浙江省杭州市第四中学2024-2025学年高二下学期开学数学试卷（PDF版，含答案）

浙江省杭州市第四中学 2024-2025 学年高二下学期开学数学试卷
一、单选题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知等差数列{ }的前 项和为 ，若 9 = 54， 7 = 10，则 4 =( )
A. 4 B. 2 C. 0 D. 2
( +2 ) ( )
2.若函数 = ( )在 = 0处的导数等于 ，则 lim
0 0 的值为( )
→0
1
A. B. 2 C. 3 D.
2
3.已知平面 = { | 0 = 0}，其中点 0(1,2,3)， = (1,1,1)，则下列各点中不在平面 内的是( )
A. (3,2,1) B. ( 3,2,7) C. (0,1,1) D. (2, 4,8)
2 2
4.已知双曲线 ：2 2 = 1的右焦点为 ， 为坐标原点，过点 的直线与双曲线 的两条渐近线分别交于 ，
两点.点 为线段 的中点，且 = 0，则双曲线 的离心率为( )
A. √ 2 B. √ 3 C. 2 D. 3
5.已知数据 1， 2，…， 5( ∈ , = 1,2, ,5)的平均数、中位数、方差均为4，则这组数据的极差为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
6.已知圆锥的底面与圆台的上底面重合，圆锥的顶点在圆台的下底面上，且圆锥与圆台的母线长相等，设
圆台与圆锥的侧面积之比为 1，体积之比为 2，则( )
A. 5 1 = 2 2 B. 2 1 = 5 2 C. 7 1 = 3 2 D. 3 1 = 7 2
二、多选题：本题共 2 小题，共 12 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
7.如图是函数 = ( )的导函数 = ′( )的图象，则以下说法正确的为( )
A. 2是函数 = ( )的极值点
B. 函数 = ( )在 = 1处取最小值
C. 函数 = ( )在 = 0处切线的斜率小于零
D. 函数 = ( )在区间( 2,2)上单调递增
第 1 页，共 5 页
8.下列说法命题正确的是( )
A. 在空间直角坐标系中，已知点 (2,3, 5)， (0, 2, 2)， ( 2, 5,1)，则 ， ， 三点共线
B. 若直线 的方向向量为 = (3,0, 1)，平面 的法向量为 = ( 9,0,3)，则 //
C. 已知 = (0,1,4), = (√ 3, 0, 1)，则 在 上的投影向量为
1 1
D. 已知三棱锥 ，点 为平面 上的一点，且 = + + ( , ∈ )，则 + =
2 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。
1
( ) + 2, > 8
9.已知数列{ }满足 = { 3 ( ∈ )，若对于任意 ∈ 都有 > +1，则实数 的取
7, ≤ 8
值范围是 ．
10.若曲线 ( ) = ln( + 2)在 = 1处的切线同时与圆( )2 + 2 = 2相切，则 = ______．
11.已知抛物线 2 = 8 的焦点为 ，准线与 轴的交点为 ，过点 的直线 与抛物线交于 ， 两点，若∠ =
∠ ，则| | = ______．
四、解答题：本题共 3 小题，共 46 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
12.(本小题14分)
抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，若用 表示红色骰子正面朝上的点数，用 表示绿色骰子正面朝
上的点数，用( , )表示一次试验的结果，设 =“两个点数之和等于8”， =“至少有一颗骰子的点数为5”，
=“红色骰子上的点数大于4”．
(1)判断事件 ， 是否相互独立；
(2)分别求事件 ∪ 和 的概率．
13.(本小题16分)
已知等比数列{ }的前 项和为 ， 2 = 6且 3 = 8．
(1)求 ；
(2)若 > 0，求数列{log2 }的前 项和 ．
14.(本小题16分)

已知函数 ( ) = ，其中 > 0， 为自然对数的底数．

(1)求 ( )的单调区间；
1 1
(2)设 1 < 2且 1 2 > 0，请判断 ( 2) ( 1)与 的大小，并证明． 2 1
第 2 页，共 5 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
1
9.【答案】( , 1)
2
10.【答案】1或 3
11.【答案】8
12.【答案】解：(1)由题可知，事件 =“ + = 8”，事件 =“至少有一颗骰子的点数为5”，
则事件 的所有情况为：(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，共5种情况，
5 5
所以 ( ) = = ，
6×6 36
事件 的所有情况为：(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，共11种
情况，
11 11
所以 ( ) = = ，
6×6 36
事件 的所有情况为：(3,5)，(5,3)，共2种情况，
2 1
所以 ( ) = = ，
36 18
5 11
因为 ( ) ( ) = × ≠ ( )，所以 与 不相互独立；
36 36
5 11 1
(2)由(1)可得 ( ) = ， ( ) = ， ( ) = ，
36 36 18
5 11 1 7
所以 ( ∪ ) = ( ) + ( ) ( ) = + = ，
36 36 18 18
事件 =“ > 4”，事件 的所有情况为：
(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共12种情况，
12 1
所以 ( ) = = ．
36 3
第 3 页，共 5 页
13.【答案】解：(1)等比数列{ }的前 项和为 ，设等比数列{ }的公比为 ，
由 2 = 6且 3 = 8，
1(1 + ) = 6 = 2
1 = 18
得{ 1
2
，解得{ ，{ 2 ,
1 = 8 = 2 = 3
2
∴ = 2
或 = 27 × ( )
；
3
1(1
)
(2) ∵ > 0，由(1)知， = 2 ，
+1
= = 2 2， 1
= 2 +12 2 (2 2) = 2
+1 2 ，
= 1 × 22 + 2 × 23 + + × 2
+1 2(1 + 2 + + )
1
= 1 × 22 + 2 × 23+. . . + 2 +1 2 × ( + 1)
2
= 1 × 22 + 2 × 23+. . . + 2 +1 ( + 1)，
令 = 1 × 2
2 + 2 × 23 + + × 2 +1 ①，
则2 = 1 × 2
3 + 2 × 24+. . . +( 1) × 2 +1 + × 2 +2 ②，
① ②得 = 22 + 2
3 + 24 + +2 +1 × 2 +2 = (1 ) 2 +2 4，
即 = ( 1) 2
+2 + 4，
所以 = ( 1) 2 +2 + 4 ( + 1)．
( 1)
14.【答案】解：(1)函数 ( ) = 的定义域为{ | ≠ 0}， ′( ) = 2 ， > 0，
1 1
令 ′( ) > 0，得 > ，令 ′( ) < 0，得 < 且 ≠ 0，

1 1
所以 ( )的单调递增区间为( , +∞)，单调递减区间为( ∞,0)，(0, )．

1 1
(2) ( 2) ( 1) > ，证明如下： 2 1
1 1 ( 1) ( 1)+1
令 ( ) = ( ) = ，则 ( )定义域为( ∞,0) ∪ (0,+∞)， ′( ) =
2
=
2
，
令 ( ) = ( 1) + 1，则 ′( ) = ( 1) + = 2 ，
则当 ∈ ( ∞, 0)时， ′( ) < 0；当 ∈ (0,+∞)时， ′( ) > 0；
所以 ( )在( ∞, 0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，所以 ( ) ≥ (0) = 0，
则 ′( ) > 0，所以 ( )在( ∞, 0)，(0,+∞)上单调递增，
因为 1 < 2且 1 2 > 0，所以 1 < 2 < 0或0 < 1 < 2，
第 4 页，共 5 页
1 1
所以 ( 1) < ( 2)恒成立，即 ( 1) < ( 2) ， 1 2
1 1
所以 ( 2) ( 1) > ． 2 1
第 5 页，共 5 页