2 平行四边形的判定
第1课时 利用四边形边的关系判定平行四边形
1.两组对边分别 的四边形是平行四边形.
自测1 已知四边形ABCD，AB=CD，AD=BC，则四边形ABCD是 .
2.一组对边 的四边形是平行四边形.
自测2 四边形ABCD中，AB∥CD，AB=4，当CD= 时，这个四边形是平行四边形.
知识点1 平行四边形的判定定理1
1.在四边形ABCD中，若AB=3,BC=4,CD=3,要使该四边形是平行四边形，则AD的长为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
2.下面给出的是四边形ABCD中AB，BC，CD，DA的长度之比，其中能满足四边形ABCD是平行四边形的是 ( )
A．2∶3∶4∶5 B．3∶3∶4∶4
C．4∶3∶3∶4 D．4∶3∶4∶3
3.一个四边形的边长依次是a，b，c，d，且满足|a-c|+=0，则这个四边形是 .
知识点2 平行四边形的判定定理2
4.如图，在四边形ABCD中，AB=CD．添加下列一个条件后能使四边形ABCD成为平行四边形的是( )
A．AB∥CD
B．AD∥BC
C．AB=BC
D．AB=AC
5.如图所示，四边形ABCD和AEFD都是平行四边形，则四边形BCFE是 ，理由 .
［易错提醒：错用平行四边形的判定定理而致错］
6.下列说法正确的是 ( )
A.只要有两组边相等的四边形就是平行四边形
B.两个全等的三角形可以构成平行四边形
C.平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
D.平行四边形至少有一个内角是钝角
A基础过关
7.下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的为 ( )
A.AB∥CD，AD∥BC
B.AB=CD，AD=BC
C.AB∥CD，AD=BC
D.AB∥CD，AB=CD
8.如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，添加下面其中一个条件，不能判定四边形ABCD为平行四边形的是 ( )
A．AD∥BC B．AD=BC
C．AB=CD D．∠A+∠B=180°
第8题图 第9题图
9.如图，两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合的部分构成一个四边形，这个四边形是 .
10.如图，D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是 ．
11.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE=CF.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
B能力提升
12.在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为A（-1，2），B（3，1），C（1，-2）．若四边形ABCD为平行四边形，则点D的坐标不可能是 ( )
A．（1，5） B．（-3，-1）
C．（5，-3） D．（6，-4）
13.如图，点A，B，C在同一直线上，点D，E，F，G在同一直线上，且AC∥DG，AD∥BE∥CF，AF∥BG，AF与BE相交于点H，BG与CF相交于点I，则图中平行四边形有 ( )
A．6个
B．5个
C．4个
D．3个
14．如图，在?ABCD中，AE＝CF，M，N分别是BE，DF的中点，试判断四边形MFNE的形状．
C素养升华
15.如图，在?ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF，连接DE，DF，BE，BF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若AD⊥DF，DF=5，AC=14，∠DAC=30°．
①求线段EF的长；
②求四边形BEDF的面积．2 平行四边形的判定
第1课时 利用四边形边的关系判定平行四边形
1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
自测1 已知四边形ABCD，AB=CD，AD=BC，则四边形ABCD是平行四边形.
2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
自测2 四边形ABCD中，AB∥CD，AB=4，当CD=4时，这个四边形是平行四边形.
知识点1 平行四边形的判定定理1
1.在四边形ABCD中，若AB=3,BC=4,CD=3,要使该四边形是平行四边形，则AD的长为 (B)
A.3 B.4 C.5 D.6
2.下面给出的是四边形ABCD中AB，BC，CD，DA的长度之比，其中能满足四边形ABCD是平行四边形的是 (D)
A．2∶3∶4∶5 B．3∶3∶4∶4
C．4∶3∶3∶4 D．4∶3∶4∶3
3.一个四边形的边长依次是a，b，c，d，且满足|a-c|+=0，则这个四边形是平行四边形.
知识点2 平行四边形的判定定理2
4.如图，在四边形ABCD中，AB=CD．添加下列一个条件后能使四边形ABCD成为平行四边形的是(A)
A．AB∥CD
B．AD∥BC
C．AB=BC
D．AB=AC
5.如图所示，四边形ABCD和AEFD都是平行四边形，则四边形BCFE是平行四边形，理由是一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
［易错提醒：错用平行四边形的判定定理而致错］
6.下列说法正确的是 (B)
A.只要有两组边相等的四边形就是平行四边形
B.两个全等的三角形可以构成平行四边形
C.平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
D.平行四边形至少有一个内角是钝角
A基础过关
7.下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的为 (C)
A.AB∥CD，AD∥BC
B.AB=CD，AD=BC
C.AB∥CD，AD=BC
D.AB∥CD，AB=CD
8.如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，添加下面其中一个条件，不能判定四边形ABCD为平行四边形的是 (B)
A．AD∥BC B．AD=BC
C．AB=CD D．∠A+∠B=180°
第8题图 第9题图
9.如图，两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合的部分构成一个四边形，这个四边形是平行四边形.
10.如图，D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
11.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE=CF.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵AE⊥AD，CF⊥BC，
∴∠EAD=∠FCB=90 °.
∵AD∥BC，∴∠ADE=∠CBF.
在△AED和△CFB中，
∵ ∠ADE=∠CBF，
∠EAD=∠FCB=90 °，
AE=CF，
∴△AED≌△CFB(AAS).
∴AD=BC.
∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形.
B能力提升
12.在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为A（-1，2），B（3，1），C（1，-2）．若四边形ABCD为平行四边形，则点D的坐标不可能是 (D)
A．（1，5） B．（-3，-1）
C．（5，-3） D．（6，-4）
13.如图，点A，B，C在同一直线上，点D，E，F，G在同一直线上，且AC∥DG，AD∥BE∥CF，AF∥BG，AF与BE相交于点H，BG与CF相交于点I，则图中平行四边形有 (B)
A．6个
B．5个
C．4个
D．3个
14．如图，在?ABCD中，AE＝CF，M，N分别是BE，DF的中点，试判断四边形MFNE的形状．
解：四边形MFNE是平行四边形，理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC且AD∥BC．
∵AE=CF，
∴DE=BF，且DE∥BF.
∴四边形BEDF为平行四边形.
∴BE=DF，ME∥NF.
∵M，N分别是BE，DF的中点，
∴ME=NF.
∴四边形MFNE是平行四边形．
C素养升华
15.如图，在?ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF，连接DE，DF，BE，BF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若AD⊥DF，DF=5，AC=14，∠DAC=30°．
①求线段EF的长；
②求四边形BEDF的面积．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC.
∴∠DAE=∠BCF．
在△ADE和△CBF中，
AD=CB,
∠DAE=∠BCF，
AE=CF ，
∴△ADE≌△CBF(SAS).
∴DE=BF，∠AED=∠CFB.
∴180 °-∠AED=180 °-∠CFB，
即∠DEF=∠BFE.
∴DE∥BF.
∴四边形BEDF是平行四边形；
(2)解：①∵AD⊥DF，∠DAC=30 °，DF=5，
∴AF=2DF=10．
∵AC=14，∴CF=AC-AF=4.
∴AE=CF=4.
∴EF=AF-AE=6；
②如图，过点D作DM⊥AF于点M． 答图
在Rt△ADF中，AF=10，DF=5，
由勾股定理可得
AD===5．
∵∠DAC=30 °，
∴DM=AD=，
∴S四边形BEDF=2S△DEF=2×EF·DM=15.2 平行四边形的判定
第2课时 平行四边形的判定定理3与两平行线间的距离
1.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
自测1 若O是四边形ABCD的对角线AC和BD的交点，且OB=OD，AC=24 cm,则当OA=12cm时，四边形ABCD是平行四边形．
2.平行线之间的距离：如果两条直线平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离.夹在两条平行线间的平行线段相等.
自测2 如图，已知AB∥CD，S△ACD=6 cm2，S△BCD=6cm2.
知识点1 平行四边形的判定定理3
1.如图，取两根扁平木棒AC与BD，用螺栓O将它们的中点连接起来，当AC与BD绕点O转动时，判定四边形ABCD为平行四边形的依据是 (A)
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
第1题图 第2题图
2.如图，在四边形ABCD中，AO=OC，要使四边形ABCD为平行四边形，需添加的一个条件是BO=DO．（填一个即可）
知识点2 两平行线间的距离
3.如图，已知直线a∥b，点A，B，C在直线a上，点D，E，F在直线b上，AB=EF=2，若△CEF的面积为5，则△ABD的面积为 (C)
A.2 B.4 C.5 D.10
第3题图 第4题图
4.如图，直线l1∥l2，BC=3 cm，S△ABC=3 cm2，则△A1BC的BC边上的高是2cm.
［易错提醒：没有对平行线间的位置关系进行讨论而致错］
5.在同一平面内，已知直线a,b,c两两平行，且a与b的距离为3 cm,a与c的距离为4 cm,则b与c的距离为 (D)
A．3 cm或4 cm B．1 cm
C．7 cm D．7 cm或1 cm
A基础过关
6.如图，直线a∥b，A是直线a上的一个动点，在点A向右运动的过程中，△ABC的面积 (C)
A.变大 B.变小
C.不变 D.无法确定
第6题图 第7题图
7.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．∠BAC=90°，AB=4，AO=OC=3，BD=10，则四边形ABCD的面积为 (D)
A．6 B．12 C．20 D．24
8.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD至点E，使DE=AD，连接BE，CE，则四边形ABEC是平行四边形.
9.如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA=OC.求证：四边形ADCE是平行四边形.
证明：∵CE∥AB，∴∠DAO=∠ECO.
在△AOD和△COE中，
∠DAO=∠ECO，
OA=OC，
∠AOD=∠COE，
∴△AOD≌△COE(ASA).
∴DO=EO.
又∵OA=OC，
∴四边形ADCE是平行四边形.
B能力提升
10.如图，P是?ABCD的边AD上一点,且S△ABP=3，S△PDC=2，则?ABCD的面积是 (C)
A.6 B.8
C.10 D.无法确定
第10题图 第11题图
11.如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，下列条件中不一定能判定四边形DEBF是平行四边形的是 (C)
A.∠ADE=∠CBF
B.∠ABE=∠CDF
C.DE=BF
D.OE=OF
12.如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，AO=BO，E，F分别是OC，OD的中点.求证：
(1)△AOC≌△BOD；
(2)四边形AFBE是平行四边形.
证明：(1)∵AC∥DB，
∴∠C=∠D.
在△AOC和△BOD中，
∵ ∠C=∠D，
∠COA=∠DOB，
AO=BO，
∴△AOC≌△BOD(AAS)；
(2)∵△AOC≌△BOD，∴CO=DO.
∵E,F分别是OC，OD的中点，
∴OF=OD，OE=OC.
∴OE=FO.又∵AO=BO.
∴四边形AFBE是平行四边形.
C素养升华
13.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=10 cm，AF=30 cm，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F.
(1)求证：四边形BDFC是平行四边形；
(2)若BF⊥CD，求四边形BDFC的面积.
(1)证明：∵∠A=∠ABC=90 °，
∴∠A+∠ABC=180 °.
∴BC∥DF.∴∠BCE=∠FDE.
∵E是边CD的中点，∴CE=DE.
在△BCE和△FDE中，
∠BCE=∠FDE，
CE=DE，
∠BEC=∠DEF，
∴△BCE≌△FDE(ASA).
∴BE=EF.
又∵CE=DE，
∴四边形BDFC是平行四边形；
(2)解：由(1)得BE=EF，
又∵BF⊥CD，∴BD=DF，
即BD=DF=AF-AD=20 cm.
在Rt△ABD中，
AB===10(cm)，
∴?BDFC的面积为DF·AB=20×10=200(cm2).2 平行四边形的判定
第2课时 平行四边形的判定定理3与两平行线间的距离
1.对角线 的四边形是平行四边形.
自测1 若O是四边形ABCD的对角线AC和BD的交点，且OB=OD，AC=24 cm,则当OA= cm时，四边形ABCD是平行四边形．
2.平行线之间的距离：如果两条直线平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离 ，这个距离称为平行线之间的距离.夹在两条平行线间的平行线段 .
自测2 如图，已知AB∥CD，S△ACD=6 cm2，S△BCD=6cm2.
知识点1 平行四边形的判定定理3
1.如图，取两根扁平木棒AC与BD，用螺栓O将它们的中点连接起来，当AC与BD绕点O转动时，判定四边形ABCD为平行四边形的依据是 ( )
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
第1题图 第2题图
2.如图，在四边形ABCD中，AO=OC，要使四边形ABCD为平行四边形，需添加的一个条件是 ．（填一个即可）
知识点2 两平行线间的距离
3.如图，已知直线a∥b，点A，B，C在直线a上，点D，E，F在直线b上，AB=EF=2，若△CEF的面积为5，则△ABD的面积为 ( )
A.2 B.4 C.5 D.10
第3题图 第4题图
4.如图，直线l1∥l2，BC=3 cm，S△ABC=3 cm2，则△A1BC的BC边上的高是 cm.
［易错提醒：没有对平行线间的位置关系进行讨论而致错］
5.在同一平面内，已知直线a,b,c两两平行，且a与b的距离为3 cm,a与c的距离为4 cm,则b与c的距离为 ( )
A．3 cm或4 cm B．1 cm
C．7 cm D．7 cm或1 cm
A基础过关
6.如图，直线a∥b，A是直线a上的一个动点，在点A向右运动的过程中，△ABC的面积 ( )
A.变大 B.变小
C.不变 D.无法确定
第6题图 第7题图
7.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．∠BAC=90°，AB=4，AO=OC=3，BD=10，则四边形ABCD的面积为 ( )
A．6 B．12 C．20 D．24
8.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD至点E，使DE=AD，连接BE，CE，则四边形ABEC是 .
9.如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA=OC.求证：四边形ADCE是平行四边形.
B能力提升
10.如图，P是?ABCD的边AD上一点,且S△ABP=3，S△PDC=2，则?ABCD的面积是 ( )
A.6 B.8
C.10 D.无法确定
第10题图 第11题图
11.如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，下列条件中不一定能判定四边形DEBF是平行四边形的是 ( )
A.∠ADE=∠CBF
B.∠ABE=∠CDF
C.DE=BF
D.OE=OF
12.如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，AO=BO，E，F分别是OC，OD的中点.求证：
(1)△AOC≌△BOD；
(2)四边形AFBE是平行四边形.
C素养升华
13.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=10 cm，AF=30 cm，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F.
(1)求证：四边形BDFC是平行四边形；
(2)若BF⊥CD，求四边形BDFC的面积.
