期末复习（一）三角形的证明
考点1 全等三角形的判定与性质
【例1】如图，已知AB∥DC，E是AB的中点，ED=EC．
求证：AD=BC．
方法点拨：在三角形中证明线段或角的相等关系时，可考虑将边角关系转化为全等关系.如本题中，已知有两组边相等，考虑使用“SSS”或“SAS”判定全等，又有平行关系，可转化为角相等，最终选择“SAS”判定即可.
证明：∵ED=EC，
∴∠EDC=∠ECD.
∵AB∥DC，∴∠EDC=∠AED，∠ECD=∠BEC.
∴∠AED=∠BEC.
∵E是AB的中点，∴AE=BE.
在△ADE和△BCE中，
ED=EC，
∠AED=∠BEC，
AE=BE，
∴△ADE≌△BCE(SAS).
∴AD=BC．
【针对训练】
1.如图，∠ACB=90°，AC=BC，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE=5 cm,BD=2 cm,则DE的长是(C)
A．8 cm
B．4 cm
C．3 cm
D．2 cm
考点2 等腰三角形的判定与性质
【例2】如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且BE=CF，BD=CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A=60°时，求∠EDF的度数．
方法点拨：判定等腰三角形时，首先要找相等边或相等角，将边角关系转化为全等关系；看到60°，90°等特殊角度时，可考虑构建特殊三角形来解决问题.
(1)证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C.
在△BDE和△CEF中，
BE=CF，
∠B=∠C，
BD=CE，
∴△BDE≌△CEF(SAS).∴DE=EF.
∴△DEF是等腰三角形；
(2)解：在△ABC中，AB=AC，∠A=60 °，
∴∠B=∠C=60 °.
∵△BDE≌△CEF.∴∠CEF=∠BDE.
∵∠DEC=∠B+∠BDE，即∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE，
∴∠DEF=∠B=60 °.
∵DE=EF，∴△DEF是等边三角形.
∴∠EDF=60 °．
【针对训练】
2.如图，点B，D，E，C在同一直线上，A是直线BC外一点，若AB=AC= cm,△ADE为等边三角形，且DE=2 cm,则BD的长为1cm.
考点3 直角三角形的判定与性质
【例3】如图，在△ABC中，BC=13，D是线段AC上一点，连接BD，CD=5，BD=12．
（1）求证：BD⊥AC；
（2）若S△ABC=48，求△ABC的周长．
方法点拨：已知三边长，求证垂直关系时，首先想到用勾股定理逆定理，涉及三角形面积问题时，可考虑构建直角三角形.
(1)证明：∵BC2=169，CD2=25，BD2=144，
在△BCD中，BC2=CD2+BD2，
∴△BCD是直角三角形，∠BDC=90 °，
即BD⊥AC；
(2)解：由(1)知BD⊥AC．
∵S△ABC=AC·BD=48，BD=12，
∴AC=8.
∴AD=AC-CD=3．
在Rt△ABD中，AB==3，
∴△ABC的周长为AB+BC+AC=21+3.
【针对训练】
3.在△ABC中，AB=13 cm，AC=20 cm，BC边上的高为12 cm，则△ABC的面积是126或66cm2.
考点4 线段垂直平分线及角平分线
【例4】如图所示，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，CE平分∠ACB.若BE=2，则AE的长为 (B)
A．
B．1
C．
D．2
方法点拨：根据线段垂直平分线的性质可知∠ECD=∠EBD，EB=EC．又根据角的平分线的性质得出∠A=90°，最后由含30°角的直角三角形边的关系即可解答.
【针对训练】
4.如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线DE交BC于点E，交AC于点D，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C的度数为24 °．
考点5 尺规作图
【例5】如图，已知△ABC.
（1）作△ABC的角平分线BE，交AC于点E；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作图过程）
（2）在线段AB上截取BD，使得BD=DE，求证：DE∥BC．
方法点拨：到角的两边距离相等的点在角的平分线上；到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.尺规作图是依据这两条判定定理进行的.
答图
(1)解：如图，线段BE即为所求；
(2)证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE.
∵DE=DB，
∴∠DBE=∠DEB.
∴∠DEB=∠CBE.
∴DE∥BC．
【针对训练】
5.尺规作图：如图，在∠AOB中，在射线OA，OB上截取OD，OE，使OD=OE；分别以点D和E为圆心，大于DE的长为半径作弧，相交于点C；作射线OC，连接CE，CD．下列结论不一定成立的是 (C)
A．∠OEC=∠ODC
B．∠ECO=∠DCO
C．OE=EC
D．CE=CD
一、选择题（每题4分，共32分）
1.如图,△ABC≌△AEF,AB=AE,∠B=∠E,则结论：①AC=AF;②∠FAB=∠EAB;③EF=BC;④∠EAB=∠FAC，其中正确的 (C)
A.①②
B.①③
C.①③④
D.①②③④
2.如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1与∠2的和为 (C)
A．45° B．60° C．90° D．100°
第2题图 第3题图
3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=40°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是 (A)
A．25° B．35° C．45° D．55°
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，若CD=4，AC=12，AB=15，则△ABD的面积为 (D)
A．54 B．50 C．48 D．30
第4题图 第5题图
5.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为30，BE=5，则△ABD的周长为 (C)
A．10 B．15 C．20 D．25
6.如图，在△MNP中，∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至点G，取NG=NQ，若△MNP的周长为m，MQ=n，则△MGQ的周长是 (C)
A．m+2n B．m+n
C．+2n D．+n
第6题图 第7题图
7.如图，在四边形ABCD中，AD=8，BC=2，∠B=90°，∠A=30°，∠ADC=120°，则CD的长为 (B)
A．3 B．4 C．5 D．6
8.如图，已知P是∠AOB的平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4 cm,若C是OB上一个动点，则PC的最小值为 (D)
A．1 cm
B．2 cm
C．3 cm
D．4 cm
二、填空题（每题4分，共16分）
9.如图，D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD＝AB，过点D作BC的垂线，交AC于点E，若AE＝12 cm,则DE的长为12cm.
第9题图 第10题图
10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC，AB于点D，E，连接AD，∠CAD=20°，则∠B的度数是35 °.
11.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12 cm，若点P从点B出发以2 cm/s的速度向点A运动，点Q从点A出发以1 cm/s的速度向点C运动，设点P，Q分别从点B,A同时出发，当△APQ是直角三角形时，运动的时间为3或4.8s．
第11题图 第12题图
12.如图,∠A=70°，∠ABD=∠BCE=30°，且CE平分∠ACB，则∠BEC=130 °.
三、解答题（共32分）
13.（2020 黔东南州期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在AC，AB边上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度数．
解：∵DE=EB,
设∠BDE=∠ABD=x.
∴∠AED=∠BDE+∠ABD=2x.
∵AD=DE，
∴∠AED=∠A=2x.
∴∠BDC=∠A+∠ABD=3x.
∵BD=BC，
∴∠C=∠BDC=3x.
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=3x.
在△ABC中，3x+3x+2x=180 °，
解得x=22.5 °，
∴∠A=2x=22.5 °×2=45 °．
14.如图，在△ABC中，AD⊥BC，点E，F在AC的垂直平分线上，且BD＝DE.
（1）如果∠BAE＝40°，求∠B，∠C的度数；
（2）若AE平分∠DAC，BD＝2 cm，求S△ABC.
解：(1)∵点E在AC的垂直平分线上，AE=EC.
在Rt△EFA和Rt△EFC中，
AE=CE，
EF=EF，
∴Rt△EFA≌Rt△EFC(HL).
∴∠C=∠EAF.
∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADE=90 °.
在△ABD和△AED中，
BD=ED，
∠ADB=∠ADE，
AD=AD，
∴△ABD≌△AED(SAS).
∴∠B=∠AEB=2∠C=(180 °-40 °)÷2=140 °÷2=70 °.
∴∠C=∠AEB=35 °；
(2)由(1)得∠BAD=∠EAD，∠EAC=∠ECA.
∵AE平分∠DAC，
∴∠BAD=∠EAD=∠EAC=∠ECA.
设∠BAD=x，则90 °-x+3x+x=180 °,
∴x=30 °.∵在Rt△ABD中，∠BAD=30 °，
∴AB=2BD=4 cm.
∵∠BAC=3x=90 °,
∴在Rt△ABC中，∠C=30 °，BC=2AB=8 cm,AC==4(cm).
∴S△ABC=×4×4=8 (cm2).
15.（2021 黔西南州期末）如图，在等边三角形ABC中，P是△ABC的角平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为Q．
（1）若BQ=2，求PE的长；
（2）连接PF，EF，试判断△EFP的形状，并说明理由．
解:(1)∵△ABC是等边三角形，BP是∠ABC的平分线，
∴∠EBP=∠PBC=30 °.
∵PE⊥AB于点E,
∴∠BEP=90 °.
∵QF为线段BP的垂直平分线，
∴BP=2BQ=2×2=4.
∴PE=×4=2;
(2)△EFP是直角三角形.理由如下:
如图，连接PF，EF,
∵△ABC是等边三角形,BD平分∠ABC,
∴∠ABC=60 °,∠ABP=∠CBD=30 °.
∵PE⊥AB,
∴∠PEB=90 °. 答图
∴∠BPE=60 °.
∵FQ垂直平分线段BP,
∴FB=FP.
∴∠FBQ=∠FPQ=30 °.
∴∠EPF=∠EPB+∠BPF=90 °.
∴△EFP是直角三角形.期末复习（一）三角形的证明
考点1 全等三角形的判定与性质
【例1】如图，已知AB∥DC，E是AB的中点，ED=EC．
求证：AD=BC．
方法点拨：在三角形中证明线段或角的相等关系时，可考虑将边角关系转化为全等关系.如本题中，已知有两组边相等，考虑使用“SSS”或“SAS”判定全等，又有平行关系，可转化为角相等，最终选择“SAS”判定即可.
【针对训练】
1.如图，∠ACB=90°，AC=BC，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE=5 cm,BD=2 cm,则DE的长是( )
A．8 cm
B．4 cm
C．3 cm
D．2 cm
考点2 等腰三角形的判定与性质
【例2】如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且BE=CF，BD=CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A=60°时，求∠EDF的度数．
方法点拨：判定等腰三角形时，首先要找相等边或相等角，将边角关系转化为全等关系；看到60°，90°等特殊角度时，可考虑构建特殊三角形来解决问题.
【针对训练】
2.如图，点B，D，E，C在同一直线上，A是直线BC外一点，若AB=AC= cm,△ADE为等边三角形，且DE=2 cm,则BD的长为 cm.
考点3 直角三角形的判定与性质
【例3】如图，在△ABC中，BC=13，D是线段AC上一点，连接BD，CD=5，BD=12．
（1）求证：BD⊥AC；
（2）若S△ABC=48，求△ABC的周长．
方法点拨：已知三边长，求证垂直关系时，首先想到用勾股定理逆定理，涉及三角形面积问题时，可考虑构建直角三角形.
【针对训练】
3.在△ABC中，AB=13 cm，AC=20 cm，BC边上的高为12 cm，则△ABC的面积是 cm2.
考点4 线段垂直平分线及角平分线
【例4】如图所示，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，CE平分∠ACB.若BE=2，则AE的长为 ( )
A．
B．1
C．
D．2
方法点拨：根据线段垂直平分线的性质可知∠ECD=∠EBD，EB=EC．又根据角的平分线的性质得出∠A=90°，最后由含30°角的直角三角形边的关系即可解答.
【针对训练】
4.如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线DE交BC于点E，交AC于点D，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C的度数为 ．
考点5 尺规作图
【例5】如图，已知△ABC.
（1）作△ABC的角平分线BE，交AC于点E；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作图过程）
（2）在线段AB上截取BD，使得BD=DE，求证：DE∥BC．
方法点拨：到角的两边距离相等的点在角的平分线上；到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.尺规作图是依据这两条判定定理进行的.
【针对训练】
5.尺规作图：如图，在∠AOB中，在射线OA，OB上截取OD，OE，使OD=OE；分别以点D和E为圆心，大于DE的长为半径作弧，相交于点C；作射线OC，连接CE，CD．下列结论不一定成立的是 ( )
A．∠OEC=∠ODC
B．∠ECO=∠DCO
C．OE=EC
D．CE=CD
一、选择题（每题4分，共32分）
1.如图,△ABC≌△AEF,AB=AE,∠B=∠E,则结论：①AC=AF;②∠FAB=∠EAB;③EF=BC;④∠EAB=∠FAC，其中正确的 ( )
A.①②
B.①③
C.①③④
D.①②③④
2.如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1与∠2的和为 ( )
A．45° B．60° C．90° D．100°
第2题图 第3题图
3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=40°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是 ( )
A．25° B．35° C．45° D．55°
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，若CD=4，AC=12，AB=15，则△ABD的面积为 ( )
A．54 B．50 C．48 D．30
第4题图 第5题图
5.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为30，BE=5，则△ABD的周长为 ( )
A．10 B．15 C．20 D．25
6.如图，在△MNP中，∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至点G，取NG=NQ，若△MNP的周长为m，MQ=n，则△MGQ的周长是 ( )
A．m+2n B．m+n
C．+2n D．+n
第6题图 第7题图
7.如图，在四边形ABCD中，AD=8，BC=2，∠B=90°，∠A=30°，∠ADC=120°，则CD的长为 ( )
A．3 B．4 C．5 D．6
8.如图，已知P是∠AOB的平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4 cm,若C是OB上一个动点，则PC的最小值为 ( )
A．1 cm
B．2 cm
C．3 cm
D．4 cm
二、填空题（每题4分，共16分）
9.如图，D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD＝AB，过点D作BC的垂线，交AC于点E，若AE＝12 cm,则DE的长为 cm.
第9题图 第10题图
10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC，AB于点D，E，连接AD，∠CAD=20°，则∠B的度数是 .
11.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12 cm，若点P从点B出发以2 cm/s的速度向点A运动，点Q从点A出发以1 cm/s的速度向点C运动，设点P，Q分别从点B,A同时出发，当△APQ是直角三角形时，运动的时间为 s．
第11题图 第12题图
12.如图,∠A=70°，∠ABD=∠BCE=30°，且CE平分∠ACB，则∠BEC= .
三、解答题（共32分）
13.（2020 黔东南州期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在AC，AB边上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度数．
14.如图，在△ABC中，AD⊥BC，点E，F在AC的垂直平分线上，且BD＝DE.
（1）如果∠BAE＝40°，求∠B，∠C的度数；
（2）若AE平分∠DAC，BD＝2 cm，求S△ABC.
15.（2021 黔西南州期末）如图，在等边三角形ABC中，P是△ABC的角平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为Q．
（1）若BQ=2，求PE的长；
（2）连接PF，EF，试判断△EFP的形状，并说明理由．
