1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形边和角的性质
1.平行四边形的有关概念：两组对边分别 的四边形叫做平行四边形.平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫做它的 .
自测1 如图，在?ABCD中，EF∥BC，则图中平行四边形有 个.
2.平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的 .
自测2?ABCD的两条对角线相交于点O，则点A关于点O的对称点是点 .
3.平行四边形的对边 ，对角 ，邻角 .
自测3 在?ABCD中，AB=5 cm，∠A=55°，则CD= ，∠C= .
知识点1 平行四边形的定义
1.如图，DE∥BC，DF∥AC，EF∥AB，则图中的平行四边形的个数有 个.
第1题图 第2题图
知识点2 平行四边形的中心对称性
2.如图，在平面直角坐标系中，?MNEF的两条对角线ME，NF相交于原点O，点F的坐标是(3，2)，则点N的坐标是 ( )
A.(-3，-2) B.(-3，2)
C.(-2，3) D.(2，3)
知识点3 平行四边形的边、角性质
3.在?ABCD中，AD=4 cm，AB=2 cm，则?ABCD的周长为 ( )
A.12 cm B.8 cm
C.6 cm D.4 cm
4.如图，?ABCD的一个外角∠DCE=70°，则∠A的度数是 ( )
A.110° B.70° C.60° D.120°
第4题图 第5题图
5.如图，在?ABCD中，AE平分∠BAD，交CD边于点E，AD=6，EC=4，则AB长为 ( )
A．4 B．6 C．10 D．12
6.在?ABCD中，∠A∶∠B=3∶2，则∠D= .
［易错提醒：思考不全面而漏解］
7.在?ABCD中，∠BAD的平分线AE把边BC分成5 cm和6 cm两部分，则ABCD的周长是 cm.
A基础过关
8.如图，关于?ABCD，下列结论中错误的是 ( )
A.∠1=∠2
B.∠BAD=∠BCD
C.AB=CD
D.AC=BC
9.在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中成中心对称的三角形共有 ( )
A.4对
B.3对
C.2对
D.1对
10.在?ABCD中，∠C=∠B+∠D，则∠A= .
11.如图，BD是?ABCD的对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.求证：AE=CF.
B能力提升
12.如图，已知?ABCD三个顶点的坐标分别是A（-1，0），B（-2，-3），C（2，-1），则第四个顶点D的坐标是 ( )
A．（3，1） B．（3，2）
C．（4，2） D．（5，3）
第12题图 第13题图
13.如图，在?ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，若∠ECF=53°，则∠B的度数为 ( )
A．53° B．45° C．37° D．70°
14.如图，在?ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F.
(1)求证：AB=CF；
(2)连接DE，若AD=2AB，求证：DE⊥AF.
C素养升华
15.如图，在?ABCD中，BE，DG分别平分∠ABC，∠ADC，交AC于点E，G．
（1）求证：BE∥DG，BE=DG；
（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F．若?ABCD的周长为56，EF=6，求△ABC的面积．1 平行四边形的性质
第2课时 平行四边形对角线的性质
平行四边形的对角线 .
自测 如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若OA=4，OB=3，则AC= ，BD= .
知识点1 平行四边形对角线的性质
1.如图，?ABCD的对角线相交于点O，BC=7，BD=10，AC=6，则△BOC的周长是 ( )
A．15 B．16 C．17 D．23
第1题图 第2题图
2.如图，在?ABCD中，∠ODA=90°，AC=10 cm，BD=6 cm，则AD的长为 ( )
A.4 cm B.5 cm
C.6 cm D.8 cm
3.如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AO=1.5 cm,△ABC的周长为8 cm,则?ABCD的周长为 ( )
A．5 cm B．10 cm
C．11 cm D．16 cm
第3题图 第4题图
4.如图，在?ABCD中，AC与BD相交于点O，若AB=8，BC=6，△AOD的周长是16，则△AOB的周长等于 .
5.如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=，AC=4，BD=6.求证：AC⊥BD．
［易错提醒：忽略与平行四边形的边组成三角形的是对角线的一半而致错］
6.平行四边形的一条边长是14 cm，它的两条对角线长可以是 ( )
A.12 cm,16 cm B.20 cm,22 cm
C.10 cm,16 cm D.14 cm,12 cm
A基础过关
7.如图，在?ABCD中，AC，BD相交于点O，则下列说法错误的是 ( )
A.OA=OC
B.∠BAD=∠BCD
C.AC⊥BD
D.∠BAD+∠ABC=180°
8.如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD=16，CD=6，则△ABO的周长是 ( )
A.10 B.14 C.20 D.22
第8题图 第9题图
9.如图，在?ABCD中，AC，BD为对角线，BC=6，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为 .
10.如图，在?ABCD中，AC与BD相交于点O，△ABC为等边三角形，且AB=4.求对角线BD的长.
B能力提升
11.如图，在?ABCD中，AC与BD相交于点O，AB⊥AC，∠DAC=45°，AC=2，则BD的长为 ( )
A.6
B.2
C.
D.3
12.如图所示，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知△BOC与△AOB的周长之差为3，平行四边形ABCD的周长为26，则BC的长度为 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
第12题图 第13题图
13.如图，在?ABCD中，AE⊥BD于点E，∠EAC=30°，AC=12，则AE的长为 .
14.如图，在?ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，EF过点O且垂直于AD．
（1）求证：OE=OF；
（2）若S?ABCD=63，OE=3.5，求AD的长．
C素养升华
15.如图所示，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OM⊥AC，交AD于点M．
（1）若∠ACB=40°，求∠CMD的度数；
（2）若△CDM的周长是10，求?ABCD的周长．1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形边和角的性质
1.平行四边形的有关概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫做它的对角线.
自测1 如图，在?ABCD中，EF∥BC，则图中平行四边形有3个.
2.平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.
自测2?ABCD的两条对角线相交于点O，则点A关于点O的对称点是点C.
3.平行四边形的对边相等，对角相等，邻角互补.
自测3 在?ABCD中，AB=5 cm，∠A=55°，则CD=5 cm，∠C=55 °.
知识点1 平行四边形的定义
1.如图，DE∥BC，DF∥AC，EF∥AB，则图中的平行四边形的个数有3个.
第1题图 第2题图
知识点2 平行四边形的中心对称性
2.如图，在平面直角坐标系中，?MNEF的两条对角线ME，NF相交于原点O，点F的坐标是(3，2)，则点N的坐标是 (A)
A.(-3，-2) B.(-3，2)
C.(-2，3) D.(2，3)
知识点3 平行四边形的边、角性质
3.在?ABCD中，AD=4 cm，AB=2 cm，则?ABCD的周长为 (A)
A.12 cm B.8 cm
C.6 cm D.4 cm
4.如图，?ABCD的一个外角∠DCE=70°，则∠A的度数是 (A)
A.110° B.70° C.60° D.120°
第4题图 第5题图
5.如图，在?ABCD中，AE平分∠BAD，交CD边于点E，AD=6，EC=4，则AB长为 (C)
A．4 B．6 C．10 D．12
6.在?ABCD中，∠A∶∠B=3∶2，则∠D=72 °.
［易错提醒：思考不全面而漏解］
7.在?ABCD中，∠BAD的平分线AE把边BC分成5 cm和6 cm两部分，则ABCD的周长是32或34cm.
A基础过关
8.如图，关于?ABCD，下列结论中错误的是 (D)
A.∠1=∠2
B.∠BAD=∠BCD
C.AB=CD
D.AC=BC
9.在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中成中心对称的三角形共有 (A)
A.4对
B.3对
C.2对
D.1对
10.在?ABCD中，∠C=∠B+∠D，则∠A=120 °.
11.如图，BD是?ABCD的对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.求证：AE=CF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥DC.
∴∠ABD=∠CDB.
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90 °.
∴在△ABE和△CDF中，
∠AEB=∠CFD，
∠ABE=∠CDF，
AB=CD，
∴△ABE≌△CDF(AAS).
∴AE=CF.
B能力提升
12.如图，已知?ABCD三个顶点的坐标分别是A（-1，0），B（-2，-3），C（2，-1），则第四个顶点D的坐标是 (B)
A．（3，1） B．（3，2）
C．（4，2） D．（5，3）
第12题图 第13题图
13.如图，在?ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，若∠ECF=53°，则∠B的度数为 (A)
A．53° B．45° C．37° D．70°
14.如图，在?ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F.
(1)求证：AB=CF；
(2)连接DE，若AD=2AB，求证：DE⊥AF.
证明：(1)在?ABCD中，AB=DC，AB∥DC，
∴∠B=∠ECF.
∵E是BC的中点，
∴BE=EC.
∴在△ABE和△FCE中，
∠B=∠ECF，
BE=EC，
∠AEB=∠CEF，
∴△ABE≌△FCE(ASA).
∴AB=CF；
(2)∵AD=2AB，∴AD=AB+DC.
由(1)，得AB=CF，AE=EF，
∴AD=DC+CF，即AD=DF.
∵在等腰三角形ADF中，AE=EF，∴DE⊥AF.
C素养升华
15.如图，在?ABCD中，BE，DG分别平分∠ABC，∠ADC，交AC于点E，G．
（1）求证：BE∥DG，BE=DG；
（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F．若?ABCD的周长为56，EF=6，求△ABC的面积．
(1)证明：在?ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC，
∴∠DAC=∠BCA，AD=BC，AB=CD．
∵BE，DG分别平分∠ABC，∠ADC，
∴∠ADG=∠CBE．
∵∠DGE=∠DAC+∠ADG，∠BEG=∠BCA+∠CBE，
∴∠DGE=∠BEG．
∴BE∥DG．
在△ADG和△CBE中，
∠DAC=∠BCA，
AD=CB，
∠ADG=∠CBE，
∴△ADG≌△CBE(ASA)．
∴BE=DG；
(2)解：如图，过点E作EH⊥BC于点H， 答图
∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，
∴EH=EF=6．
∵?ABCD的周长为56，
∴AB+BC=28．
∴S△ABC=AB·EF+BC·EH
=EF(AB+BC)
=×6×28
=84．1 平行四边形的性质
第2课时 平行四边形对角线的性质
平行四边形的对角线互相平分.
自测 如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若OA=4，OB=3，则AC=8，BD=6.
知识点1 平行四边形对角线的性质
1.如图，?ABCD的对角线相交于点O，BC=7，BD=10，AC=6，则△BOC的周长是 (A)
A．15 B．16 C．17 D．23
第1题图 第2题图
2.如图，在?ABCD中，∠ODA=90°，AC=10 cm，BD=6 cm，则AD的长为 (A)
A.4 cm B.5 cm
C.6 cm D.8 cm
3.如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AO=1.5 cm,△ABC的周长为8 cm,则?ABCD的周长为 (B)
A．5 cm B．10 cm
C．11 cm D．16 cm
第3题图 第4题图
4.如图，在?ABCD中，AC与BD相交于点O，若AB=8，BC=6，△AOD的周长是16，则△AOB的周长等于18.
5.如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=，AC=4，BD=6.求证：AC⊥BD．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=AC，BO=BD．
∵AC=4，BD=6，
∴AO=2，BO=3．
∵22+32=()2，
∴AO2+BO2=AB2．
∴∠AOB=90 °，
即AC⊥BD．
［易错提醒：忽略与平行四边形的边组成三角形的是对角线的一半而致错］
6.平行四边形的一条边长是14 cm，它的两条对角线长可以是 (B)
A.12 cm,16 cm B.20 cm,22 cm
C.10 cm,16 cm D.14 cm,12 cm
A基础过关
7.如图，在?ABCD中，AC，BD相交于点O，则下列说法错误的是 (C)
A.OA=OC
B.∠BAD=∠BCD
C.AC⊥BD
D.∠BAD+∠ABC=180°
8.如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD=16，CD=6，则△ABO的周长是 (B)
A.10 B.14 C.20 D.22
第8题图 第9题图
9.如图，在?ABCD中，AC，BD为对角线，BC=6，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为12.
10.如图，在?ABCD中，AC与BD相交于点O，△ABC为等边三角形，且AB=4.求对角线BD的长.
解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC=4，∠ABC=∠BAC=∠ACB=60 °.
∴AO=CO=AC=2，∠ABO=∠ABC=30 °.
∴∠AOB=180 °-∠ABO-∠BAC=180 °-30 °-60 °=90 °.
∴在Rt△AOB中，BO===2.
∴BD=2BO=4.
B能力提升
11.如图，在?ABCD中，AC与BD相交于点O，AB⊥AC，∠DAC=45°，AC=2，则BD的长为 (B)
A.6
B.2
C.
D.3
12.如图所示，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知△BOC与△AOB的周长之差为3，平行四边形ABCD的周长为26，则BC的长度为 (D)
A.5 B.6 C.7 D.8
第12题图 第13题图
13.如图，在?ABCD中，AE⊥BD于点E，∠EAC=30°，AC=12，则AE的长为3.
14.如图，在?ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，EF过点O且垂直于AD．
（1）求证：OE=OF；
（2）若S?ABCD=63，OE=3.5，求AD的长．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA=OC．
∴∠EAO=∠FCO．
在△AEO和△CFO中，
∠EAO=∠FCO，
OA=OC，
∠AOE=∠COF，
∴△AEO≌△CFO(ASA)．
∴OE=OF；
(2)解：∵OE=OF，OE=3.5，
∴EF=2OE=7．
又∵EF⊥AD，
∴S?ABCD=AD×EF=63．
∴AD=9．
C素养升华
15.如图所示，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OM⊥AC，交AD于点M．
（1）若∠ACB=40°，求∠CMD的度数；
（2）若△CDM的周长是10，求?ABCD的周长．
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD∥BC.
∴∠ACB=∠MAO=40 °．
∵OM⊥AC，∴∠MOA=∠MOC=90 °．
在△AMO与△CMO中，
OM=OM,
∠MOA=∠MOC=90 °，
OA=OC，
∴△AMO≌△CMO(SAS)．
∴∠AMO=∠CMO=90 °-40 °=50 °．
∴∠CMD=180 °-50 °-50 °=80 °；
(2)∵△AMO≌△CMO，∴MC=MA.
∴△CDM的周长为MC+MD+CD=MA+MD+CD=AD+CD=10．
∴平行四边形ABCD的周长为2(AD+CD)=20．
