专题训练（六）分式方程的解法及应用
解分式方程的基本步骤：
(1)去分母：两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程；
(2)解整式方程：去括号、移项、合并同类项、系数化为1；
(3)检验：将整式方程的解代入分母，若分母不为0，则是分式方程的解，否则这个解是增根.
分式方程的实际应用主要考查数学建模思想，重点在于理清等量关系，最后除验根外，还需检验结果是否符合问题的实际意义.
类型1解分式方程
1.解方程．
（1）-=0；
（2）-=1；
（3）-1＝；
(4)+＝；
（5）+3=；
(6)-=1.
类型2 利用增根求参数
2.关于x的分式方程+5=有增根，则m的值为 ( )
A．5 B．4 C．3 D．1
3.若关于x的分式方程-=有增根，则k= .
4.已知关于x的分式方程+=.
（1）若该方程有增根，且增根为x=-2，求m的值；
（2）若方程无解，求m的值.
类型3 分式方程的应用
【1】行程问题
5.小明7:20离开家步行去上学，走到离家500 m的商店时，买学习用品用了5 min.随后小明发现按原来的速度还要用30 min才能到学校.为了在8:00之前赶到学校，小明加快速度，每分钟比原来多走25 m，最后到校的时间是7:55，求小明从商店到学校的平均速度.
【2】销售问题
6.红灯笼象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．某超市在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用1 800元购进甲灯笼与用2 700元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每个进价比甲灯笼每个进价多15元．求甲、乙两种灯笼每个的进价．
【3】工程问题
7.甲、乙两人加工某种机器零件，已知甲比乙每小时少加工6个这种零件，甲加工240个所用的时间与乙加工300个所用的时间相等．
(1)甲、乙两人每小时各加工多少个零件？
(2)现有一批这种零件需要加工，已知由甲单独完成比由乙单独完成多花费2 h，则这批零件共有多少个？专题训练（六）分式方程的解法及应用
解分式方程的基本步骤：
(1)去分母：两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程；
(2)解整式方程：去括号、移项、合并同类项、系数化为1；
(3)检验：将整式方程的解代入分母，若分母不为0，则是分式方程的解，否则这个解是增根.
分式方程的实际应用主要考查数学建模思想，重点在于理清等量关系，最后除验根外，还需检验结果是否符合问题的实际意义.
类型1解分式方程
1.解方程．
（1）-=0；
解：方程两边同乘x(x+1)，得2x-(x+1)=0.
去括号，得x-1=0.
解得x=1.
检验：当x=1时，x(x+1)≠0,
所以原方程的解为x=1；
（2）-=1；
解：方程两边同乘(x+1)(x-1)，得
x(x+1)-2(x-1)=(x+1)(x-1).
整理，得-x+2=-1.
解得x=3.
检验：当x=3时，(x+1)(x-1)≠0,
所以原方程的解为x=3；
（3）-1＝；
解：方程两边同乘x(x+2)，得
(x-2)(x+2)-x(x+2)=2x.
整理，得-4-2x=2x.
解得x=-1.
检验：当x=-1时，x(x+2)≠0,
所以原方程的解为x=-1；
(4)+＝；
解：方程两边同乘(x+3)(x-3)，得
x+2+2(x-3)=-2(x+3).
整理，得5x=-2.
解得x=-.
检验：当x=-时，(x+3)(x-3)≠0,
所以原方程的解为x=-；
（5）+3=；
解：方程两边同乘(x-2)，得
x+3(x-2)=4-x.
整理，得4x-6=4-x.
解得x=2.
检验：当x=2时，x-2=0,
所以x=2是原方程的增根，原方程无解；
(6)-=1.
解：方程两边同乘(x+1)(x-1)，得
(x+1)2-4=(x+1)(x-1).
整理，得x2+2x-3=x2-1.
解得x=1.
检验：当x=1时，(x+2)(x-1)=0,
所以x=1是原方程的增根，原方程无解.
类型2 利用增根求参数
2.关于x的分式方程+5=有增根，则m的值为 (C)
A．5 B．4 C．3 D．1
3.若关于x的分式方程-=有增根，则k=.
4.已知关于x的分式方程+=.
（1）若该方程有增根，且增根为x=-2，求m的值；
（2）若方程无解，求m的值.
解：(1)去分母，得2(x+2)+mx=x-1，
整理，得(m+1)x=-5,
当x=-2时，m=；
(2)∵方程无解，
当x=-2时，m=3 2；
将x=1代入(m+1)x=-5，
解得m=-6；
当m+1=0时，m=-1，
∴满足条件的m的值有或-6或-1.
类型3 分式方程的应用
【1】行程问题
5.小明7:20离开家步行去上学，走到离家500 m的商店时，买学习用品用了5 min.随后小明发现按原来的速度还要用30 min才能到学校.为了在8:00之前赶到学校，小明加快速度，每分钟比原来多走25 m，最后到校的时间是7:55，求小明从商店到学校的平均速度.
解：设小明从家走到商店的平均速度为x m/min，
则他从商店到学校的平均速度为(x+25)m/min，根据题意列方程得
+=35-5,
解得x=50.
经检验,x=50是所列方程的根，且符合题意，
50+25=75(m/min)，
故小明从商店到学校的平均速度为75 m/min．
【2】销售问题
6.红灯笼象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．某超市在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用1 800元购进甲灯笼与用2 700元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每个进价比甲灯笼每个进价多15元．求甲、乙两种灯笼每个的进价．
解：设甲种灯笼的进价为x元/个，则乙种灯笼的进价为(x+15)元/个，
依题意，得=，
解得x=30，
经检验，x=30是原方程的解，且符合题意，
30+15=45(元/个)．
故甲种灯笼的进价为30元/个，乙种灯笼的进价为45元/个．
【3】工程问题
7.甲、乙两人加工某种机器零件，已知甲比乙每小时少加工6个这种零件，甲加工240个所用的时间与乙加工300个所用的时间相等．
(1)甲、乙两人每小时各加工多少个零件？
(2)现有一批这种零件需要加工，已知由甲单独完成比由乙单独完成多花费2 h，则这批零件共有多少个？
解：(1)设甲每小时加工x个零件，则乙每小时加工(x+6)个零件，
依题意，得=，
解得x=24.
经检验，x=24是原方程的解，且符合题意，
24+6=30(个)．
故甲每小时加工24个零件，乙每小时加工30个零件；
(2)设这批零件共有y个，依题意，得-=2，
解得y=240．
故这批零件共有240个．
