4 角平分线
第2课时 三角形三个内角的平分线
三角形的三条角平分线总相交于一点,且这一点到三条边的距离相等;到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点.
自测 如图,P为△ABC三条角平分线的交点,PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,则PD=PE=PF.(填“>”“<”或“=”)
知识点1 三角形角平分线的性质及应用
1.如图,在△ABC中,∠B,∠C的平分线相交于点O,下列结论中正确的是 (B)
A.∠1>∠2 B.∠1=∠2
C.∠1<∠2 D.以上都有可能
第1题图 第2题图
2.如图,△ABC的三边AB,BC,AC的长分别为20,30,40,三条角平分线将△ABC分成三个三角形,则S△OAB∶S△OBC∶S△OAC为 (C)
A.1∶1∶1 B.6∶4∶3
C.2∶3∶4 D.4∶3∶2
3.如图是用尺规作∠AOB的平分线的示意图,根据作图痕迹判断,能说明射线OC是∠AOB的平分线的依据是 (B)
A.SAS B.SSS C.ASA D.AAS
第3题图 第4题图
4.如图,在△ABC中,∠B=90°,点O到AB,BC,AC三边的距离相等,则∠AOC的度数为135 °.
5.如图,在△ABC中,∠CAB=60°,∠CAB的平分线AP与∠CBA的平分线BP相交于点P,连接CP.若AP=4,△ABC的周长为20,求△ABC的面积.
解:如图,作PD⊥AB于点D.
∵∠CAB=60 °,
∴∠PAB=30 °,
在Rt△PAD中,PA=4,
∴PD=2.
∴S△ABC=S△APB+S△BPC+S△CPA
=AB·PD+BC·PD+CA·PD 答图
=(AB+BC+CA)·PD
=×20×2
=20.
[易错提醒:混淆三角形内角平分线交点与三边垂直平分线交点的性质而致错]
6.在锐角三角形ABC中,点M到三边的距离都相等,点N到三个顶点的距离都相等,若∠A=80°,则∠BMC=130 °,∠BNC=160 °.
A基础过关
7.某地为促进旅游业发展,要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村,如图所示,若要使度假村到三条公路的距离相等,则这个度假村应修建在 (B)
A.△ABC三条高线的交点处
B.△ABC三条角平分线的交点处
C.△ABC三条中线的交点处
D.△ABC三边垂直平分线的交点处
8.如图,根据尺规作图的痕迹,下列说法不正确的是 (D)
A.AE,BF是△ABC的内角平分线
B.CG是△ABC的一条内角平分线
C.点O到△ABC三边的距离相等
D.AO=BO=CO
9.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB于点E,AB=10 cm,求△DEB的周长.
解:∵∠C=90 °,DE⊥AB,AD平分∠BAC,
∴CD=DE.
在Rt△ACD和Rt△AED中,
AD=AD,
CD=DE,
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL).
∴AC=AE.
∴AE=AC=CB=CD+DB=DE+DB.
∴△DEB的周长为DE+EB+DB=AE+EB=AB=10 cm.
B能力提升
10.如图,在△ABC中,∠C=90°,O为△ABC的三条角平分线的交点,OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,垂足分别为D,E,F.若AB=20,BC=16,则点O到AB,AC,BC的距离为 (C)
A.2,2,2 B.3,3,3 C.4,4,4 D.2,3,5
第10题图 第11题图
11.如图,P是∠BAC平分线上一点,∠MPA=15°,PM∥AC,PD⊥AC于点D,若PM=8 cm,则PD的长为4cm.
12.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.
(1)求证:BE=CF;
(2)若AB=5,AC=3,求AE,BE的长.
(1)证明:如图,连接DB,DC,
∵DG⊥BC且平分BC,
∴DB=DC.
∵AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,∠BED=∠DFC=90 °.
在Rt△DBE和Rt△DCF中,
DB=DC,
DE=DF,
∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL).
∴BE=CF;
(2)解:在Rt△ADE和Rt△ADF中,
AD=AD,
DE=DF, 答图
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL).
∴AE=AF.
∵AC+CF=AF,∴AE=AC+CF.
∵AE=AB-BE,∴AC+CF=AB-BE.
∵AB=5,AC=3,∴3+BE=5-BE.
∴BE=1.∴AE=AB-BE=4.
C素养升华
13.如图,有三条铁路a,b,c相互交叉,现在建一个货物中转站,要求到三条铁路的距离相等,可供选择的地址共有 4 处,请画出来(无需写作法,保留作图痕迹).
答图
解:如图所示,点A,B,C,D即为所求.4 角平分线
第1课时 角平分线
1.定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
自测1 如图,OP为∠AOB的平分线,PC⊥OB于点C,且PC=3,点P到OA的距离为3.
2.定理:在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
自测2 如图,PC⊥OA于点C,PD⊥OB于点D,PC=PD,若∠COD=80°,则∠CPO=50 °.
知识点1 角平分线的性质
1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线AD交BC于点D,若CD=2,则点D到AB的距离是 (A)
A.2
B.3
C.4
D.1
2.在△ABC中,AD为角平分线,若AB∶AC=1∶2,则S△ABD∶S△ACD为 (B)
A.2∶3
B.1∶2
C.1∶4
D.无法确定
第2题图 第3题图
3.如图,∠C=90°,∠1=∠2,若BC=10,BD=6,则点D到AB的距离为4.
知识点2 角平分线的判定
4.在△ABC内有一点P,PE⊥AC于点E,PF⊥BC于点F,量得PE=PF=2 cm,则点P一定在 (D)
A.∠A的平分线上 B.边AB的中线上
C.边AB的高上 D.∠C的平分线上
5.如图,AB∥CD,点P到AB,BC,CD的距离相等,则∠BPC=90 °.
第5题图 第6题图
[易错提醒:将任意长度当“距离”而致错]
6.如图,点P在∠AOB的平分线上,过点P的直线与OA,OB分别相交于D,E两点,则 (D)
A.DP=PE B.DP>PE
C.DP<PE D.以上都有可能
A基础过关
7.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,若AD=3,BC=10,则△BDC的面积是 (B)
A.10 B.15 C.20 D.30
第7题图 第8题图
8.如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,Q是射线OM上一个动点,若PA=3,则PQ的最小值为 (C)
A. B.2 C.3 D.2
9.如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,BE,CD相交于点O,且OB=OC.求证:点O在∠BAC的平分线上.
证明:∵CD⊥AB,BE⊥AC,
∴∠ODB=∠OEC=90 °.
在△DOB和△EOC中,
∠ODB=∠OEC,
∠DOB=∠EOC,
OB=OC,
∴△DOB≌△EOC(AAS).
∴OD=OE.
∴点O在∠BAC的平分线上.
B能力提升
10.如图,已知AB∥CD,OA,OC分别平分∠BAC和∠ACD,OM⊥AC于点M,且OM=3,则AB,CD之间的距离为 (C)
A.2
B.4
C.6
D.8
11.如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB于点F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为20和8,则△EDF的面积为 (B)
A.4 B.6 C.8 D.12
第11题图 第12题图
12.如图,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC的长是3.
13.如图,已知锐角三角形ABC的两条高BD,CE相交于点O,且OB=OC.
(1)求证:△ABC是等腰三角形;
(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上,并说明理由.
(1)证明:∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB.
又∵BD,CE是△ABC的两条高,
∴∠CDB=∠BEC=90 °.
∴∠DCB=∠EBC.
∴△ABC是等腰三角形;
(2)解:点O在∠BAC的平分线上.理由如下:
∵S△ABC=AB·EC=AC·BD,AB=AC,∴EC=BD.
又∵OB=OC,∴OD=OE.
又∵OD⊥AC,OE⊥AB,
∴点O在∠BAC的平分线上.
C素养升华
14.如图,AC平分∠BAD,CE⊥AB,CD⊥AD,垂足分别为E,D,CF=CB.
(1)求证:BE=FD;
(2)若AC=10,AD=8,求四边形ABCF的面积.
(1)证明:∵AC平分∠BAD,CE⊥AB,CD⊥AD,
∴CD=CE.
在Rt△CBE和Rt△CFD中,
CB=CF,
CE=CD,
∴Rt△CBE≌Rt△CFD(HL).
∴BE=FD;
(2)解:在Rt△ACD中,
∵AC=10,AD=8,
∴CD==6.
∵AC=AC,CD=CE,
∴Rt△ACD≌Rt△ACE(HL).
∴S△ACD=S△ACE.
∵Rt△CBE≌Rt△CFD,
∴S△CBE=S△CFD.
∴S四边形ABCF=S四边形AECD=2S△ACD=2××6×8=48.4 角平分线
第1课时 角平分线
1.定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离 .
自测1 如图,OP为∠AOB的平分线,PC⊥OB于点C,且PC=3,点P到OA的距离为 .
2.定理:在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的 上.
自测2 如图,PC⊥OA于点C,PD⊥OB于点D,PC=PD,若∠COD=80°,则∠CPO= .
知识点1 角平分线的性质
1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线AD交BC于点D,若CD=2,则点D到AB的距离是 ( )
A.2
B.3
C.4
D.1
2.在△ABC中,AD为角平分线,若AB∶AC=1∶2,则S△ABD∶S△ACD为 ( )
A.2∶3
B.1∶2
C.1∶4
D.无法确定
第2题图 第3题图
3.如图,∠C=90°,∠1=∠2,若BC=10,BD=6,则点D到AB的距离为 .
知识点2 角平分线的判定
4.在△ABC内有一点P,PE⊥AC于点E,PF⊥BC于点F,量得PE=PF=2 cm,则点P一定在 ( )
A.∠A的平分线上 B.边AB的中线上
C.边AB的高上 D.∠C的平分线上
5.如图,AB∥CD,点P到AB,BC,CD的距离相等,则∠BPC= .
第5题图 第6题图
[易错提醒:将任意长度当“距离”而致错]
6.如图,点P在∠AOB的平分线上,过点P的直线与OA,OB分别相交于D,E两点,则 ( )
A.DP=PE B.DP>PE
C.DP<PE D.以上都有可能
A基础过关
7.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,若AD=3,BC=10,则△BDC的面积是 ( )
A.10 B.15 C.20 D.30
第7题图 第8题图
8.如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,Q是射线OM上一个动点,若PA=3,则PQ的最小值为 ( )
A. B.2 C.3 D.2
9.如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,BE,CD相交于点O,且OB=OC.求证:点O在∠BAC的平分线上.
B能力提升
10.如图,已知AB∥CD,OA,OC分别平分∠BAC和∠ACD,OM⊥AC于点M,且OM=3,则AB,CD之间的距离为 ( )
A.2
B.4
C.6
D.8
11.如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB于点F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为20和8,则△EDF的面积为 ( )
A.4 B.6 C.8 D.12
第11题图 第12题图
12.如图,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC的长是 .
13.如图,已知锐角三角形ABC的两条高BD,CE相交于点O,且OB=OC.
(1)求证:△ABC是等腰三角形;
(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上,并说明理由.
C素养升华
14.如图,AC平分∠BAD,CE⊥AB,CD⊥AD,垂足分别为E,D,CF=CB.
(1)求证:BE=FD;
(2)若AC=10,AD=8,求四边形ABCF的面积.4 角平分线
第2课时 三角形三个内角的平分线
三角形的三条角平分线总相交于一点,且这一点到三条边的距离 ;到三角形三边距离相等的点是三角形三条 的交点.
自测 如图,P为△ABC三条角平分线的交点,PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,则PD PE PF.(填“>”“<”或“=”)
知识点1 三角形角平分线的性质及应用
1.如图,在△ABC中,∠B,∠C的平分线相交于点O,下列结论中正确的是 ( )
A.∠1>∠2 B.∠1=∠2
C.∠1<∠2 D.以上都有可能
第1题图 第2题图
2.如图,△ABC的三边AB,BC,AC的长分别为20,30,40,三条角平分线将△ABC分成三个三角形,则S△OAB∶S△OBC∶S△OAC为 ( )
A.1∶1∶1 B.6∶4∶3
C.2∶3∶4 D.4∶3∶2
3.如图是用尺规作∠AOB的平分线的示意图,根据作图痕迹判断,能说明射线OC是∠AOB的平分线的依据是 ( )
A.SAS B.SSS C.ASA D.AAS
第3题图 第4题图
4.如图,在△ABC中,∠B=90°,点O到AB,BC,AC三边的距离相等,则∠AOC的度数为 .
5.如图,在△ABC中,∠CAB=60°,∠CAB的平分线AP与∠CBA的平分线BP相交于点P,连接CP.若AP=4,△ABC的周长为20,求△ABC的面积.
[易错提醒:混淆三角形内角平分线交点与三边垂直平分线交点的性质而致错]
6.在锐角三角形ABC中,点M到三边的距离都相等,点N到三个顶点的距离都相等,若∠A=80°,则∠BMC= ,∠BNC= .
A基础过关
7.某地为促进旅游业发展,要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村,如图所示,若要使度假村到三条公路的距离相等,则这个度假村应修建在 ( )
A.△ABC三条高线的交点处
B.△ABC三条角平分线的交点处
C.△ABC三条中线的交点处
D.△ABC三边垂直平分线的交点处
8.如图,根据尺规作图的痕迹,下列说法不正确的是 ( )
A.AE,BF是△ABC的内角平分线
B.CG是△ABC的一条内角平分线
C.点O到△ABC三边的距离相等
D.AO=BO=CO
9.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB于点E,AB=10 cm,求△DEB的周长.
B能力提升
10.如图,在△ABC中,∠C=90°,O为△ABC的三条角平分线的交点,OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,垂足分别为D,E,F.若AB=20,BC=16,则点O到AB,AC,BC的距离为 ( )
A.2,2,2 B.3,3,3 C.4,4,4 D.2,3,5
第10题图 第11题图
11.如图,P是∠BAC平分线上一点,∠MPA=15°,PM∥AC,PD⊥AC于点D,若PM=8 cm,则PD的长为 cm.
12.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.
(1)求证:BE=CF;
(2)若AB=5,AC=3,求AE,BE的长.
C素养升华
13.如图,有三条铁路a,b,c相互交叉,现在建一个货物中转站,要求到三条铁路的距离相等,可供选择的地址共有 4 处,请画出来(无需写作法,保留作图痕迹).