方法专题训练（二） 一元一次不等式(组)与一次方程(组)的综合应用
思路1 一元一次不等式(组)中求参数的技巧
1．已知(a－2)x|a|-1＋3＞5是关于x的一元一次不等式，求a的值．
因为(a－2)x|a|-1＋3＞5是关于x的一元一次不等式，
所以a－2≠0且|a|－1＝1，
解得a＝－2.
2．(广西南宁月考)定义运算：a*b＝a－2b，例如：1*2＝1－2×2＝－3，若不等式x*a＜1的解集在数轴上如图所示，求a的值.
由新运算的定义，可得x*a＜1，
所以x－2a＜1，解得x＜2a＋1，
由数轴上表示的解集，可知2a＋1＝1，解得a＝0.
3．已知不等式－1＞x与ax－6＞5x同解，试求a的值．
因为－1＞x，所以x－2＞2x，
所以x＜－2.因为ax－6＞5x，所以(a－5)x＞6.
因为不等式－1＞x与ax－6＞5x同解，
所以a－5＜0，＝－2，解得a＝2.
4．(广西来宾模拟)若关于x的不等式组无解，且关于x的方程ax＝3x＋2的解为整数，求满足条件的所有整数a的和．
解得
因为不等式组无解，所以a≤4.
因为ax＝3x＋2，所以x＝.
因为方程的解为整数，所以＝±1，±2.
因为a＝4，所以a＝2，1，4，
所以满足条件的所有整数a的和为1＋2＋4＝7.
思路2 方程(组)与不等式(组)的综合应用
5．(广西防城港月考)已知非负实数x，y，z满足＝＝，设M＝3x－2y＋z.求M的最大值与最小值的和．
设＝＝＝k，
则x＝－2k＋3，y＝3k－2，z＝4k－5.
因为x，y，z均为非负实数，
所以解得≤k≤，
于是M＝3x－2y＋z＝3(－2k＋3)－2(3k－2)＋(4k－5)＝－8k＋8，
所以－8×＋8≤－8k＋8≤－8×＋8，即－4≤M≤－2，
所以M的最大值是－2，最小值是－4，
所以M的最大值与最小值的和为－6.
6．若x，y满足方程组也满足不等式x＋y≥a－1，求a的取值范围．
①－②，得2x＋2y＝－4，即x＋y＝－2.
又因为x＋y≥a－1，所以－2≥a－1，
解得a≤－2.
所以a的取值范围是a≤－2.
7．(广西北海期中)设a＞b＞0，已知a＋2b＝3.
(1)求a的取值范围；
(2)设c＝－3a＋2b，请用含a的代数式表示c，并求出c的取值范围．
(1)由a＋2b＝3，得b＝.
因为a＞b＞0，所以解得所以1＜a＜3；
(2)因为c＝－3a＋2b，b＝，
所以c＝－3a＋3－a＝－4a＋3.
因为1＜a＜3，所以－12＜－4a＜－4，则－9＜－4a＋3＜－1，所以－9＜c＜－1.
8．若a，b，c，x，y，z均为正实数，且a＋x＝b＋y＝c＋z＝k.求证：ax＋by＋cz＜k2.
因为k＝a＋x，a，b，c，x，y，z均为正实数，
所以a＋x≥2，即≤，ax≤.
同理by≤，cz≤，所以ax＋by＋cz≤.
因为k2＞0，所以＜k2，所以ax＋by＋cz＜k2.
思路3 不等式(组)中的分类讨论思想
9．解关于x的不等式(2－a)x＜a＋1.
(1)当2－a＞0，即a＜2时，不等式的解集为x＜；
(2)当2－a＜0，即a＞2时，不等式的解集为x＞；
(3)当2－a＝0，即a＝2时，a＋1＝2＋1＝3，不等式0＜3一定成立，所以不等式有任意解．
10．(广西柳州模拟)已知代数式mn＋2m－2＝0(n≠－2).
(1)①用含n的代数式表示m；
②若m，n均取整数，求m，n的值．
(2)当n取a，b时，m对应的值为c，d.当－2＜b＜a时，试比较c，d的大小．
(1)①因为mn＋2m－2＝0，所以(n＋2)m＝2.
因为n≠－2，所以m＝；
②因为m，n均为整数，2＝1×2＝(－1)×(－2)，
所以或或或
解得或或或
(2)因为当n＝a时，m＝c＝，当n＝b时，m＝d＝，
所以c－d＝－＝＝.
因为－2＜b＜a，所以a＋2＞0，b＋2＞0，b－a＜0，
所以＜0，所以c－d＜0，所以c＜d.方法专题训练（二） 一元一次不等式(组)与一次方程(组)的综合应用
思路1 一元一次不等式(组)中求参数的技巧
2．(广西南宁月考)定义运算：a*b＝a－2b，例如：1*2＝1－2×2＝－3，若不等式x*a＜1的解集在数轴上如图所示，求a的值.
3．已知不等式－1＞x与ax－6＞5x同解，试求a的值．
4．(广西来宾模拟)若关于x的不等式组无解，且关于x的方程ax＝3x＋2的解为整数，求满足条件的所有整数a的和．
思路2 方程(组)与不等式(组)的综合应用
5．(广西防城港月考)已知非负实数x，y，z满足＝＝，设M＝3x－2y＋z.求M的最大值与最小值的和．
6．若x，y满足方程组也满足不等式x＋y≥a－1，求a的取值范围．
7．(广西北海期中)设a＞b＞0，已知a＋2b＝3.
(1)求a的取值范围；
(2)设c＝－3a＋2b，请用含a的代数式表示c，并求出c的取值范围．
8．若a，b，c，x，y，z均为正实数，且a＋x＝b＋y＝c＋z＝k.求证：ax＋by＋cz＜k2.
思路3 不等式(组)中的分类讨论思想
9．解关于x的不等式(2－a)x＜a＋1.
10．(广西柳州模拟)已知代数式mn＋2m－2＝0(n≠－2).
(1)①用含n的代数式表示m；
②若m，n均取整数，求m，n的值．
(2)当n取a，b时，m对应的值为c，d.当－2＜b＜a时，试比较c，d的大小．
