期末复习（四）因式分解
考点1 因式分解的概念
【例1】下列从左到右的变形中，属于因式分解的是 (D)
A．m2-9=(m-3)2
B．m2-m+1=m(m-1)+1
C.(m+1)2=m2+2m+1
D．m2+2m=m(m+2)
方法点拨：判断一个等式是不是因式分解的关键是看这个变形是不是把一个多项式化成几个整式的积的形式，注意还需判断等式是否成立.
【针对训练】
1.若(x-3)(x+5)是x2+px+q因式分解的结果，则p+q的结果是 (C)
A.17 B.13
C.-13 D.-17
考点2 因式分解的方法
类型1提公因式法
【例2】若a为有理数，则整式a(a-1)-a+1的值是 (A)
A．非负数 B．正数
C．负数 D．0
方法点拨：观察到多项式中第一项有因式a和a-1，可考虑凑出公因式以进行因式分解.而第二、三项可提取-1得到因式(a-1),据此解答即可.
类型2 公式法
【例3】把下列各式因式分解.
(1)a2b2-25;
(2)(a+b)2-2(a+b)+1.
方法点拨：平方差公式的特点：可以看作二项式，两项的绝对值都是完全平方的形式，两项的符号相反；完全平方公式的特点：可以看作三项式，三项中有两项是两式的平方和，另一项是这两式乘积的2倍.
解：(1)原式=(ab)2-52=(ab+5) (ab-5);
(2)原式=(a+b-1)2.
【针对训练】
2.把下列各式因式分解.
(1)-a2+9b2；
解：原式=(3b)2-(a)2
=(3b+) (3b-)；
（2）(a+2)2-2(a+2)；
解：原式=(a+2)（a+2-2）
=a(a+2)；
(3)ab+(a-b)(a-4b).
解：原式=ab+a2-ab-4ab+4b2
=a2-4ab+4b2
=(a-2b)2.
考点3 因式分解的应用
【例4】如图，两个正方形的边长分别为a和b，若a+b=10，ab=22，则阴影部分的面积是17.
方法点拨：本题中阴影部分的面积可表示为a(a-b)+b2,再将上式因式分解，凑出因式a+b和ab即可.
【针对训练】
3.如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分剪拼成一个长方形，通过用不同方式表示阴影部分的面积，验证了一个因式分解的公式，用已知的符号写出这个公式：a2-b2=(a+b)(a-b)．
一、选择题（每题4分，共32分）
1.下列由左边到右边的变形，是因式分解的是 (A)
A.x2-4x+4=（x-2）2
B.a（x+y）=ax+ay
C.x2-y2+1=（x+y）（x-y）+1
D.x2-4=（x+4）（x-4）
2.将多项式- 5a2bc+3ab2- abc各项提公因式后，另一个因式是 (A)
A.5ac-3b+c B.5bc-3b+c
C.-5ac+3b+c D.-5bc+3 b+c
3.已知多项式4x2-(y-z)2的一个因式为2x-y+z，则另一个因式是 (D)
A.2x-y-z B.2x-y+z
C.2x+y+z D.2x+y-z
4.相邻边长为a，b的矩形，若它的周长为20，面积为24，则a2b+ab2的值为 (B)
A.480 B.240 C.120 D.100
5.若多项式5x2+17x-12可因式分解为（x+a）（bx+c），其中a，b，c均为整数，则a-c的值是 (B)
A.1 B.7 C.11 D.13
6.216-1可以被10到20之间的两个整数整除，这两个整数是 (D)
A.13和15 B.12和16
C.14和17 D.15和17
7.多项式4x+1加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，则加上的单项式可以是 (C)
A.4x B.-4x C.4x4 D.-4x4
8.已知a，b，c是△ABC的三条边的长，且满足条件a2+2b2+c2-2b(a+c) =0.则△ABC是 (D)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
二、填空题（每题4分，共16分）
9.如果多项式x2-kx+49可直接用公式法进行因式分解，那么k的值为±14．
10.给出几个多项式:①x2+y2；②-x2 +y2；③x2+2xy+y2；④x4-1.其中能够因式分解的是②③④(填序号).
11.已知x-2y+2=0，则x2+y2-xy-1的值为0.
12.大长方形中放入5张长为a，宽为b的小长方形，如图所示，其中A，B，C三点在同一条直线上，若阴影部分的面积为34，大长方形的周长为30，则一张小长方形的面积为4.
三、解答题（共32分）
13.因式分解：
（1）12xyz-9x2y2；
解：原式=3xy(4z-3xy)；
（2）x2（y-4）+9（4-y）；
解：原式=(x2-9)(y-4)
=(x+3)(x-3)(y-4).
14.两位同学将一个二次三项式ax2+bx+c分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x-1）（x-9），另一位同学因看错了常数项而分解成2（x-2）（x-4），请将原多项式分解因式．
解：∵2(x-1)(x-9)=2(x2-10x+9)=2x2-20x+18，
∴a=2，c=18.
又∵2(x-2)(x-4)=2(x2-6x+8)=2x2-12x+16，
∴b=-12．
∴原多项式为2x2-12x+18.
将2x2-12x+18分解因式，得
2x2-12x+18=2(x2-6x+9)=2(x-3)2．
15.已知将（x3+mx+n）（x2-3x+4）展开的结果不含x3和x2项．（m，n为常数）
（1）求m，n的值；
（2）在（1）的条件下求代数式m2n（m-n）+mn3-m2n2的值．
解:(1)原式=x5-3x4+4x3+mx3-3mx2+4mx+nx2-3nx+4n
=x5-3x4+4x3+mx3-3mx2+nx2+4mx-3nx+ 4n
=x5-3x4+(4+m)x3+(n-3m)x2+4mx-3nx+4n.
∴m+4=0,n-3m=0.
∴m=-4, n=-12;
(2)原式=m2n(m-n)+mn3-m2n2
=m3n-m2n2+mn3- m2n2
=m3n+mn3-2m2n2
=mn(m2-2mn+n2)
=mn(m-n)2,
当m=-4, n=-12时，
原式=4×12×(-4+12)2=3 072.期末复习（四）因式分解
考点1 因式分解的概念
【例1】下列从左到右的变形中，属于因式分解的是 ( )
A．m2-9=(m-3)2
B．m2-m+1=m(m-1)+1
C.(m+1)2=m2+2m+1
D．m2+2m=m(m+2)
方法点拨：判断一个等式是不是因式分解的关键是看这个变形是不是把一个多项式化成几个整式的积的形式，注意还需判断等式是否成立.
【针对训练】
1.若(x-3)(x+5)是x2+px+q因式分解的结果，则p+q的结果是 ( )
A.17 B.13
C.-13 D.-17
考点2 因式分解的方法
类型1提公因式法
【例2】若a为有理数，则整式a(a-1)-a+1的值是 ( )
A．非负数 B．正数
C．负数 D．0
方法点拨：观察到多项式中第一项有因式a和a-1，可考虑凑出公因式以进行因式分解.而第二、三项可提取-1得到因式(a-1),据此解答即可.
类型2 公式法
【例3】把下列各式因式分解.
(1)a2b2-25;
(2)(a+b)2-2(a+b)+1.
方法点拨：平方差公式的特点：可以看作二项式，两项的绝对值都是完全平方的形式，两项的符号相反；完全平方公式的特点：可以看作三项式，三项中有两项是两式的平方和，另一项是这两式乘积的2倍.
【针对训练】
2.把下列各式因式分解.
(1)-a2+9b2；
（2）(a+2)2-2(a+2)；
(3)ab+(a-b)(a-4b).
考点3 因式分解的应用
【例4】如图，两个正方形的边长分别为a和b，若a+b=10，ab=22，则阴影部分的面积是 .
方法点拨：本题中阴影部分的面积可表示为a(a-b)+b2,再将上式因式分解，凑出因式a+b和ab即可.
【针对训练】
3.如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分剪拼成一个长方形，通过用不同方式表示阴影部分的面积，验证了一个因式分解的公式，用已知的符号写出这个公式：a2-b2= ．
一、选择题（每题4分，共32分）
1.下列由左边到右边的变形，是因式分解的是 ( )
A.x2-4x+4=（x-2）2
B.a（x+y）=ax+ay
C.x2-y2+1=（x+y）（x-y）+1
D.x2-4=（x+4）（x-4）
2.将多项式- 5a2bc+3ab2- abc各项提公因式后，另一个因式是 ( )
A.5ac-3b+c B.5bc-3b+c
C.-5ac+3b+c D.-5bc+3 b+c
3.已知多项式4x2-(y-z)2的一个因式为2x-y+z，则另一个因式是 ( )
A.2x-y-z B.2x-y+z
C.2x+y+z D.2x+y-z
4.相邻边长为a，b的矩形，若它的周长为20，面积为24，则a2b+ab2的值为 ( )
A.480 B.240 C.120 D.100
5.若多项式5x2+17x-12可因式分解为（x+a）（bx+c），其中a，b，c均为整数，则a-c的值是 ( )
A.1 B.7 C.11 D.13
6.216-1可以被10到20之间的两个整数整除，这两个整数是 ( )
A.13和15 B.12和16
C.14和17 D.15和17
7.多项式4x+1加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，则加上的单项式可以是 ( )
A.4x B.-4x C.4x4 D.-4x4
8.已知a，b，c是△ABC的三条边的长，且满足条件a2+2b2+c2-2b(a+c) =0.则△ABC是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
二、填空题（每题4分，共16分）
9.如果多项式x2-kx+49可直接用公式法进行因式分解，那么k的值为 ．
10.给出几个多项式:①x2+y2；②-x2 +y2；③x2+2xy+y2；④x4-1.其中能够因式分解的是 (填序号).
11.已知x-2y+2=0，则x2+y2-xy-1的值为 .
12.大长方形中放入5张长为a，宽为b的小长方形，如图所示，其中A，B，C三点在同一条直线上，若阴影部分的面积为34，大长方形的周长为30，则一张小长方形的面积为 .
三、解答题（共32分）
13.因式分解：
（1）12xyz-9x2y2；
（2）x2（y-4）+9（4-y）；
14.两位同学将一个二次三项式ax2+bx+c分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x-1）（x-9），另一位同学因看错了常数项而分解成2（x-2）（x-4），请将原多项式分解因式．
15.已知将（x3+mx+n）（x2-3x+4）展开的结果不含x3和x2项．（m，n为常数）
（1）求m，n的值；
（2）在（1）的条件下求代数式m2n（m-n）+mn3-m2n2的值．
