5 一元一次不等式与一次函数
第2课时 一元一次不等式与一次函数的综合应用
利用一次函数、一元一次不等式及一元一次方程这三者之间的关系来解决生活中的决策问题，一般可分为三个步骤：①根据题意写出每种方案的函数 ；②根据实际情况，列出方程或 ；③根据方程的解或不等式的 ，作出相应的判断.
自测 如图，某航空公司托运行李的费用与托运行李的质量的关系为一次函数，由图可知行李的质量只要不超过 kg，就可以免费托运.
知识点1 一元一次不等式与一次函数的综合应用
1.如图所示，直线l1反映了某公司的销售收入与销售量之间的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销售量之间的关系，当该公司赢利(收入大于成本)时，销售量应 ( )
A.小于3 t B.大于3 t
C.小于4 t D.大于4 t
2.某小区安装天然气，规定安装时收整体初装费10 000元，每户再收费500元.安装完成后，每户平均支付不足1 000元，则这个小区的住户数 ( )
A.至少有20户 B.至多有20户
C.至少有21户 D.至多有21户
3.如图是甲、乙两弹簧的长度y(cm)与所挂物体x(kg)之间的函数关系y1=k1x+b1，y2=k2x+b2的图象，当所挂物体质量均为2 kg时，甲、乙两弹簧的长度y1与y2的大小关系为 ( )
A.y1＞y2
B.y1=y2
C.y1＜y2
D.不能确定
4.如图是某地气温T(℃)随着高度h(km)的增加而降低的关系图，观察图象可知，该地地面气温是 ℃；当高度超过 km时，气温就会低于0 ℃.
第4题图 第5题图
［易错提醒：不能正确利用图象确定不等式的解集］
5.某公司准备与汽车租赁公司签订租车合同，以每月用车路程x km计算，甲汽车租赁公司每月收租赁费y1元，乙汽车租赁公司每月收租赁费y2元，若y1，y2与x之间的函数关系如图所示，则下列判断错误的是 ( )
A.当月用车路程为2 000 km时，两家汽车租赁公司租赁费用相同
B.当月用车路程为2 300 km时，租赁乙汽车租赁公司的车比较合算
C.甲汽车租赁公司平均每千米收取的费用比乙汽车租赁公司多
D.甲汽车租赁公司平均每千米收取的费用比乙汽车租赁公司少
A基础过关
6.如图是在甲、乙两家商店购买同一种产品的售价y(元)与购买量x(件)之间的函数图象.下列说法：①买2件时，两家的售价一样；②买1件时，去乙家合算；③买3件时，去甲家合算；④在乙家买1件的花费约为3元.其中正确的是 ( )
A.①② B.②③④ C.②③ D.①②③
第6题图 第7题图
7.某通讯公司推出了A,B两种不同的收费方式，收费金额y1，y2(元)与通讯时间x(min)之间的函数关系如图所示，当通讯时间x 时，选择方案A更合算.
8.某商场推出了两种购物优惠方案.方案一：非会员购物所有商品价格可获九五折优惠；方案二:如交纳300元会费成为该商场会员，则所有商品价格可获九折优惠.王老师计划在该商场购买标价5 880元的电视，选择方案 更划算.
B能力提升
9.某品牌矿泉水每瓶售价为1.5元.甲、乙两商场分别给出促销优惠：甲商场全部九折，乙商场超出20瓶以上的部分打八折.小立认为自己在乙商场购买更划算，则小立需要购买的瓶数x的取值范围是
( )
A.x＞20 B.x＞40 C.x≥40 D.x＜40
10.弟弟上午8：00出发步行去郊游，速度为4 km/h.10：00哥哥从同一地点骑自行车去追弟弟，如果哥哥要不晚于10：40追上弟弟，那么哥哥的速度至少是 km/h.
11.某班体育老师带领该班部分同学去旅游，甲旅行社说：“若体育老师买一张全票，则学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括体育老师在内都享受六折优惠．”若全票票价是1 200元，设学生人数为x，甲旅行社收费为y甲、乙旅行社收费为y乙．
（1）分别写出y甲和y乙关于x的关系式；
（2）请就学生人数讨论哪家旅行社更优惠．
C素养升华
12.星期天，鹏鹏随爸爸妈妈回老家探望爷爷奶奶，爸爸8：30骑自行车先走，平均每小时骑行20 km；鹏鹏和妈妈9：30乘公交车后行，公交车平均速度是40 km/h.爸爸的骑行路线与鹏鹏和妈妈的乘车路线相同，路程均为40 km.设爸爸骑行时间为x(h)．
(1)请分别写出爸爸的骑行路程y1(km)、鹏鹏和妈妈的乘车路程y2(km)与x(h)之间的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
(2)请在同一个平面直角坐标系中画出(1)中两个函数的图象；
(3)请回答，他们谁先到达老家．5 一元一次不等式与一次函数
第1课时 一元一次不等式与一次函数的关系
一元一次不等式与一次函数的关系：
一元一次不等式ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)是一次函数y=ax+b(a≠0)的函数值为 的情形；直线y=ax+b上使函数值y 0(x轴上方的图象)的x的取值范围是ax+b>0的解集；使函数值y 0(x轴下方的图象)的x的取值范围是ax+b<0的解集.
自测 在一次函数y=2x-4中，当x 时，y＞0；当x 时，y=0；当x 时，y＜0.
知识点1 一元一次不等式与一次函数的关系
1.如果y1=-x+3，y2=3x-4，要使y1＞y2，那么x应满足 ( )
A.x＞ B.x＜ C.x＞ D.x＜
2.在一次函数y=3x-8中，当x 时，y=0；当x 时，y＞0；当x 时，y＜0.
知识点2 利用函数图象解一元一次不等式
3.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x和y=ax+6相交于点A(m，4)，则不等式-2x＜ax+6的解集为 ( )
A.x＜-2
B.x＜
C.x＞-2
D.x＞
4.已知直线y=kx+b与坐标轴相交于A(-8，0)，B(0，13)两点，则不等式kx+b≥0的解集为 .
［易错提醒：未理解函数图象与不等式的对应关系而致错］
5.已知不等式ax+b＜0的解是x＞-2，下列有可能是函数y=ax+b的图象的是 ( )
A B C D
A基础过关
6.如图，若一次函数y=-2x+b的图象交y轴于点A(0，3)，则不等式-2x+b＞0的解集为 ( )
A.x＞ B.x＞3 C.x＜ D.x＜3
第6题图 第7题图
7.直线y=kx+b的图象如图所示，则不等式kx+b≤0的解集在数轴上表示为 ( )
A. B.
C. D.
8.一次函数y=kx+b(k≠0)中两个变量x,y的部分对应值如下表所示：
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 9 6 3 0 -3 …
那么关于x的不等式kx+b≥0的解集是 .
9.若关于x的不等式mx-1＞0(m≠0)的解集是x＞1，则直线y=mx-1与x轴的交点坐标是 .
10.已知一次函数y=kx+3的图象经过点(1，4).求：
(1)该一次函数的表达式；
(2)关于x的不等式kx+3≤6的解集.
B能力提升
11.已知y1=2x-5，y2=-2x+3，当y1＜y2时，x的取值范围是 ( )
A.x＞2 B.x＜2
C.x＞-2 D.x＜-2
12.已知一次函数y1=kx+3（k为常数）和y2=x-3．当x＜2时，y1＞y2，则k的取值范围是 ( )
A．-2≤k≤1且k≠0 B．k≤-2
C．-2＜k＜1且k≠0 D．k≥1
13.函数y1＝|x|，y2＝x+的图象如图所示，当y1＞y2时，x的范围是 ．
14.已知一次函数y=ax+b的图象过第一、二、四象限，且与x轴相交于点(2,0)，则关于x的不等式a(x-1)-b＞0的解集为 .
15.已知直线l1：y=x+1与直线l2：y=-2x+b相交于点A(a，2)，求：
（1）a,b的值；
（2）不等式x+1≥-2x+b的解集.
C素养升华
16.如图，根据图中信息解答下列问题：
(1)关于x的不等式mx+n＜1的解集是 ；
(2)当x≥0时，求y2的取值范围；
(3)当x为何值时，0＜y1＜y2？5 一元一次不等式与一次函数
第2课时 一元一次不等式与一次函数的综合应用
利用一次函数、一元一次不等式及一元一次方程这三者之间的关系来解决生活中的决策问题，一般可分为三个步骤：①根据题意写出每种方案的函数表达式；②根据实际情况，列出方程或不等式；③根据方程的解或不等式的解集，作出相应的判断.
自测 如图，某航空公司托运行李的费用与托运行李的质量的关系为一次函数，由图可知行李的质量只要不超过20kg，就可以免费托运.
知识点1 一元一次不等式与一次函数的综合应用
1.如图所示，直线l1反映了某公司的销售收入与销售量之间的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销售量之间的关系，当该公司赢利(收入大于成本)时，销售量应 (D)
A.小于3 t B.大于3 t
C.小于4 t D.大于4 t
2.某小区安装天然气，规定安装时收整体初装费10 000元，每户再收费500元.安装完成后，每户平均支付不足1 000元，则这个小区的住户数 (C)
A.至少有20户 B.至多有20户
C.至少有21户 D.至多有21户
3.如图是甲、乙两弹簧的长度y(cm)与所挂物体x(kg)之间的函数关系y1=k1x+b1，y2=k2x+b2的图象，当所挂物体质量均为2 kg时，甲、乙两弹簧的长度y1与y2的大小关系为 (A)
A.y1＞y2
B.y1=y2
C.y1＜y2
D.不能确定
4.如图是某地气温T(℃)随着高度h(km)的增加而降低的关系图，观察图象可知，该地地面气温是24℃；当高度超过4km时，气温就会低于0 ℃.
第4题图 第5题图
［易错提醒：不能正确利用图象确定不等式的解集］
5.某公司准备与汽车租赁公司签订租车合同，以每月用车路程x km计算，甲汽车租赁公司每月收租赁费y1元，乙汽车租赁公司每月收租赁费y2元，若y1，y2与x之间的函数关系如图所示，则下列判断错误的是 (D)
A.当月用车路程为2 000 km时，两家汽车租赁公司租赁费用相同
B.当月用车路程为2 300 km时，租赁乙汽车租赁公司的车比较合算
C.甲汽车租赁公司平均每千米收取的费用比乙汽车租赁公司多
D.甲汽车租赁公司平均每千米收取的费用比乙汽车租赁公司少
A基础过关
6.如图是在甲、乙两家商店购买同一种产品的售价y(元)与购买量x(件)之间的函数图象.下列说法：①买2件时，两家的售价一样；②买1件时，去乙家合算；③买3件时，去甲家合算；④在乙家买1件的花费约为3元.其中正确的是 (D)
A.①② B.②③④ C.②③ D.①②③
第6题图 第7题图
7.某通讯公司推出了A,B两种不同的收费方式，收费金额y1，y2(元)与通讯时间x(min)之间的函数关系如图所示，当通讯时间x>300时，选择方案A更合算.
8.某商场推出了两种购物优惠方案.方案一：非会员购物所有商品价格可获九五折优惠；方案二:如交纳300元会费成为该商场会员，则所有商品价格可获九折优惠.王老师计划在该商场购买标价5 880元的电视，选择方案一更划算.
B能力提升
9.某品牌矿泉水每瓶售价为1.5元.甲、乙两商场分别给出促销优惠：甲商场全部九折，乙商场超出20瓶以上的部分打八折.小立认为自己在乙商场购买更划算，则小立需要购买的瓶数x的取值范围是
(B)
A.x＞20 B.x＞40 C.x≥40 D.x＜40
10.弟弟上午8：00出发步行去郊游，速度为4 km/h.10：00哥哥从同一地点骑自行车去追弟弟，如果哥哥要不晚于10：40追上弟弟，那么哥哥的速度至少是16km/h.
11.某班体育老师带领该班部分同学去旅游，甲旅行社说：“若体育老师买一张全票，则学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括体育老师在内都享受六折优惠．”若全票票价是1 200元，设学生人数为x，甲旅行社收费为y甲、乙旅行社收费为y乙．
（1）分别写出y甲和y乙关于x的关系式；
（2）请就学生人数讨论哪家旅行社更优惠．
解：(1)由题意，得
y甲=0.5×1 200x+1 200=600x+1 200，
y乙=0.6×1 200x+0.6×1 200=720x+720；
(2)①当y甲=y乙时，
600x+1 200=720x+720，解得x=4.
故当学生人数是4人时，两家旅行社的收费一样；
②当y甲>y乙时，
600x+1 200>720x+720，解得x<4.
故当0③当y甲600x+1 200<720x+720，解得x>4．
故当x>4(x为整数)时，甲旅行社更优惠．
C素养升华
12.星期天，鹏鹏随爸爸妈妈回老家探望爷爷奶奶，爸爸8：30骑自行车先走，平均每小时骑行20 km；鹏鹏和妈妈9：30乘公交车后行，公交车平均速度是40 km/h.爸爸的骑行路线与鹏鹏和妈妈的乘车路线相同，路程均为40 km.设爸爸骑行时间为x(h)．
(1)请分别写出爸爸的骑行路程y1(km)、鹏鹏和妈妈的乘车路程y2(km)与x(h)之间的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
(2)请在同一个平面直角坐标系中画出(1)中两个函数的图象；
(3)请回答，他们谁先到达老家．
解：(1)由题意，得y1=20x(0≤x≤2)，
y2=40(x-1)(1≤x≤2)；
(2)画图如图所示：
(3)由图象可得，他们同时到达老家．5 一元一次不等式与一次函数
第1课时 一元一次不等式与一次函数的关系
一元一次不等式与一次函数的关系：
一元一次不等式ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)是一次函数y=ax+b(a≠0)的函数值为正数或负数的情形；直线y=ax+b上使函数值y＞0(x轴上方的图象)的x的取值范围是ax+b>0的解集；使函数值y＜0(x轴下方的图象)的x的取值范围是ax+b<0的解集.
自测 在一次函数y=2x-4中，当x>2时，y＞0；当x=2时，y=0；当x<2时，y＜0.
知识点1 一元一次不等式与一次函数的关系
1.如果y1=-x+3，y2=3x-4，要使y1＞y2，那么x应满足 (D)
A.x＞ B.x＜ C.x＞ D.x＜
2.在一次函数y=3x-8中，当x时，y=0；当x时，y＞0；当x时，y＜0.
知识点2 利用函数图象解一元一次不等式
3.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x和y=ax+6相交于点A(m，4)，则不等式-2x＜ax+6的解集为 (C)
A.x＜-2
B.x＜
C.x＞-2
D.x＞
4.已知直线y=kx+b与坐标轴相交于A(-8，0)，B(0，13)两点，则不等式kx+b≥0的解集为x≥-8.
［易错提醒：未理解函数图象与不等式的对应关系而致错］
5.已知不等式ax+b＜0的解是x＞-2，下列有可能是函数y=ax+b的图象的是 (D)
A B C D
A基础过关
6.如图，若一次函数y=-2x+b的图象交y轴于点A(0，3)，则不等式-2x+b＞0的解集为 (C)
A.x＞ B.x＞3 C.x＜ D.x＜3
第6题图 第7题图
7.直线y=kx+b的图象如图所示，则不等式kx+b≤0的解集在数轴上表示为 (D)
A. B.
C. D.
8.一次函数y=kx+b(k≠0)中两个变量x,y的部分对应值如下表所示：
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 9 6 3 0 -3 …
那么关于x的不等式kx+b≥0的解集是x≤1.
9.若关于x的不等式mx-1＞0(m≠0)的解集是x＞1，则直线y=mx-1与x轴的交点坐标是(1,0).
10.已知一次函数y=kx+3的图象经过点(1，4).求：
(1)该一次函数的表达式；
(2)关于x的不等式kx+3≤6的解集.
解：(1)∵一次函数y=kx+3的图象经过点(1，4)，
∴4=k+3.∴k=1.
∴该一次函数的表达式是y=x+3；
(2)∵k=1,∴该不等式为x+3≤6.
∴x≤3.
即关于x的不等式kx+3≤6的解集是x≤3.
B能力提升
11.已知y1=2x-5，y2=-2x+3，当y1＜y2时，x的取值范围是 (B)
A.x＞2 B.x＜2
C.x＞-2 D.x＜-2
12.已知一次函数y1=kx+3（k为常数）和y2=x-3．当x＜2时，y1＞y2，则k的取值范围是 (A)
A．-2≤k≤1且k≠0 B．k≤-2
C．-2＜k＜1且k≠0 D．k≥1
13.函数y1＝|x|，y2＝x+的图象如图所示，当y1＞y2时，x的范围是x<-1或x>2．
14.已知一次函数y=ax+b的图象过第一、二、四象限，且与x轴相交于点(2,0)，则关于x的不等式a(x-1)-b＞0的解集为x<-1.
15.已知直线l1：y=x+1与直线l2：y=-2x+b相交于点A(a，2)，求：
（1）a,b的值；
（2）不等式x+1≥-2x+b的解集.
解：(1)∵直线l1：y=x+1与直线l2：y=-2x+b相交于点A(a，2)，
∴a+1=2，解得a=1.
∴点A的坐标为(1,2).
∴-2+b=2，解得b=4；
(2)不等式x+1≥-2x+b的解集是x≥1.
C素养升华
16.如图，根据图中信息解答下列问题：
(1)关于x的不等式mx+n＜1的解集是 ；
(2)当x≥0时，求y2的取值范围；
(3)当x为何值时，0＜y1＜y2？
解：(1)x<0；
(2)直线y2=ax+b经过点P(2,1.8),点B(4,0),
∴ 2a+b=1.8,解得 a=-0.9,
4a+b=0, b=3.6.
∴y2=-0.9x+3.6.
∴当x≥0时，y2≤3.6；
(3)直线y1=mx+n经过点P(2,1.8),点Q(0,1),
∴ 2m+n=1.8,解得 m=0.4,
n=1， n=1.
∴y1=0.4x+1.
当y=0时，0.4x+1=0，解得x=-2.5.
∴点A(-2.5,0).
故当-2.5
