2 提公因式法
第1课时 公因式为单项式的因式分解
1.多项式的各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式.
自测1 多项式3x2-3x中各项的公因式为 (C)
A.3 B.x C.3x D.3x2
2.如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式的乘积的形式.这种因式分解的方法叫做提公因式法.
自测2 把多项式a2-4a分解因式，结果正确的是 (A)
A.a(a-4) B.(a+2)(a-2)
C.a(a+2)(a-2) D.(a-2)2-4
知识点1 公因式
1.6a2b与8ab2的公因式是 (C)
A.a2b2 B.6ab C.2ab D.24a2b2
2.多项式3a2b3+9a3b2中各项的公因式是3a2b2.
知识点2 用提公因式法分解因式
3.把多项式x2-x提取公因式x后，余下的部分是 (B)
A.x B.x-1 C.x+1 D.x2
4.将-a2b-ab2提公因式后，另一个因式是 (A)
A.a+2b B.-a+2b
C.-a-b D.a-2b
5.因式分解：6x2-3x=3x(2x-1).
6.若a=49，b=109，则ab-9a=4 900.
7.用提公因式法因式分解：
(1)a2x2-axy；
解：a2x2-axy
=ax·ax-ax·y
=ax(ax-y);
(2)-2x2-12xy2；
解：-2x2-12xy2
=(-2x)·x+(-2x)·6y2
=-2x(x+6y2)；
(3)6m2n+30m2n2.
解：6m2n+30m2n2
=6m2n·1+6m2n·5n
=6m2n(5n+1).
8.已知xy=-3,且x-y=2，求多项式x2y-xy2的值.
解：x2y-xy2=xy(x-y)，
又∵xy=-3，x-y=2，
∴x2y-xy2=-3×2=-6.
［易错提醒：提公因式漏项而致错］
9.因式分解：18a2-27ab+3a=3a(6a-9b+1).
A基础过关
10.下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是 (B)
A.x2-y B.x2+2x
C.x2+y2 D.x2-x+y2
11.多项式18a2b2-12a3b2c-6ab2中各项的公因式是 (A)
A.-6ab2 B.-6ab2c
C.-ab2 D.-6a3b2c
12.下列分解因式正确的是 (D)
A.2x2-4xy=x(2x-4y)
B.a3+2a2+a=a(a2+2a)
C.-2a-2b=2(a+b)
D.-a2+a=-a(a-1)
13.将a3+2a2分解因式的结果是a2(a+2).
14.用提公因式法分解因式：
(1)4a2+6ab+2a；
解：4a2+6ab+2a
=2a·2a+2a·3b+2a
=2a(2a+3b+1)；
(2)-27m2n2+18m2n-36mn.
解：-27m2n2+18m2n-36mn
=-9mn·3mn-9mn·(-2m)-9mn·4
=-9mn(3mn-2m+4).
B能力提升
15.当a，b互为相反数时，代数式a2+ab-2的值为 (C)
A.2 B.0 C.-2 D.-1
16.将-22 022-(-2)2 023分解因式后的结果是 (A)
A.22 022 B.-2
C.-22 022 D.-1
17.边长为a,b的长方形，其周长为14，面积为10，则a2b+2ab+ab2的值为90.
18.利用因式分解进行简便计算：
（1）2 022+2 0222-2 0232；
解：2 022+2 0222-2 0232
=2 022×(1+2 022)-2 0232
=2 022×2 023-2 023×2 023
=2 023×(2 022-2 023)
=-2 023；
（2）29×40.82+72×40.82-40.82.
解：29×40.82+72×40.82-40.82
=(29+72-1)×40.82
=100×40.82
=4 082.
C素养升华
19.阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22 022+22 023的值．
解：设S=1+2+22+23+24+…+22 022+22 023①，将等式两边同时乘2，得
2S=2+22+23+24+25+…+22 023+22 024②，
②-①，得2S-S=22 024-1，即S=22 024-1，
所以1+2+22+23+24+…+22 022+22 023=22 024-1．
请你仿照此法计算：
1+3+32+33+34+…+3n-1+3n（其中n为正整数）．
解：设S=1+3+32+33+34+…+3n，①
将等式两边同时乘3，得
3S=3+32+33+34+…+3n+3n+1，②
②-①得3S-S=3n+1-1，
即S=(3n+1-1).
∴1+3+32+33+34+…+3n=(3n+1-1)．2 提公因式法
第2课时 公因式为多项式的因式分解
公因式可以是单项式，也可以是多项式.当n为 时，(a-b)n=(b-a)n；当n为 时，(a-b)n=-(b-a)n.
自测 因式分解：(2a+b)(2a-b)+2(2a+b)= .
知识点1 公因式为多项式的因式分解
1.下面给出的四组整式中，有公因式的一组是 ( )
A.a+b和a2+b2 B.a-b和a2b-ab2
C.a2b2和a2+b2 D.a-b和a2b2
2.把多项式3m(x-y)-2(y-x)2分解因式的结果是 ( )
A.(x-y)(3m-2x-2y)
B.(x-y)(3m-2x+2y)
C.(x-y)(3m+2x-2y)
D.(y-x)(3m+2x-2y)
3.因式分解：9a(x-y)+3b(y-x)= .
4.已知x+y=5，x-y=-3，则x(x-y)-(y-x)y= .
5.因式分解：
(1)(2a+b)(2a-3b)-3a(2a+b)；
(2)x(x+y)(x-y)-x(x+y)2；
(3)3xn(1-x)+2(xn+1-xn).
6.先因式分解2x(a-2)+y(a-2)，再求值，其中a=0.5，x=1.5，y=-2.
［易错提醒：忽略公因式中的数字因数而导致因式分解不彻底］
7.因式分解：(x+5y)(x-xy)-x(1-y)(y-x)= .
A基础过关
8.在m(a-x)(x-b)-mn(a-x)(b-x)中，各项的公因式是 ( )
A.m B.m(a-x)
C.m(a-x)(b-x) D.(a-x)(b-x)
9.因式分解b2(x-3)+b(3-x)的正确结果是 ( )
A.(x-3)(b2-b)
B.(x-3)(b-1)
C.(x-3)(b2+b)
D.b(x-3)(b-1)
10.分解因式：(3a-b)(a-b)-ab+b2= .
11.将下列各式进行因式分解：
(1)6p(p+q)-4q(p+q);
(2)(y-x)(a-b-c)+(x-y)(b-a-c);
(3)(x+y)2(x-y)-(x+y)(x-y)2.
B能力提升
12.设M=a(a+1)(a-2)，N=a(a-1)(a-2)，那么M-N等于 ( )
A.(a-1)(a-2) B.a2-a
C.(a-1)(a-2) D.a2-a
13.把-6(x-y)3-3y(y-x)3分解因式，结果是 ( )
A.-(x-y)3(2-y)
B.-(x-y)3(6-3y)
C.3(x-y)3(y+2)
D.3(x-y)3(y-2)
14.已知（2x-21）（3x-7）-（3x-7）（x-13）可分解因式为（3x+a）（x+b），其中a，b均为整数，则a+3b的值为 ．
15.先将代数式进行因式分解，再求值:
(1)(2x-y)(2x+y)-(2y+x)(y-2x)，其中x=2，y=1；
(2)x2(b+c-d)-2x(d-b-c)-(4d-4c-4b)，其中x=1，b=2，c=3，d=4.
C素养升华
16.阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2
=（1+x）［1+x+x（x+1）］
=（1+x）2（1+x）
=（1+x）3.
（1）上述分解因式的方法是 ，共用了次 ；
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2 023，则结果是 ；
（3）依照上述方法分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．2 提公因式法
第1课时 公因式为单项式的因式分解
1.多项式的各项都含有的 因式，叫做这个多项式各项的公因式.
自测1 多项式3x2-3x中各项的公因式为 ( )
A.3 B.x C.3x D.3x2
2.如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式的 的形式.这种因式分解的方法叫做提公因式法.
自测2 把多项式a2-4a分解因式，结果正确的是 ( )
A.a(a-4) B.(a+2)(a-2)
C.a(a+2)(a-2) D.(a-2)2-4
知识点1 公因式
1.6a2b与8ab2的公因式是 ( )
A.a2b2 B.6ab C.2ab D.24a2b2
2.多项式3a2b3+9a3b2中各项的公因式是 .
知识点2 用提公因式法分解因式
3.把多项式x2-x提取公因式x后，余下的部分是 ( )
A.x B.x-1 C.x+1 D.x2
4.将-a2b-ab2提公因式后，另一个因式是 ( )
A.a+2b B.-a+2b
C.-a-b D.a-2b
5.因式分解：6x2-3x= .
6.若a=49，b=109，则ab-9a= .
7.用提公因式法因式分解：
(1)a2x2-axy；
(2)-2x2-12xy2；
(3)6m2n+30m2n2.
8.已知xy=-3,且x-y=2，求多项式x2y-xy2的值.
［易错提醒：提公因式漏项而致错］
9.因式分解：18a2-27ab+3a= .
A基础过关
10.下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是 ( )
A.x2-y B.x2+2x
C.x2+y2 D.x2-x+y2
11.多项式18a2b2-12a3b2c-6ab2中各项的公因式是 ( )
A.-6ab2 B.-6ab2c
C.-ab2 D.-6a3b2c
12.下列分解因式正确的是 ( )
A.2x2-4xy=x(2x-4y)
B.a3+2a2+a=a(a2+2a)
C.-2a-2b=2(a+b)
D.-a2+a=-a(a-1)
13.将a3+2a2分解因式的结果是 .
14.用提公因式法分解因式：
(1)4a2+6ab+2a；
(2)-27m2n2+18m2n-36mn.
B能力提升
15.当a，b互为相反数时，代数式a2+ab-2的值为 ( )
A.2 B.0 C.-2 D.-1
16.将-22 022-(-2)2 023分解因式后的结果是 ( )
A.22 022 B.-2
C.-22 022 D.-1
17.边长为a,b的长方形，其周长为14，面积为10，则a2b+2ab+ab2的值为 .
18.利用因式分解进行简便计算：
（1）2 022+2 0222-2 0232；
（2）29×40.82+72×40.82-40.82.
C素养升华
19.阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22 022+22 023的值．
解：设S=1+2+22+23+24+…+22 022+22 023①，将等式两边同时乘2，得
2S=2+22+23+24+25+…+22 023+22 024②，
②-①，得2S-S=22 024-1，即S=22 024-1，
所以1+2+22+23+24+…+22 022+22 023=22 024-1．
请你仿照此法计算：
1+3+32+33+34+…+3n-1+3n（其中n为正整数）．2 提公因式法
第2课时 公因式为多项式的因式分解
公因式可以是单项式，也可以是多项式.当n为偶数时，(a-b)n=(b-a)n；当n为奇数时，(a-b)n=-(b-a)n.
自测 因式分解：(2a+b)(2a-b)+2(2a+b)=(2a+b)(2a-b+2).
知识点1 公因式为多项式的因式分解
1.下面给出的四组整式中，有公因式的一组是 (B)
A.a+b和a2+b2 B.a-b和a2b-ab2
C.a2b2和a2+b2 D.a-b和a2b2
2.把多项式3m(x-y)-2(y-x)2分解因式的结果是 (B)
A.(x-y)(3m-2x-2y)
B.(x-y)(3m-2x+2y)
C.(x-y)(3m+2x-2y)
D.(y-x)(3m+2x-2y)
3.因式分解：9a(x-y)+3b(y-x)=3(x-y)(3a-b).
4.已知x+y=5，x-y=-3，则x(x-y)-(y-x)y=-15.
5.因式分解：
(1)(2a+b)(2a-3b)-3a(2a+b)；
解：(2a+b)(2a-3b)-3a(2a+b)
=(2a+b)(2a-3b-3a)
=(2a+b)(-a-3b)
=-(2a+b)(a+3b)；
(2)x(x+y)(x-y)-x(x+y)2；
解：x(x+y)(x-y)-x(x+y)2
=x(x+y)［(x-y)-(x+y)］
=x(x+y)(-2y)
=-2xy(x+y)；
(3)3xn(1-x)+2(xn+1-xn).
解：3xn(1-x)+2(xn+1-xn)
=3xn(1-x)+2xn(x-1)
=xn［3(1-x)+2(x-1)］
=xn(1-x).
6.先因式分解2x(a-2)+y(a-2)，再求值，其中a=0.5，x=1.5，y=-2.
解：2x(a-2)-y(2-a)=(a-2)(2x+y)，
∵a=0.5,x=1.5,y=-2,
∴原式=(0.5-2)×(2×1.5-2)=-1.5.
［易错提醒：忽略公因式中的数字因数而导致因式分解不彻底］
7.因式分解：(x+5y)(x-xy)-x(1-y)(y-x)=2x(1-y)(x+2y).
A基础过关
8.在m(a-x)(x-b)-mn(a-x)(b-x)中，各项的公因式是 (C)
A.m B.m(a-x)
C.m(a-x)(b-x) D.(a-x)(b-x)
9.因式分解b2(x-3)+b(3-x)的正确结果是 (D)
A.(x-3)(b2-b)
B.(x-3)(b-1)
C.(x-3)(b2+b)
D.b(x-3)(b-1)
10.分解因式：(3a-b)(a-b)-ab+b2=(a-b)(3a-2b).
11.将下列各式进行因式分解：
(1)6p(p+q)-4q(p+q);
解：原式=(p+q)(6p-4q)
=2(p+q)(3p-2q);
(2)(y-x)(a-b-c)+(x-y)(b-a-c);
解：原式=(y-x)(a-b-c)-(y-x)(b-a-c)
=(y-x)［(a-b-c)-(b-a-c)］
=(y-x)(2a-2b)
=2(y-x)(a-b);
(3)(x+y)2(x-y)-(x+y)(x-y)2.
解：原式=(x+y)(x-y)［(x+y)-(x-y)］
=(x+y)(x-y)·2y
=2y(x+y)(x-y).
B能力提升
12.设M=a(a+1)(a-2)，N=a(a-1)(a-2)，那么M-N等于 (D)
A.(a-1)(a-2) B.a2-a
C.(a-1)(a-2) D.a2-a
13.把-6(x-y)3-3y(y-x)3分解因式，结果是 (D)
A.-(x-y)3(2-y)
B.-(x-y)3(6-3y)
C.3(x-y)3(y+2)
D.3(x-y)3(y-2)
14.已知（2x-21）（3x-7）-（3x-7）（x-13）可分解因式为（3x+a）（x+b），其中a，b均为整数，则a+3b的值为-31．
15.先将代数式进行因式分解，再求值:
(1)(2x-y)(2x+y)-(2y+x)(y-2x)，其中x=2，y=1；
解：(2x-y)(2x+y)-(2y+x)(y-2x)
=(2x-y)(2x+y)+(2y+x)(2x-y)
=(2x-y)(2x+y+2y+x)
=3(x+y)(2x-y)，
∵x=2,y=1,∴原式=3×3×3=27；
(2)x2(b+c-d)-2x(d-b-c)-(4d-4c-4b)，其中x=1，b=2，c=3，d=4.
解：x2(b+c-d)-2x(d-b-c)-(4d-4c-4b)
=x2(b+c-d)+2x(b+c-d)+4(b+c-d)
=(b+c-d)(x2+2x+4),
∵x=1,b=2,c=3,d=4,
∴原式=(2+3-4)×(1+2+4)=7.
C素养升华
16.阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2
=（1+x）［1+x+x（x+1）］
=（1+x）2（1+x）
=（1+x）3.
（1）上述分解因式的方法是 ，共用了次 ；
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2 023，则结果是 ；
（3）依照上述方法分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．
解：(1)提公因式法 2
(2)(1+x)2 024
(3)1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n
=(1+x)［1+x+x(x+1)+…+x(x+1)n-1］
=(1+x)2［(1+x+x(x+1)+…+x(x+1)n-2］
…
=(1+x)n+1．
