期末复习（六）平行四边形
考点1 平行四边形的性质
【例1】如图，AC是?ABCD的对角线，点E在AC上，AD=AE=BE，∠D=105°，则∠BAC的度数为(B)
A．24°
B．25°
C．26°
D．28°
方法点拨：根据平行四边形的性质得到∠ABC=∠D=105°，再由三角形的内角和定理即可得到结论.
【针对训练】
1.如图，在?ABCD中，AB=8，E是AB上一点，AE=3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为 (C)
A．5
B．4
C．3
D．2
考点2 平行四边形的判定
【例2】如图，四边形ABCD的对角线交于点O，已知AB=CD，添加下列其中一个条件，能判定四边形ABCD为平行四边形的是 (B)
A．AD∥BC
B．∠ABD=∠BDC
C．OB=OD
D．AC⊥BD
方法点拨：根据题目提供的已知条件，结合平行四边形的判定定理，依次判断两组条件是否能够使四边形ABCD为平行四边形.
【针对训练】
2.如图，在△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC的中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD．
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）若∠B=30°，∠CAB=45°，AC＝，求AB的长．
(1)证明:∵AB∥CE,
∴∠FAD=∠FCE，∠ADF=∠CEF.
∵F是AC的中点，∴AF=CF.
在△AFD和△CFE中,
∠FAD=∠FCE，
∠ADF=∠CEF，
AF=CF，
∴△AFD≌△CFE(AAS).
∴DF=EF.
∴四边形ADCE是平行四边形;
(2)解:如图，过点C作CG⊥AB于点G.
在△ACG中， 答图
∵∠AGC=90 °,AC=,∠CAG=45 °,
∴由勾股定理得CG=AG=1.
在△BCG中，∵∠BGC=90 °,∠B=30 °, CG=1,
∴BC=2.
∴BG==.
∴AB=BG+AG=+1.
考点3 三角形的中位线
【例3】如图，在△ABC中，AB=AC，AM⊥BC，延长AC到点D，连接BD，取BD的中点N，连接MN.若AB=3，AD=5，则MN=1.
方法点拨：根据等腰三角形的性质求出CD的长，再根据中位线定理得到MN的长.
【针对训练】
3.如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，若HF=5，则EG的长为 (C)
A．10
B．2.5
C．5
D．3.5
4.如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，E，F分别为AD，BC的中点，G，H分别为BD，AC的中点．请你判断EF与GH的关系，并证明你的结论．
解:EF与GH互相平分.
理由如下:如图，连接EG，GF， FH， EH,
∵E，F分别为AD，BC的中点，G，H分别为BD，AC的中点,
∴EG是△ABD的中位线，FH是△ABC的中位线.
∴EG=AB, EG∥AB,FH=AB,FH∥AB.
∴EG=FH, EG∥FH.
∴四边形EGFH为平行四边形.
∴EF与GH互相平分.
答图
考点4 多边形的内角和与外角和
【例4】如图，在七边形ABCDEFG中，EF，BA的延长线相交于点P，若∠ABC，∠BCD，∠CDE，∠DEF的外角的度数和为230°，则∠P的度数为 (C)
A．40°
B．45°
C．50°
D．55°
方法点拨：根据多边形的外角和等于360°，以及三角形外角的性质，将边PF与FG构建三角形再根据三角形内角和定理即可求解．
【针对训练】
5.如图，六边形ABCDEF的每个内角相等，若∠1=58°，则∠2的度数为 (A)
A．58°
B．59°
C．60°
D．62°
6.如图，点A，B，C，D，E，F在同一平面内，连接AB，BC，CD，DE，EF，FA．若∠ABC=95°，求∠A+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
答图
解：如图，连接AC，
∵∠ABC=95 °，
∴∠BAC+∠BCA=180 °-95 °=85 °.
∴∠BAF+∠BCD+∠D+∠E+∠F
=(5-2)×180 °-∠BAC-∠BCA
=540 °-85 °
=455 °．
一、选择题（每题4分，共32分）
1.一个多边形的内角和为1 800°，则这个多边形的边数为 (D)
A.9 B.10 C.11 D.12
2.如图，在?ABCD中，∠B=80°，点E在CD上，且AE=AD，则∠DAE的度数是 (A)
A．20° B．30° C．40° D．80°
第2题图 第3题图
3.如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，CF平分∠ACB，交DE于点F，若AC=4，则EF的长为 (B)
A.1 B.2 C.3 D.4
4.如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，且AE+EO=4，则?ABCD的周长为(A)
A.16 B.8 C.12 D.10
第4题图 第5题图
5.如图，点F在正五边形ABCDE的内部，△ABF为等边三角形，则∠AFC的度数为 (C)
A.108° B.120° C.126° D.132°
6.如图，小明从点A出发，沿直线前进20 m后左转30°，再沿直线前进20 m，又向左转30°，照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，一共走了 (D)
A.120 m
B.160 m
C.200 m
D.240 m
7.如图，在四边形ABCD中，Q是CD上的一定点，P是BC上的一动点，E，F分别是PA，PQ的中点，当点P在BC上移动时，线段EF的长 (B)
A.先变大再变小 B.保持不变
C.先变小再变大 D.无法确定
第7题图 第8题图
8.如图，?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC于点E．若AB=，AO=1，BD=4，则AE的长为 (D)
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共16分）
9.已知三角形各边长为8，11，15，则连接各边中点的线段所构成的三角形的周长是17.
10.在四边形ABCD中，已知AD∥BC，分别添加下列条件：①AD=BC；②AB=DC；③∠A=∠C；④∠A+∠D=180°.其中能使四边形ABCD成为平行四边形的有①③④（填序号）.
11.如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接点M与CN的中点E并延长，交BC的延长线于点D.若BC=4，则CD的长为2.
第11题图 第12题图
12.如图，在?ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，若∠EBC=30°，BE=8，则?ABCD的面积为32．
三、解答题（共32分）
13.如图，在四边形ABCD中，∠C+∠D=180°，∠A-∠B=40°.求∠B的度数.
解:∵∠C+∠D=180 °,
∴∠A+∠B=360 °-180 °=180 °.
∵∠A-∠B=40 °，
∴2∠B=140 °.
∴∠B=70 °.
14.如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上且AE=CF.
求证：DE=BF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO,BO=DO.
∵AE=CF，EO=AO-AE，FO=CO-CF，
∴EO=FO.
在△DOE和△BOF中，
EO=OF,
∠DOE=∠BOF,
DO=BO,
∴△DOE≌△BOF(SAS).
∴DE=BF.
15.如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE，BE，F，G，H分别为BE，DE，BC的中点，连接FG，FH．若∠A＝80°，求∠GFH的度数．
答图
解：∵F，G，H分别是BE，DE，BC的中点，
∴FG∥BD，FH∥EC.
如图，延长FG交AC于点K，
∵FG∥BD，∠A=80 °，
∴∠FKC=∠A=80 °.
∵FH∥EC，
∴∠GFH=180 °-∠FKC=100 °.
16.如图，?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在OB和OD上，且∠AEB=∠CFD．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若∠AEB=90°，OE=3，且∠EAF=45°，求线段AC的长．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD．
∴∠ABE=∠CDF．
在△ABE和△CDF中，
∠AEB=∠CFD，
∠ABE=∠CDF，
AB=CD，
∴△ABE≌△CDF(AAS)．∴AE=CF．
∵∠AEB=∠CFD，∴∠AEF=∠CFE．
∴AE∥CF．
∴四边形AECF是平行四边形；
(2)解：∵四边形AECF是平行四边形，
∴OE=OF，OA=OC．
∵∠AEB=90 °，OE=3,∠EAF=45 °，
∴△AEF是等腰直角三角形．
∴AE=EF=2OE=6．
在Rt△OAE中，∵AE=6，OE=3，
∴OA===3．
∴AC=2OA=6．期末复习（六）平行四边形
考点1 平行四边形的性质
【例1】如图，AC是?ABCD的对角线，点E在AC上，AD=AE=BE，∠D=105°，则∠BAC的度数为( )
A．24°
B．25°
C．26°
D．28°
方法点拨：根据平行四边形的性质得到∠ABC=∠D=105°，再由三角形的内角和定理即可得到结论.
【针对训练】
1.如图，在?ABCD中，AB=8，E是AB上一点，AE=3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为 ( )
A．5
B．4
C．3
D．2
考点2 平行四边形的判定
【例2】如图，四边形ABCD的对角线交于点O，已知AB=CD，添加下列其中一个条件，能判定四边形ABCD为平行四边形的是 ( )
A．AD∥BC
B．∠ABD=∠BDC
C．OB=OD
D．AC⊥BD
方法点拨：根据题目提供的已知条件，结合平行四边形的判定定理，依次判断两组条件是否能够使四边形ABCD为平行四边形.
【针对训练】
2.如图，在△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC的中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD．
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）若∠B=30°，∠CAB=45°，AC＝，求AB的长．
考点3 三角形的中位线
【例3】如图，在△ABC中，AB=AC，AM⊥BC，延长AC到点D，连接BD，取BD的中点N，连接MN.若AB=3，AD=5，则MN= .
方法点拨：根据等腰三角形的性质求出CD的长，再根据中位线定理得到MN的长.
【针对训练】
3.如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，若HF=5，则EG的长为 ( )
A．10
B．2.5
C．5
D．3.5
4.如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，E，F分别为AD，BC的中点，G，H分别为BD，AC的中点．请你判断EF与GH的关系，并证明你的结论．
考点4 多边形的内角和与外角和
【例4】如图，在七边形ABCDEFG中，EF，BA的延长线相交于点P，若∠ABC，∠BCD，∠CDE，∠DEF的外角的度数和为230°，则∠P的度数为 ( )
A．40°
B．45°
C．50°
D．55°
方法点拨：根据多边形的外角和等于360°，以及三角形外角的性质，将边PF与FG构建三角形再根据三角形内角和定理即可求解．
【针对训练】
5.如图，六边形ABCDEF的每个内角相等，若∠1=58°，则∠2的度数为 ( )
A．58°
B．59°
C．60°
D．62°
6.如图，点A，B，C，D，E，F在同一平面内，连接AB，BC，CD，DE，EF，FA．若∠ABC=95°，求∠A+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
一、选择题（每题4分，共32分）
1.一个多边形的内角和为1 800°，则这个多边形的边数为 ( )
A.9 B.10 C.11 D.12
2.如图，在?ABCD中，∠B=80°，点E在CD上，且AE=AD，则∠DAE的度数是 ( )
A．20° B．30° C．40° D．80°
第2题图 第3题图
3.如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，CF平分∠ACB，交DE于点F，若AC=4，则EF的长为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，且AE+EO=4，则?ABCD的周长为( )
A.16 B.8 C.12 D.10
第4题图 第5题图
5.如图，点F在正五边形ABCDE的内部，△ABF为等边三角形，则∠AFC的度数为 ( )
A.108° B.120° C.126° D.132°
6.如图，小明从点A出发，沿直线前进20 m后左转30°，再沿直线前进20 m，又向左转30°，照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，一共走了 ( )
A.120 m
B.160 m
C.200 m
D.240 m
7.如图，在四边形ABCD中，Q是CD上的一定点，P是BC上的一动点，E，F分别是PA，PQ的中点，当点P在BC上移动时，线段EF的长 ( )
A.先变大再变小 B.保持不变
C.先变小再变大 D.无法确定
第7题图 第8题图
8.如图，?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC于点E．若AB=，AO=1，BD=4，则AE的长为 ( )
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共16分）
9.已知三角形各边长为8，11，15，则连接各边中点的线段所构成的三角形的周长是 .
10.在四边形ABCD中，已知AD∥BC，分别添加下列条件：①AD=BC；②AB=DC；③∠A=∠C；④∠A+∠D=180°.其中能使四边形ABCD成为平行四边形的有 （填序号）.
11.如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接点M与CN的中点E并延长，交BC的延长线于点D.若BC=4，则CD的长为 .
第11题图 第12题图
12.如图，在?ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，若∠EBC=30°，BE=8，则?ABCD的面积为 ．
三、解答题（共32分）
13.如图，在四边形ABCD中，∠C+∠D=180°，∠A-∠B=40°.求∠B的度数.
14.如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上且AE=CF.
求证：DE=BF.
15.如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE，BE，F，G，H分别为BE，DE，BC的中点，连接FG，FH．若∠A＝80°，求∠GFH的度数．
16.如图，?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在OB和OD上，且∠AEB=∠CFD．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若∠AEB=90°，OE=3，且∠EAF=45°，求线段AC的长．
