6 一元一次不等式组
第2课时 一元一次不等式组的解法及应用
1.一元一次不等式组解集的四种情况：
不等式组(a＜b) 图示 解集 口诀
x≥a，x≥b x≥b 大大取大
x≤a，x≤b x≤a 小小取小
x≥a，x≤b a≤x≤b 大小、小大中间找
x≤a，x≥b 无 小小、大大找不到
自测1 不等式组 x≤3x+2，的解集是-1≤x<1.
x-1＜2-2x
2.利用不等式组解应用题，关键是找出题中的不等关系，列不等式组，还需要根据实际情况确定不等式组的解集.
自测2 7x+1是不小于-3的负数，表示为 (C)
A.-3≤7x+1≤0 B.-3＜7x+1＜0
C.-3≤7x+1＜0 D.-3＜7x+1≤0
知识点1 解较复杂的一元一次不等式组
1.不等式组 -1＜0，的解集是 (B)
x-1≤3(x+1)
A.x≤-2 B.-2≤x＜2
C.x＜2 D.x≥-2
2.若实数x满足4-2x＜x≤，则实数x的整数解有 (C)
A．8个 B．7个 C．6个 D．5个
知识点2 一元一次不等式组的应用
3.小星要在鱼缸里饲养A、B两种观赏鱼，A种观赏鱼的生长温度x ℃的范围是15≤x≤28，B种观赏鱼的生长温度y ℃的范围是19≤y≤25，那么鱼缸里的温度T ℃应该设定在 (C)
A.15≤T≤28 B.15≤T≤25
C.19≤T≤25 D.19≤T≤28
4.鹏鹏要剪一个底边长为7 cm，周长小于20 cm的等腰三角形卡片，若它的腰长为x cm，则x必须满足的不等式组为 2x+7<20,
2x>7.
［易错提醒：根据不等式组确定参数范围时考虑不全面而致错］
5.若不等式组 <1,的解集为x＜1，则a的取值范围为a≤-1.
x+a<0
A基础过关
6.对于不等式组 x-1≤7-x，下列说法正确的是 (B)
5x+2＞3(x-1)，
A.此不等式组无解
B.此不等式组有7个整数解
C.此不等式组的负整数解是-3，-2，-1
D.此不等式组的解集是-＜x≤2
7.某区的出租车起步价是8元(2 km及2 km以内为起步价)，以后每千米收费是1.6元，不足1 km按1 km收费，小明乘出租车到达目的地时计时器显示为14.4元，则出租车行驶的路程可能为 (B)
A.6.9 km B.5.5 km C.4.1 km D.3.5 km
8.若不等式组 2x-b≥0，的解集为3≤x≤4，则a+b的值为2.
x+a≤0
9.解不等式组：
(1) 4x-2≥3(x-1),
+1>x-3;
解：4x-2≥3(x-1),①
+1>x-3，②
解不等式①,得x≥-1.
解不等式②,得x<3.
∴不等式组的解集为-1≤x<3；
(2) -2≤＜．
解：∵-2≤<，
∴-4≤x-3<.
∴-1≤x<.
∴不等式组的解集为-1≤x<.
B能力提升
10.如图，按下面的程序进行运算．规定：程序运行到“判断结果是否大于35”为一次运算．若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是 (A)
A．7＜x≤11 B．7≤x＜11
C．7＜x＜11 D．7≤x≤11
11.如图，用长为50 m的铁丝一边靠墙围成两个长方形，墙的长度为40 m，要使靠墙的一边不小于35 m，那么与墙垂直的一边AB的取值范围是.
12.小华将一箱苹果放进若干个筐里，若每筐放4个，则还剩20个未放完，若每筐放8个，则还有一筐没有放满，那么这箱苹果原来共有多少个？
解：设有x个筐子，依题意，得
4x+20-8(x-1)>0,
4x+20-8(x-1)<8,
解得5
∵x为正整数，∴x=6.
∴4x+20=44.
即这箱苹果原来共有44个．
C素养升华
13.为了处理周边污水，某市污水处理厂决定购买A，B两型污水处理设备共20台，每台A型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元.已知1台A型污水处理设备和2台B型污水处理设备每周可以处理污水640 t，2台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1 080 t.若污水处理厂购买设备的资金不得超过230万元，要求每周的污水处理量不得低于4 500 t，请问有多少种购买方案？哪种方案所需资金最少？最少是多少？
解：设每台A型污水处理设备每周可以处理污水x t，每台B型污水处理设备每周可以处理污水y t，
则 x+2y=640,
2x+3y=1 080,
解得 x=240,
y=200.
即每台A型污水处理设备每周可以处理污水240 t，每台B型污水处理设备每周可以处理污水200 t；
设购买A型污水处理设备a台，则购买B型污水处理设备(20-a)台，
则 12a+10(20-a)≤230,
240a+200(20-a)≥4 500.
解得12.5≤a≤15.
因为a为正整数，所以a可取13或14或15,即共有三种方案：
第一种方案：当a=13时，20-a=7,
购买资金为13×12+7×10=226(万元)；
第二种方案：当a=14时，20-a=6,
购买资金为14×12+6×10=228(万元)；
第三种方案：当a=15时，20-a=5,
购买资金为15×12+5×10=230(万元).
即购买A型污水处理设备13台，B型污水处理设备7台时，所需资金最少，最少是226万元.6 一元一次不等式组
第1课时 一元一次不等式组的解法
1.一元一次不等式组：一般地，关于同一个未知数的几个 合在一起，就组成一个一元一次不等式组.
自测1 下列属于一元一次不等式组的是 ( )
x-y＞0，
y+z＞0
x2-x＞0，
x+1＜0
y+2＞0，
x+y＜0
2x+3＞0，
x＞0
2.一个一元一次不等式组中各个不等式解集的 ，叫做一元一次不等式组的解集.
自测2 不等式组 x+1＞0，的解集是 ( )
x-3＞0
A.x＞-1 B.x＞3
C.-1＜x＜3 D.x＜3
知识点1 一元一次不等式组的概念
1.下列不等式组中，是一元一次不等式组的是 ( )
A. x＞2，
x＜-3
x+1＞0，
y-2＜0
3x-2＞0，
x2-6＜0
3x+4＞0，
x+1<2y
2.下列不等式组：① x＞-4，② x＞0，③ (x+1)(x-1)>x，
x＜7， x+2＞4， x2+2＞4，
④ x+3＞0，⑤ x+1＞0，
x＜-7， y-1＜0.
x+5≥6，
其中一元一次不等式组的个数是 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
知识点2 一元一次不等式组的解法
3.不等式组 2x-1≥1，的解集在数轴上表示为 ( )
x-2＜0
A B
C D
4.不等式组 x-3＜1，的解集为 .
2-x≤0
5.解不等式组：4x+6>1-x,
3(x-1)≤x+5.
［易错提醒：忽略边界条件而致错］
6.若关于x的不等式组 x+6<2+3x,有且只有四个整数解，则实数a的取值范围是 ( )
>x
A．12≤a≤14 B．12＜a＜14
C．12＜a≤14 D．12≤a＜14
A基础过关
7.下列不等式组中，是一元一次不等式组的是 ( )
A. x+2≤3，
-3＜2
x+y＜2，
3x+1＞0
3＞2+x2，
2x≥4
x≤3，
x＞6
8.不等式组 2x-1＞x+1，的解集是 .
x+8＜4x-1
9.若P(a，4-a)是第一象限的点，则a的取值范围是 .
10.解下列一元一次不等式组，并在数轴上表示出其解集.
1+x＞-2， （2）2x+1≥0,
≤1； ->1.
B能力提升
11.已知关于x的方程k-2x=3（k-2）的解为非负整数，且关于x的不等式组 x-2(x-1)≤3,
≥x有解，则符合条件的整数k的值的和为 )
A．2 B．3 C．4 D．5
12.规定［x］为不大于x的最大整数，如［3.6］=3，［-2.1］=-3，若［x+ ］＝3且［3-2x］=-4，则x的取值范围为(B)
A． ＜x＜ B．3＜x＜
C．3＜x≤ D． ≤x＜
13.若不等式组 x＞-1，有3个整数解，则m的取值范围是 .
x＜m
14.已知一次函数y=（2a-3）x+a+2的图象在-2≤x≤1的一段都在x轴上方，求a的取值范围.
C素养升华
15.已知关于x，y的方程组 2x+3y=7n+1，①的解满足x＜0，y＞0．
2x-3y=n-17，②
（1）求方程组的解（用含n的式子表示）；
（2）求n的取值范围．6 一元一次不等式组
第1课时 一元一次不等式组的解法
1.一元一次不等式组：一般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.
自测1 下列属于一元一次不等式组的是 (D)
A. x-y＞0，
y+z＞0
B. x2-x＞0，
x+1＜0
C. y+2＞0，
x+y＜0
D. 2x+3＞0，
x＞0
2.一个一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分，叫做一元一次不等式组的解集.
自测2 不等式组 x+1＞0，的解集是 (B)
x-3＞0
A.x＞-1 B.x＞3
C.-1＜x＜3 D.x＜3
知识点1 一元一次不等式组的概念
1.下列不等式组中，是一元一次不等式组的是 (A)
A. x＞2，
x＜-3
B. x+1＞0，
y-2＜0
C. 3x-2＞0，
x2-6＜0
D. 3x+4＞0，
x+1<2y
2.下列不等式组：① x＞-4，② x＞0，③ (x+1)(x-1)>x，
x＜7， x+2＞4， x2+2＞4，
④ x+3＞0，⑤ x+1＞0，
x＜-7， y-1＜0.
x+5≥6，
其中一元一次不等式组的个数是 (B)
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
知识点2 一元一次不等式组的解法
3.不等式组 2x-1≥1，的解集在数轴上表示为 (C)
x-2＜0
A B
C D
4.不等式组 x-3＜1，的解集为2≤x<4.
2-x≤0
5.解不等式组：4x+6>1-x,
3(x-1)≤x+5.
解：4x+6>1-x，①
3(x-1)≤x+5，②
由①，得5x>-5，∴x>-1.
由②，得3x-3≤x+5，∴2x≤8.
∴x≤4.
∴不等式组的解集为-1［易错提醒：忽略边界条件而致错］
6.若关于x的不等式组 x+6<2+3x,有且只有四个整数解，则实数a的取值范围是 (C)
>x
A．12≤a≤14 B．12＜a＜14
C．12＜a≤14 D．12≤a＜14
A基础过关
7.下列不等式组中，是一元一次不等式组的是 (D)
A. x+2≤3，
-3＜2
B. x+y＜2，
3x+1＞0
C. 3＞2+x2，
2x≥4
D. x≤3，
x＞6
8.不等式组 2x-1＞x+1，的解集是x>3.
x+8＜4x-1
9.若P(a，4-a)是第一象限的点，则a的取值范围是010.解下列一元一次不等式组，并在数轴上表示出其解集.
（1） 1+x＞-2， （2）2x+1≥0,
≤1； ->1.
解：(1)∵ 1+x>-2,①
≤1,②
由①，得x>-3.由②，得x≤2.
∴不等式组的解集为-3将不等式组的解集在数轴上表示为
(2) 2x+1≥0,①
->1,②
由①,得x≥-.
由②，得2(x+5)-3x>6，解得x<4.
∴不等式组的解集为-≤x<4.
将不等式组的解集在数轴上表示为
B能力提升
11.已知关于x的方程k-2x=3（k-2）的解为非负整数，且关于x的不等式组 x-2(x-1)≤3,
≥x有解，则符合条件的整数k的值的和为 (D)
A．2 B．3 C．4 D．5
12.规定［x］为不大于x的最大整数，如［3.6］=3，［-2.1］=-3，若［x+］＝3且［3-2x］=-4，则x的取值范围为(B)
A．＜x＜ B．3＜x＜
C．3＜x≤ D．≤x＜
13.若不等式组 x＞-1，有3个整数解，则m的取值范围是2x＜m
14.已知一次函数y=（2a-3）x+a+2的图象在-2≤x≤1的一段都在x轴上方，求a的取值范围.
解：因为y=(2a-3)x+a+2是一次函数，
所以2a-3≠0，即a≠.
当2a-3>0，即a>时，y随x的增大而增大，
由x=-2，得y=-4a+6+a+2=8-3a，
根据函数的图象在x轴的上方，有8-3a>0，解得当2a-3<0，即a<时，y随x的增大而减小，
由x=1，得y=2a-3+a+2=3a-1，
根据函数的图象在x轴的上方，有3a-1>0，
解得故a的取值范围是C素养升华
15.已知关于x，y的方程组 2x+3y=7n+1，①的解满足x＜0，y＞0．
2x-3y=n-17，②
（1）求方程组的解（用含n的式子表示）；
（2）求n的取值范围．
解：(1)①+②，得4x=8n-16，
解得x=2n-4，
①-②，得6y=6n+18，
解得y=n+3，
∴方程组的解为 x=2n-4,
y=n+3;
(2)∵x<0，y>0，
∴ 2n-4<0,
n+3>0.
解得-3第2课时 一元一次不等式组的解法及应用
1.一元一次不等式组解集的四种情况：
不等式组(a＜b) 图示 解集 口诀
x≥a，x≥b 大大取大
x≤a，x≤b 小小取小
x≥a，x≤b 大小、小大中间找
x≤a，x≥b 小小、大大找不到
自测1 不等式组 x≤3x+2，的解集是 .
x-1＜2-2x
2.利用不等式组解应用题，关键是找出题中的 ，列不等式组，还需要根据实际情况确定不等式组的解集.
自测2 7x+1是不小于-3的负数，表示为 ( )
A.-3≤7x+1≤0 B.-3＜7x+1＜0
C.-3≤7x+1＜0 D.-3＜7x+1≤0
知识点1 解较复杂的一元一次不等式组
1.不等式组 -1＜0，的解集是 ( )
x-1≤3(x+1)
A.x≤-2 B.-2≤x＜2
C.x＜2 D.x≥-2
2.若实数x满足4-2x＜x≤，则实数x的整数解有 ( )
A．8个 B．7个 C．6个 D．5个
知识点2 一元一次不等式组的应用
3.小星要在鱼缸里饲养A、B两种观赏鱼，A种观赏鱼的生长温度x ℃的范围是15≤x≤28，B种观赏鱼的生长温度y ℃的范围是19≤y≤25，那么鱼缸里的温度T ℃应该设定在 ( )
A.15≤T≤28 B.15≤T≤25
C.19≤T≤25 D.19≤T≤28
4.鹏鹏要剪一个底边长为7 cm，周长小于20 cm的等腰三角形卡片，若它的腰长为x cm，则x必须满足的不等式组为
［易错提醒：根据不等式组确定参数范围时考虑不全面而致错］
5.若不等式组 <1,的解集为x＜1，则a的取值范围为 .
x+a<0
A基础过关
6.对于不等式组 x-1≤7-x，下列说法正确的是 ( )
5x+2＞3(x-1)，
A.此不等式组无解
B.此不等式组有7个整数解
C.此不等式组的负整数解是-3，-2，-1
D.此不等式组的解集是-＜x≤2
7.某区的出租车起步价是8元(2 km及2 km以内为起步价)，以后每千米收费是1.6元，不足1 km按1 km收费，小明乘出租车到达目的地时计时器显示为14.4元，则出租车行驶的路程可能为 ( )
A.6.9 km B.5.5 km C.4.1 km D.3.5 km
8.若不等式组 2x-b≥0，的解集为3≤x≤4，则a+b的值为 .
x+a≤0
9.解不等式组：
4x-2≥3(x-1),
+1>x-3; (2) -2≤ ＜．
B能力提升
10.如图，按下面的程序进行运算．规定：程序运行到“判断结果是否大于35”为一次运算．若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是 ( )
A．7＜x≤11 B．7≤x＜11
C．7＜x＜11 D．7≤x≤11
11.如图，用长为50 m的铁丝一边靠墙围成两个长方形，墙的长度为40 m，要使靠墙的一边不小于35 m，那么与墙垂直的一边AB的取值范围是.
12.小华将一箱苹果放进若干个筐里，若每筐放4个，则还剩20个未放完，若每筐放8个，则还有一筐没有放满，那么这箱苹果原来共有多少个？
C素养升华
13.为了处理周边污水，某市污水处理厂决定购买A，B两型污水处理设备共20台，每台A型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元.已知1台A型污水处理设备和2台B型污水处理设备每周可以处理污水640 t，2台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1 080 t.若污水处理厂购买设备的资金不得超过230万元，要求每周的污水处理量不得低于4 500 t，请问有多少种购买方案？哪种方案所需资金最少？最少是多少？