10．2 平行线的判定 第2课时 平行线的判定
知识点1 同位角相等，两直线平行
1．如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是__ __.
2．如图，∠1＝∠C，∠2＝∠E，指出图中哪些直线是平行的，并说出理由.
知识点2 内错角相等，两直线平行
3．如图，如果∠B＝∠D＝∠E，那么图形中的平行线有__ __．
4．如图，点D，E，F分别在AB，BC，CA上，若∠1＝∠2，则__ __∥__ __，依据是__ __；若∠1＝∠3，则__ __∥__ __，依据是__ __．
知识点3 同旁内角互补，两直线平行
5．把一副三角板(∠B＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠E＝30°)按如图所示的方式摆放，当∠1为__ __度时，AC∥EF.
6．如图，AC，BC分别平分∠DAB，∠ABE，且∠1与∠2互余，则__ __∥__ __．
易错易混点 忽视分类讨论出错
7．(广西贺州模拟)如图，将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠D＝45°，若三角板ABC不动，绕直角顶点C顺时针转动三角板DCE.当∠ACD＝__ __时，CE∥AB.
8．如图，如果∠1＝∠2，那么AB∥CD，其依据可以简单说成( )
A．两直线平行，内错角相等
B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等
D．同位角相等，两直线平行
9．(广西柳州月考)如图，下列条件中不能判定AB∥CD的是( )
A．∠AOC＝∠DCO
B．∠BOD＝∠CDO
C．∠AOD＋∠CDO＝180°
D．∠BOC＋∠AOC＝180°
10．(广西来宾期末)下面是验证纸条两条边线a，b是否平行的不同折叠方式：
(1)小明：如图1，展开后测得∠1＝∠2；
(2)小丽：如图2，测得∠1＝∠2；
(3)小君：如图3，展开后测得∠1＋∠2＝180°；
(4)小晨：如图4，展开后测得∠2＝∠4.
则其中能判定边线a∥b的是__ __．(填序号)
11．如图，将三个相同的三角尺不重叠、不留空隙地拼在一起，则线段BA，AC，CE，EA，ED，DB中，相互平行的线段有__ __组．
12．(广西柳州期末)如图，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2互补．试说明：a∥b.
13．如图，已知在三角形ABC中，∠ACB＝80°，点E，F分别在AB，AC上，ED交AC于点G，交BC的延长线于点D，∠FEG＝32°，∠CGD＝48°.试说明：EF∥BC.
14．(广西北海期末)如图，直线CD，EF交于点O，OA，OB分别平分∠COE和∠DOE.
(1)若∠2∶∠3＝2∶5，求∠AOF的度数；
(2)在(1)的条件下，若∠1＝50°，AB∥CD吗？请说明理由．
【母题P143T4】 如图，已知∠1与∠E互补，∠1＝∠B，试指出图中哪几组直线互相平行，并说明理由．
【变式】 如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4.试说明：AB∥CD.
15．(应用意识&推理能力)生活中，经过薄凸透镜光心的光线，其传播方向不变．如图，光线AB从空气中射入薄凸透镜，再经过薄凸透镜的光心，射入到空气中，形成光线CD，由光学知识有∠1＝∠2，∠3＝∠4，试说明：AB∥CD.
16．(应用意识&推理能力)如图，直线EF上有两点A，C，分别引两条射线AB，CD.∠BAF＝100°，CD与AB在直线EF异侧．若∠DCF＝60°，射线AB，CD分别绕点A，点C以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为几秒时，CD与AB平行？10．2 平行线的判定 第2课时 平行线的判定
知识点1 同位角相等，两直线平行
1．如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是__同位角相等，两直线平行__.
2．如图，∠1＝∠C，∠2＝∠E，指出图中哪些直线是平行的，并说出理由.
AC∥DP，BC∥PE.
理由：因为∠1＝∠C，
所以AC∥DP(同位角相等，两直线平行).
因为∠2＝∠E，
所以BC∥PE(同位角相等，两直线平行).
知识点2 内错角相等，两直线平行
3．如图，如果∠B＝∠D＝∠E，那么图形中的平行线有__CD∥EF__．
4．如图，点D，E，F分别在AB，BC，CA上，若∠1＝∠2，则__DE__∥__AC__，依据是__内错角相等，两直线平行__；若∠1＝∠3，则__DF__∥__BC__，依据是__内错角相等，两直线平行__．
知识点3 同旁内角互补，两直线平行
5．把一副三角板(∠B＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠E＝30°)按如图所示的方式摆放，当∠1为__150__度时，AC∥EF.
因为∠E＝30°，所以当∠E＋∠1＝180°时，AC∥EF，即当∠1＝180°－30°＝150°时，AC∥EF.
6．如图，AC，BC分别平分∠DAB，∠ABE，且∠1与∠2互余，则__GD__∥__HE__．
因为AC，BC分别平分∠DAB，∠ABE，所以∠1＝∠DAB，∠2＝∠ABE，所以∠1＋∠2＝(∠DAB＋∠ABE).因为∠1＋∠2＝90°，所以∠DAB＋∠ABE＝2×90°＝180°，所以GD∥HE.
易错易混点 忽视分类讨论出错
7．(广西贺州模拟)如图，将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠D＝45°，若三角板ABC不动，绕直角顶点C顺时针转动三角板DCE.当∠ACD＝__60°或120°__时，CE∥AB.
分两种情况：①如图1所示，当CE∥AB时，∠ACE＝∠A＝30°，所以∠ACD＝∠DCE－∠ACE＝90°－30°＝60°；②如图2所示，当CE∥AB时，∠BCE＝∠B＝60°，所以∠ACD＝360°－∠ACB－∠BCE－∠DCE＝360°－90°－60°－90°＝120°.
8．如图，如果∠1＝∠2，那么AB∥CD，其依据可以简单说成( D )
A．两直线平行，内错角相等
B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等
D．同位角相等，两直线平行
9．(广西柳州月考)如图，下列条件中不能判定AB∥CD的是( D )
A．∠AOC＝∠DCO
B．∠BOD＝∠CDO
C．∠AOD＋∠CDO＝180°
D．∠BOC＋∠AOC＝180°
10．(广西来宾期末)下面是验证纸条两条边线a，b是否平行的不同折叠方式：
(1)小明：如图1，展开后测得∠1＝∠2；
(2)小丽：如图2，测得∠1＝∠2；
(3)小君：如图3，展开后测得∠1＋∠2＝180°；
(4)小晨：如图4，展开后测得∠2＝∠4.
则其中能判定边线a∥b的是__(1)(2)(3)__．(填序号)
(1)因为∠1＝∠2，所以a∥b，故(1)符合题意；(2)因为∠1＝∠2，所以a∥b，故(2)符合题意；(3)因为∠1＋∠2＝180°，所以a∥b，故(3)符合题意；(4)因为∠4与∠2是两条边线a，b与AB所成的内错角，所以不一定能判定a与b平行，故不符合题意．
11．如图，将三个相同的三角尺不重叠、不留空隙地拼在一起，则线段BA，AC，CE，EA，ED，DB中，相互平行的线段有__3__组．
由题，知∠B＝∠DCE，则AB∥EC(同位角相等，两直线平行)；∠ACE＝∠DEC，则AC∥DE(内错角相等，两直线平行)；∠EAC＋∠ACD＝180°，则AE∥DB(同旁内角互补，两直线平行)，则线段AB，AC，AE，ED，EC，DB中，相互平行的线段有AB∥EC，AC∥DE，AE∥BC∥CD∥DB共3组．
12．(广西柳州期末)如图，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2互补．试说明：a∥b.
如图，
因为∠1＋∠3＝180°，∠1与∠2互补，所以∠2＝∠3，所以a∥b.
13．如图，已知在三角形ABC中，∠ACB＝80°，点E，F分别在AB，AC上，ED交AC于点G，交BC的延长线于点D，∠FEG＝32°，∠CGD＝48°.试说明：EF∥BC.
因为∠CGD＝48°，所以∠EGF＝∠CGD＝48°.
因为∠FEG＝32°，
所以∠GFE＝180°－∠EGF－∠FEG＝180°－48°－32°＝100°.
因为∠ACB＝80°，所以∠GFE＋∠ACB＝180°，
所以EF∥BC.
14．(广西北海期末)如图，直线CD，EF交于点O，OA，OB分别平分∠COE和∠DOE.
(1)若∠2∶∠3＝2∶5，求∠AOF的度数；
(2)在(1)的条件下，若∠1＝50°，AB∥CD吗？请说明理由．
(1)因为∠2∶∠3＝2∶5，∠2＝∠DOE，
所以∠DOE∶∠3＝4∶5.
因为∠DOE＋∠3＝180°，
所以∠DOE＝180°×＝80°，∠3＝180°×＝100°，
所以∠COE＝∠3＝100°.
因为OA平分∠COE，
所以∠AOC＝∠AOE＝∠COE＝50°，
所以∠AOF＝180°－∠AOE＝130°，
所以∠AOF的度数为130°.
(2)平行．
理由：由(1)可知∠AOC＝∠AOE＝50°.
因为∠1＝50°，所以∠AOC＝∠1，所以AB∥CD.
【母题P143T4】 如图，已知∠1与∠E互补，∠1＝∠B，试指出图中哪几组直线互相平行，并说明理由．
因为∠1与∠E互补，
所以AB∥EF(同旁内角互补，两直线平行)；
因为∠1＝∠B，所以DE∥BC(同位角相等，两直线平行).
【变式】 如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4.试说明：AB∥CD.
因为∠1＝∠2，
所以BM∥CN，所以∠MBC＝∠NCB.
因为∠3＝∠4，所以∠MBC＋∠3＝∠NCB＋∠4，
所以∠ABC＝∠DCB，所以AB∥CD.
15．(应用意识&推理能力)生活中，经过薄凸透镜光心的光线，其传播方向不变．如图，光线AB从空气中射入薄凸透镜，再经过薄凸透镜的光心，射入到空气中，形成光线CD，由光学知识有∠1＝∠2，∠3＝∠4，试说明：AB∥CD.
因为∠1＝∠2，
所以∠EBC＝∠NCB.
因为∠3＝∠4，
所以∠EBC＋∠3＝∠NCB＋∠4，
即∠ABC＝∠DCB，所以AB∥CD.
16．(应用意识&推理能力)如图，直线EF上有两点A，C，分别引两条射线AB，CD.∠BAF＝100°，CD与AB在直线EF异侧．若∠DCF＝60°，射线AB，CD分别绕点A，点C以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为几秒时，CD与AB平行？
分三种情况：
如图1，当AB与CD在EF的两侧时，
因为∠BAF＝100°，∠DCF＝60°，
所以∠ACD＝180°－60°－(6t)°＝120°－(6t)°，∠BAC＝100°－t°.
要使AB∥CD，则∠ACD＝∠BAF，即120°－(6t)°＝100°－t°，
解得t＝4；此时(180°－60°)÷6＝20，所以0＜t＜20；
如图2，当CD旋转到与AB都在EF的右侧时，
因为∠BAF＝100°，∠DCF＝60°，
所以∠DCF＝360°－(6t)°－60°＝300°－(6t)°，∠BAC＝100°－t°.
要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC，
即300°－(6t)°＝100°－t°，
解得t＝40，
此时(360°－60°)÷6＝50，所以20＜t＜50；
如图3，当CD旋转到与AB都在EF的左侧时，
因为∠BAF＝100°，∠DCF＝60°，
所以∠DCF＝(6t)°－(180°－60°＋180°)＝(6t)°－300°，∠BAC＝t°－100°.
要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC，
即(6t)°－300°＝t°－100°，解得t＝40，此时t＞50.
因为40＜50，所以此情况不存在．
综上所述，当时间t的值为4秒或40秒时，CD与AB平行．
