10．3 平行线的性质
知识点1 平行线的性质
1．(陕西中考)如图，l1∥l2，l2∥l3，若∠1＝59°，则∠2的度数为( C )
A．118° B．120°
C．121° D．131°
因为l1∥l2，l2∥l3，所以l1∥l3，所以∠1＋∠2＝180°.因为∠1＝59°，所以∠2＝180°－59°＝121°.
2．(西藏中考)如图，已知直线l1∥l2，AB⊥CD于点D，∠1＝50°，则∠2的度数是
( A )
A.40° B．45°
C．50° D．60°
因为直线l1∥l2，所以∠ABC＝∠1＝50°.因为AB⊥CD，所以∠2＝90°－50°＝40°.
3．如图，已知AD∥BC，BD平分∠ABC.若∠A＝110°，则∠D的度数是( C )
A．40° B．36°
C．35° D．30°
因为AD∥BC，所以∠ABC＝180°－∠A＝180°－110°＝70°，∠D＝∠DBC.因为BD平分∠ABC，所以∠DBC＝∠ABC＝×70°＝35°，所以∠D＝35°.
4．(四川乐山中考)如图，两条平行线a，b被第三条直线c所截．如果∠1＝60°，那么∠2＝__120°__．
如图，因为a∥b，所以∠3＝∠1＝60°，所以∠2＝180°－60°＝120°.
知识点2 平行线性质的应用
5．(四川凉山州中考)一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点E在AB的延长线上，当DF∥AB时，∠EDB的度数为( B )
A．10° B．15°
C．30° D．45°
由题意，得∠ABC＝45°，∠EDF＝30°.因为DF∥AB，所以∠FDB＝∠ABC＝45°，所以∠EDB＝∠FDB－∠EDF＝45°－30°＝15°.
6．(湖北中考)如图，一条公路的两侧铺设了AB，CD两条平行管道，并有纵向管道AC连通，若∠1＝120°，则∠2的度数是( B )
A．50° B．60°
C．70° D．80°
因为AB∥CD，所以∠1＋∠2＝180°.因为∠1＝120°，所以∠2＝180°－∠1＝60°.
7．(广东深圳中考)如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角∠1＝50°，则反射光线与平面镜夹角∠4的度数为( B )
A．40° B．50°
C．60° D．70°
因为入射光线是平行光线，所以∠1＝∠3.由反射定律得∠3＝∠4，所以∠4＝∠1＝50°.
8．(广西南宁模拟)某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线OA，OB等反射后都沿着与POQ平行的方向射出．若∠AOB＝150°，∠OBD＝90°，则∠OAC＝__60__°.
因为BD∥PQ，所以∠POB＝∠OBD＝90°.因为∠AOB＝150°，所以∠AOP＝∠AOB－∠POB＝150°－90°＝60°.因为AC∥PQ，所以∠OAC＝∠AOP＝60°.
易错易混点 混淆平行线的判定与性质的关系
9．(广西贺州模拟)如图，已知AD，BC相交于点E，F，G，H分别在BC，CD，BD上，且∠3＝∠4，∠1＝∠2，∠5＝∠C，试说明：AB∥EH.
因为∠1＝∠2，所以FG∥DE，所以∠3＝∠GDE.
因为∠3＝∠4，所以∠4＝∠GDE，所以EH∥CD，
所以∠BEH＝∠C.
因为∠5＝∠C，所以∠BEH＝∠5，所以AB∥EH.
10．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝155°，∠2＝30°，则∠3的度数为( C )
A．35° B．45°
C．55° D．65°
如图，
因为AB∥OF，所以∠1＋∠OFP＝180°.因为∠1＝155°，所以∠OFP＝25°.因为∠POF＝∠2＝30°，所以∠OPF＝180°－∠POF－∠PFO＝125°，∠3＝180°－∠OPF＝55°.
11．(山东潍坊中考)一种路灯的示意图如图所示，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐角α＝15°.顶部支架EF与灯杆CD所成锐角β＝45°，则EF与FG所成锐角的度数为( A )
A．60° B．55°
C．50° D．45°
如图，
过点E作EH∥AB，因为AB∥FG，所以AB∥EH∥FG，所以∠BEH＝∠α＝15°，∠FEH＋∠EFG＝180°.因为∠β＝45°，所以∠FEH＝180°－45°－15°＝120°，所以∠EFG＝180°－∠FEH＝180°－120°＝60°，所以EF与FG所成锐角的度数为60°.
12．(广西贺州月考)抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一、明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：AB∥CD，∠DCE＝124°，∠E＝28°，则∠BAE的度数为__96°__．
如图，延长DC交AE于点F，因为∠DCE＝124°，所以∠ECF＝180°－∠DCE＝56°，所以∠EFC＝180°－∠E－∠ECF＝96°.因为AB∥CD，所以∠BAE＝∠EFC＝96°.
13．如图，已知AM⊥BC，垂足为M，∠1＝∠2，∠CAB＋∠AEM＝180°.试说明：DN⊥BC.
因为∠CAB＋∠AEM＝180°，所以AC∥EM，
所以∠CAM＝∠1.
因为∠1＝∠2，所以∠CAM＝∠2，所以DN∥AM，
所以∠AMN＝∠DNC.
因为AM⊥BC，所以∠AMN＝90°，所以∠DNC＝90°，
所以DN⊥BC.
14．(广西梧州模拟)如图，已知点C在∠AOB的一边OA上，过点C的直线DE∥OB，CF平分∠ACD，CG⊥CF于点C.
(1)若∠O＝40°，求∠ECF的度数；
(2)试说明：CG平分∠OCD.
(1)因为直线DE∥OB，CF平分∠ACD，∠O＝40°，
所以∠ACE＝∠O，∠ACF＝∠FCD，
所以∠ACE＝40°，所以∠ACD＝140°，所以∠ACF＝70°，
所以∠ECF＝∠ECA＋∠ACF＝40°＋70°＝110°.
(2)因为CF平分∠ACD，CG⊥CF，∠ACD＋∠OCD＝180°，
所以∠ACF＝∠FCD，∠FCG＝90°，
所以∠FCD＋∠DCG＝90°，∠ACF＋∠OCG＝90°，
所以∠DCG＝∠OCG，所以CG平分∠OCD.
【母题P147T3】 如图，已知CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠B＝70°，∠ACB＝50°，求∠EDC与∠BDC的度数．
因为CD是∠ACB的平分线，∠ACB＝50°，
所以∠BCD＝∠ACB＝25°.
因为DE∥BC，
所以∠EDC＝∠DCB＝25°，∠BDE＋∠B＝180°.
因为∠B＝70°，所以∠BDE＝110°，
所以∠BDC＝∠BDE－∠EDC＝110°－25°＝85°，
故∠EDC＝25°，∠BDC＝85°.
【变式1】 如图，∠B＝∠CDF，∠1＝∠2，∠3＝64°.
(1)试说明：CD∥EF；
(2)若AF平分∠BAE，求∠1的度数．
(1)因为∠B＝∠CDF，所以AB∥CD.
因为∠1＝∠2，所以AB∥EF，所以CD∥EF.
(2)因为AB∥CD，∠3＝64°，所以∠BAE＋∠3＝180°.
因为∠3＝64°，所以∠BAE＝180°－∠3＝116°.
因为AF平分∠BAE，所以∠1＝∠BAE＝58°.
【变式2】 如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝130°，∠ACF＝20°，求∠FEC的度数．
因为EF∥AD，AD∥BC，所以EF∥BC.
因为AD∥BC，所以∠ACB＋∠DAC＝180°.
因为∠DAC＝130°，所以∠ACB＝50°.
因为∠ACF＝20°，所以∠FCB＝∠ACB－∠ACF＝30°.
因为CE平分∠BCF，所以∠BCE＝15°.
因为EF∥BC，所以∠FEC＝∠ECB，所以∠FEC＝15°.
15．(推理能力&运算能力)如图，已知AM∥BN，P是射线AM上一动点(与点A不重合)，BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D，且∠CBD＝60°.
(1)求∠A的度数；
(2)当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的数量关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律；
(3)当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数．
(1)因为BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
所以∠CBP＝∠ABP，∠DBP＝∠NBP，
所以∠ABN＝2∠CBD.
又因为∠CBD＝60°，所以∠ABN＝120°.
因为AM∥BN，所以∠A＋∠ABN＝180°，所以∠A＝60°；
(2)不发生变化，∠APB＝2∠ADB，理由如下．
因为AM∥BN，所以∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN.
又因为BD平分∠PBN，所以∠PBN＝2∠DBN，
所以∠APB＝2∠ADB；
(3)因为AD∥BN，
所以∠ACB＝∠CBN.
又因为∠ACB＝∠ABD，
所以∠CBN＝∠ABD，
所以∠ABC＝∠DBN.
由(1)，可得∠CBD＝60°，∠ABN＝120°，
所以∠ABC＝×(120°－60°)＝30°.10．3 平行线的性质
知识点1 平行线的性质
1．(陕西中考)如图，l1∥l2，l2∥l3，若∠1＝59°，则∠2的度数为( )
A．118° B．120°
C．121° D．131°
2．(西藏中考)如图，已知直线l1∥l2，AB⊥CD于点D，∠1＝50°，则∠2的度数是
( )
A.40° B．45°
C．50° D．60°
3．如图，已知AD∥BC，BD平分∠ABC.若∠A＝110°，则∠D的度数是( )
A．40° B．36°
C．35° D．30°
4．(四川乐山中考)如图，两条平行线a，b被第三条直线c所截．如果∠1＝60°，那么∠2＝__ __．
知识点2 平行线性质的应用
5．(四川凉山州中考)一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点E在AB的延长线上，当DF∥AB时，∠EDB的度数为( )
A．10° B．15°
C．30° D．45°
6．(湖北中考)如图，一条公路的两侧铺设了AB，CD两条平行管道，并有纵向管道AC连通，若∠1＝120°，则∠2的度数是( )
A．50° B．60°
C．70° D．80°
7．(广东深圳中考)如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角∠1＝50°，则反射光线与平面镜夹角∠4的度数为( )
A．40° B．50°
C．60° D．70°
8．(广西南宁模拟)某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线OA，OB等反射后都沿着与POQ平行的方向射出．若∠AOB＝150°，∠OBD＝90°，则∠OAC＝__ __°.
易错易混点 混淆平行线的判定与性质的关系
9．(广西贺州模拟)如图，已知AD，BC相交于点E，F，G，H分别在BC，CD，BD上，且∠3＝∠4，∠1＝∠2，∠5＝∠C，试说明：AB∥EH.
10．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝155°，∠2＝30°，则∠3的度数为( )
A．35° B．45°
C．55° D．65°
11．(山东潍坊中考)一种路灯的示意图如图所示，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐角α＝15°.顶部支架EF与灯杆CD所成锐角β＝45°，则EF与FG所成锐角的度数为( )
A．60° B．55°
C．50° D．45°
12．(广西贺州月考)抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一、明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：AB∥CD，∠DCE＝124°，∠E＝28°，则∠BAE的度数为__ __．
13．如图，已知AM⊥BC，垂足为M，∠1＝∠2，∠CAB＋∠AEM＝180°.试说明：DN⊥BC.
14．(广西梧州模拟)如图，已知点C在∠AOB的一边OA上，过点C的直线DE∥OB，CF平分∠ACD，CG⊥CF于点C.
(1)若∠O＝40°，求∠ECF的度数；
(2)试说明：CG平分∠OCD.
【母题P147T3】 如图，已知CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠B＝70°，∠ACB＝50°，求∠EDC与∠BDC的度数．
【变式1】 如图，∠B＝∠CDF，∠1＝∠2，∠3＝64°.
(1)试说明：CD∥EF；
(2)若AF平分∠BAE，求∠1的度数．
【变式2】 如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝130°，∠ACF＝20°，求∠FEC的度数．
15．(推理能力&运算能力)如图，已知AM∥BN，P是射线AM上一动点(与点A不重合)，BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D，且∠CBD＝60°.
(1)求∠A的度数；
(2)当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的数量关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律；
(3)当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数．
