2024-2025学年北师大版数学八年级下册期末复习 第1章 三角形的证明(答案版+学生版)

文档属性

名称 2024-2025学年北师大版数学八年级下册期末复习 第1章 三角形的证明(答案版+学生版)
格式 zip
文件大小 1.1MB
资源类型 教案
版本资源 北师大版
科目 数学
更新时间 2025-03-07 20:02:38

文档简介

期末复习(一)三角形的证明
考点1 全等三角形的判定与性质
【例1】如图,已知AB∥DC,E是AB的中点,ED=EC.
求证:AD=BC.
方法点拨:在三角形中证明线段或角的相等关系时,可考虑将边角关系转化为全等关系.如本题中,已知有两组边相等,考虑使用“SSS”或“SAS”判定全等,又有平行关系,可转化为角相等,最终选择“SAS”判定即可.
证明:∵ED=EC,
∴∠EDC=∠ECD.
∵AB∥DC,∴∠EDC=∠AED,∠ECD=∠BEC.
∴∠AED=∠BEC.
∵E是AB的中点,∴AE=BE.
在△ADE和△BCE中,
ED=EC,
∠AED=∠BEC,
AE=BE,
∴△ADE≌△BCE(SAS).
∴AD=BC.
【针对训练】
1.如图,∠ACB=90°,AC=BC,AE⊥CE于点E,BD⊥CD于点D,AE=5 cm,BD=2 cm,则DE的长是(C)
A.8 cm
B.4 cm
C.3 cm
D.2 cm
考点2 等腰三角形的判定与性质
【例2】如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E,F分别在AB,BC,AC上,且BE=CF,BD=CE.
(1)求证:△DEF是等腰三角形;
(2)当∠A=60°时,求∠EDF的度数.
方法点拨:判定等腰三角形时,首先要找相等边或相等角,将边角关系转化为全等关系;看到60°,90°等特殊角度时,可考虑构建特殊三角形来解决问题.
(1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.
在△BDE和△CEF中,
BE=CF,
∠B=∠C,
BD=CE,
∴△BDE≌△CEF(SAS).∴DE=EF.
∴△DEF是等腰三角形;
(2)解:在△ABC中,AB=AC,∠A=60 °,
∴∠B=∠C=60 °.
∵△BDE≌△CEF.∴∠CEF=∠BDE.
∵∠DEC=∠B+∠BDE,即∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE,
∴∠DEF=∠B=60 °.
∵DE=EF,∴△DEF是等边三角形.
∴∠EDF=60 °.
【针对训练】
2.如图,点B,D,E,C在同一直线上,A是直线BC外一点,若AB=AC= cm,△ADE为等边三角形,且DE=2 cm,则BD的长为1cm.
考点3 直角三角形的判定与性质
【例3】如图,在△ABC中,BC=13,D是线段AC上一点,连接BD,CD=5,BD=12.
(1)求证:BD⊥AC;
(2)若S△ABC=48,求△ABC的周长.
方法点拨:已知三边长,求证垂直关系时,首先想到用勾股定理逆定理,涉及三角形面积问题时,可考虑构建直角三角形.
(1)证明:∵BC2=169,CD2=25,BD2=144,
在△BCD中,BC2=CD2+BD2,
∴△BCD是直角三角形,∠BDC=90 °,
即BD⊥AC;
(2)解:由(1)知BD⊥AC.
∵S△ABC=AC·BD=48,BD=12,
∴AC=8.
∴AD=AC-CD=3.
在Rt△ABD中,AB==3,
∴△ABC的周长为AB+BC+AC=21+3.
【针对训练】
3.在△ABC中,AB=13 cm,AC=20 cm,BC边上的高为12 cm,则△ABC的面积是126或66cm2.
考点4 线段垂直平分线及角平分线
【例4】如图所示,在△ABC中,∠B=30°,BC的垂直平分线交AB于点E,交BC于点D,CE平分∠ACB.若BE=2,则AE的长为 (B)
A.
B.1
C.
D.2
方法点拨:根据线段垂直平分线的性质可知∠ECD=∠EBD,EB=EC.又根据角的平分线的性质得出∠A=90°,最后由含30°角的直角三角形边的关系即可解答.
【针对训练】
4.如图,在△ABC中,AF平分∠BAC,AC的垂直平分线DE交BC于点E,交AC于点D,∠B=70°,∠FAE=19°,则∠C的度数为24 °.
考点5 尺规作图
【例5】如图,已知△ABC.
(1)作△ABC的角平分线BE,交AC于点E;(尺规作图,保留作图痕迹,不写作图过程)
(2)在线段AB上截取BD,使得BD=DE,求证:DE∥BC.
方法点拨:到角的两边距离相等的点在角的平分线上;到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.尺规作图是依据这两条判定定理进行的.
答图
(1)解:如图,线段BE即为所求;
(2)证明:∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE.
∵DE=DB,
∴∠DBE=∠DEB.
∴∠DEB=∠CBE.
∴DE∥BC.
【针对训练】
5.尺规作图:如图,在∠AOB中,在射线OA,OB上截取OD,OE,使OD=OE;分别以点D和E为圆心,大于DE的长为半径作弧,相交于点C;作射线OC,连接CE,CD.下列结论不一定成立的是 (C)
A.∠OEC=∠ODC
B.∠ECO=∠DCO
C.OE=EC
D.CE=CD
一、选择题(每题4分,共32分)
1.如图,△ABC≌△AEF,AB=AE,∠B=∠E,则结论:①AC=AF;②∠FAB=∠EAB;③EF=BC;④∠EAB=∠FAC,其中正确的 (C)
A.①②
B.①③
C.①③④
D.①②③④
2.如图,已知方格纸中是4个相同的正方形,则∠1与∠2的和为 (C)
A.45° B.60° C.90° D.100°
第2题图 第3题图
3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=40°,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点D,连接CD,则∠ACD的度数是 (A)
A.25° B.35° C.45° D.55°
4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,若CD=4,AC=12,AB=15,则△ABD的面积为 (D)
A.54 B.50 C.48 D.30
第4题图 第5题图
5.如图,在△ABC中,BC的垂直平分线分别交AC,BC于点D,E.若△ABC的周长为30,BE=5,则△ABD的周长为 (C)
A.10 B.15 C.20 D.25
6.如图,在△MNP中,∠P=60°,MN=NP,MQ⊥PN,垂足为Q,延长MN至点G,取NG=NQ,若△MNP的周长为m,MQ=n,则△MGQ的周长是 (C)
A.m+2n B.m+n
C.+2n D.+n
第6题图 第7题图
7.如图,在四边形ABCD中,AD=8,BC=2,∠B=90°,∠A=30°,∠ADC=120°,则CD的长为 (B)
A.3 B.4 C.5 D.6
8.如图,已知P是∠AOB的平分线上的一点,∠AOB=60°,PD⊥OA,M是OP的中点,DM=4 cm,若C是OB上一个动点,则PC的最小值为 (D)
A.1 cm
B.2 cm
C.3 cm
D.4 cm
二、填空题(每题4分,共16分)
9.如图,D为Rt△ABC中斜边BC上的一点,且BD=AB,过点D作BC的垂线,交AC于点E,若AE=12 cm,则DE的长为12cm.
第9题图 第10题图
10.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线交BC,AB于点D,E,连接AD,∠CAD=20°,则∠B的度数是35 °.
11.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AB=12 cm,若点P从点B出发以2 cm/s的速度向点A运动,点Q从点A出发以1 cm/s的速度向点C运动,设点P,Q分别从点B,A同时出发,当△APQ是直角三角形时,运动的时间为3或4.8s.
第11题图 第12题图
12.如图,∠A=70°,∠ABD=∠BCE=30°,且CE平分∠ACB,则∠BEC=130 °.
三、解答题(共32分)
13.(2020 黔东南州期末)如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别在AC,AB边上,且BC=BD,AD=DE=EB,求∠A的度数.
解:∵DE=EB,
设∠BDE=∠ABD=x.
∴∠AED=∠BDE+∠ABD=2x.
∵AD=DE,
∴∠AED=∠A=2x.
∴∠BDC=∠A+∠ABD=3x.
∵BD=BC,
∴∠C=∠BDC=3x.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C=3x.
在△ABC中,3x+3x+2x=180 °,
解得x=22.5 °,
∴∠A=2x=22.5 °×2=45 °.
14.如图,在△ABC中,AD⊥BC,点E,F在AC的垂直平分线上,且BD=DE.
(1)如果∠BAE=40°,求∠B,∠C的度数;
(2)若AE平分∠DAC,BD=2 cm,求S△ABC.
解:(1)∵点E在AC的垂直平分线上,AE=EC.
在Rt△EFA和Rt△EFC中,
AE=CE,
EF=EF,
∴Rt△EFA≌Rt△EFC(HL).
∴∠C=∠EAF.
∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADE=90 °.
在△ABD和△AED中,
BD=ED,
∠ADB=∠ADE,
AD=AD,
∴△ABD≌△AED(SAS).
∴∠B=∠AEB=2∠C=(180 °-40 °)÷2=140 °÷2=70 °.
∴∠C=∠AEB=35 °;
(2)由(1)得∠BAD=∠EAD,∠EAC=∠ECA.
∵AE平分∠DAC,
∴∠BAD=∠EAD=∠EAC=∠ECA.
设∠BAD=x,则90 °-x+3x+x=180 °,
∴x=30 °.∵在Rt△ABD中,∠BAD=30 °,
∴AB=2BD=4 cm.
∵∠BAC=3x=90 °,
∴在Rt△ABC中,∠C=30 °,BC=2AB=8 cm,AC==4(cm).
∴S△ABC=×4×4=8 (cm2).
15.(2021 黔西南州期末)如图,在等边三角形ABC中,P是△ABC的角平分线BD上一点,PE⊥AB于点E,线段BP的垂直平分线交BC于点F,垂足为Q.
(1)若BQ=2,求PE的长;
(2)连接PF,EF,试判断△EFP的形状,并说明理由.
解:(1)∵△ABC是等边三角形,BP是∠ABC的平分线,
∴∠EBP=∠PBC=30 °.
∵PE⊥AB于点E,
∴∠BEP=90 °.
∵QF为线段BP的垂直平分线,
∴BP=2BQ=2×2=4.
∴PE=×4=2;
(2)△EFP是直角三角形.理由如下:
如图,连接PF,EF,
∵△ABC是等边三角形,BD平分∠ABC,
∴∠ABC=60 °,∠ABP=∠CBD=30 °.
∵PE⊥AB,
∴∠PEB=90 °. 答图
∴∠BPE=60 °.
∵FQ垂直平分线段BP,
∴FB=FP.
∴∠FBQ=∠FPQ=30 °.
∴∠EPF=∠EPB+∠BPF=90 °.
∴△EFP是直角三角形.期末复习(一)三角形的证明
考点1 全等三角形的判定与性质
【例1】如图,已知AB∥DC,E是AB的中点,ED=EC.
求证:AD=BC.
方法点拨:在三角形中证明线段或角的相等关系时,可考虑将边角关系转化为全等关系.如本题中,已知有两组边相等,考虑使用“SSS”或“SAS”判定全等,又有平行关系,可转化为角相等,最终选择“SAS”判定即可.
【针对训练】
1.如图,∠ACB=90°,AC=BC,AE⊥CE于点E,BD⊥CD于点D,AE=5 cm,BD=2 cm,则DE的长是( )
A.8 cm
B.4 cm
C.3 cm
D.2 cm
考点2 等腰三角形的判定与性质
【例2】如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E,F分别在AB,BC,AC上,且BE=CF,BD=CE.
(1)求证:△DEF是等腰三角形;
(2)当∠A=60°时,求∠EDF的度数.
方法点拨:判定等腰三角形时,首先要找相等边或相等角,将边角关系转化为全等关系;看到60°,90°等特殊角度时,可考虑构建特殊三角形来解决问题.
【针对训练】
2.如图,点B,D,E,C在同一直线上,A是直线BC外一点,若AB=AC= cm,△ADE为等边三角形,且DE=2 cm,则BD的长为 cm.
考点3 直角三角形的判定与性质
【例3】如图,在△ABC中,BC=13,D是线段AC上一点,连接BD,CD=5,BD=12.
(1)求证:BD⊥AC;
(2)若S△ABC=48,求△ABC的周长.
方法点拨:已知三边长,求证垂直关系时,首先想到用勾股定理逆定理,涉及三角形面积问题时,可考虑构建直角三角形.
【针对训练】
3.在△ABC中,AB=13 cm,AC=20 cm,BC边上的高为12 cm,则△ABC的面积是 cm2.
考点4 线段垂直平分线及角平分线
【例4】如图所示,在△ABC中,∠B=30°,BC的垂直平分线交AB于点E,交BC于点D,CE平分∠ACB.若BE=2,则AE的长为 ( )
A.
B.1
C.
D.2
方法点拨:根据线段垂直平分线的性质可知∠ECD=∠EBD,EB=EC.又根据角的平分线的性质得出∠A=90°,最后由含30°角的直角三角形边的关系即可解答.
【针对训练】
4.如图,在△ABC中,AF平分∠BAC,AC的垂直平分线DE交BC于点E,交AC于点D,∠B=70°,∠FAE=19°,则∠C的度数为 .
考点5 尺规作图
【例5】如图,已知△ABC.
(1)作△ABC的角平分线BE,交AC于点E;(尺规作图,保留作图痕迹,不写作图过程)
(2)在线段AB上截取BD,使得BD=DE,求证:DE∥BC.
方法点拨:到角的两边距离相等的点在角的平分线上;到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.尺规作图是依据这两条判定定理进行的.
【针对训练】
5.尺规作图:如图,在∠AOB中,在射线OA,OB上截取OD,OE,使OD=OE;分别以点D和E为圆心,大于DE的长为半径作弧,相交于点C;作射线OC,连接CE,CD.下列结论不一定成立的是 ( )
A.∠OEC=∠ODC
B.∠ECO=∠DCO
C.OE=EC
D.CE=CD
一、选择题(每题4分,共32分)
1.如图,△ABC≌△AEF,AB=AE,∠B=∠E,则结论:①AC=AF;②∠FAB=∠EAB;③EF=BC;④∠EAB=∠FAC,其中正确的 ( )
A.①②
B.①③
C.①③④
D.①②③④
2.如图,已知方格纸中是4个相同的正方形,则∠1与∠2的和为 ( )
A.45° B.60° C.90° D.100°
第2题图 第3题图
3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=40°,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点D,连接CD,则∠ACD的度数是 ( )
A.25° B.35° C.45° D.55°
4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,若CD=4,AC=12,AB=15,则△ABD的面积为 ( )
A.54 B.50 C.48 D.30
第4题图 第5题图
5.如图,在△ABC中,BC的垂直平分线分别交AC,BC于点D,E.若△ABC的周长为30,BE=5,则△ABD的周长为 ( )
A.10 B.15 C.20 D.25
6.如图,在△MNP中,∠P=60°,MN=NP,MQ⊥PN,垂足为Q,延长MN至点G,取NG=NQ,若△MNP的周长为m,MQ=n,则△MGQ的周长是 ( )
A.m+2n B.m+n
C.+2n D.+n
第6题图 第7题图
7.如图,在四边形ABCD中,AD=8,BC=2,∠B=90°,∠A=30°,∠ADC=120°,则CD的长为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
8.如图,已知P是∠AOB的平分线上的一点,∠AOB=60°,PD⊥OA,M是OP的中点,DM=4 cm,若C是OB上一个动点,则PC的最小值为 ( )
A.1 cm
B.2 cm
C.3 cm
D.4 cm
二、填空题(每题4分,共16分)
9.如图,D为Rt△ABC中斜边BC上的一点,且BD=AB,过点D作BC的垂线,交AC于点E,若AE=12 cm,则DE的长为 cm.
第9题图 第10题图
10.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线交BC,AB于点D,E,连接AD,∠CAD=20°,则∠B的度数是 .
11.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AB=12 cm,若点P从点B出发以2 cm/s的速度向点A运动,点Q从点A出发以1 cm/s的速度向点C运动,设点P,Q分别从点B,A同时出发,当△APQ是直角三角形时,运动的时间为 s.
第11题图 第12题图
12.如图,∠A=70°,∠ABD=∠BCE=30°,且CE平分∠ACB,则∠BEC= .
三、解答题(共32分)
13.(2020 黔东南州期末)如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别在AC,AB边上,且BC=BD,AD=DE=EB,求∠A的度数.
14.如图,在△ABC中,AD⊥BC,点E,F在AC的垂直平分线上,且BD=DE.
(1)如果∠BAE=40°,求∠B,∠C的度数;
(2)若AE平分∠DAC,BD=2 cm,求S△ABC.
15.(2021 黔西南州期末)如图,在等边三角形ABC中,P是△ABC的角平分线BD上一点,PE⊥AB于点E,线段BP的垂直平分线交BC于点F,垂足为Q.
(1)若BQ=2,求PE的长;
(2)连接PF,EF,试判断△EFP的形状,并说明理由.