3 线段的垂直平分线
第2课时 三角形三边的垂直平分线及作图
到三角形三个顶点距离相等的点，是三角形三条边的 的交点，即三角形三条边的垂直平分线相交于 .
自测 直角三角形三边的垂直平分线的交点位于斜边的 .
知识点1 三角形三边的垂直平分线
1.平面内到不在同一条直线的三个点A，B，C的距离相等的点有 ( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.如图，MN为△ABC的边BC上的垂直平分线，若AB，AC两边的垂直平分线相交于点O，当点A的位置改变时，点O的位置在 ( )
A.MN上
B.MN的左侧
C.MN的右侧
D.MN的左侧或右侧
3.如图，在锐角三角形ABC中，∠BAC=60°，边AC，AB的垂直平分线相交于点O，分别交AC，AB于点D，E，则∠BOC等于 ( )
A.100°
B.110°
C.120°
D.130°
知识点2 尺规作图
4.如图所示的尺规作图是作 ( )
A.线段的垂直平分线
B.一个半径为定值的圆
C.一条直线的平行线
D.一个角等于已知角
5.如图，已知一条线段长为a，求作等腰直角三角形ABC，使它的斜边长为a.(不要求写作法，保留作图痕迹)
［易错提醒：图形形状未确定时，思考不全面而导致漏解］
6.在△ABC中，DE，MN分别垂直平分AB和AC，分别交AB，AC于点E，N，交BC于点D，M，若DM=2，BC=5，则AD+AM= ．
A基础过关
7.在△ABC中，AB=AC，有一点P到A，B，C三点的距离相等，则点P一定在 ( )
A.AB边的高上 B.AC边的高上
C.BC边的中线上 D.AB边的中线上
8.在△ABC中，AB＜AC＜BC，如果要用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使得PA+PB=BC，那么下列符合要求的作图痕迹是 ( )
A B
C D
9.如图，为丰富A，B，C三个小区的文化生活，现准备新建一个影剧院，使它到三个小区的距离相等，试确定影剧院M的位置(无需写作法，保留作图痕迹).
B能力提升
10.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，DB=10，则AC的长为 ( )
A.10
B.6
C.5
D.2.5
11.如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB=7，AC=12，BC=6，则△ABD的周长为 ( )
A．25 B．22 C．19 D．18
第11题图 第12题图
12.如图，在锐角三角形ABC中，直线l为BC的垂直平分线，直线m为∠ABC的平分线，l与m相交于点P．若∠BAC=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为 ．
13.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN，与AC，BC分别交于点D，E，连接AE.
（1）∠ADE= ；
(2)AE （填“＞”“＜”或“=”） CE；
（3）当 AB=3，AC=5 时，△ABE的周长是多少？
C素养升华
14.如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线相交于点D，垂足分别为E，F．∠BAC=100°，∠EDF=80°，∠ACB=30°，求∠ABD的度数．3 线段的垂直平分线
第2课时 三角形三边的垂直平分线及作图
到三角形三个顶点距离相等的点，是三角形三条边的垂直平分线的交点，即三角形三条边的垂直平分线相交于一点.
自测 直角三角形三边的垂直平分线的交点位于斜边的中点.
知识点1 三角形三边的垂直平分线
1.平面内到不在同一条直线的三个点A，B，C的距离相等的点有 (B)
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.如图，MN为△ABC的边BC上的垂直平分线，若AB，AC两边的垂直平分线相交于点O，当点A的位置改变时，点O的位置在 (A)
A.MN上
B.MN的左侧
C.MN的右侧
D.MN的左侧或右侧
3.如图，在锐角三角形ABC中，∠BAC=60°，边AC，AB的垂直平分线相交于点O，分别交AC，AB于点D，E，则∠BOC等于 (C)
A.100°
B.110°
C.120°
D.130°
知识点2 尺规作图
4.如图所示的尺规作图是作 (A)
A.线段的垂直平分线
B.一个半径为定值的圆
C.一条直线的平行线
D.一个角等于已知角
5.如图，已知一条线段长为a，求作等腰直角三角形ABC，使它的斜边长为a.(不要求写作法，保留作图痕迹)
解：如图所示，△ABC即为所求作的三角形.
［易错提醒：图形形状未确定时，思考不全面而导致漏解］
6.在△ABC中，DE，MN分别垂直平分AB和AC，分别交AB，AC于点E，N，交BC于点D，M，若DM=2，BC=5，则AD+AM=7或3．
A基础过关
7.在△ABC中，AB=AC，有一点P到A，B，C三点的距离相等，则点P一定在 (C)
A.AB边的高上 B.AC边的高上
C.BC边的中线上 D.AB边的中线上
8.在△ABC中，AB＜AC＜BC，如果要用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使得PA+PB=BC，那么下列符合要求的作图痕迹是 (D)
A B
C D
9.如图，为丰富A，B，C三个小区的文化生活，现准备新建一个影剧院，使它到三个小区的距离相等，试确定影剧院M的位置(无需写作法，保留作图痕迹).
答图
解：如图，连接AC，BC，分别作AC，BC的垂直平分线，相交于点M，则点M即满足条件.
B能力提升
10.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，DB=10，则AC的长为 (C)
A.10
B.6
C.5
D.2.5
11.如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB=7，AC=12，BC=6，则△ABD的周长为 (C)
A．25 B．22 C．19 D．18
第11题图 第12题图
12.如图，在锐角三角形ABC中，直线l为BC的垂直平分线，直线m为∠ABC的平分线，l与m相交于点P．若∠BAC=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为32 °．
13.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN，与AC，BC分别交于点D，E，连接AE.
（1）∠ADE= ；
(2)AE （填“＞”“＜”或“=”） CE；
（3）当 AB=3，AC=5 时，△ABE的周长是多少？
解：(1)由作法得DE垂直平分AC， 则∠ADE=90 °； 故答案为90 °；
(2)由作法得DE垂直平分AC， 则AE=CE； 故答案为=；
(3)∵Rt△ABC中，∠B=90 °，
∴BC==4.
∴△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=3+4=7．
C素养升华
14.如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线相交于点D，垂足分别为E，F．∠BAC=100°，∠EDF=80°，∠ACB=30°，求∠ABD的度数．
解：如图，连接AD，
∵边AB，AC的垂直平分线相交于点D，
∴BD=AD=CD．
∴∠DBA=∠DAB，∠DCA=∠DAC,∠DBC=∠DCB．
设∠DBC=∠DCB=x °，
∵∠BAC=100 °，∠ACB=30 °，
∴∠ABC=50 °．
∵∠ADE=∠BDE，∠ADF=∠CDF，
∴∠BDC=∠ADE+∠BDE+∠ADF+∠CDF=2∠EDF=160 °.
∴在四边形ABCD中，x+50+30+x+160+100=360．
解得x=10，即∠DBC=10 °．
∴∠ABD=10 °+50 °=60 °．
答图3 线段的垂直平分线
第1课时 线段的垂直平分线
1.定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
自测1 若点P在线段AB的垂直平分线上，PA=5，则PB=5.
2.定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
自测2 如图，已知PA=PB，AQ=BQ，PQ交AB于点C，若CA=6，PC=5，则S△PAB=30.
知识点1 线段的垂直平分线的性质
1.如图，AO=OC，AC⊥BD，AD=10，BC=4，则四边形ABCD的周长为 (C)
A.30
B.16
C.28
D.14
2.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC，AB于点D，E，如果AC=5 cm，BC=4 cm，那么△DBC的周长是 (D)
A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm
第2题图 第3题图
3.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，则∠BAE的度数为40 °.
知识点2 线段的垂直平分线的判定
4.下列条件中，不能判定直线CD是线段AB（点C,D不在线段AB上）的垂直平分线的是 (C)
A.CA=CB,DA=DB
B.CA=CB,CD⊥AB
C.CA=DA,CB=DB
D.CA=CB,CD平分AB
5.如图，点D在△ABC的边BC上，BC=BD+AD，则点D在线段 (B)
A.AB的垂直平分线上
B.AC的垂直平分线上
C.BC的垂直平分线上
D.不能确定
［易错提醒：当位置关系不确定时，思考不全面而漏解］
6.在△ABC中，AB=AC，若AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所成的锐角为50°，则∠B=70 °或20 °．
A基础过关
7.如图，直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且PA=PB，则下列结论：①AO=BO；②PO⊥AB；③∠APO=∠BPO；④点P在线段AB的垂直平分线上．其中正确的有 (A)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第7题图 第8题图
8.如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB.若BE=2，则AE的长为1.
9.如图，在△ABC中，DE，FG分别垂直平分AB，AC，若△AEG的周长为8 cm，则BC=8cm.
10.如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE.求证：OE垂直平分BD.
证明：在△AOB和△COD中，
∠A=∠C，
OA=OC，
∠AOB=∠COD，
∴△AOB≌△COD(ASA).
∴OB=OD.
∴点O在线段BD的垂直平分线上.
∵BE=DE，
∴点E在线段BD的垂直平分线上.
∴OE垂直平分BD.
B能力提升
11.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为 (C)
A.18 B.12 C.6 D.4
第11题图 第12题图
12.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，若AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，则CD的长为.
13.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点E，且AC=15 cm，△BCE的周长等于25 cm.
(1)求BC的长；
(2)若∠A=36°，AB=AC.求证：BC=BE.
(1)解：∵AB的垂直平分线MN交AB于点D，
∴AE=BE.
∴△BCE的周长为BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=25 cm.
又∵AC=15 cm,
∴BC=25-15=10(cm)；
(2)证明：∵∠A=36 °，AB=AC，
∴∠C=(180 °-∠A)=(180 °-36 °)=72 °.
∵AB的垂直平分线MN交AB于点D，
∴AE=BE.∴∠ABE=∠A=36 °.
∵∠BEC=∠A+∠ABE=36 °+36 °=72 °，
∴∠BEC=∠C.∴BC=BE.
C素养升华
14.在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E，MN垂直平分AC，分别交AC，BC于点M，N，连接AE，AN．
（1）如图1，若∠BAC=100°，求∠EAN的度数；
（2）如图2，若∠BAC=70°，求∠EAN的度数；
（3）若∠BAC=α（α≠90°），请直接写出∠EAN的度数．（用含α的代数式表示）
图1 图2
解：(1)∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE. ∴∠BAE=∠B. 同理可得∠CAN=∠C.
∴∠EAN=∠BAC-∠BAE-∠CAN=∠BAC-(∠B+∠C).
在△ABC中，∠B+∠C=180 °-∠BAC=80 °，
∴∠EAN=∠BAC-(∠BAE+∠CAN)=100 °-80 °=20 °；
(2)∵DE垂直平分AB， ∴AE=BE.
∴∠BAE=∠B.
同理可得∠CAN=∠C.
∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=(∠B+∠C)-∠BAC.
在△ABC中，∠B+∠C=180 °-∠BAC=110 °，
∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=110 °-70 °=40 °；
(3)当0 °<α<90 °时，∠EAN=180 °-2α；
当180 °>α>90 °时，∠EAN=2α-180 °．
∴∠EAN=|180 °-2α|(α≠90 °).3 线段的垂直平分线
第1课时 线段的垂直平分线
1.定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 .
自测1 若点P在线段AB的垂直平分线上，PA=5，则PB= .
2.定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 上.
自测2 如图，已知PA=PB，AQ=BQ，PQ交AB于点C，若CA=6，PC=5，则S△PAB= .
知识点1 线段的垂直平分线的性质
1.如图，AO=OC，AC⊥BD，AD=10，BC=4，则四边形ABCD的周长为 ( )
A.30
B.16
C.28
D.14
2.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC，AB于点D，E，如果AC=5 cm，BC=4 cm，那么△DBC的周长是 ( )
A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm
第2题图 第3题图
3.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，则∠BAE的度数为 .
知识点2 线段的垂直平分线的判定
4.下列条件中，不能判定直线CD是线段AB（点C,D不在线段AB上）的垂直平分线的是 ( )
A.CA=CB,DA=DB
B.CA=CB,CD⊥AB
C.CA=DA,CB=DB
D.CA=CB,CD平分AB
5.如图，点D在△ABC的边BC上，BC=BD+AD，则点D在线段 ( )
A.AB的垂直平分线上
B.AC的垂直平分线上
C.BC的垂直平分线上
D.不能确定
［易错提醒：当位置关系不确定时，思考不全面而漏解］
6.在△ABC中，AB=AC，若AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所成的锐角为50°，则∠B= ．
A基础过关
7.如图，直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且PA=PB，则下列结论：①AO=BO；②PO⊥AB；③∠APO=∠BPO；④点P在线段AB的垂直平分线上．其中正确的有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第7题图 第8题图
8.如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB.若BE=2，则AE的长为 .
9.如图，在△ABC中，DE，FG分别垂直平分AB，AC，若△AEG的周长为8 cm，则BC= cm.
10.如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE.求证：OE垂直平分BD.
B能力提升
11.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为 ( )
A.18 B.12 C.6 D.4
第11题图 第12题图
12.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，若AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，则CD的长为.
13.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点E，且AC=15 cm，△BCE的周长等于25 cm.
(1)求BC的长；
(2)若∠A=36°，AB=AC.求证：BC=BE.
C素养升华
14.在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E，MN垂直平分AC，分别交AC，BC于点M，N，连接AE，AN．
（1）如图1，若∠BAC=100°，求∠EAN的度数；
（2）如图2，若∠BAC=70°，求∠EAN的度数；
（3）若∠BAC=α（α≠90°），请直接写出∠EAN的度数．（用含α的代数式表示）
图1 图2
