4 多边形的内角与外角和
1.多边形的内角和定理：n边形的内角和等于 .
自测1 六边形的内角和是 ( )
A.540° B.720° C.900° D.360°
2.多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的 .多边形的外角和都等于 .
自测2 若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是 ( )
A.7 B.8 C.9 D.10
知识点1 多边形的内角和定理
1.如图，在四边形ABCD中，若∠A+∠B+∠C=260°，则∠D的度数为 ( )
A.120° B.110°
C.100° D.40°
第1题图 第2题图
2.如图，在正五边形ABCDE中，FB⊥AB于点B，则∠BFC的度数为 ( )
A．36° B．54°
C．60° D．72°
3.一个正n边形的内角和等于900°，则n= .
知识点2 多边形的外角和定理
4.十二边形的外角和等于 ( )
A.100° B.360°
C.540° D.720°
5.如图，已知∠1+2+∠3+∠4=280°，那么∠5的度数为 ( )
A．70°
B．80°
C．90°
D．100°
6.如果一个正多边形的一个外角是36°，那么该正多边形的边数为 .
［易错提醒：对多边形内角和公式不熟悉而致错］
7.一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形的边数是 .
A基础过关
8.内角和为1 080°的多边形是 ( )
A.六边形 B.八边形
C.十边形 D.十二边形
9.如图，在四边形ABCD中，∠C=110°，与∠BAD，∠ABC相邻的外角都是120°，则∠α的度数为( )
A．50° B．55° C．60° D．65°
第9题图 第10题图
10.如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P的度数为 ( )
A．45° B．60° C．90° D．120°
11.如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，∠A=∠C=100°，则∠D的度数为 .
12.若一个正多边形的一个内角等于135°，那么这个多边形是正 边形.
13.如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的4个外角，∠A=120°.求∠1+∠2+∠3+∠4的度数.
B能力提升
14.如图，小立从点A出发沿直线前进8 m到达点B后向左旋转的角度为α，再沿直线前进8 m，到达点C后，又向左旋转α角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了72 m，则每次旋转的角度α为 ( )
A．30°
B．40°
C．45°
D．60°
15.如图，ABCDEF为正六边形，ABGH为正方形，连接CG，则∠BCG+∠BGC＝ .
第15题图 第16题图
16.如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DFA= .
17.如图，将六边形纸片ABCDEF沿虚线剪去一个角（∠BCD）后，得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=470°．
（1）求六边形ABCDEF的内角和；
（2）求∠BGD的度数．
C素养升华
18.如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，EF平分∠AED，CF平分∠BCD，若∠EDC=90°，求∠EFC的度数．4 多边形的内角与外角和
1.多边形的内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)·180 °.
自测1 六边形的内角和是 (B)
A.540° B.720° C.900° D.360°
2.多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角.多边形的外角和都等于360 °.
自测2 若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是 (C)
A.7 B.8 C.9 D.10
知识点1 多边形的内角和定理
1.如图，在四边形ABCD中，若∠A+∠B+∠C=260°，则∠D的度数为 (C)
A.120° B.110°
C.100° D.40°
第1题图 第2题图
2.如图，在正五边形ABCDE中，FB⊥AB于点B，则∠BFC的度数为 (B)
A．36° B．54°
C．60° D．72°
3.一个正n边形的内角和等于900°，则n=7.
知识点2 多边形的外角和定理
4.十二边形的外角和等于 (B)
A.100° B.360°
C.540° D.720°
5.如图，已知∠1+2+∠3+∠4=280°，那么∠5的度数为 (B)
A．70°
B．80°
C．90°
D．100°
6.如果一个正多边形的一个外角是36°，那么该正多边形的边数为10.
［易错提醒：对多边形内角和公式不熟悉而致错］
7.一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形的边数是6.
A基础过关
8.内角和为1 080°的多边形是 (B)
A.六边形 B.八边形
C.十边形 D.十二边形
9.如图，在四边形ABCD中，∠C=110°，与∠BAD，∠ABC相邻的外角都是120°，则∠α的度数为(A)
A．50° B．55° C．60° D．65°
第9题图 第10题图
10.如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P的度数为 (B)
A．45° B．60° C．90° D．120°
11.如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，∠A=∠C=100°，则∠D的度数为70 °.
12.若一个正多边形的一个内角等于135°，那么这个多边形是正八边形.
13.如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的4个外角，∠A=120°.求∠1+∠2+∠3+∠4的度数.
解：∵与∠A相邻的外角的度数是180 °-120 °=60 °，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=360 °-60 °=300 °.
B能力提升
14.如图，小立从点A出发沿直线前进8 m到达点B后向左旋转的角度为α，再沿直线前进8 m，到达点C后，又向左旋转α角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了72 m，则每次旋转的角度α为 (B)
A．30°
B．40°
C．45°
D．60°
15.如图，ABCDEF为正六边形，ABGH为正方形，连接CG，则∠BCG+∠BGC＝30 °.
第15题图 第16题图
16.如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DFA=36 °.
17.如图，将六边形纸片ABCDEF沿虚线剪去一个角（∠BCD）后，得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=470°．
（1）求六边形ABCDEF的内角和；
（2）求∠BGD的度数．
解：(1)六边形ABCDEF的内角和：(6-2)×180 °=720 °；
(2)∵六边形ABCDEF的内角和为720 °，
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=470 °，
∴∠GBC+∠C+∠CDG=720 °-470 °=250 °.
∴∠BGD=360 °-(∠GBC+∠C+∠CDG)=110 °，
即∠BGD的度数是110 °．
C素养升华
18.如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，EF平分∠AED，CF平分∠BCD，若∠EDC=90°，求∠EFC的度数．
解：∵EF平分∠AED，CF平分∠BCD，
∴∠AEF=∠DEF=∠AED，
∠BCF=∠DCF=∠BCD．
∵AE∥BC，
∴∠A+∠B=180 °．
∵五边形的内角和为(5-2)×180 °=540 °，∠D=90 °，
∴∠AED+∠BCD=540 °-(∠A+∠B+∠D)=540 °-(180 °+90 °)=270 °.
∴∠DEF+∠DCF=1 2(∠AED+∠BCD)=
×270 °=135 °．
∵四边形EFCD内角和为360 °，
∴∠EFC=360 °-(∠D+∠DEF+∠DCF)=360 °-(90 °+135 °)=135 °．
