专题训练（七）平行四边形判定与性质的综合应用
1.平行四边形的判定方法：
(1)利用边判定平行四边形：两组对边分别平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等.
(2)利用对角线判定平行四边形：对角线互相平分.
2.平行四边形的折叠问题：
折叠前后的图形是全等图形，由此可得出边、角的等量关系，据此解答即可.
3.平行四边形的动点问题：
根据平行四边形的边角关系，将动点的速度、时间问题转化为长度、角度问题，根据几何关系列出方程求解即可.
类型1 平行四边形的判定
1.如图，在?ABCD中，M是边AD上的点，连接MB，MC，N为BC边上的动点，E，F为MB，MC上的两点，连接NE，NF，且∠BNE=∠CMD，∠BEN=∠NFC．求证：四边形MENF为平行四边形．
2.如图，在△AFC中，∠FAC=45°，FE⊥AC于点E，在EF上取一点B，连接AB,BC，使得AB=FC，过点A作AD⊥AF，且AD=BC，连接CD.求证：四边形ABCD是平行四边形．
3.如图，?ABCD对角线AC，BD相交于点O，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC，连接ED，FB．
(1)求证：四边形BEDF为平行四边形；
(2)若BE=3，EF=2，求BD的长．
类型2 平行四边形中的折叠问题
4.如图，在?ABCD中，∠A=120°，将?ABCD的一部分沿EF进行折叠，折痕为EF,使点D落在AB边上的点P处，点C落在点Q处，若∠APE=36°,则∠BFQ的度数为 ( )
A．36° B．32° C．24° D．18°
第4题图 第5题图
5.如图，把?ABCD折叠，使点C与点A重合，此时点D落在点D1处，折痕为EF.若∠BAE=55°，则∠D1AD= .
6.如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠C.
(1)求证：四边形ABCD为平行四边形；
(2)如图2所示，将四边形ABCD沿着AE折叠，使得点D落在AB边上点D′处，连接BE，当AB=2AD时，求∠BEA的度数.
图1 图2
类型3 平行四边形中的动点问题
7.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=6 cm，BC=10 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以1 cm/s的速度由点A向点D运动，点Q以2 cm/s的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t s．
(1)AP= cm，CQ= cm（分别用含有t的式子表示）；
(2)当点P，Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，求t的值；
(3)当四边形PQCD的面积为四边形ABCD面积的一半时，求出t的值．专题训练（七）平行四边形判定与性质的综合应用
1.平行四边形的判定方法：
(1)利用边判定平行四边形：两组对边分别平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等.
(2)利用对角线判定平行四边形：对角线互相平分.
2.平行四边形的折叠问题：
折叠前后的图形是全等图形，由此可得出边、角的等量关系，据此解答即可.
3.平行四边形的动点问题：
根据平行四边形的边角关系，将动点的速度、时间问题转化为长度、角度问题，根据几何关系列出方程求解即可.
类型1 平行四边形的判定
1.如图，在?ABCD中，M是边AD上的点，连接MB，MC，N为BC边上的动点，E，F为MB，MC上的两点，连接NE，NF，且∠BNE=∠CMD，∠BEN=∠NFC．求证：四边形MENF为平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.
∴∠MCB=∠CMD.
∵∠BNE=∠CMD，∴∠BNE=∠MCB.
∴EN∥MC.
∴∠NFC=∠ENF.
∵∠BEN=∠NFC，∴∠BEN=∠ENF.
∴NF∥MB.
∴四边形MENF为平行四边形．
2.如图，在△AFC中，∠FAC=45°，FE⊥AC于点E，在EF上取一点B，连接AB,BC，使得AB=FC，过点A作AD⊥AF，且AD=BC，连接CD.求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵FE⊥AC，
∴∠FEA=∠FEC=90 °．
∵∠FAC=45 °，
∴△AEF是等腰直角三角形．
∴AE=EF，∠AFE=∠FAE=45 °．
在Rt△AEB和Rt△FEC中，
AB=FC,
AE=FE,
∴Rt△AEB≌Rt△FEC(HL).
∴BE=CE．
∴∠CBE=∠BCE=45 °．
∵AD⊥AF，∴∠FAD=90 °．
∴∠CAD=90 °-45 °=45 °．
∴∠BCE=∠CAD．
∴BC∥AD．
又∵BC=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
3.如图，?ABCD对角线AC，BD相交于点O，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC，连接ED，FB．
(1)求证：四边形BEDF为平行四边形；
(2)若BE=3，EF=2，求BD的长．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AB∥CD，AB=CD.
∴∠BAE=∠DCF.
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB=∠CFD=90 °.
在△ABE和△CDF中，
∠BAE=∠DCF，
∠AEB=∠CFD，
AB=CD，
∴△ABE≌△CDF(AAS).
∴AE=CF.∴OE=OF.
又∵OB=OD，
∴四边形BEDF为平行四边形；
(2)解：由(1)，得OE=OF=EF=1，
∵BE⊥AC，∴∠BEO=90 °.
∴OB===.
∴BD=2OB=2.
类型2 平行四边形中的折叠问题
4.如图，在?ABCD中，∠A=120°，将?ABCD的一部分沿EF进行折叠，折痕为EF,使点D落在AB边上的点P处，点C落在点Q处，若∠APE=36°,则∠BFQ的度数为 (C)
A．36° B．32° C．24° D．18°
第4题图 第5题图
5.如图，把?ABCD折叠，使点C与点A重合，此时点D落在点D1处，折痕为EF.若∠BAE=55°，则∠D1AD=55 °.
6.如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠C.
(1)求证：四边形ABCD为平行四边形；
(2)如图2所示，将四边形ABCD沿着AE折叠，使得点D落在AB边上点D′处，连接BE，当AB=2AD时，求∠BEA的度数.
图1 图2
(1)证明：∵AD∥BC，∴∠A+∠B=180 °.
∵∠A=∠C，∴∠C+∠B=180 °.
∴AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形；
(2)解：∵AB∥CD，∴∠DEA=∠EAB.
∵△ADE沿AE折叠得△AD ′E，
∴∠DAE=∠EAB，AD=AD ′，ED=ED ′.
∴∠DAE=∠DEA.
∴AD=ED.
∴AD=ED=AD ′=ED ′.
∵AB=2AD,∴AB=2AD ′.
∴AD ′=BD ′=ED ′.
∴∠EBD ′=∠BED ′.
又∵AC∥AB，∴∠CEB=∠EBD ′=∠BED ′.
∴∠BEA=∠AED ′+∠BED ′=∠DEC=90 °.
类型3 平行四边形中的动点问题
7.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=6 cm，BC=10 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以1 cm/s的速度由点A向点D运动，点Q以2 cm/s的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t s．
(1)AP= cm，CQ= cm（分别用含有t的式子表示）；
(2)当点P，Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，求t的值；
(3)当四边形PQCD的面积为四边形ABCD面积的一半时，求出t的值．
解：(1)∵点P以1 cm/s的速度由点A向点D运动，点Q以2 cm/s的速度由点C向点B运动，设运动时间为t s，
∴AP=t cm，CQ=2t cm，
故答案为t2t；
(2)根据题意，得AP=t cm，CQ=2t cm，则BQ=(10-2t)cm，PD=(6-t)cm,
设t s后四边形ABQP是平行四边形，
∵AD∥BC，
∴当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形.
∴t=10-2t，解得t=.
即t=s时四边形ABQP是平行四边形；
若t s后四边形DCQP是平行四边形，
∵AD∥BC，
∴当PD=CQ时，四边形DCQP是平行四边形.
∴2t=6-t，解得t=2.
即t=2时四边形DCQP是平行四边形；
若t s后四边形BQDP是平行四边形，
则PD=BQ，即6-t=10-2t，解得t=4.
即t=4时四边形BQDP是平行四边形.
综上，当t=或t=2或t=4时，点P，Q与四边形ABCD的任意两个点所形成的四边形是平行四边形；
(3)当四边形PDCQ的面积为四边形ABCD面积的一半时，四边形ABQP和PDCQ的面积相等，
则6-t+2t=t+10-2t，解得t=2.
故当四边形PDCQ的面积为四边形ABCD面积的一半时，t的值为2．
