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第2章 一元一次不等式与一元一次不等式组
5 一元一次不等式与一次函数
第1课时 一元一次不等式与一次函数
导入新课
在一次函数y＝2x－5中，当y＝0时，有方程____________；当y>0时，有不等式____________；当y<0时，有不等式_____________．
由此可见，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有密切关系，当函数值等于0时即为方程，当函数值大于或小于0时即为不等式．
2x－5＝0
2x－5>0
2x－5<0
探究新知
探究
作出函数y＝2x－5的图象．
x … 0 2.5 …
y=2x-5 … -5 0 …
O
1
2
3
4
5
-2
-1
x
2
3
1
4
-3
-5
-2
-4
y
-1
y=2x-5
（1）x取何值时，2x-5=0
（2）x取哪些值时，2x-5＞0
解：由图象可知（1）当x= 时，2x-5=0.
5
2
（2）当x > 时，直线y=2x-5在x轴的上方，则2x-5>0.
5
2
O
1
2
3
4
5
-2
-1
x
2
3
1
4
-3
-5
-2
-4
y
-1
y=2x-5
（3）x取哪些值时，2x-5＜0
解：当x < 时，直线y=2x-5在x轴的下方，则2x - 5 < 0.
5
2
O
1
2
3
4
5
-2
-1
x
2
3
1
4
-3
-5
-2
-4
y
-1
y=2x-5
（4）x取哪些值时，2x-5＞1
解：当直线y=2x-5上的点的纵坐标的值为1时，这点的横坐标的值为3.
当x>3时，直线y = 2x-5在直线y=1的上方，则2x - 5 > 1.
O
1
2
3
4
5
-2
-1
x
2
3
1
4
-3
-5
-2
-4
y
-1
y=2x-5
如果y＝－2x－5，那么当x取何值时，y＞0
0
-3
-2
-1
1
2
-5
-4
x
2
-1
3
1
4
-3
-5
-2
-4
y
y=-2x-5
(-2.5,0)
思考
从图象上可知，图象在x轴上方时，图象上每一点所对应的y的值都大于0，而每一个y的值所对应的x的值都在A点的左侧，
即为小于－2.5的数，
所以当x＜－2.5时，y＞0.
也可因为－2x－5＞0，
解不等式即得x＜－2.5.
应用举例
例1
兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9 m，然后自己才开始跑，已知弟弟每秒跑3 m，哥哥每秒跑4 m．若哥哥与弟弟所跑的路程分别为s1，s2(单位：m)，哥哥跑的时间为t(单位：s)，分别列出s1，s2关于t的函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：
(1)何时哥哥追上弟弟？
(2)何时弟弟跑在哥哥前面？
(3)何时哥哥跑在弟弟前面？
(4)谁先跑过20 m？谁先跑过100 m
【分析】哥哥跑了t s，速度为4 m/s，则路程s1＝4t，弟弟先跑9 m，速度为3 m/s，则路程s2＝3t＋9，根据题意画出一次函数图象．
解：根据题意，得s1＝4t，s2＝3t＋9.
2
4
6
8
2
4
6
8
10
O
9
x
y
函数图象如图：
从图象上来看：
(1)9 s时哥哥追上弟弟；
(2)当0＜t＜9时，弟弟跑在哥哥前面；
(3)当t＞9时，哥哥跑在弟弟前面；
(4)弟弟先跑过20 m，哥哥先跑过100 m.
y1 = 4x
y2 = 3x + 9
例2
【分析】由图象可以看出，y1＝kx＋b与
y2＝x＋a的交点的横坐标为－2，当x＜－2时，对于同一个x值，直线y1＝kx＋b上的点在直线y2＝x＋a上相应点的上方，这时kx＋b＞x＋a，即不等式kx＋b＞x＋a的解集为x＜－2.
一次函数y1＝kx＋b与y2＝x＋a的图象如图，则kx＋b＞x＋a的解集是________．
x＜－2
y1＝kx+b
y2＝x＋a
-2
y
x
o
随堂练习
1．已知函数y＝8x－12，要使y>0，那么x应取( )
C．x>0 D．x<0
A
2．如图是一次函数y＝kx＋b的图象，当y＜2时，x的取值范围是( )
A．x＜1 B．x＞1
C．x＜3 D．x＞3
C
3．已知一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，当x<0时，y的取值范围是( )
A．y>0 B．y<0
C．－2D
4．如图，某航空公司托运行李的费用与托运行李的质量的关系为一次函数，由图可知行李的质量只要不超过______kg，就可以免费托运．
20
5.已知 y1 = -x + 3，y2 = 3x - 4 ，当 x 为何值时，
y1 ＜ y2 ？你是怎样做的？与同伴交流.
解：当y1 < y2 ，即-x + 3 < 3x-4时，x > ，所以当x > 时，y1 < y2 .
本题还可以画出y1 = -x + 3与y2 = 3x - 4 的图象，再利用图象进行比较说明.(共18张PPT)
5 一元一次不等式与一次函数
第1课时 一元一次不等式与一次函数
一元一次不等式与一次函数的关系：(1)当kx＋b>0时，y>0，取图象在x轴上方的部分；(2)当kx＋b＜0时，y<0，取图象在x轴下方的部分；(3)当kx＋b＝0时，y＝0，取图象与x轴的交点．
【例1】在一次函数y＝－3x＋12中，当x为何值时，满足下列条件？
(1)y>0； (2)y＝0； (3)y<0.
【名师点拨】把一次函数转化为方程或一元一次不等式来解．
【学生解答】
解：(1)若y>0，则有－3x＋12>0，解得x＜4.∴当x＜4时，y>0；
(2)若y＝0，则有－3x＋12＝0，解得x＝4.∴当x＝4时，y＝0；
(3)若y＜0，则有－3x＋12＜0，解得x>4.∴当x>4时，y<0.
【例2】如图，函数y＝ax－1的图象过点(1，2)，则不等式ax－1>2的解集是________.
【名师点拨】ax－1>2，即y>2，取图象在直线y＝2上方的部分，观察图象可得．
【学生解答】x>1
利用一次函数的图象解一元一次不等式
1．一次函数y＝mx－n的图象如图所示，则关于x的不等式mx－n＜0的解集是( )
A．x＞2 B．x＜2
C．x＞3 D．x＜3
C
2．如图，函数y＝kx＋b(k＜0)的图象经过点P，则关于x的不等式kx＋b＞3的解集为________________．
x＜－1
3．(毕节期中)如图，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过A，B两点．
(1)求此一次函数的表达式；
(2)结合函数图象，直接写出关于x的
不等式kx＋b＜4的解集．
(2)观察图象可知，关于x的不等式kx＋b＜4的解集为x＜3.
利用一元一次不等式与一次函数图象的关系解决实际问题
4．如图，甲、乙两名学生均沿同一方向在同一直线上行走．OA，BA分别表示甲、乙两名学生在行走过程中离出发点的距离s(m)与行走时间t(s)之间的函数关系图象．试根据图象回答下列问题：
(1)甲、乙两名学生中，谁的速度较快？
(2)在什么时间段内，甲在乙的前面？在
什么时间段内，甲在乙的后面？在什么
时间，甲、乙两人相遇？
解：(1)甲的速度较快；
(2)由图象可看出，在8s之后，甲在乙的前面；在8s之前，甲在乙的后面；在8s时，甲、乙两人相遇．
5．(2024·贵阳期末)在平面直角坐标系内，一次函数y＝ax＋b的图象如图所示，那么下列说法正确的是( )
A．当x＞0时，－2＜y＜0
B．方程ax＋b＝0的解是x＝－2
C．当y＞－2时，x＞0
D．不等式ax＋b≤0的解集是x≤0
C
6．(贵阳期中)直线l1：y＝k1x＋b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x＋b＞k2x的解集为( )
A.x＞－1 B．x＜－2
C．x＜－1 D．无法确定
C
7．(2024·六盘水期末)已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点A(1，6)，B(－3，－2)，与x轴、y轴相交于点C，D.
(1)结合函数图象，直接写出kx＋b＞－2的解集为________；
(2)求一次函数y＝kx＋b的表达式；
(3)求△AOB的面积．
解：(1)x＞－3
8．甲、乙两台智能机器人从同一地点出发，沿着笔直的路线行走了450cm.甲比乙先出发，并且匀速走完全程，乙出发一段时间后速度提高为原来的2倍．设甲行走的时间为x(s)，甲、乙行走的路程分别为y1(cm)，y2(cm)，y1，y2与x之间的函数图象如图所示．根据图象所提供的信息，解答下列问题：
(1)乙比甲晚出发______s，乙提速前的速度是______cm/s，m＝______，n＝______；
(2)当x为何值时，乙追上了甲？
(3)何时乙在甲的前面？
解：(1)15 15 31 45
(2)设y1＝k1x.
∵A(31，310)在线段OA上，
∴31k1＝310.解得k1＝10.
∴y1＝10x.
设BC段对应的函数表达式为y2＝k2x＋b.
∵B(17，30)，C(31，450)在线段BC上，
∴y2＝30x－480(17≤x≤31).
当y1＝y2时，则10x＝30x－480，解得x＝24.
∴当x＝24s时，乙追上了甲；
(3)由图象可知，当24
