1 等腰三角形
第2课时 等边三角形的性质
1.等腰三角形两底角的平分线相等；两腰上的高相等；两腰上的中线相等.
自测1 如图，在△ABC中，AB=AC，BD，CE是△ABC的角平分线.若BD=5 cm，则CE=5cm.
2.等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60 °.
自测2 等边三角形的两底角平分线所夹钝角的度数是 (D)
A.30° B.45° C.60° D.120°
知识点1 等腰三角形中的相等线段
1.如图，在△ABC中，CA=CB，AD⊥BC，BE⊥AC，AB=5，AD=4，则AE的长为 (B)
A.2
B.3
C.4
D.5
2.如图，在△ABC中，AB=AC，中线BD,CE相交于点O.求证：∠ECB=∠DBC.
证明：∵BD，CE是△ABC腰上的两条中线，且AB=AC，
∴BD=CE，CD=AC，BE=AB.
∴CD=BE.
在△EBC和△DCB中，
BE=CD,
BD=CE，
BC=CB，
∴△EBC≌△DCB(SSS).
∴∠ECB=∠DBC.
知识点2 等边三角形的相关性质
3.如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE=AD，则∠DEC的度数为 (B)
A.100° B.105° C.110° D.115°
第3题图 第4题图
4.如图，已知AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠DCE=40°，则∠EAB等于 (C)
A．40° B．30° C．20° D．10°
［易错提醒：对三角形高线的位置考虑不全面而致错］
5.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，这个三角形顶角的度数为50 °或130 °.
A基础过关
6.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB．若CD=5,则CE的长为(C)
A．4
B．4.5
C．5
D．5.5
7.如图，等边三角形ABC的角平分线AD，BE相交于点O，则∠BOD=60 °．
第7题图 第8题图
8.如图，△ABC是等边三角形，若BC=BD，∠BAD=20°，则∠BCD的度数为50 °.
9.如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到点E，使得CE=CD.
求证：BD=DE.
证明：∵△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABC=30 °，∠ACB=60 °.
∵CD=CE，∴∠CDE=∠E.
∵∠ACB=∠CDE+∠E,
∴∠E=1∠ACB=30 °.
∴∠E=∠DBC.
在△DBE和△DEB中，
∠BDE=∠EDB，
∠DBE=∠DEB，
BE=EB，
∴△DBE≌△DEB(AAS).∴BD=DE.
B能力提升
10.如图，等腰三角形ABC两腰上的高BD，CE相交于点O，且∠BOC=100°，则∠A的度数为 (B)
A.50°
B.80°
C.100°
D.130°
11.如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内一点，且PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为24，则PD+PE+PF的值为 (A)
A．8 B．9 C．12 D．15
第11题图 第12题图
12.一个等边三角形，一个直角三角形以及一个等腰三角形如图放置，等腰三角形的底角∠3=80°，则∠1+∠2=130 °．
13.如图，在等边三角形ABC中，D是BC上一点，以AD为腰作等腰三角形ADE，使AD=AE，∠DAE=80°，若∠BAD=15°，求∠EDC的度数.
解：∵△ADE是等腰三角形，AD=AE，∠DAE=80 °，
∴∠ADE=(180 °-∠DAE)=×(180 °-80 °)=50 °.
∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60 °.
∴∠ADC=∠B+∠BAD=60 °+15 °=75 °.
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC,
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=75 °-50 °=25 °.
C素养升华
14.如图，△ABC是等边三角形，D是边BC上（除B，C外）的任意一点，∠ADE＝60°，且DE交△ABC外角∠ACF的平分线CE于点E.求证：
（1）∠1＝∠2；
（2）AD＝DE.
证明：(1)∵△ABC是等边三角形，∠ADE=60 °，
∴∠ADE=∠B=60 °.
又∵∠ADC=∠2+∠ADE=∠1+∠B，
∴∠1=∠2；
(2)如图，在AB上取一点M，使BM=BD，连接MD.
∵∠B=60 °,BM=BD,
∴∠BMD==60 °.∴∠AMD=120 °.
∵CE是△ABC外角∠ACF的平分线，△ABC是等边三角形，
∴∠ECF=60 °.∴∠DCE=120 °.
∴∠AMD=∠DCE. 答图
∵BA-BM=BC-BD，∴MA=CD.
在△AMD和△DCE中，∠1=∠2,AM=DC，∠AMD=∠DCE，
∴△AMD≌△DCE(ASA).
∴AD=DE.1 等腰三角形
第4课时 等边三角形的判定
1.等边三角形的判定定理：(1)三个角都相等的三角形是等边三角形；(2)有一个角等于60 °的等腰三角形是等边三角形.
自测1 在△ABC中，∠A=60°，要使△ABC是等边三角形，需要添加的一个条件是AB=BC(答案不唯一).
2.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
自测2 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，则BC=2.
知识点1 等边三角形的判定
1.在△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，则△ABC的周长为 (A)
A.9 B.8 C.6 D.12
2.等腰三角形在补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是 (C)
A.有一个内角是60°
B.有一个外角是120°
C.有两个角相等
D.腰与底边相等
3.已知线段OA=a，以点O为端点作射线ON，使得∠AON=60°，P是射线ON上一动点，当OP=a时，△AOP为等边三角形.
知识点2 含30°角的直角三角形的性质
4.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6，则AC的长为 (C)
A.6 B.6 C.6 D.12
第4题图 第5题图
5.如图，AC=BC=10 cm，∠B=15°，AD⊥BC交BC的延长线于点D，则AD的长为 (C)
A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm
6.如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AD⊥BA交BC于点D.若CD=2 cm，则BD的长为4cm.
第6题图 第7题图
7.如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=5 cm.以点A为圆心，AB长为半径画弧，交BC边的延长线于点D，则AD长为10cm.
［易错提醒：未对30°角所对的边分类讨论而漏解］
8.在△ABC中，AB=AC=6 cm,BD为AC边上的高，∠ABD=30°，则线段CD的长为3或9cm.
A基础过关
9.如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB=7，BD=4，则△ADE的周长为 (A)
A．9 B．8 C．7 D．6
10.已知a,b，c是三角形的三边长，且满足(a-b)2+b-c=0，则这个三角形一定是 (B)
A.直角三角形
B.等边三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
11.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=10，点D在BA的延长线上，CA=CD，若BD=6，则AD的长为
(B)
A．1 B．2 C．3 D．4
12.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠B=2∠C.求证：AB+BD=CD．
证明：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90 °，∠B=2∠C，
∴∠B=60 °，∠C=30 °．
∴BC=2AB．
∵AD⊥BC，∴∠BAD=30 °．
∴AB=2BD．∴BC=4BD.
∴CD=3BD．∴AB+BD=CD．
B能力提升
13．如图，E是等边三角形ABC中AC边上的点，若∠1=∠2，BE=CD，则△ADE的形状是 (B)
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．不等边三角形
D．不能确定形状
14．如图，在等边三角形ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE=2，则AB的长为 (A)
A.8 B.4 C.6 D.7.5
第14题图 第15题图
15.如图，在Rt△ABC中，BC⊥AC，∠A=30°，CB′⊥AB，B′C′⊥AC，若AB=2，则B′C′=.
16.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数；
(2)若CD=2， 求DF的长.
解：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠A=∠ACB=60 °.
∵DE∥AB,
∴∠EDC=∠B=60 °，∠DEC=∠A=60 °.
∵EF⊥DE，∴∠DEF=90 °.
∴∠F=180 °-∠DEF-∠EDC=180 °-90 °-60 °=30 °；
(2)∵∠DEC=∠EDC=∠ACB=60 °，
∴△DEC是等边三角形.
∴DE=DC=2.
∵∠F=30 °，∠DEF=90 °，
∴DF=2DE=4.
C素养升华
17.如图，在等边三角形ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，D,E是BC上的两点，且OD∥AB，OE∥AC.
（1）试判定△ODE的形状，并说明理由；
（2）线段BD，DE，EC之间有什么关系？写出你的判断理由.
解：(1)△ODE是等边三角形.理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60 °.
∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ODE=∠ABC=60 °，∠OED=∠ACB=60 °.
∴△ODE是等边三角形；
(2)BD=DE=EC.理由如下：
∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO=∠OBD.
∵OD∥AB，∴∠BOD=∠ABO.
∴∠DBO=∠DOB.
∴BD=OD.
同理，EC=EO.
∵DE=OD=OE，∴BD=DE=EC.1 等腰三角形
第1课时 三角形的全等和等腰三角形的性质
1.两角分别相等且其中一组等角的对边 的两个三角形全等，记为“ ”，全等三角形的性质：全等三角形的对应边 、对应角 .
自测1 在△ABC和△A′B′C′中，已知AC=A′C′=5 cm，∠A=∠A′=80°，∠B=60°.再添加一个条件： 即可用“AAS”判定△ABC≌△A′B′C′，此时∠C′= .
2.等腰三角形的两底角相等，简单叙述为“等边对 ”.
自测2 在△ABC中，AB=AC，∠B=70°，则∠A= .
3.等腰三角形性质的推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的 互相重合，简称为“ ”.
自测3 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，D是BC的中点，则∠DAC的度数是 .
知识点1 全等三角形的判定和性质
1.如图，已知△ABC≌△CDA，AB=4，BC=5，AC=6，则AD的长为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.不能确定
第1题图 第2题图
2.如图，点F，C在线段BE上，且∠1=∠2，BC=EF，若要根据“AAS”使△ABC≌△DEF，还需要补充的条件是 .
知识点2 等边对等角
3.若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为 ( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
4.在△ABC中，若AB=AC，∠A的度数比∠B的2倍多20°，则∠C的度数是 ( )
A．30° B．40° C．50° D．60°
5.在△ABC中，已知AB=AC，∠C=65°，则∠A= .
知识点3 等腰三角形三线合一的性质
6.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为 ( )
A.35°
B.45°
C.55°
D.60°
［易错提醒：等腰三角形中顶角、底角不明确时，注意分类讨论避免漏解］
7.等腰三角形的一个外角是140°，则其底角的度数是 .
A基础过关
8.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，下列结论中不正确的是 ( )
A.∠B=∠C
B.AD⊥BC
C.AD平分∠BAC
D.AB=2BD
9.如图，已知△ABC≌△ADE，若AB=7，AC=3，则BE的值为 .
第9题图 第10题图
10.如图，AC∥BD，AB与CD相交于点O，若AO=AC，∠A=48°，∠D= .
11.如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC的中点，∠BAC=110°，求∠B和∠BAD的度数.
B能力提升
12.如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为 )
A．44° B．66° C．88° D．92°
第12题图 第13题图
13.如图，△ABC是等腰三角形，AD是底边BC上的高，若AB=5 cm，BD=3 cm，则△ABC的周长是 cm.
14.如图，AB=AC=AD，且AD∥BC，∠BAC=28°，求∠D的度数．
C素养升华
15.如图，在△ABC中，AB＝AC.
（1）如图1,如果∠BAD＝30°，AD是BC上的高，AD＝AE，求∠EDC的度数；
（2）如图2,如果∠BAD＝40°，AD是BC上的高，AD＝AE，求∠EDC的度数；
（3）思考：通过以上探究，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示.
图1 图21 等腰三角形
第1课时 三角形的全等和等腰三角形的性质
1.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，记为“AAS”，全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等.
自测1 在△ABC和△A′B′C′中，已知AC=A′C′=5 cm，∠A=∠A′=80°，∠B=60°.再添加一个条件：∠B ′=60 °即可用“AAS”判定△ABC≌△A′B′C′，此时∠C′=40 °.
2.等腰三角形的两底角相等，简单叙述为“等边对等角”.
自测2 在△ABC中，AB=AC，∠B=70°，则∠A=40 °.
3.等腰三角形性质的推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合，简称为“三线合一”.
自测3 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，D是BC的中点，则∠DAC的度数是40 °.
知识点1 全等三角形的判定和性质
1.如图，已知△ABC≌△CDA，AB=4，BC=5，AC=6，则AD的长为 (B)
A.4 B.5 C.6 D.不能确定
第1题图 第2题图
2.如图，点F，C在线段BE上，且∠1=∠2，BC=EF，若要根据“AAS”使△ABC≌△DEF，还需要补充的条件是∠A=∠D.
知识点2 等边对等角
3.若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为 (D)
A.40° B.50° C.60° D.70°
4.在△ABC中，若AB=AC，∠A的度数比∠B的2倍多20°，则∠C的度数是 (B)
A．30° B．40° C．50° D．60°
5.在△ABC中，已知AB=AC，∠C=65°，则∠A=50 °.
知识点3 等腰三角形三线合一的性质
6.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为 (C)
A.35°
B.45°
C.55°
D.60°
［易错提醒：等腰三角形中顶角、底角不明确时，注意分类讨论避免漏解］
7.等腰三角形的一个外角是140°，则其底角的度数是40 °或70 °.
A基础过关
8.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，下列结论中不正确的是 (D)
A.∠B=∠C
B.AD⊥BC
C.AD平分∠BAC
D.AB=2BD
9.如图，已知△ABC≌△ADE，若AB=7，AC=3，则BE的值为4.
第9题图 第10题图
10.如图，AC∥BD，AB与CD相交于点O，若AO=AC，∠A=48°，∠D=66 °.
11.如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC的中点，∠BAC=110°，求∠B和∠BAD的度数.
解：∵AB=AC，
D为边BC的中点，
∴∠BAD=∠BAC=×110 °=55 °，AD⊥BC.
∴∠ADB=90 °.
∴∠B+∠BAD=90 °.
∴∠B=90 °-55 °=35 °.
B能力提升
12.如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为 (D)
A．44° B．66° C．88° D．92°
第12题图 第13题图
13.如图，△ABC是等腰三角形，AD是底边BC上的高，若AB=5 cm，BD=3 cm，则△ABC的周长是16cm.
14.如图，AB=AC=AD，且AD∥BC，∠BAC=28°，求∠D的度数．
解：∵AB=AD，
∴∠ABD=∠D.
∵AD∥BC，∴∠DBC=∠D.∴∠ABC=2∠D.
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C.
∵∠BAC=28 °，
∴∠ABC=∠C=76 °.
∴∠D=38 °．
C素养升华
15.如图，在△ABC中，AB＝AC.
（1）如图1,如果∠BAD＝30°，AD是BC上的高，AD＝AE，求∠EDC的度数；
（2）如图2,如果∠BAD＝40°，AD是BC上的高，AD＝AE，求∠EDC的度数；
（3）思考：通过以上探究，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示.
图1 图2
解：(1)∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，
∴∠BAD=∠CAD，∠ADC=90 °.
∵∠BAD=30 °，
∴∠BAD=∠CAD=30 °.
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED==75 °.
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90 °-75 °=15 °；
(2)∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，
∴∠BAD=∠CAD，∠ADC=90 °.
∵∠BAD=40 °，
∴∠BAD=∠CAD=40 °.
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED==70 °.
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90 °-70 °=20 °；
(3)∵∠ADC=90 °，∠ADE=,且∠CAD=∠BAD，
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90 °-.
∴∠EDC=∠BAD.
∴∠BAD=2∠EDC.1 等腰三角形
第2课时 等腰三角形的判定与反证法
1.有两个角相等的三角形是等腰三角形，可以简述为“等角对等边”.
自测1 如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，则AC的长为5.
2.先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法.
自测2 用反证法证明命题“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时，应先假设存在一个三角形，这个三角形中每个内角都大于60 °.
知识点1 腰三角形的判定
1.对“等角对等边”理解正确的是 (C)
A．只要两个角相等，那么它们所对的边也相等
B．在两个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等
C．在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等
D．以上说法都不正确
2.如图所示，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=3 cm，则CD等于 (C)
A.1.5 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm
第2题图 第3题图
3.如图是一块不完整的三角形木板，测得∠A=100°，∠B=40°，AB=23 cm，则这块三角形木板另一边AC的长是23cm.
4.如图，已知AD=BC,∠DAB=∠CBA，AC与BD相交于点O.求证：△OAB是等腰三角形.
证明：在△ABD和△BAC中，
AD=BC,
∠DAB=∠CBA，
AB=BA，
∴△ABD≌△BAC(SAS).
∴∠ABD=∠BAC.
∴△OAB是等腰三角形.
知识点2 反证法
5.在△ABC中，已知∠B≠∠C，求证：AB≠AC.当用反证法证明时，第一步应假设 (B)
A.∠B=∠C B.AB=AC
C.AB=BC D.∠A=∠B
［易错提醒：忽略三角形三边关系导致多解］
6.在等腰三角形ABC中，若∠A=76°，AB=2 cm，BC=4 cm，则∠C=28 °.
A基础过关
7.如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则图中等腰三角形有 (D)
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
8.以下条件能判定△ABC为等腰三角形的是 (C)
A.∠A=40°，∠B=50°
B.∠A=40°，∠B=60°
C.∠A=20°，∠B=80°
D.∠A=40°，∠B=80°
9.在△ABC中，∠A=70°，当∠B=55 °或70 °时，△ABC是等腰三角形.
10.用反证法证明：等腰三角形的底角一定是锐角.
证明：假设等腰三角形的底角α不是锐角，则α≥90 °.
∵等腰三角形的两个底角相等，且2α≥180 °，
∴该三角形两个底角的和大于或等于180 °.
∴该三角形的三个内角的和一定大于180 °，与三角形的内角和定理相矛盾.
故假设不成立，所以等腰三角形的底角一定是锐角.
B能力提升
11.如图，直线l分别与直线AB,CD相交于点E,F，EG平分∠BEF交CD于点G，若∠1=∠BEF，且EF=3，则FG的长为 (B)
A．4
B．3
C．5
D．1.5
12.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以40 n mile/h的速度向正北方向航行，2 h后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为 (D)
A.40 n mile B.60 n mile
C.70 n mile D.80 n mile
第12题图 第13题图
13.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N，若BM+CN=9，则线段MN的长为9.
14.如图所示，D为△ABC的边AB的延长线上一点，过点D作DF⊥AC，垂足为F，交BC于点E，且BD=BE.求证：△ABC是等腰三角形.
证明：∵DF⊥AC，
∴∠DFA=∠EFC=90 °.
∴∠A+∠D=∠C+∠1=90 °.
又∵BD=BE，∴∠2=∠D.
又∵∠1=∠2，∴∠1=∠D.
∴∠A=∠C.
∴△ABC是等腰三角形.
C素养升华
15.如图，在△ABC中，∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，AB=5，BE=3，求AC的长.
解：如图，延长BE交AC于点M，
∵BE⊥AE，
∴∠AEB=∠AEM=90 °.
∴∠3=90 °-∠1，∠4=90 °-∠2.
∵∠1=∠2，
∴∠3=∠4.
∴AB=AM=5.
∵BE⊥AE，
∴BM=2BE=6.
∵∠4是△BCM的外角，
∴∠4=∠5+∠C.
∵∠ABC=3∠C，∠ABC=∠3+∠5=∠4+∠5，
∴3∠C=∠4+∠5=2∠5+∠C. 答图
∴∠5=∠C.
∴CM=BM=6.
∴AC=AM+CM=AB+2BE=11．1 等腰三角形
第2课时 等腰三角形的判定与反证法
1.有 个角相等的三角形是等腰三角形，可以简述为“ ”.
自测1 如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，则AC的长为 .
2.先假设命题的 不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相 的结果，从而证明命题的结论一定 ，这种证明方法称为反证法.
自测2 用反证法证明命题“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时，应先假设 .
知识点1 腰三角形的判定
1.对“等角对等边”理解正确的是 ( )
A．只要两个角相等，那么它们所对的边也相等
B．在两个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等
C．在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等
D．以上说法都不正确
2.如图所示，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=3 cm，则CD等于 ( )
A.1.5 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm
第2题图 第3题图
3.如图是一块不完整的三角形木板，测得∠A=100°，∠B=40°，AB=23 cm，则这块三角形木板另一边AC的长是 cm.
4.如图，已知AD=BC,∠DAB=∠CBA，AC与BD相交于点O.求证：△OAB是等腰三角形.
知识点2 反证法
5.在△ABC中，已知∠B≠∠C，求证：AB≠AC.当用反证法证明时，第一步应假设 ( )
A.∠B=∠C B.AB=AC
C.AB=BC D.∠A=∠B
［易错提醒：忽略三角形三边关系导致多解］
6.在等腰三角形ABC中，若∠A=76°，AB=2 cm，BC=4 cm，则∠C= .
A基础过关
7.如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则图中等腰三角形有 ( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
8.以下条件能判定△ABC为等腰三角形的是 ( )
A.∠A=40°，∠B=50°
B.∠A=40°，∠B=60°
C.∠A=20°，∠B=80°
D.∠A=40°，∠B=80°
9.在△ABC中，∠A=70°，当∠B= 时，△ABC是等腰三角形.
10.用反证法证明：等腰三角形的底角一定是锐角.
B能力提升
11.如图，直线l分别与直线AB,CD相交于点E,F，EG平分∠BEF交CD于点G，若∠1=∠BEF，且EF=3，则FG的长为 ( )
A．4
B．3
C．5
D．1.5
12.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以40 n mile/h的速度向正北方向航行，2 h后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为 ( )
A.40 n mile B.60 n mile
C.70 n mile D.80 n mile
第12题图 第13题图
13.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N，若BM+CN=9，则线段MN的长为 .
14.如图所示，D为△ABC的边AB的延长线上一点，过点D作DF⊥AC，垂足为F，交BC于点E，且BD=BE.求证：△ABC是等腰三角形.
C素养升华
15.如图，在△ABC中，∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，AB=5，BE=3，求AC的长.1 等腰三角形
第2课时 等边三角形的性质
1.等腰三角形两底角的平分线 ；两腰上的高 ；两腰上的中线 .
自测1 如图，在△ABC中，AB=AC，BD，CE是△ABC的角平分线.若BD=5 cm，则CE= cm.
2.等边三角形的三个内角都 ，并且每个角都等于 .
自测2 等边三角形的两底角平分线所夹钝角的度数是 ( )
A.30° B.45° C.60° D.120°
知识点1 等腰三角形中的相等线段
1.如图，在△ABC中，CA=CB，AD⊥BC，BE⊥AC，AB=5，AD=4，则AE的长为 ( )
A.2
B.3
C.4
D.5
2.如图，在△ABC中，AB=AC，中线BD,CE相交于点O.求证：∠ECB=∠DBC.
知识点2 等边三角形的相关性质
3.如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE=AD，则∠DEC的度数为 ( )
A.100° B.105° C.110° D.115°
第3题图 第4题图
4.如图，已知AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠DCE=40°，则∠EAB等于 ( )
A．40° B．30° C．20° D．10°
［易错提醒：对三角形高线的位置考虑不全面而致错］
5.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，这个三角形顶角的度数为 .
A基础过关
6.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB．若CD=5,则CE的长为( )
A．4
B．4.5
C．5
D．5.5
7.如图，等边三角形ABC的角平分线AD，BE相交于点O，则∠BOD= ．
第7题图 第8题图
8.如图，△ABC是等边三角形，若BC=BD，∠BAD=20°，则∠BCD的度数为 .
9.如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到点E，使得CE=CD.
求证：BD=DE.
B能力提升
10.如图，等腰三角形ABC两腰上的高BD，CE相交于点O，且∠BOC=100°，则∠A的度数为 ( )
A.50°
B.80°
C.100°
D.130°
11.如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内一点，且PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为24，则PD+PE+PF的值为 ( )
A．8 B．9 C．12 D．15
第11题图 第12题图
12.一个等边三角形，一个直角三角形以及一个等腰三角形如图放置，等腰三角形的底角∠3=80°，则∠1+∠2= ．
13.如图，在等边三角形ABC中，D是BC上一点，以AD为腰作等腰三角形ADE，使AD=AE，∠DAE=80°，若∠BAD=15°，求∠EDC的度数.
C素养升华
14.如图，△ABC是等边三角形，D是边BC上（除B，C外）的任意一点，∠ADE＝60°，且DE交△ABC外角∠ACF的平分线CE于点E.求证：
（1）∠1＝∠2；
（2）AD＝DE.1 等腰三角形
第4课时 等边三角形的判定
1.等边三角形的判定定理：(1)三个角都 的三角形是等边三角形；(2)有一个角等于 的等腰三角形是等边三角形.
自测1 在△ABC中，∠A=60°，要使△ABC是等边三角形，需要添加的一个条件是 .
2.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的 .
自测2 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，则BC= .
知识点1 等边三角形的判定
1.在△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，则△ABC的周长为 ( )
A.9 B.8 C.6 D.12
2.等腰三角形在补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是 ( )
A.有一个内角是60°
B.有一个外角是120°
C.有两个角相等
D.腰与底边相等
3.已知线段OA=a，以点O为端点作射线ON，使得∠AON=60°，P是射线ON上一动点，当OP= 时，△AOP为等边三角形.
知识点2 含30°角的直角三角形的性质
4.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6，则AC的长为 ( )
A.6 B.6 C.6 D.12
第4题图 第5题图
5.如图，AC=BC=10 cm，∠B=15°，AD⊥BC交BC的延长线于点D，则AD的长为 ( )
A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm
6.如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AD⊥BA交BC于点D.若CD=2 cm，则BD的长为 cm.
第6题图 第7题图
7.如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=5 cm.以点A为圆心，AB长为半径画弧，交BC边的延长线于点D，则AD长为 cm.
［易错提醒：未对30°角所对的边分类讨论而漏解］
8.在△ABC中，AB=AC=6 cm,BD为AC边上的高，∠ABD=30°，则线段CD的长为 .
A基础过关
9.如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB=7，BD=4，则△ADE的周长为 ( )
A．9 B．8 C．7 D．6
10.已知a,b，c是三角形的三边长，且满足(a-b)2+b-c=0，则这个三角形一定是 ( )
A.直角三角形
B.等边三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
11.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=10，点D在BA的延长线上，CA=CD，若BD=6，则AD的长为
( )
A．1 B．2 C．3 D．4
12.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠B=2∠C.求证：AB+BD=CD．
B能力提升
13．如图，E是等边三角形ABC中AC边上的点，若∠1=∠2，BE=CD，则△ADE的形状是 ( )
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．不等边三角形
D．不能确定形状
14．如图，在等边三角形ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE=2，则AB的长为 ( )
A.8 B.4 C.6 D.7.5
第14题图 第15题图
15.如图，在Rt△ABC中，BC⊥AC，∠A=30°，CB′⊥AB，B′C′⊥AC，若AB=2，则B′C′=.
16.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数；
(2)若CD=2， 求DF的长.
C素养升华
17.如图，在等边三角形ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，D,E是BC上的两点，且OD∥AB，OE∥AC.
（1）试判定△ODE的形状，并说明理由；
（2）线段BD，DE，EC之间有什么关系？写出你的判断理由.
