2 图形的旋转
第1课时 旋转的定义和性质
1.在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.旋转不改变图形的形状和大小.
2.一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等.
自测 如图所示，△ABO绕点O旋转得到△CDO，在这个旋转过程中：
(1)旋转中心是点O，旋转角是∠AOC或∠BOD；
(2)如果AB=1 cm，那么CD=1 cm；
(3)如果∠AOB=20°，旋转角为40°，那么∠COD=20 °，∠BOD=40 °.
知识点1 旋转的定义
1.以下现象：①荡秋千；②转呼啦圈；③跳绳；④转陀螺.其中是旋转的有 (D)
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
知识点2 旋转的性质
2.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C′，点A在边B′C上，则∠B′的度数为 (A)
A.42°
B.48°
C.52°
D.58°
3.如图，将等边三角形CBA绕点C顺时针旋转∠α得到△CB′A′，使得B，C，A′三点在同一直线上，则∠α＝120 °.
［易错提醒：对应线段未确定时，思考不全面而致错］
4.等边三角形BDE是由△BAC逆时针旋转α（0°<α<180°）得到的，若∠EBA=95°，则旋转角的度数为35 °或95 °或155 °.
A基础过关
5.如图，将方格纸中的图形绕点O逆时针旋转90°后得到的图形是 (C)
A B
C D
6.下列各组图形中，图形甲变成图形乙，既能用平移，又能用旋转的是 (C)
A B C D
7.如图所示，将一个含30°角的直角三角尺ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一条直线上，则旋转的角度是 (D)
A.60°
B.90°
C.120°
D.150°
8.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D落在边BC上．
（1）若∠A=60°，∠E=40°，求旋转角的度数；
（2）若AC=4，CE=6，求BD的长.
解：(1)∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
∴∠E=∠B=40 °.
∴∠ACB=180 °-∠B-∠A=180 °-40 °-60 °=80 °.
∴旋转角为80 °；
(2)∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
∴CD=AC=4，BC=CE=6.
∴BD=BC-DC=6-4=2．
B能力提升
9.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在D处，则B，D两点间的距离为 (A)
A.
B.2
C.3
D.2
10.如图，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C，使点A′落在BC的延长线上.已知∠A=27°，∠B=40°，则∠ACB′=46 °.
第10题图 第11题图
11.如图，腰长为3的等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积为.
12.如图，P是等边三角形ABC中的一点，线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，连接PQ，QC．
（1）求证：PB=QC；
（2）若PA=3，PB=4，∠APB=150°，求PC的长度．
(1)证明：∵线段AP绕点A逆时针旋转60 °到AQ，
∴AP=AQ，∠PAQ=60 °.
∴△APQ是等边三角形，∠PAC+∠CAQ=60 °.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAP+∠PAC=60 °，AB=AC.
∴∠BAP=∠CAQ.
在△BAP和△CAQ中，
BA=CA，
∠BAP=∠CAQ，
AP=AQ，
∴△BAP≌△CAQ(SAS).∴PB=QC；
(2)解：由(1)得△APQ是等边三角形，
∴AP=PQ=3，∠AQP=60 °.
∵∠APB=150 °， ∴∠PQC=150 °-60 °=90 °.
∵QC=PB， ∴QC=4.
∴△PQC是直角三角形.
∴PC===5.
C素养升华
13.如图，在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=6，△AOB绕点O逆时针旋转得到△A′OB′，线段A′B′与BO的交点E恰好为BO的中点，求线段B′E的长.
解：∵∠AOB=90 °，AO=3，BO=6，
∴AB===3.
∵△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A ′OB ′处，
∴A ′O=AO，A ′B ′=AB=35.
∵E为BO的中点，
∴OE=BO=×6=3.
∴OE=A ′O.
如图，过点O作OF⊥A ′B ′于点F，
∵S△A ′OB ′=A ′B ′·OF=A ′O·B ′O，
∴×3·OF=×3×6. 答图
解得OF=.
在Rt△EOF中，
EF===,
∵OE=A ′O,OF⊥A ′B ′,
∴A ′E=2EF=2×=(等腰三角形三线合一).
∴B ′E=A ′B ′-A ′E=3-=.2 图形的旋转
第2课时 旋转作图
旋转作图的步骤：(1)确定旋转中心、旋转角度、旋转方向.(2)找出图形的关键点.(3)作出关键点经旋转后的对应点.(4)按图形的顺序连接对应点，得到旋转后的图形.
自测 如图，将一个长方形绕着它的一个顶点D，顺时针旋转60°，作出旋转后的图形A1B1C1D.
答图
解：旋转后的图形A1B1C1D如图所示：
知识点1 简单的旋转作图
1.将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是 (C)
A B C D
2.将图形绕其中心旋转180°后的图形是(画出图形).
［易错提醒：旋转作图时，弄错旋转角和旋转方向而致错］
3.如图，在正方形ABCD中，E是边CD的中点．把△ADE绕点A按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的图形．
答图
解：如图所示：
A基础过关
4.将如图所示的图案绕点O按顺时针方向旋转90°，得到的图案是 (C)
A B C D
B能力提升
5.如图，4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度得到△M1N1P1，则其旋转中心是点B.
第5题图 第6题图
6.△ABC在平面直角坐标系中如图摆放，点A，B，C的坐标分别为(-4，1)，(-1，-1)，(-3，2)，若将△ABC绕点B按顺时针方向旋转90°，则A点的对应点的坐标为(1，2).
7.△ABC在如图所示的平面直角坐标系中．
（1）将△ABC先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，画出平移后对应的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°，画出旋转后对应的△A2B2C2．
答图
解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)如图，△A2B2C2即为所求．2 图形的旋转
第2课时 旋转作图
旋转作图的步骤：(1)确定旋转 、旋转 、旋转 .(2)找出图形的关键点.(3)作出关键点经旋转后的对应点.(4)按图形的顺序连接对应点，得到旋转后的图形.
自测 如图，将一个长方形绕着它的一个顶点D，顺时针旋转60°，作出旋转后的图形A1B1C1D.
知识点1 简单的旋转作图
1.将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是 ( )
A B C D
2.将图形绕其中心旋转180°后的图形是 (画出图形).
［易错提醒：旋转作图时，弄错旋转角和旋转方向而致错］
3.如图，在正方形ABCD中，E是边CD的中点．把△ADE绕点A按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的图形．
A基础过关
4.将如图所示的图案绕点O按顺时针方向旋转90°，得到的图案是 ( )
A B C D
B能力提升
5.如图，4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度得到△M1N1P1，则其旋转中心是 .
第5题图 第6题图
6.△ABC在平面直角坐标系中如图摆放，点A，B，C的坐标分别为(-4，1)，(-1，-1)，(-3，2)，若将△ABC绕点B按顺时针方向旋转90°，则A点的对应点的坐标为 .
7.△ABC在如图所示的平面直角坐标系中．
（1）将△ABC先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，画出平移后对应的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°，画出旋转后对应的△A2B2C2．2 图形的旋转
第1课时 旋转的定义和性质
1.在平面内，将一个图形绕一个 按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为 ，这个定点称为 ，转动的角称为 .旋转不改变图形的形状和 .
2.一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离 ，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于 ；对应线段 ，对应角 .
自测 如图所示，△ABO绕点O旋转得到△CDO，在这个旋转过程中：
(1)旋转中心是 ，旋转角是 ；
(2)如果AB=1 cm，那么CD= ；
(3)如果∠AOB=20°，旋转角为40°，那么∠COD= ，∠BOD= .
知识点1 旋转的定义
1.以下现象：①荡秋千；②转呼啦圈；③跳绳；④转陀螺.其中是旋转的有 ( )
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
知识点2 旋转的性质
2.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C′，点A在边B′C上，则∠B′的度数为 ( )
A.42°
B.48°
C.52°
D.58°
3.如图，将等边三角形CBA绕点C顺时针旋转∠α得到△CB′A′，使得B，C，A′三点在同一直线上，则∠α＝ .
［易错提醒：对应线段未确定时，思考不全面而致错］
4.等边三角形BDE是由△BAC逆时针旋转α（0°<α<180°）得到的，若∠EBA=95°，则旋转角的度数为 .
A基础过关
5.如图，将方格纸中的图形绕点O逆时针旋转90°后得到的图形是 ( )
A B
C D
6.下列各组图形中，图形甲变成图形乙，既能用平移，又能用旋转的是 ( )
A B C D
7.如图所示，将一个含30°角的直角三角尺ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一条直线上，则旋转的角度是 ( )
A.60°
B.90°
C.120°
D.150°
8.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D落在边BC上．
（1）若∠A=60°，∠E=40°，求旋转角的度数；
（2）若AC=4，CE=6，求BD的长.
B能力提升
9.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在D处，则B，D两点间的距离为 ( )
A.
B.2
C.3
D.2
10.如图，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C，使点A′落在BC的延长线上.已知∠A=27°，∠B=40°，则∠ACB′= .
第10题图 第11题图
11.如图，腰长为3的等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积为 .
12.如图，P是等边三角形ABC中的一点，线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，连接PQ，QC．
（1）求证：PB=QC；
（2）若PA=3，PB=4，∠APB=150°，求PC的长度．
C素养升华
13.如图，在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=6，△AOB绕点O逆时针旋转得到△A′OB′，线段A′B′与BO的交点E恰好为BO的中点，求线段B′E的长.
