2024-2025学年福建省三明市高一（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年福建省三明市高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题：无论取何实数，必有，则为( )
A. ，都有 B. ，都有
C. ，使得 D. ，使得
2.( )
A. B. C. D.
3.若，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
4.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
5.函数的零点所在区间为( )
A. B. C. D.
6.函数在上的图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，经过分钟后的温度满足，称为半衰期，其中是环境温度若，现有一杯的热水降至用时分钟，那么水温从降至，用时为( )
参考数据：
A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟
8.已知，当时，恒成立，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各组中的与为同一个函数的是( )
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
10.已知正数、满足，则下列各式一定成立的是( )
A. B. C. D.
11.已知定义在上的函数满足，且当时，，则有( )
A. 是奇函数
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的定义域为______．
13.已知扇形的面积为，则它的周长的最小值为______．
14.已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设集合，．
若，求；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
在平面直角坐标系中，角，的顶点为，始边为轴的非负半轴，终边分别过点，．
求，的值；
求的值；
若，，求的值．
17.本小题分
某物品上的特殊污渍需用一种特定的洗涤溶液直接漂洗去污，表示用个单位量的洗涤溶液漂洗一次以后，残留污渍量与原污渍量之比已知为常数，且．
写出的值，并求的表达式；
若用总量为个单位量的洗涤溶液对该污渍漂洗两次，如何分配两次洗涤溶液的用量，使得去污效果最好？去污效果最好的这种方案是否比“用个单位量的洗涤溶液漂洗一次”方案的去污效果更好？说明理由．
18.本小题分
已知函数，其中，且的最大值为．
求的值；
求函数在区间上的最值；
将函数的图象向右平移个长度单位，得到函数的图象若为定值，求的最小值．
19.本小题分
对于函数，若实数满足，则称为的不动点已知的不动点集合为
若，，，解不等式：；
若，
证明：当时，；
判断在区间上是否为单调函数，并说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：或，则；
当时，，由得或，
所以；
由得，
若，则，解得，
若，则或，解得或，
综上，实数的取值范围是．
16.解：因为的终边过点，
所以，
所以．
因为的终边过点，
所以，
原式
．
因为的终边过点，
所以．
所以．
因为，，且，，
所以，，
所以．
所以．
17.解：根据题意，表示用个单位量的洗涤溶液漂洗一次以后，残留污渍量与原污渍量之比，
必有，
又由，则，即，
又由，所以，解得．
故．
根据题意，设第一、二次漂洗分别使用，个单位量的洗涤溶液，其中，，，且．
假设原污渍量为，．
因为，所以第一次漂洗后，残留的污渍量为．
因为，
所以经过二次漂洗后，残留的污渍量为．
而．
因为，，由基本不等式的性质，，所以．
当且仅当时，等号成立．
所以的取值范围是．
因为函数在单调递减，在单调递增，
且，，，
所以当时，即时，
取得最大值，最大值为．
此时残留的污渍量最少，其值为．
所以，用总量为个单位量的洗涤溶液，对该污渍漂洗两次，当两次漂洗使用的洗涤溶液都为个单位量时，去污效果最好．
若用个单位量的洗涤溶液漂洗一次，由于，所以，用个单位量的洗涤溶液漂洗一次，残留的污渍量为．
因为，
所以“漂洗两次，每次用个单位量洗涤溶液”的方案比“用个单位量的洗涤溶液漂洗一次”的方案去污效果更好．
18.解：，
其中，
因为的最大值为，所以，所以．
因为，所以．
由知，．
因为，，所以．
所以．
因为，所以，
当，即时，，
当，即时，；
依题意，，
设，
则
．
若，取，，
，，
则，即
所以，当时，不为定值．
当，即，时，．
此时，为定值．
因为，
所以，的最小值为．
19.解：由于，因此函数．
根据题意，，是函数的不动点，因此
解得因此函数．
不等式化为．
由于，因此解得．
因此的解集为．
证明：由于，是函数的不动点，因此
所以因此，是的根．
又由于函数，
因此函数为一元二次方程．
因此，
由于，，
因此，，，
所以，即．

．
由于，因此因此．
因此当时，．
函数在不是单调函数，理由如下：
设函的图象的对称轴为，那么．
根据第二问知，因此．
因此．
因此函数在区间单调递增，在区间单调递减，
因此函数不是区间的单调函数．
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