3 公式法
第1课时 用平方差公式因式分解
把乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2反过来，就得到平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).运用这个公式可将两个项的平方差分解因式.
自测 因式分解x2-4的结果是 (C)
A.x(x-4) B.x(x-2)2
C.(x-2)(x+2) D.x(x+2)2
知识点1 用平方差公式因式分解
1.下列各多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是 (C)
A.a2+b2 B.y2+9
C.-25+a2 D.-x2-y2
2.分解因式16-x2的结果是 (A)
A.(4-x)(4+x) B.(x-4)(x+4)
C.(8+x)(8-x) D.(4-x)2
3.分解因式：a2-4b2=(a+2b)(a-2b).
4.把下列各式分解因式：
(1)(2a+b)2-(a+2b)2；
解：(2a+b)2-(a+2b)2
=(2a+b+a+2b)(2a+b-a-2b)
=(3a+3b)(a-b)
=3(a+b)(a-b)；
(2)2x3-8x；
解：2x3-8x
=2x(x2-4)
=2x(x+2)(x-2)；
(3)9(m+n)2-(m-n)2.
解：9(m+n)2-(m-n)2
=［3(m+n)］2-(m-n)2
=［3(m+n)+(m-n)］［3(m+n)-(m-n)］
=(4m+2n)(2m+4n)
=4(2m+n)(m+2n).
知识点2 用平方差公式因式分解的应用
5.若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为(A)
A.-21 B.21 C.-10 D.10
6.已知长方形的面积是49a2-4b2，一边长是7a-2b，则另一边长是7a+2b.
7.某小区有一块边长为13.2 m的正方形空地，物业准备在四个角修建边长为3.4 m的正方形喷水池，剩余部分铺设草皮，需要准备多大面积的草皮？
解：13.22-4×3.42
=13.22-(2×3.4)2
=13.22-6.82
=(13.2+6.8)(13.2-6.8)
=20×6.4
=128(m2).
故需要准备128 m2的草皮.
［易错提醒：对公式特点掌握不准确而导致因式分解不彻底］
8.因式分解：x4-y4=(x2+y2)(x+y)(x-y).
A基础过关
9.下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是 (D)
A.x2+x B.x2-8x-16
C.x2+4 D.x2-1
10.分解因式(2x+3)2-x2的结果是 (D)
A.3(x2-4x-3) B.3(x2-2x-3)
C.3(x-1)(x-3) D.3(x+1)(x+3)
11.分解因式：a3b-9ab=ab(a+3)(a-3).
12.已知x-y+2+=0，则x2-y2的值为-4.
13.把下列各式分解因式：
(1)25a2-b2；
解：25a2-b2
=(5a)2-(b)2
=(5a+b)(5a-b)；
(2)a4-16；
解：a4-16
=(a2)2-42
=(a2+4)(a2-4)
=(a2+4)(a+2)(a-2)；
(3)-4(x-2y)2+9(x+y)2.
解：-4(x-2y)2+9(x+y)2
=(3x+3y)2-(2x-4y)2
=(3x+3y+2x-4y)(3x+3y-2x+4y)
=(5x-y)(x+7y).
B能力提升
14.已知a，b，c是△ABC的三条边，则代数式(a-c)2-b2的值是 (C)
A.正数 B.0
C.负数 D.无法确定
15.计算101×1022-101×982的结果为 (D)
A.404 B.808
C.40 400 D.80 800
16.已知多项式A与多项式B相乘时能直接运用平方差公式进行运算，其中B=2x-3y,则当x+y=2时，多项式A的值是±4．
17.已知a≠b，若a2-a=b2-b，求a+b的值.
解：∵a2-a=b2-b，
∴a2-b2=a-b.(a-b)(a+b)=a-b.
∵a≠b,∴a+b=1.
18.已知n为整数，试说明(n+7)2-(n-3)2一定能被20整除.
解：(n+7)2-(n-3)2
=(n+7-n+3)(n+7+n-3)
=10(2n+4)
=20(n+2).
∵n是整数，
∴20(n+2)能被20整除.
∴原式能被20整除.
C素养升华
19.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“奇巧数”．
如4=22-02，12=42-22，20=62-42，…，所以4，12，20都是“奇巧数”.
（1）小明同学在演算后发现，一个正奇数4倍的数一定是“奇巧数”，请你说明理由；
（2）2 020是“奇巧数”吗？为什么？
解：(1)设两个连续的偶数分别为2n,2n+2(n为整数)，
则“奇巧数”a可表示为
a=|(2n+2)2-(2n)2|.
因式分解，得
a=|(2n+2-2n)(2n+2+2n)|,
a=|2(4n+2)|,a=4|2n+1|.
∵n为整数，
∴|2n+1|为正奇数.
∴一个正奇数4倍的数一定是“奇巧数”；
(2)2 020是“奇巧数”．理由如下：
∵2 020=4×505，
即2 020是奇数505的4倍，
∴由(1)可知2 020是“奇巧数”．3 公式法
第1课时 用平方差公式因式分解
把乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2反过来，就得到平方差公式： .运用这个公式可将两个项的平方差分解因式.
自测 因式分解x2-4的结果是 ( )
A.x(x-4) B.x(x-2)2
C.(x-2)(x+2) D.x(x+2)2
知识点1 用平方差公式因式分解
1.下列各多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是 ( )
A.a2+b2 B.y2+9
C.-25+a2 D.-x2-y2
2.分解因式16-x2的结果是 ( )
A.(4-x)(4+x) B.(x-4)(x+4)
C.(8+x)(8-x) D.(4-x)2
3.分解因式：a2-4b2= .
4.把下列各式分解因式：
(1)(2a+b)2-(a+2b)2；
(2)2x3-8x；
(3)9(m+n)2-(m-n)2.
知识点2 用平方差公式因式分解的应用
5.若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为( )
A.-21 B.21 C.-10 D.10
6.已知长方形的面积是49a2-4b2，一边长是7a-2b，则另一边长是 .
7.某小区有一块边长为13.2 m的正方形空地，物业准备在四个角修建边长为3.4 m的正方形喷水池，剩余部分铺设草皮，需要准备多大面积的草皮？
［易错提醒：对公式特点掌握不准确而导致因式分解不彻底］
8.因式分解：x4-y4= .
A基础过关
9.下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是 ( )
A.x2+x B.x2-8x-16
C.x2+4 D.x2-1
10.分解因式(2x+3)2-x2的结果是 ( )
A.3(x2-4x-3) B.3(x2-2x-3)
C.3(x-1)(x-3) D.3(x+1)(x+3)
11.分解因式：a3b-9ab= .
12.已知x-y+2+=0，则x2-y2的值为 .
13.把下列各式分解因式：
(1)25a2-b2；
(2)a4-16；
(3)-4(x-2y)2+9(x+y)2.
B能力提升
14.已知a，b，c是△ABC的三条边，则代数式(a-c)2-b2的值是 ( )
A.正数 B.0
C.负数 D.无法确定
15.计算101×1022-101×982的结果为 ( )
A.404 B.808
C.40 400 D.80 800
16.已知多项式A与多项式B相乘时能直接运用平方差公式进行运算，其中B=2x-3y,则当x+y=2时，多项式A的值是 ．
17.已知a≠b，若a2-a=b2-b，求a+b的值.
18.已知n为整数，试说明(n+7)2-(n-3)2一定能被20整除.
C素养升华
19.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“奇巧数”．
如4=22-02，12=42-22，20=62-42，…，所以4，12，20都是“奇巧数”.
（1）小明同学在演算后发现，一个正奇数4倍的数一定是“奇巧数”，请你说明理由；
（2）2 020是“奇巧数”吗？为什么？3 公式法
第2课时 用完全平方公式因式分解
1.(1)完全平方公式：把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就得到a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2.运用这两个公式可将一个完全平方式分解因式；
(2)完全平方式：形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式.
2.公式法：根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法.
自测 把多项式x2-6x+9分解因式，结果正确的是 (A)
A.(x-3)2 B.(x-9)2
C.(x+3)(x-3) D.(x+9)(x-9)
知识点1 用完全平方公式分解因式
1.下面各整式能直接运用完全平方公式分解因式的是 (C)
A.x2-x-1 B.x2-2x-1
C.-2x+x2+1 D.2x-x2+1
2.已知x2-12x+b是完全平方式，则常数b的值为36.
3.若a+b=2，则a2+ab+b2=2.
4.分解因式：
(1)x3+2x2y+xy2；
解：x3+2x2y+xy2
=x(x2+2xy+y2)
=x(x+y)2；
(2)4(x+y)2+25-20(x+y).
解：4(x+y)2+25-20(x+y)
=(2x+2y)2-2·(2x+2y)·5+52
=(2x+2y-5)2.
知识点2 用公式法分解因式的应用
5.下列因式分解错误的是 (B)
A.x2-y2=(x+y)(x-y)
B.x2+y2=(x-y)2
C.x2-xy=x(x-y)
D.x2+6x+9=(x+3)2
6.已知代数式-a2+2a-1，无论a取任何值，它的值一定是 (B)
A.正数 B.非正数 C.负数 D.非负数
7.已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2-4a-8b+20=0，求△ABC的最大边长c的取值范围.
解：∵a2+b2-4a-8b+20=0,
∴a2-4a+4+b2-8b+16=0,
即(a-2)2+(b-4)2=0,
∴a=2,b=4.∴4-2∴2∵c为最大边长，
∴4≤c<6.
［易错提醒：忽略完全平方式中第二项系数为负的情况导致漏解］
8.多项式9x2+1加上一个单项式(x的一次式)后成为一个整式的完全平方式，那么加上的单项式可以是6x或-6x.
A基础过关
9.分解因式2x2-4x+2的结果是 (C)
A.2x(x-2) B.2(x2-2x+1)
C.2(x-1)2 D.(2x-2)2
10.多项式x2-mxy+9y2能用完全平方公式进行因式分解，则m的值是 (D)
A.3 B.6 C.±3 D.±6
11.分解因式：3x2-6xy+3y2=3(x-y)2.
12.用因式分解的方法进行简便计算：
(1)1772+232+46×177；
解：1772+232+46×177
=1772+232+2×23×177
=(177+23)2
=40 000；
(2)992+198+1.
解：992+198+1
=992+2×99×1+12
=(99+1)2
=10 000.
13.已知a+b=-，求代数式(a-1)2+b(2a+b)+2a的值.
解：原式=a2-2a+1+2ab+b2+2a
=(a+b)2+1，
将a+b=-代入，得
原式=(-)2+1=3.
B能力提升
14.若M=a2-a，N=a-2，则M,N的大小关系是 (A)
A.M＞N B.M＜N
C.M=N D.无法确定
15.已知m2=4n+a,n2=4m+a,m≠n，则m2+2mn+n2的值为 (A)
A.16 B.12
C.10 D.无法确定
16.已知x2-ax+4=（bx+2）2，其中a，b是常数，则a+b=±3.
17.已知xy-4+(x-2y-2)2=0，求x2+4xy+4y2的值.
解：由题意，得
xy-4=0,
x-2y-2=0,
即 xy=4,
x-2y=2.
x2+4xy+4y2=x2-4xy+4y2+8xy
=(x-2y)2+8xy
=22+8×4
=36.
C素养升华
18.小颖同学在对多项式（x2-6x+3）（x2-6x+15）+36进行因式分解的过程中发现，如果把x2-6x看成一个整体，用一个新的字母代替，此多项式就可以运用公式法进行因式分解，以下是她的做法：
设x2-6x=y，原式=（y+3）（y+15）+36=y2+18y+81=（y+9）2=（x2-6x+9）2．
（1）小颖同学进行因式分解所得到的最终结果是否分解彻底？如果不彻底，请直接写出因式分解最终的结果；
（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2-2x）（x2-2x+2）+1进行因式分解．
解：(1)不彻底，因式分解的最终结果为(x-3)4；
(2)设x2-2x=y，
原式=y(y+2)+1
=y2+2y+1
=(y+1)2
=(x2-2x+1)2
=(x-1)4．3 公式法
第2课时 用完全平方公式因式分解
1.(1)完全平方公式：把乘法公式(a+b)2= ,(a-b)2= 反过来，就得到a2+2ab+b2= ，a2-2ab+b2= .运用这两个公式可将一个完全平方式分解因式；
(2)完全平方式：形如 的式子称为完全平方式.
2.公式法：根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做 .
自测 把多项式x2-6x+9分解因式，结果正确的是 ( )
A.(x-3)2 B.(x-9)2
C.(x+3)(x-3) D.(x+9)(x-9)
知识点1 用完全平方公式分解因式
1.下面各整式能直接运用完全平方公式分解因式的是 ( )
A.x2-x-1 B.x2-2x-1
C.-2x+x2+1 D.2x-x2+1
2.已知x2-12x+b是完全平方式，则常数b的值为 .
3.若a+b=2，则a2+ab+b2= .
4.分解因式：
(1)x3+2x2y+xy2；
(2)4(x+y)2+25-20(x+y).
知识点2 用公式法分解因式的应用
5.下列因式分解错误的是 ( )
A.x2-y2=(x+y)(x-y)
B.x2+y2=(x-y)2
C.x2-xy=x(x-y)
D.x2+6x+9=(x+3)2
6.已知代数式-a2+2a-1，无论a取任何值，它的值一定是 ( )
A.正数 B.非正数 C.负数 D.非负数
7.已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2-4a-8b+20=0，求△ABC的最大边长c的取值范围.
［易错提醒：忽略完全平方式中第二项系数为负的情况导致漏解］
8.多项式9x2+1加上一个单项式(x的一次式)后成为一个整式的完全平方式，那么加上的单项式可以是 .
A基础过关
9.分解因式2x2-4x+2的结果是 ( )
A.2x(x-2) B.2(x2-2x+1)
C.2(x-1)2 D.(2x-2)2
10.多项式x2-mxy+9y2能用完全平方公式进行因式分解，则m的值是 ( )
A.3 B.6 C.±3 D.±6
11.分解因式：3x2-6xy+3y2= .
12.用因式分解的方法进行简便计算：
(1)1772+232+46×177；
(2)992+198+1.
13.已知a+b=-，求代数式(a-1)2+b(2a+b)+2a的值.
B能力提升
14.若M=a2-a，N=a-2，则M,N的大小关系是 ( )
A.M＞N B.M＜N
C.M=N D.无法确定
15.已知m2=4n+a,n2=4m+a,m≠n，则m2+2mn+n2的值为 ( )
A.16 B.12
C.10 D.无法确定
16.已知x2-ax+4=（bx+2）2，其中a，b是常数，则a+b= .
17.已知xy-4+(x-2y-2)2=0，求x2+4xy+4y2的值.
C素养升华
18.小颖同学在对多项式（x2-6x+3）（x2-6x+15）+36进行因式分解的过程中发现，如果把x2-6x看成一个整体，用一个新的字母代替，此多项式就可以运用公式法进行因式分解，以下是她的做法：
设x2-6x=y，原式=（y+3）（y+15）+36=y2+18y+81=（y+9）2=（x2-6x+9）2．
（1）小颖同学进行因式分解所得到的最终结果是否分解彻底？如果不彻底，请直接写出因式分解最终的结果；
（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2-2x）（x2-2x+2）+1进行因式分解．
