方法专题训练（五） 平行线性质与判定的综合应用
思路1 综合运用平行线的判定与性质解题
1．如图，AB⊥BC，∠AGF＝90°，∠1＝∠2，试说明：BF∥DE.
2．(广西百色模拟)如图，已知∠1＝∠BDC，∠1＝70°，∠2＋∠3＝180°，若DA平分∠BDC，CE⊥AE于点E，求∠FAB的度数．
3．综合与实践
问题情境：如图1，AB和CD被直线HF所截，HF分别交AB于点E，交CD于点F，∠HEB＝70°，∠HFD＝70°.
探究发现：(1)由已知条件发现AB∥CD，请说明理由；
拓展探究：(2)在图1中添加条件，解答相关的问题：
①如图2，勤奋小组添加的条件是：作直线MN与AB交于点M，与CD交于点N，且∠1＝130°，求∠BMN的度数；
②如图3，创意小组添加的条件是：∠PEB的平分线交CD于点G，求∠EGD的度数．
思路2 巧妙添加平行线解题
4．(广西崇左月考)已知a∥b，将一块等腰直角三角形的三角板按如图所示的方式摆放，若∠2＝30°，则∠1的度数为( )
A.100° B．135°
C．155° D．165°
5．将一块三角板ABC(∠BAC＝90°，∠ABC＝30°)按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠2＝2∠1；②∠1＋∠2＝90°；③∠1＝25°，∠2＝55°；④∠ABC＝∠2－∠1；⑤∠ACB＝∠1＋∠3；能判断直线m∥n的有__ __(填序号).
6．(广西河池模拟)如图，AB∥CD，∠BAE＝∠BCD，AE⊥DE，∠ABC＝35°，求∠EDC的度数．
7．已知，直线AB∥DC，P为平面上一点，连接AP与CP.
(1)如图1，点P在直线AB，CD之间，当∠BAP＝60°，∠DCP＝20°时，求∠APC的度数；
(2)如图2，点P在直线AB，CD之间，∠BAP与∠DCP的平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，点P落在CD外．
①直接写出∠APC，∠BAP，∠DCP的数量关系为__ __.
②∠BAP与∠DCP的平分线相交于点K，请直接写出∠AKC与∠APC的数量关系为__ __．
思路3 与平行线相关的方程思想的运用
8．(广西百色月考)如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上.
(1)填空：∠1＝__ __°，∠2＝__ __°；
(2)如图2，现把三角板绕点B逆时针旋转n°，当0＜n＜90，且点C恰好落在DG边上时，若∠2恰好是∠1的倍，求n的值；
(3)如图1三角板ABC的放置，现将射线BF绕点B以每秒2°的转速逆时针旋转得到射线BM，同时射线QA绕点Q以每秒3°的转速顺时针旋转得到射线QN，当射线QN旋转至第一次与QB重合时，则射线BM，QN均停止转动，设旋转时间为t(s).在旋转过程中，是否存在BM∥QN；若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
思路4 利用平行线的性质解决长方形的折叠问题
9．如图，把矩形ABCD沿直线EF折叠，若∠1＝20°，则∠2＝( )
A．80° B．70°
C．40° D．20°
10．把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，ED与BC的交点为G，D，C分别在D′，C′的位置上，如图所示，若∠EFG＝55°，求∠1与∠2的度数．
11．(广西桂林模拟)有一条纸带ABCD，现小慧对纸带进行了下列操作：
(1)为了检验纸带的两条边线AB与CD是否平行，小慧按如图1所示画了直线l，后量得∠1＝∠2，则AB∥CD，理由为__ __；
(2)将这条上下两边互相平行的纸带折叠，如图2所示，设∠1＝65°，请求出∠α的度数．
方法专题训练（五） 平行线性质与判定的综合应用
思路1 综合运用平行线的判定与性质解题
1．如图，AB⊥BC，∠AGF＝90°，∠1＝∠2，试说明：BF∥DE.
因为AB⊥BC，
所以∠ABC＝90°.
又因为∠AGF＝90°，所以∠ABC＝∠AGF，所以BC∥FG，
所以∠1＝∠FBC.
因为∠1＝∠2，所以∠FBD＝∠2，所以BF∥DE.
2．(广西百色模拟)如图，已知∠1＝∠BDC，∠1＝70°，∠2＋∠3＝180°，若DA平分∠BDC，CE⊥AE于点E，求∠FAB的度数．
因为∠1＝∠BDC，所以AB∥CD，
所以∠BDC＝∠1＝70°，∠2＝∠ADC.
因为∠2＋∠3＝180°，所以∠ADC＋∠3＝180°，
所以AD∥EC，所以∠FAD＝∠AEC.
因为CE⊥AE，所以∠AEC＝90°，∠FAD＝90°.
因为DA平分∠BDC，所以∠ADC＝∠BDC＝35°，
所以∠2＝35°，所以∠FAB＝∠FAD－∠2＝90°－35°＝55°.
3．综合与实践
问题情境：如图1，AB和CD被直线HF所截，HF分别交AB于点E，交CD于点F，∠HEB＝70°，∠HFD＝70°.
探究发现：(1)由已知条件发现AB∥CD，请说明理由；
拓展探究：(2)在图1中添加条件，解答相关的问题：
①如图2，勤奋小组添加的条件是：作直线MN与AB交于点M，与CD交于点N，且∠1＝130°，求∠BMN的度数；
②如图3，创意小组添加的条件是：∠PEB的平分线交CD于点G，求∠EGD的度数．
(1)理由如下：
因为∠HEB＝70°，∠HFD＝70°，所以∠HEB＝∠HFD＝70°，
所以AB∥CD.
(2)①因为∠1＝130°，所以∠1＝∠MND＝130°.
因为AB∥CD，所以∠BMN＋∠MND＝180°，所以∠BMN＝50°.
②因为∠HEB＝70°，∠HEB＋∠FEB＝180°，
所以∠FEB＝110°.
因为∠PEB的平分线交CD于点G，
所以∠GEB＝∠FEB，
所以∠GEB＝55°.
因为AB∥CD，所以∠BEG＋∠EGD＝180°，所以∠EGD＝125°.
思路2 巧妙添加平行线解题
4．(广西崇左月考)已知a∥b，将一块等腰直角三角形的三角板按如图所示的方式摆放，若∠2＝30°，则∠1的度数为( D )
A.100° B．135°
C．155° D．165°
如图，作a∥c，因为a∥b，所以a∥c∥b.因为∠2＝30°，
所以∠3＝∠2＝30°，所以∠5＝∠4＝45°－∠3＝15°，所以∠1＝180°－∠5＝165°.
5．将一块三角板ABC(∠BAC＝90°，∠ABC＝30°)按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠2＝2∠1；②∠1＋∠2＝90°；③∠1＝25°，∠2＝55°；④∠ABC＝∠2－∠1；⑤∠ACB＝∠1＋∠3；能判断直线m∥n的有__③④⑤__(填序号).
因为∠2＝2∠1，
∠ABC＝30°，所以∠1＋∠ABC不一定等于∠2，所以m和n不一定平行，故①不符合题意；因为∠1＋∠2＝90°，∠ABC＝30°，所以∠1＋∠ABC不一定等于∠2，所以m和n不一定平行，故②不符合题意；因为∠1＝25°，∠2＝55°，∠ABC＝30°，所以∠ABC＋∠1＝55°＝55°＝∠2，所以m∥n，故③符合题意；因为∠ABC＝∠2－∠1，所以∠2＝∠ABC＋∠1，所以m∥n，故④符合题意；过点C作CE∥m，所以∠3＝∠4.因为∠ACB＝∠1＋∠3，∠ACB＝∠4＋∠5，所以∠1＝∠5，所以EC∥n，所以m∥n，故⑤符合题意．
6．(广西河池模拟)如图，AB∥CD，∠BAE＝∠BCD，AE⊥DE，∠ABC＝35°，求∠EDC的度数．
过点E作EK∥CD，
因为AB∥CD，所以EK∥AB，
所以∠CDE＋∠DEK＝180°，∠BAE＋∠AEK＝180°，∠ABC＋∠DCB＝180°.
因为∠BAE＝∠BCD，所以∠AEK＝∠ABC＝35°.
因为AE⊥DE，所以∠DEK＝90°－35＝55°，
所以∠CDE＝125°.
7．已知，直线AB∥DC，P为平面上一点，连接AP与CP.
(1)如图1，点P在直线AB，CD之间，当∠BAP＝60°，∠DCP＝20°时，求∠APC的度数；
(2)如图2，点P在直线AB，CD之间，∠BAP与∠DCP的平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，点P落在CD外．
①直接写出∠APC，∠BAP，∠DCP的数量关系为__∠APC＝∠BAP－∠DCP__.
②∠BAP与∠DCP的平分线相交于点K，请直接写出∠AKC与∠APC的数量关系为__∠AKC＝∠APC__．
(1)如图1，过点P作PE∥AB，
图1
因为AB∥CD，所以PE∥AB∥CD，
所以∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，
所以∠APC＝∠APE＋∠CPE＝∠BAP＋∠DCP＝60°＋20°＝80°.
(2)∠AKC＝∠APC.理由如下：
图2
如图2，过点K作KE∥AB，
因为AB∥CD，
所以KE∥AB∥CD，
所以∠AKE＝∠BAK，
∠CKE＝∠DCK，
所以∠AKC＝∠AKE＋∠CKE＝∠BAK＋∠DCK.
过点P作PF∥AB，同理，可得∠APC＝∠BAP＋∠DCP.
因为∠BAP与∠DCP的平分线相交于点K，
所以∠BAK＋∠DCK＝∠BAP＋∠DCP＝(∠BAP＋∠DCP)＝∠APC，所以∠AKC＝∠APC.
图3
(3)①如图3，过点P作PF∥AB，
因为AB∥CD，
所以PF∥AB∥CD，
所以∠BAP＝∠APF，∠DCP＝∠CPF，
所以∠APC＝∠APF－∠CPF＝∠BAP－∠DCP.
②如图3，过点K作KE∥AB，
因为AB∥CD，
所以KE∥AB∥CD，
所以∠BAK＝∠AKE，
∠DCK＝∠CKE，
所以∠AKC＝∠AKE－∠CKE＝∠BAK－∠DCK.
由①，知∠APC＝∠BAP－∠DCP，
因为∠BAP与∠DCP的平分线相交于点K，
所以∠BAK－∠DCK＝∠BAP－∠DCP＝(∠BAP－∠DCP)＝∠APC，所以∠AKC＝∠APC.
思路3 与平行线相关的方程思想的运用
8．(广西百色月考)如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上.
(1)填空：∠1＝__120__°，∠2＝__90__°；
(2)如图2，现把三角板绕点B逆时针旋转n°，当0＜n＜90，且点C恰好落在DG边上时，若∠2恰好是∠1的倍，求n的值；
(3)如图1三角板ABC的放置，现将射线BF绕点B以每秒2°的转速逆时针旋转得到射线BM，同时射线QA绕点Q以每秒3°的转速顺时针旋转得到射线QN，当射线QN旋转至第一次与QB重合时，则射线BM，QN均停止转动，设旋转时间为t(s).在旋转过程中，是否存在BM∥QN；若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
(1)因为DG∥EF，
所以∠AQG＝∠ABC＝60°，∠2＝∠ACF＝90°，
所以∠1＝180°－60°＝120°.
(2)因为∠2恰好是∠1的倍，
所以90＋n＝(120－n)，解得n＝36，所以n的值是36.
(3)存在BM∥NQ.理由如下：
如图，则∠FBM＝(2t)°，∠AQN＝(3t)°.
因为BM∥NQ，所以∠AQN＝∠ABM＝∠ABF－∠FBM，所以3t＝60－2t，解得t＝12；
如图，因为BM∥NQ，
所以∠ABM＝∠BQN，
所以2t－60＝180－3t，解得t＝48，
综上所述，t的值为12或48.
思路4 利用平行线的性质解决长方形的折叠问题
9．如图，把矩形ABCD沿直线EF折叠，若∠1＝20°，则∠2＝( B )
A．80° B．70°
C．40° D．20°
10．把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，ED与BC的交点为G，D，C分别在D′，C′的位置上，如图所示，若∠EFG＝55°，求∠1与∠2的度数．
由题意，可得∠3＝∠4.
因为∠EFG＝55°，AD∥BC，所以∠3＝∠4＝∠EFG＝55°，
所以∠1＝180°－∠3－∠4＝180°－55°×2＝70°.
又因为AD∥BC，所以∠1＋∠2＝180°，
所以∠2＝180°－∠1＝180°－70°＝110°.
11．(广西桂林模拟)有一条纸带ABCD，现小慧对纸带进行了下列操作：
(1)为了检验纸带的两条边线AB与CD是否平行，小慧按如图1所示画了直线l，后量得∠1＝∠2，则AB∥CD，理由为__内错角相等两直线平行__；
(2)将这条上下两边互相平行的纸带折叠，如图2所示，设∠1＝65°，请求出∠α的度数．
(1)如题图1中，因为∠1＝∠2，
所以AB∥CD(内错角相等两直线平行).
(2)如图2－1中，
图2－1
由翻折的性质，可知∠3＝∠4.
因为CD∥AB，所以∠α＝∠3，
所以∠α＝∠4.
因为∠1＝∠2＝65°，所以∠α＝(180°－65°)＝57.5°.
