4 分式方程
第3课时 分式方程的应用
在列分式方程解应用题时，对所求结果不仅要 ，还要检验是否符合实际意义.
自测 甲、乙两车工分别生产1 500个螺丝，乙采用新技术后效率是甲的3倍，因此比甲少用20 h，则乙每小时生产螺丝 个.
知识点1 分式方程的应用
1.一辆汽车开往距出发地420 km的目的地，若这辆汽车比原计划每小时多行10 km，则提前1 h到达目的地．设这辆汽车原计划的速度是x km/h，根据题意所列方程是 ( )
A．=+1 B．+1=
C.=+1 D．+1=
2.一艘轮船在两个码头之间航行.顺水航行81 km所需的时间与逆水航行69 km所需的时间相同.已知水流速度是2 km/h,则轮船在静水中的航行速度是 ( )
A．25 km/h B．24 km/h
C.23 km/h D．22 km/h
3.一项工程，甲单独做6 h完成，甲、乙合做要2 h 完成，那么乙单独做要 h完成.
［易错提醒：在列分式方程时，对数量关系把握不准］
4.某顾客第一次在商店买若干个小商品花去5元；第二次再去买该小商品时，发现每一件(共12个)降价0.8元，他第二次购买该小商品的数量是第一次的2倍，共花去2元，该顾客第一次买的小商品的个数是 ( )
A.5 B.20 C.40 D.60
A基础过关
5.小君从A地步行到B地，当走到预定时间时，离B地还有0.5 km；若把步行速度提高25%，则可比预定时间早半小时到达B地.已知A，B两地相距12.5 km，则他原来步行的速度（单位：km/h）是
( )
A.2 B.4 C.5 D.6
6.某生态示范园计划种植一批普通苹果，原计划总产量达 360 t，为了满足市场需求，后决定改种植“三优苹果”，“三优苹果”平均每亩的产量是普通苹果的1.5倍，总产量比普通苹果增加90 t，种植亩数比普通苹果减少20亩，则普通苹果平均每亩的产量为 ( )
A.3 t B.2.5 t C.4 t D.4.5 t
7.某学校准备购买一批体育器材，已知甲类器材比乙类器材的单价低10元，用150元购买甲类器材与用300元购买乙类器材的数量相同，则乙类器材的单价为 元.
8.A，B两种型号的机器加工同一种零件，已知A型机器比B型机器每小时多加工20个零件，A型机器加工400个零件所用时间与B型机器加工300个零件所用时间相同，求A型机器每小时加工零件的个数.
9.王师傅检修一条长600 m的自来水管道，计划用若干小时完成，在实际检修过程中，每小时检修管道长度是原计划的1.2倍，结果提前2 h完成任务，王师傅原计划每小时检修管道多少米？
B能力提升
10.某学校食堂需采购部分餐桌，现有A，B两个商家，A商家每张餐桌的售价比B商家的优惠15元.若该校花费2.08万元采购款在B商家购买餐桌的张数等于花费1.84万元采购款在A商家购买餐桌的张数，则A商家每张餐桌的售价为 ( )
A.115元 B.116元
C.117元 D.118元
11.某公司为增加员工收入，提高效益，2023年提出如下目标：和2022年相比，在产品的出厂价增加10%的前提下，将产品成本降低20%，使产品的利润率(利润率=×100%)较2022年翻一番，则2023年该公司产品的利润率为 ( )
A.40% B.60% C.120% D.160%
12.某商场第一次用11 000元购进某款拼装机器人进行销售，很快销售一空，商场又用24 000元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元.
(1)该商场第一次购进机器人 个；
(2)若所有机器人都按相同的标价销售，要求全部销售完毕的利润率不低于20%(不考虑其他因素)，则每个机器人的标价至少是多少元？
C素养升华
13.甲、乙、丙三名工人共同装搭一批零件．已知甲、乙、丙、丁四人聊天时的对话信息如下：
甲：我单独完成任务所需时间比乙单独完成任务所需时间多5 h.
乙：我3 h完成的工作量与甲4 h完成工作量相等.
丙：我工作效率不高，我的工作效率是乙的工作效率的.
丁：我没参加此项工作，但我可以计算你们的工作效率．知道工程问题中三者关系是工作效率×工作时间=工作总量．
如果每小时只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的顺序轮流至完成工作任务，共需多长时间？4 分式方程
第1课时 分式方程的概念及列分式方程
1.分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
2.列分式方程的步骤：(1)审清题意，明确题目中的未知数；(2)根据题意找等量关系，列出分式方程.
自测 某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产800台所需时间与原计划生产600台机器所需时间相同.设原计划平均每天生产x台机器，则下面所列方程正确的是 (A)
A.= B.=
C.= D.=
知识点1 分式方程的概念
1.下列方程中，属于分式方程的是 (B)
A.= B.=
C.x2-7=0 D.x6-x2=0
2.请写出一个未知数是x的分式方程，且当x=1 时方程没有意义：.
知识点2 列分式方程
3.某校用420元购买消毒液，经过还价，每瓶便宜0.5元，结果比按原价多买了20瓶，原价每瓶多少元？设原价每瓶x元，则可列方程为 (B)
A.-=20 B.-=20
C.-=0.5 D.-=0.5
4.有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦12 000 kg 和 14 000 kg，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少1 500 kg.如果设第一块试验田每公顷的产量为x kg，可列出方程:.
［易错提醒：根据题意列分式方程时，注意明确题中的等量关系，且数据代入无误］
5.小明周三在超市花10元钱买了几袋牛奶，周日再去买时，恰遇超市搞优惠酬宾活动.同样的牛奶，每袋比周三便宜0.5元，结果小明只比上次多花了2元钱，却比上次多买了2袋牛奶.若设他周三买了x袋牛奶，则根据题意列得方程为.
A基础过关
6.下列关于x的方程：①=5；②=；③=x-1；④=.其中是分式方程的有 (A)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.贵阳市某校举行运动会，从商场购买一定数量的笔袋和笔记本作为奖品，若每个笔袋的价格比每本笔记本的价格贵3元，且用200元购买笔记本的数量与用350元购买笔袋的数量相同.设每本笔记本的价格为x元，则下列所列方程正确的是 (B)
A.= B.=
C.= D.=
8.端午节当天，“味美早餐店”的粽子打九折出售，妈妈去该店买粽子花了54元，比平时多买了3个，平时每个粽子卖多少元？设平时每个粽子卖x元，列方程为.
9.货车行驶25 km与小车行驶35 km所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20 km，问两车的速度各为多少？设货车的速度为x km/h，依题意可列方程：.
B能力提升
10.在求3x的倒数的值时，小立误将3x看成了8x，他求得的值比正确答案小5.依上述情形，所列关系式成立的是 (B)
A.= B.=
C.=8x-5 D.=8x+5
11.两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工3个月后乙队也加入施工，两队又共同工作了2个月，总工程全部完成，已知甲队单独完成全部工程比乙队单独完成全部工程多用2个月，设甲队单独完成全部工程需x个月，则根据题意，下列方程中错误的是 (A)
A.+=1
B.++=1
C.+=1
D.+2(+)=1
12.某小区为了排污，需铺设一段全长为720 m的排污管道，为减少施工对居民生活的影响，须缩短施工时间，实际施工时每天的工作效率比原计划提高20%，结果提前2天完成任务.设原计划每天铺设x m，则可列方程为.
13.一艘船从河流上游的A港顺流而下直达B港，用一个小时将货物装船后返航，已知船在静水中的速度是50 km/h，水流速度是x km/h，A，B两港口距离为150 km，该船从A港出发到返回A港共用7.25 h，则水流速度x应满足怎样的方程？
解：由题意得，该船从A港顺流而下的速度是(x+50)km/h，从B港返回的速度是(50-x)km/h，可列方程为
+1+=7.25.
C素养升华
14.某工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，得到如下信息：
Ⅰ.甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
Ⅱ.乙队单独完成这项工程要比规定日期多6天；
Ⅲ.若甲、乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成.
（1）设甲队单独完成这项工程需要x天，工程总量为1,请完成下表；
工程总量 所用时间/天 工程效率
甲队 1 x
乙队 1 x+6
（2）根据题意及表中所得到的信息列出方程为.4 分式方程
第2课时 分式方程的解法
1.分式方程的解法：(1)方程两边都乘 ，去分母，化为整式方程；(2)解这个整式方程；(3) .
自测1 分式方程=1的解为 ( )
A.x=-2 B.x=-3
C.x=2 D.x=3
2.在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的根使原分式方程的分母为 ，则这个根叫做原方程的增根.
自测2 分式方程=的增根为 ( )
A.x=-1 B.x=1
C.x=±1 D.x=0
知识点1 分式方程的解法
1.解分式方程+=3时，去分母后变形正确的是 ( )
A.2+(x+2)=3(x-1)
B.2-x+2=3(x-1)
C.2-(x-2)=3
D.2-(x+2)=3(x-1)
2.分式方程=的解是 .
3.解方程：
(1)=1-；
(2)-=0.
知识点2 分式方程的增根
4.关于x的分式方程+3=有增根，则增根为 ( )
A.x=1 B.x=-1 C.x=3 D.x=-3
5.方程=-3有增根，则增根x= .
［易错提醒：解分式方程时应验根避免出错］
6.解方程：-1=.
A基础过关
7.分式方程=的解为 ( )
A.x=4 B.x=3 C.x=2 D.x=1
8.若关于x的方程=有增根，则m的值为 ( )
A.0 B.1 C.-1 D.2
9.若关于x的方程=2+无解，则m的值为 ( )
A.-5 B.-8 C.-2 D.5
10.分式方程-=0的解是 .
11.若代数式与的值相等，则x= .
12.解方程：
(1)-=2；
(2)-=1；
（3）+=.
B能力提升
13.定义运算“※”：a※b= ,a>b;若3※x=1，则x的值为 ( )
,aA．1 B．5 C．1或5 D．5或7
14.若关于x的分式方程=1+有增根，则k的值为 .
15.已知关于x的分式方程=3的解为正数，则m的取值范围是 .
16.是否存在实数x，使得代数式-与代数式1+的值相等？
C素养升华
17.在数学课上，老师在黑板上写下分式方程+=的计算过程如下：［提示：-=］4 分式方程
第1课时 分式方程的概念及列分式方程
1.分式方程：分母中含有 的方程叫做分式方程.
2.列分式方程的步骤：(1)审清题意，明确题目中的未知数；(2)根据题意找 ，列出分式方程.
自测 某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产800台所需时间与原计划生产600台机器所需时间相同.设原计划平均每天生产x台机器，则下面所列方程正确的是 ( )
A.= B.=
C.= D.=
知识点1 分式方程的概念
1.下列方程中，属于分式方程的是 ( )
A.= B.=
C.x2-7=0 D.x6-x2=0
2.请写出一个未知数是x的分式方程，且当x=1 时方程没有意义： .
知识点2 列分式方程
3.某校用420元购买消毒液，经过还价，每瓶便宜0.5元，结果比按原价多买了20瓶，原价每瓶多少元？设原价每瓶x元，则可列方程为 ( )
A.-=20 B.-=20
C.-=0.5 D.-=0.5
4.有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦12 000 kg 和 14 000 kg，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少1 500 kg.如果设第一块试验田每公顷的产量为x kg，可列出方程: .
［易错提醒：根据题意列分式方程时，注意明确题中的等量关系，且数据代入无误］
5.小明周三在超市花10元钱买了几袋牛奶，周日再去买时，恰遇超市搞优惠酬宾活动.同样的牛奶，每袋比周三便宜0.5元，结果小明只比上次多花了2元钱，却比上次多买了2袋牛奶.若设他周三买了x袋牛奶，则根据题意列得方程为 .
A基础过关
6.下列关于x的方程：①=5；②=；③=x-1；④=.其中是分式方程的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.贵阳市某校举行运动会，从商场购买一定数量的笔袋和笔记本作为奖品，若每个笔袋的价格比每本笔记本的价格贵3元，且用200元购买笔记本的数量与用350元购买笔袋的数量相同.设每本笔记本的价格为x元，则下列所列方程正确的是 ( )
A.= B.=
C.= D.=
8.端午节当天，“味美早餐店”的粽子打九折出售，妈妈去该店买粽子花了54元，比平时多买了3个，平时每个粽子卖多少元？设平时每个粽子卖x元，列方程为 .
9.货车行驶25 km与小车行驶35 km所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20 km，问两车的速度各为多少？设货车的速度为x km/h，依题意可列方程： .
B能力提升
10.在求3x的倒数的值时，小立误将3x看成了8x，他求得的值比正确答案小5.依上述情形，所列关系式成立的是 ( )
A.= B.=
C.=8x-5 D.=8x+5
11.两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工3个月后乙队也加入施工，两队又共同工作了2个月，总工程全部完成，已知甲队单独完成全部工程比乙队单独完成全部工程多用2个月，设甲队单独完成全部工程需x个月，则根据题意，下列方程中错误的是 ( )
A.+=1
B.++=1
C.+=1
D.+2(+)=1
12.某小区为了排污，需铺设一段全长为720 m的排污管道，为减少施工对居民生活的影响，须缩短施工时间，实际施工时每天的工作效率比原计划提高20%，结果提前2天完成任务.设原计划每天铺设x m，则可列方程为 .
13.一艘船从河流上游的A港顺流而下直达B港，用一个小时将货物装船后返航，已知船在静水中的速度是50 km/h，水流速度是x km/h，A，B两港口距离为150 km，该船从A港出发到返回A港共用7.25 h，则水流速度x应满足怎样的方程？
C素养升华
14.某工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，得到如下信息：
Ⅰ.甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
Ⅱ.乙队单独完成这项工程要比规定日期多6天；
Ⅲ.若甲、乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成.
（1）设甲队单独完成这项工程需要x天，工程总量为1,请完成下表；
工程总量 所用时间/天 工程效率
甲队 1
乙队 1
（2）根据题意及表中所得到的信息列出方程为 .4 分式方程
第2课时 分式方程的解法
1.分式方程的解法：(1)方程两边都乘最简公分母，去分母，化为整式方程；(2)解这个整式方程；(3)验根.
自测1 分式方程=1的解为 (B)
A.x=-2 B.x=-3
C.x=2 D.x=3
2.在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的根使原分式方程的分母为零，则这个根叫做原方程的增根.
自测2 分式方程=的增根为 (B)
A.x=-1 B.x=1
C.x=±1 D.x=0
知识点1 分式方程的解法
1.解分式方程+=3时，去分母后变形正确的是 (D)
A.2+(x+2)=3(x-1)
B.2-x+2=3(x-1)
C.2-(x-2)=3
D.2-(x+2)=3(x-1)
2.分式方程=的解是x=-1.
3.解方程：
(1)=1-；
解：方程两边同乘x-2，得
1-x=x-2-3,解得x=3.
检验：当x=3时，x-2≠0.
∴原方程的解为x=3；
(2)-=0.
解：方程两边同乘(x-1)(x+1)，得
3x+3-x-3=0，解得x=0.
检验：当x=0时，(x-1)(x+1)=-1≠0.
∴原方程的解为x=0.
知识点2 分式方程的增根
4.关于x的分式方程+3=有增根，则增根为 (B)
A.x=1 B.x=-1 C.x=3 D.x=-3
5.方程=-3有增根，则增根x=2.
［易错提醒：解分式方程时应验根避免出错］
6.解方程：-1=.
解：方程两边都乘(x-1)(x+3)，
得x(x+3)-(x-1)(x+3)=4，解得x=1.
检验：当x=1时，(x-1)(x+3)=0.
所以x=1是增根，即原方程无解．
A基础过关
7.分式方程=的解为 (A)
A.x=4 B.x=3 C.x=2 D.x=1
8.若关于x的方程=有增根，则m的值为 (C)
A.0 B.1 C.-1 D.2
9.若关于x的方程=2+无解，则m的值为 (A)
A.-5 B.-8 C.-2 D.5
10.分式方程-=0的解是.
11.若代数式与的值相等，则x=-4.
12.解方程：
(1)-=2；
解：方程两边同乘(x-7)，得x+1=2(x-7),
解得x=15.
检验：当x=15时，15-7=8≠0.
∴x=15是原方程的解;
(2)-=1；
解：方程两边同乘(x2-4)，得x(x+2)-2=x2-4，
解得x=-1.
检验：当x=-1时，x2-4=-3≠0，
∴x=-1是分式方程的解；
（3）+=.
解：方程两边都乘(x+1)(x-1),得
2(x-1)+3(x+1)=6.
解得x=1.
检验：当x=1时，x-1=0，且x2-1=0.
∴x=1是增根，原方程无解.
B能力提升
13.定义运算“※”：a※b= ,a>b;若3※x=1，则x的值为 (C)
,aA．1 B．5 C．1或5 D．5或7
14.若关于x的分式方程=1+有增根，则k的值为-3.
15.已知关于x的分式方程=3的解为正数，则m的取值范围是m<-3.
16.是否存在实数x，使得代数式-与代数式1+的值相等？
解：根据题意,得-=1+,
去分母,得x2-4x+4-16=x2-4+4x+8，
移项、合并同类项,得-8x=16，
解得x=-2.
经检验x=-2是增根，分式方程无解，
故不存在这样的x．
C素养升华
17.在数学课上，老师在黑板上写下分式方程+=的计算过程如下：［提示：-=］
解：+=,
-+-=,
-=,
=,
a=2.
经检验，a=2是原分式方程的解.
解关于a的方程：++=.
解：方程整理，得-+-+-=,
即=，
去分母，得a-5=4a-32，解得a=9，
经检验，a=9是分式方程的解.4 分式方程
第3课时 分式方程的应用
在列分式方程解应用题时，对所求结果不仅要验根，还要检验是否符合实际意义.
自测 甲、乙两车工分别生产1 500个螺丝，乙采用新技术后效率是甲的3倍，因此比甲少用20 h，则乙每小时生产螺丝150个.
知识点1 分式方程的应用
1.一辆汽车开往距出发地420 km的目的地，若这辆汽车比原计划每小时多行10 km，则提前1 h到达目的地．设这辆汽车原计划的速度是x km/h，根据题意所列方程是 (C)
A．=+1 B．+1=
C.=+1 D．+1=
2.一艘轮船在两个码头之间航行.顺水航行81 km所需的时间与逆水航行69 km所需的时间相同.已知水流速度是2 km/h,则轮船在静水中的航行速度是 (A)
A．25 km/h B．24 km/h
C.23 km/h D．22 km/h
3.一项工程，甲单独做6 h完成，甲、乙合做要2 h 完成，那么乙单独做要3h完成.
［易错提醒：在列分式方程时，对数量关系把握不准］
4.某顾客第一次在商店买若干个小商品花去5元；第二次再去买该小商品时，发现每一件(共12个)降价0.8元，他第二次购买该小商品的数量是第一次的2倍，共花去2元，该顾客第一次买的小商品的个数是 (D)
A.5 B.20 C.40 D.60
A基础过关
5.小君从A地步行到B地，当走到预定时间时，离B地还有0.5 km；若把步行速度提高25%，则可比预定时间早半小时到达B地.已知A，B两地相距12.5 km，则他原来步行的速度（单位：km/h）是
(B)
A.2 B.4 C.5 D.6
6.某生态示范园计划种植一批普通苹果，原计划总产量达 360 t，为了满足市场需求，后决定改种植“三优苹果”，“三优苹果”平均每亩的产量是普通苹果的1.5倍，总产量比普通苹果增加90 t，种植亩数比普通苹果减少20亩，则普通苹果平均每亩的产量为 (A)
A.3 t B.2.5 t C.4 t D.4.5 t
7.某学校准备购买一批体育器材，已知甲类器材比乙类器材的单价低10元，用150元购买甲类器材与用300元购买乙类器材的数量相同，则乙类器材的单价为20元.
8.A，B两种型号的机器加工同一种零件，已知A型机器比B型机器每小时多加工20个零件，A型机器加工400个零件所用时间与B型机器加工300个零件所用时间相同，求A型机器每小时加工零件的个数.
解：设A型机器每小时加工零件x个，则B型机器每小时加工零件(x-20)个，
根据题意列方程，得=，
解得x=80.
经检验，x=80是原方程的解.
答：A型机器每小时加工零件80个.
9.王师傅检修一条长600 m的自来水管道，计划用若干小时完成，在实际检修过程中，每小时检修管道长度是原计划的1.2倍，结果提前2 h完成任务，王师傅原计划每小时检修管道多少米？
解：设原计划每小时检修管道x m.
由题意，得-=2，
解得x=50.
经检验，x=50是原方程的解，且符合题意.
答：原计划每小时检修管道50 m.
B能力提升
10.某学校食堂需采购部分餐桌，现有A，B两个商家，A商家每张餐桌的售价比B商家的优惠15元.若该校花费2.08万元采购款在B商家购买餐桌的张数等于花费1.84万元采购款在A商家购买餐桌的张数，则A商家每张餐桌的售价为 (A)
A.115元 B.116元
C.117元 D.118元
11.某公司为增加员工收入，提高效益，2023年提出如下目标：和2022年相比，在产品的出厂价增加10%的前提下，将产品成本降低20%，使产品的利润率(利润率=×100%)较2022年翻一番，则2023年该公司产品的利润率为 (C)
A.40% B.60% C.120% D.160%
12.某商场第一次用11 000元购进某款拼装机器人进行销售，很快销售一空，商场又用24 000元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元.
(1)该商场第一次购进机器人 个；
(2)若所有机器人都按相同的标价销售，要求全部销售完毕的利润率不低于20%(不考虑其他因素)，则每个机器人的标价至少是多少元？
解：(1)100
(2)设每个机器人的标价是a元.依题意，得
(100+200)a-11 000-24 000≥(11 000+24 000)×20%，
解得a≥140.
所以每个机器人的标价至少是140元.
C素养升华
13.甲、乙、丙三名工人共同装搭一批零件．已知甲、乙、丙、丁四人聊天时的对话信息如下：
甲：我单独完成任务所需时间比乙单独完成任务所需时间多5 h.
乙：我3 h完成的工作量与甲4 h完成工作量相等.
丙：我工作效率不高，我的工作效率是乙的工作效率的.
丁：我没参加此项工作，但我可以计算你们的工作效率．知道工程问题中三者关系是工作效率×工作时间=工作总量．
如果每小时只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的顺序轮流至完成工作任务，共需多长时间？
解：设甲单独完成任务需要x h，则乙单独完成任务需要(x-5)h，根据题意，得
=，解得x=20.
经检验x=20是原方程的根，且符合题意.
∵丙的工作效率是乙的工作效率的,
∴丙的工作效率是×=.
∴一轮的工作量为++=.
∴6轮后剩余的工作量为1-=.
∴甲再工作1 h后，乙需要的工作量为-=.
∴乙还需要工作÷=(h).
3×6+1+=19(h).
故共需19 h.
