第一章达标检测试卷
（时间120分钟满分150分）
一、选择题(每小题3分，共36分)
1.已知直角三角形一个锐角为46°，则另一个锐角是 (C)
A.34° B.36° C.44° D.54°
2.已知等腰三角形的一个底角为75°，则其顶角为 (B)
A.36° B.30° C.60° D.75°
3.下列命题的逆命题不是真命题的是 (D)
A.等边三角形的角平分线的交点到各顶点的距离相等
B.线段的垂直平分线上的点到其两端点的距离相等
C.有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
D.三角形各角平分线的交点到各顶点的距离相等
4.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，E，F是AD上的点，若△ABC的面积为24 cm2，则图中阴影部分的面积为 (C)
A.4 cm2 B.8 cm2 C.12 cm2 D.16 cm2
第4题图 第5题图 第6题图
5.如图，在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，BE平分∠ABC，交AD于点E，EF∥AC，下列结论一定成立的是 (A)
A.AB=BF B.AE=ED
C.AD=DC D.∠ABE=∠DFE
6.如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB.若BE=2，则S△ABC为 (D)
A.1 B.3 C. D.
7.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，若BD＝2 cm,，则△ADE的面积是 (C)
A.4 cm2
B. cm2
C.（+1） cm2
D.（2+2） cm2
8.如图，在等边三角形ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数为 (C)
A.45° B.55° C.60° D.75°
第8题图 第9题图
9.如图，BD平分∠ABC交AC于点D，ED⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，AB=6，BC=8，若S△ABC=28，则DE的长为 (A)
A.4 B.8 C.6 D.2
10.如图，一渔政船在海域C处测得岛A在北偏西30°的方向上，随后渔政船以80 n mile/h的速度向北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得岛A在北偏西60°的方向上，则此时渔政船距岛A的距离AB为 (D)
A.n mile B.20 n mile
C.n mile D.40 n mile
第10题图 第11题图 第12题图
11.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，如果一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点B，那么它需要爬行的最短距离是 (B)
A.5 B.25 C.10+5 D.35
12.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8.AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 (C)
A. B.4 C. D.2
二、填空题(每小题4分，共16分)
13.写出“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题：若两直线平行，则同旁内角互补.
14.如图，在山坡AB上种树，已知∠C=90°，∠A=30°，AC=6 m，则相邻两树的坡面距离AB=4m.
第14题图 第15题图 第16题图
15.如图，O是△ABC内一点，且点O到三边AB，BC，CA的距离OF=OD=OE，若∠BAC=70°，则∠BOC=125 °.
16.如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，E是CD的中点，若BC=5，AD=10，BE=，则AB的长是12.
三、解答题(共9小题，共98分)
17.(10分)如图，∠A=∠D=90°，AC=BD.求证：OB=OC.
证明：∵∠A=∠D=90 °，
∴△ABC和△DCB都是直角三角形.
在Rt△ABC和Rt△DCB中，
AC=DB，
BC=CB，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL).
∴∠ACB=∠DBC.
∴OB=OC.
18.(10分)如图，在△ABC中，AB=BD=DC,∠ABC=105°，求∠A，∠C的度数.
解：∵AB=BD，∴∠BDA=∠A.
∵BD=DC，∴∠C=∠CBD.
设∠C=∠CBD=x，则∠BDA=∠A=2x，
在△ABC中，∠A+∠C+∠ABC=180 °，
∵∠ABC=105 °，
∴2x+x+105 °=180 °.
解得x=25 °，则2x=50 °.
即∠A=50 °，∠C=25 °.
19.(10分)如图，一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄，当汽车行驶到哪个位置时，与村庄M，N的距离相等？（用尺规作图，无需写作法，保留作图痕迹）
答图
解：如图所示，点C即为所求.
20.(10分)如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，FE垂直平分AD，垂足为E，EF交BC的延长线于点F，若∠CAF=50°，求∠B的度数．
解：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF.
∴∠ADF=∠DAF.
又∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD.
∵∠ADF=∠B+∠BAD，∠DAF=∠CAF+∠CAD，
∴∠B=∠CAF=50 °.
故∠B的度数是50 °．
21.(10分)如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D，F分别为AB，AC的中点，作DE⊥AB，GF⊥AC分别交BC于点E，G，若BC=6 cm，求EG的长.
解：如图，连接AE，AG，
∵AB=AC，∠ABC=120 °，
∴∠B=∠C=(180 °-∠BAC)
=×(180 °-120 °)=30 °.
∵D为AB的中点，ED⊥AB，
∴AE=BE.
∴△ABE为等腰三角形.
∴∠B=∠EAB=30 °.
∴∠AEG=∠B+∠EAB=30 °+30 °=60 °.
同理可证∠AGE=60 °，AG=GC.
∴△AEG为等边三角形.
∴AE=EG=AG. 答图
又∵AE=BE，AG=GC，
∴BE=EG=GC.
又∵BE+EG+GC=BC=6 cm，
∴3EG=6 cm.
∴EG=2 cm.
22.（12分）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G．
（1）求证：AD垂直平分EF；
（2）若AB+AC=10，DE=3，求△ABC的面积．
(1)证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEA=∠DFA=90 °.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAD=∠FAD.
在△AED和△AFD中，
∠DEA=∠DFA，
∠EAD=∠FAD，
AD=AD，
∴△AED≌△AFD(AAS).
∴AE=AF，DE=DF.
∴AD垂直平分EF；
(2)解：∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE=DF=3.
∵AB+AC=10，
∴S△ABC=AB·DE+AC·DF
=(AB+AC)·DE=15．
23.(12分)如图，筹备校庆期间，后勤人员从教学楼C的楼顶E处向校门AB的上方A处拉彩带，已知AB高5 m，EC高29 m，校门口到大楼之间的距离BC为10 m，求需要的彩带AE的长.
解：如图，过点A作AF⊥CE于点F，
∵AB=5 m，EC=29 m，
易得EF=29-5=24(m)，
AF=BC=10 m.
在Rt△AEF中，
∵AF=10 m，EF=24 m，
∴AE===26 (m).
故需要的彩带AE的长是26 m. 答图
24.(12分)如图，D是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB=90°，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA.
（1）求证：DE平分∠BDC；
（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD.
证明：(1)∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠ABC=45 °.
∵∠CAD=∠CBD=15 °，
∴∠BAD=∠ABD=45 °-15 °=30 °.
∴BD=AD.
∴点D在AB的垂直平分线上.
∵AC=BC，
∴点C也在AB的垂直平分线上，
即直线CD是AB的垂直平分线.
∴∠ACD=∠BCD=45 °.
∴∠CDE=15 °+45 °=60 °.
∴∠BDE=∠DBA+∠BAD=60 °.
∴∠CDE=∠BDE.
即DE平分∠BDC；
(2)如图，连接MC，
∵DC=DM，且∠MDC=60 °，
∴△MDC是等边三角形，即CM=CD.∠DMC=∠MDC=60 °.
∵∠ADC+∠MDC=180 °，
∠DMC+∠EMC=180 °，
∴∠EMC=∠ADC.
又∵CE=CA， 答图
∴∠DAC=∠MEC.
在△ADC与△EMC中，
∠ADC=∠EMC，
∠DAC=∠MEC，
AC=EC，
∴△ADC≌△EMC(AAS).
∴DA=ME.
由(1)知DA=BD，∴ME=BD.
25.(12分)如图，在△ABC中，AB=AC=BC=6 cm.点D从点A出发以 3 cm/s的速度向点B运动，点E从点B出发以2 cm/s的速度向点C运动，若点D，E同时出发，运动时间为t s，问：
（1）t为何值时，△BDE为等边三角形？
（2）t为何值时，△BDE为直角三角形？
解：(1)根据题意，得AD=3t cm，BE=2t cm，
∵在△ABC中，AB=BC=6 cm，∠B=60 °，
∴BD=(6-3t)cm.
∵∠B=60 °，∴当BD=BE时，△BDE是等边三角形，
即6-3t=2t.
解得t=，
故当t=时，△BDE为等边三角形；
(2)若△BDE是直角三角形，则
∠BDE=90 °或∠BED=90 °，
①当∠BDE=90 °时，∠B=60 °，根据30 °角所对的直角边是斜边的一半，可得BE=2BD，
∴2t=2(6-3t).
解得t=；
②当∠BED=90 °时，∠B=60 °，根据30 °角所对的直角边是斜边的一半，可得BD=2BE，
即6-3t=2×2t，
解得t=.
故当t=或时，△BDE为直角三角形.第一章达标检测试卷
（时间120分钟满分150分）
一、选择题(每小题3分，共36分)
1.已知直角三角形一个锐角为46°，则另一个锐角是 ( )
A.34° B.36° C.44° D.54°
2.已知等腰三角形的一个底角为75°，则其顶角为 ( )
A.36° B.30° C.60° D.75°
3.下列命题的逆命题不是真命题的是 ( )
A.等边三角形的角平分线的交点到各顶点的距离相等
B.线段的垂直平分线上的点到其两端点的距离相等
C.有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
D.三角形各角平分线的交点到各顶点的距离相等
4.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，E，F是AD上的点，若△ABC的面积为24 cm2，则图中阴影部分的面积为 )
A.4 cm2 B.8 cm2 C.12 cm2 D.16 cm2
第4题图 第5题图 第6题图
5.如图，在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，BE平分∠ABC，交AD于点E，EF∥AC，下列结论一定成立的是 ( )
A.AB=BF B.AE=ED
C.AD=DC D.∠ABE=∠DFE
6.如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB.若BE=2，则S△ABC为 ( )
A.1 B.3 C. D.
7.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，若BD＝2 cm,，则△ADE的面积是 ( )
A.4 cm2
B. cm2
C.（+1） cm2
D.（2+2） cm2
8.如图，在等边三角形ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数为 ( )
A.45° B.55° C.60° D.75°
第8题图 第9题图
9.如图，BD平分∠ABC交AC于点D，ED⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，AB=6，BC=8，若S△ABC=28，则DE的长为 ( )
A.4 B.8 C.6 D.2
10.如图，一渔政船在海域C处测得岛A在北偏西30°的方向上，随后渔政船以80 n mile/h的速度向北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得岛A在北偏西60°的方向上，则此时渔政船距岛A的距离AB为 ( )
A.n mile B.20 n mile
C.n mile D.40 n mile
第10题图 第11题图 第12题图
11.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，如果一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点B，那么它需要爬行的最短距离是 ( )
A.5 B.25 C.10+5 D.35
12.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8.AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 ( )
A. B.4 C. D.2
二、填空题(每小题4分，共16分)
13.写出“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题： .
14.如图，在山坡AB上种树，已知∠C=90°，∠A=30°，AC=6 m，则相邻两树的坡面距离AB= m.
第14题图 第15题图 第16题图
15.如图，O是△ABC内一点，且点O到三边AB，BC，CA的距离OF=OD=OE，若∠BAC=70°，则∠BOC= .
16.如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，E是CD的中点，若BC=5，AD=10，BE=，则AB的长是 .
三、解答题(共9小题，共98分)
17.(10分)如图，∠A=∠D=90°，AC=BD.求证：OB=OC.
18.(10分)如图，在△ABC中，AB=BD=DC,∠ABC=105°，求∠A，∠C的度数.
19.(10分)如图，一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄，当汽车行驶到哪个位置时，与村庄M，N的距离相等？（用尺规作图，无需写作法，保留作图痕迹）
20.(10分)如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，FE垂直平分AD，垂足为E，EF交BC的延长线于点F，若∠CAF=50°，求∠B的度数．
21.(10分)如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D，F分别为AB，AC的中点，作DE⊥AB，GF⊥AC分别交BC于点E，G，若BC=6 cm，求EG的长.
22.（12分）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G．
（1）求证：AD垂直平分EF；
（2）若AB+AC=10，DE=3，求△ABC的面积．
23.(12分)如图，筹备校庆期间，后勤人员从教学楼C的楼顶E处向校门AB的上方A处拉彩带，已知AB高5 m，EC高29 m，校门口到大楼之间的距离BC为10 m，求需要的彩带AE的长.
24.(12分)如图，D是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB=90°，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA.
（1）求证：DE平分∠BDC；
（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD.
25.(12分)如图，在△ABC中，AB=AC=BC=6 cm.点D从点A出发以 3 cm/s的速度向点B运动，点E从点B出发以2 cm/s的速度向点C运动，若点D，E同时出发，运动时间为t s，问：
（1）t为何值时，△BDE为等边三角形？
（2）t为何值时，△BDE为直角三角形？
