
A.40° B．50°
C．60° D．70°
因为AC⊥AB，所以∠BAC＝90°，所以∠2＝90°－∠1＝60°.
3．下列各图中，用三角板分别过点C画线段AB的垂线.
如图所示．
知识点2 垂线的性质
4．在某次世乒联冠军赛男单决赛中，甲运动员战胜乙运动员，夺得冠军赛后，甲运动员跑到赛场边围挡处喝水，沿垂直于围挡的路AB走才能使所走的路程最少，这是因为( C )
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．经过一点有无数条直线
沿垂直于围挡的路AB走才能使所走的路程最少，这是因为垂线段最短．
5．(广西崇左期末)如图，为方便群众，需要从新建的广场O处修一条人行通道到小路AB，沿OC，OD，OE均可，其中OD⊥AB，在资金紧张的情况下应将人行通道修在( B )处．
A．OC B．OD
C．OE D．不能确定
因为OD⊥AB，资金紧张，所以根据垂线段最短，应将人行通道修在OD处．
知识点3 点到直线的距离
6．下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC距离的是( D )
7．如图，立定跳远比赛时，小明从点A起跳落在沙坑内B处，跳远成绩是4.6米，则小明从起跳点到落脚点的距离__大于__(填“大于”“小于”或“等于”)4.6米.
易错易混点 混淆垂线的性质
8．数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是( A )
A．测量跳远成绩
B．木板上弹墨线
C．弯曲河道改直
D．两钉子固定木条
选项A，测量跳远成绩是测量脚后跟到起跳线的距离，数学常识为垂线段最短，故该选项符合题意；选项B，木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意；选项C，弯曲河道改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故该选项不符合题意；选项D，两钉子固定木条，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意；
9．(广西玉林期末)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是( C )
A．3 B．2.5
C．2.4 D．2
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5.因为当PC⊥AB时，PC的值最小，此时△ABC的面积＝·AB·PC＝·AC·BC，即5PC＝3×4，所以PC＝2.4，即PC的最小值为24.
10．(广西梧州期末)如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，OF平分∠BOE，若∠COF＝23°，则∠AOE的度数为( B )
A.32° B．46°
C．60° D．64°
因为OE⊥CD，所以∠COE＝90°.因为∠COF＝23°，所以∠EOF＝∠COE－∠COF＝67°.因为OF平分∠BOE，所以∠BOE＝2∠EOF＝134°，所以∠AOE＝180°－∠EOB＝46°.
11．如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝4，D是线段BC的中点，P是线段BC上一个动点，若S△ACD＝2，则AP的最小值是( C )
A．1 B．1.5
C．2 D．2.5
因为D是线段BC的中点，所以CD＝BC＝2.因为P是线段BC上一个动点，所以当AP⊥BC时，AP有最小值．因为S△ACD＝2，所以AP最小值·CD＝2，所以AP最小值＝2.
12．(广西桂林模拟)如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠BOC∶∠BOD＝2∶1，射线OE⊥CD，则∠AOE度数为__30°__.
因为∠BOC∶∠BOD＝2∶1，所以∠BOC＝2∠BOD，所以∠BOD＋∠BOC＝∠BOD＋2∠BOD＝3∠BOD＝180°，所以∠BOD＝60°，所以∠AOC＝∠BOD＝60°.又因为OE⊥CD，所以∠COE＝90°，所以∠AOE＝90°－60°＝30°.
13．如图，DH⊥AB于点H，AC⊥BD于点C，DH与AC相交于点E，仔细观察图形，回答以下问题：
(1)∠AEH和∠B是什么关系？为什么？
(2)若∠B＝70°，那么∠A和∠CED各是多少度？
(1)相等．理由如下：
因为DH⊥AB，AC⊥BD，所以∠AHD＝∠ACB＝90°，
所以∠AEH＋∠A＝90°，∠B＋∠A＝90°，所以∠AEH＝∠B；
(2)因为AC⊥BD，所以∠ACB＝90°，
所以∠A＝90°－∠B＝90°－70°＝20°.
由(1)，可知∠AEH＝∠B＝70°，所以∠CED＝∠AEH＝70°(对顶角相等).
【母题P134T3】 如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝35°，EO⊥CD，垂足为O，求∠DOB，∠BOE的度数．
因为EO⊥CD，所以∠EOD＝90°.
因为∠AOC＝35°，所以∠BOD＝∠AOC＝35°，
所以∠BOE＝90°－35°＝55°.
【变式1】 如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠DOB，EO⊥OC，垂足为O，∠FOB＝50°.求∠BOE的度数．
因为OF平分∠DOB，所以∠BOD＝2∠FOB.
因为∠FOB＝50°，所以∠BOD＝100°，
所以∠BOC＝180°－∠BOD＝80°.
因为EO⊥OC，所以∠EOC＝90°，所以∠BOE＝80°＋90°＝170°.
【变式2】 (1)如图1，直线AB，CD相交于点O，FO⊥CD于点O，且∠EOF＝∠DOB.试说明：EO⊥AB；
(2)如图2，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠AOC＝58°，DO⊥EO，求∠BOE的度数.
(1)因为FO⊥CD，所以∠FOD＝90°，
即∠EOF＋∠DOE＝90°.
因为∠EOF＝∠DOB，所以∠DOB＋∠EOD＝90°，
所以EO⊥AB；
(2)因为OD平分∠AOC，
所以∠AOD＝∠AOC＝×58°＝29°.
因为DO⊥EO，所以∠DOE＝90°.
因为∠AOB＝180°，所以∠BOE＝180°－90°－29°＝61°.
14．(应用意识&模型观念)如图，为了解决A，B，C，D四个小区的缺水问题，市政府准备投资修建一个水厂．
(1)不考虑其他因素，请你画图确定水厂H的位置，使之与四个小区的距离之和最小；
(2)另外，计划把河流EF中的水引入水厂H中，使之到点H的距离最短，请你画图确定铺设引水管道的位置，并说明理由．
(1)如图，连接AC和BD，
线段AC和BD的交点H点就是水厂的位置.
(2)如图，过点H作HM⊥EF交EF于点M，线段HM为铺设引水管道的位置．理由如下：垂线段最短．
