专题训练（四）因式分解及其应用
因式分解是整式由“和”向“积”的变形，体现了数学中的转化思想.有时分解的条件不一定具备，需要经过恰当的转化.常用方法有提公因式法和公式法.因式分解的一般步骤：
(1)若多项式的各项含有公因式，首先应提取公因式；
(2)若不含公因式，则尝试运用公式法因式分解；
(3)若上述方法不能因式分解，则尝试整理多项式，运用整体思想进行分解因式；
(4)检查每一个因式是否都不能再分解.
类型1 因式分解的常用方法
1.下列多项式能因式分解的是 (C)
A.m2+1 B.m2+n2
C.m2-1 D.m-n2
2.下列等式从左到右的变形，因式分解正确的是 (C)
A.a(x-y)=ax-ay
B.-x2+4=（x+2）（x-2）
C.x2-4xy+4y2=(x-2y)2
D.(x+1)(x+3)=x2+4x+3
3.下列各式中，可以使用平方差公式分解因式的是 (B)
A．-a2-b2 B．-（a+2）2+9
C．p2-（-q2） D．a2-b3
4.分解因式：3ay2-6ay+3a=3a(y-1)2．
5.x2+mx+5分解得(x+5)(x+n),则m=6.
6.因式分解：
(1)4x3y-36xy3；
解：原式=4xy(x2-9y2)
=4xy(x-3y)(x+3y);
(2)9x2+6x+1;
解：原式=(3x+1)2;
(3)x4-2x2+1;
解：原式=(x2-1)2
=(x+1)2(x-1)2；
(4)9a2(x-y)+4b2(y-x).
解：原式=(x-y)(9a2-4b2)
=(x-y)(3a-2b)(3a+2b).
类型2 因式分解的应用
7.对任意整数n,多项式(n+7)2-n2能够被 (B)
A.2整除 B.7整除
C.n整除 D.(n+7)整除
8.计算：13.32-11.72=40．
9.若实数x满足:x2-x-1=0，则x3-2x2+2 023=2 022.
10.已知a2+b2-a+4b+4=0，求a,b的值.
解：a2+b2-a+4b+4=0,
a2-a++b2+4b+4=0,
(a-)2+(b+2)2=0,
∴a=,b=-2.
11.利用因式分解计算：
（1）9002-894×906；
解:9002-894×906
=9002-(900-6)(900+6)
=9002-(9002-62)
=9002-9002+62
=36;
（2）2.68×15.7-31.4+15.7×1.32．
解:2.68×15.7-31.4+15.7×1.32
=15.7×(2.68+1.32)-31.4
=15.7×4-15.7×2
=15.7×2
=31.4．
12.阅读材料：
已知（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，逆用该式的计算过程，即可得到“十字相乘法”的因式分解公式：x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）．
示例：分解因式：x2+5x+6=x2+（2+3）x+2×3=（x+2）（x+3）．
请用上述方法分解因式：
（1）x2-3x-4；
（2）x2-7x+12．
解：(1)x2-3x-4
=x2+(1-4)x+1×(-4)
=(x+1)(x-4)；
(2)x2-7x+12
=x2+(-3-4)x+(-3)×(-4)
=(x-3)(x-4)．
类型3 因式分解中的转化思想与整体思想
13.若(a+b)2=25，a2+b2=13，则ab的值为 (A)
A.6 B.-6 C.12 D.-12
14.若x-y-3=0，则x2-y2-6y-2的值为7.
15.若a-b＝2，a-c＝，求：
(1)(b-c)2+3(b-c)+3的值；
(2)2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac的值．
解:(1)∵a-b=2，a-c=，
∴b-c=a-c-a+b=-2=-.
原式=(b-c)2+2·(b-c)+()2+
=(b-c+)2+
=；
(2) 2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac
=a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2
=(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2，
由(1)得b-c=-，
∴原式=(2)2+(-)2+()2=.专题训练（四）因式分解及其应用
因式分解是整式由“和”向“积”的变形，体现了数学中的转化思想.有时分解的条件不一定具备，需要经过恰当的转化.常用方法有提公因式法和公式法.因式分解的一般步骤：
(1)若多项式的各项含有公因式，首先应提取公因式；
(2)若不含公因式，则尝试运用公式法因式分解；
(3)若上述方法不能因式分解，则尝试整理多项式，运用整体思想进行分解因式；
(4)检查每一个因式是否都不能再分解.
类型1 因式分解的常用方法
1.下列多项式能因式分解的是 ( )
A.m2+1 B.m2+n2
C.m2-1 D.m-n2
2.下列等式从左到右的变形，因式分解正确的是 ( )
A.a(x-y)=ax-ay
B.-x2+4=（x+2）（x-2）
C.x2-4xy+4y2=(x-2y)2
D.(x+1)(x+3)=x2+4x+3
3.下列各式中，可以使用平方差公式分解因式的是 ( )
A．-a2-b2 B．-（a+2）2+9
C．p2-（-q2） D．a2-b3
4.分解因式：3ay2-6ay+3a= ．
5.x2+mx+5分解得(x+5)(x+n),则m= .
6.因式分解：
(1)4x3y-36xy3；
(2)9x2+6x+1;
(3)x4-2x2+1;
(4)9a2(x-y)+4b2(y-x).
类型2 因式分解的应用
7.对任意整数n,多项式(n+7)2-n2能够被 ( )
A.2整除 B.7整除
C.n整除 D.(n+7)整除
8.计算：13.32-11.72= ．
9.若实数x满足:x2-x-1=0，则x3-2x2+2 023= .
10.已知a2+b2-a+4b+4=0，求a,b的值.
11.利用因式分解计算：
（1）9002-894×906；
（2）2.68×15.7-31.4+15.7×1.32．
12.阅读材料：
已知（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，逆用该式的计算过程，即可得到“十字相乘法”的因式分解公式：x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）．
示例：分解因式：x2+5x+6=x2+（2+3）x+2×3=（x+2）（x+3）．
请用上述方法分解因式：
（1）x2-3x-4；
（2）x2-7x+12．
类型3 因式分解中的转化思想与整体思想
13.若(a+b)2=25，a2+b2=13，则ab的值为 ( )
A.6 B.-6 C.12 D.-12
14.若x-y-3=0，则x2-y2-6y-2的值为 .
15.若a-b＝2，a-c＝，求：
(1)(b-c)2+3(b-c)+3的值；
(2)2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac的值．
