吉林省长春市德惠市五校2024-2025学年高一上学期期末联考数学试卷
1．（2024高一上·德惠期末）设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：因为全集，集合，
所以，所以.
故答案为：A.
【分析】由已知条件和并集、补集的运算法则，从而得出集合.
2．（2024高一上·德惠期末）已知，若是的充分条件，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】充分条件
【解析】【解答】解：因为，
所以或x=3，
因为是的充分条件，所以，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据是的充分条件得出，再解不等式组结合交集的运算法则，从而得出实数m的取值范围.
3．（2024高一上·德惠期末）已知函数且的图象经过定点，且点在角的终边上，则（ ）
A． B．0 C．5 D．
【答案】D
【知识点】对数函数的图象与性质；任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：当时，
则，故，
∵在角的终边上，
∴，，
∴.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和代入法，从而得出点A的坐标，再根据三角函数的定义和同角三角函数基本关系式，从而得出的值.
4．（2024高一上·德惠期末）已知正数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为正实数满足，
所以，
当且仅当时，即当时等号成立，
结合，则取等条件为.
故答案为：B.
【分析】根据基本不等式中“1”的妙用和基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
5．（2024高一上·德惠期末）已知函数，且，则的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：因为，
所以，
又因为，即，解得．
故答案为：C.
【分析】利用代入法和换元法，从而得出函数的解析式，再利用已知条件和代入法，从而得出实数的值.
6．（2024高一上·德惠期末）已知关于的不等式的解集为，则函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的单调性及单调区间；一元二次不等式及其解法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：因为关于的不等式的解集为，
所以方程的两根是和，
由韦达定理得，解得，且，
所以，对称轴为，开口向下，
所以，函数的单调递增区间为.
故答案为：C.
【分析】根据一元二次不等式的解集得出方程的两根，根据韦达定理，可以判断，且，从而得出二次函数，再利用二次函数的对称轴和开口方向，从而得出二次函数的单调递增区间.
7．（2024高一上·德惠期末）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：因为，则，
又因为，所以，
所以.
又因为，
，
所以，.
故答案为：C.
【分析】利用和不等式的基本性质、同角三角函数的基本关系以及诱导公式，从而得出的值.
8．（2024高一上·德惠期末）已知函数是上的偶函数，对任意，且都有成立．若，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由题意可得，当时，单调递增，
由是上的偶函数，
故，即，
由，，
即，则，
由，则，
故，，即，
又因为，则，
故.
故答案为：D.
【分析】由题意可得函数在时的单调性，再利用对数函数和指数函数的单调性结合函数图象的对称性，从而比较出的大小.
9．（2024高一上·德惠期末）幂函数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．函数是偶函数 D．函数的值域为
【答案】A,C,D
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：对于A，因为是幂函数，
所以，可得或（舍去），则，故A正确；
对于B，因为，，所以，故B错误；
对于C，因为定义域为且，
所以函数是偶函数，故C正确；
对于D，由得函数的值域为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据幂函数的定义求出的值，则判断出选项A；根据函数的单调性比较大小的方法，则判断出选项B；根据偶函数定义，则判断出选项C；根据幂函数的性质求出值域，则判断出选项D，进而找出正确结论的选项.
10．（2024高一上·德惠期末）已知函数，则（ ）
A．的最大值为 B．为偶函数
C．在上单调递减 D．在上有6个零点
【答案】B,C
【知识点】函数的奇偶性；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：因为的最大值为，时可取到最大值，所以A错误；
因为的定义域为，
又因为，
所以为偶函数，所以B正确；
令函数在上单调递增，且当时，的值域为.
因为函数在上单调递减，所以在上单调递减，所以C正确；
当时，的值域为，
函数在上有5个零点，
所以在上有5个零点所以D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据三角型函数的性质求最值的方法，则判断出选项A；根据奇偶性的定义判断出函数的奇偶性，则判断出选项B；根据复合函数的单调性，即可判断出选项C；利用三角型函数的值域和函数在上零点的个数，则由函数的周期性得出函数在上的零点个数，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．（2024高一上·德惠期末）已知取整函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，，．已知函数，则（ ）
A． B．若，则
C． D．函数的最小值为2
【答案】A,B,D
【知识点】函数的概念及其构成要素；指数函数的单调性与特殊点；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，因为，所以，解得，故B正确；
对于C，因为函数的定义域为，
又因为，
当且仅当，即取等号，
所以，故不存在，使，故C不正确；
对于D，因为，
当且仅当时，即当时取等号，
所以函数的最小值为2，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据取整函数的定义，计算可判断出选项A和选项B；根据函数的值域，则可判断选项B；利用基本不等式求最值的方法，则可判断选项D，进而找出正确的选项.
12．（2024高一上·德惠期末）已知，且，则 .
【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由，
又因为，则.
故答案为：.
【分析】利用和两角差的正弦公式和同角三角函数基本关系式，从而得出角的余弦值.
13．（2024高一上·德惠期末）已知的圆心角所对的弧长为，则这个扇形的面积为 .
【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：由题意，，
故这个扇形的半径，面积为.
故答案为：.
【分析】根据角度与弧度的互化公式，再结合扇形面积公式得出这个扇形的面积.
14．（2024高一上·德惠期末）已知函数，若方程的一个实根在区间上，则的所有可能取值形成的集合为 .
【答案】
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：①由方程，解得：，
因为，故；
②由于方程即方程，分别作出左右两边函数的图象，
从图象上可得出：方程在区间内有一个实根，
故方程在区间内有且仅有一个实根，此时.
下面证明：方程在区间内有一个实根，
函数，在区间和内各有一个零点，
因为时，，故函数在区间是增函数，
又因为，，即，
由零点存在性定理知，函数在区间内仅有一个零点，
即方程在区间内有且仅有一个实根，此时，
综上所述：的所有可能取值形成的集合为.
故答案为：．
【分析】先由求出的值，从而确定的值，变形得到，画出两函数图象，再数形结合得到方程的两个根，则根据零点存在性定理得到两根分别在和，从而确定k的所有可能值.
15．（2024高一上·德惠期末）（1）已知，求的值；
（2）计算：．
【答案】解：（1）因为，
所以，
所以
所以.
（2）
.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）利用指数式与对数式的互化公式和对数的运算性质，从而得出的值.
（2）利用对数的运算性质和换底公式，从而化简求值.
16．（2024高一上·德惠期末）已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：将等价于，即，
即等价于，解得：或，
所以解集为.
（2）解：因为，所以，
令，
所以
等价于在上恒成立，
即，
因为在上单调递减，
在单调递增，
所以，
则，解得，
所以实数的取值范围为.
【知识点】函数的最大（小）值；函数恒成立问题；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）将代入函数可得到关于x的一元二次不等式，再结合对数型函数的单调性和一元二次不等式求解方法，从而得出不等式的解集.
（2）利用x的取值范围和对数函数的值域求解方法，结合换元法，将等价转化为在上恒成立，再根据不等式恒成立问题求解方法，则求出函数的最小值，即可求出实数的取值范围.
（1）等价于，即，
即，等价于，解得：或，
所以解集为.
（2）因为，所以，令，
所以等价于在上恒成立，
即，
因为，在上单调递减，在单调递增，
所以，则，解得，
所以实数的取值范围为.
17．（2024高一上·德惠期末）定义在上的函数满足，当时，.
（1）求的值；
（2）判断的奇偶性，并说明理由；
（3）证明：在上单调递减.
【答案】（1）解：∵，
∴令，则，解得.
（2）解：为偶函数.
理由如下：
令，则，
又∵，∴，
令，
则，即，
∴是偶函数.
（3）证明：且，
则，，
则，
∴，
∴，即，
故在上单调递减.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；抽象函数及其应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件和赋值法，即可得出的值.
（2）利用赋值法得到与关系，再根据偶函数的定义，从而判断出函数的奇偶性.
（3）利用已知条件和赋值法构造出的表达式，再运用单调性的定义，从而证出函数在上的单调性.
（1）∵，
∴令，则，解得.
（2）为偶函数.
理由如下：
令，则.
又∵，∴.
令，则，即，
∴是偶函数.
（3）且，则，，
则，
∴，
∴，即.
故在上单调递减.
18．（2024高一上·德惠期末）已知函数．
（1）求的最小正周期和对称轴；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象.
（i）求不等式的解集；
（ii）当时，若函数有零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：
，
则，
令，
则，
即的最小正周期为，对称轴为.
（2）解：（i），
令，则有，
解得，
故所求解集为；
（ii）当时，，则，
若函数有零点，即有解，即.
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数的零点与方程根的关系；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【分析】（1）借助降幂公式与辅助角公式可将原函数化为正弦型函数，再借助正弦型函数的周期性及其对称轴计算即可得；
（2）（i）利用正弦型函数的图象变换得到函数的解析式，再结合正弦型函数的图象和已知条件，从而得出不等式的解集.
（ii）由题意结合函数的零点与方程的根的等价关系，从而可得有解，再结合的取值范围求出值域，从而得出实数m的取值范围.
（1），则，
令，则，
即的最小正周期为，对称轴为；
（2）（i），
令，则有，
解得，
故所求解集为；
（ii）当时，，则，
若函数有零点，即有解，即.
19．（2024高一上·德惠期末）环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车在一段国道上进行测试，汽车行驶速度低于80km/h．经多次测试得到该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：km/h）的数据如下表所示：
为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：，且，，（）．
（1）当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型，并说明理由；
（2）求出（1）中所选函数模型的函数解析式；
（3）根据（2）中所得函数解析式，求解如下问题：现有一辆同型号电动汽车从地驶到地，前一段是200km的国道，后一段是60km的高速路（汽车行驶速度不低于80km/h），若高速路上该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：km/h）的关系满足，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？
【答案】（1）解：若选，
则当时，该函数无意义，不合题意；
若选，
显然该函数是减函数，这与矛看，不合题意，
故选择．
（2）解：选择，
由表中数据得，
解得，
所以，当时，．
（3）解：由题可知该汽车在国道路段所用时间为，
所耗电量为：
=，
所以，当时，，
该汽车在高速路段所用时间为，
所耗电量为：
易知在上单调递增，
所以，
故当该汽车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时，总耗电量最少，最少为．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值
【解析】【分析】（1）由表格数据和函数的单调性，从而推出矛盾，进而判断出合适的函数关系.
（2）利用选择的函数的解析式和表中数据，从而代入数据列方程组求解得出b，c的值，进而得出（1）中所选函数模型的函数解析式.
（3）利用已知条件，分别表示在国道与高速路上的耗电量，再由函数在上的单调性求出函数在上的最小值，进而得出此时的速度.
（1）若选，则当时，该函数无意义，不合题意．
若选，显然该函数是减函数，这与矛看，不合题意．
故选择．
（2）选择，由表中数据得，
解得，所以当时，．
（3）由题可知该汽车在国道路段所用时间为，
所耗电量，
所以当时，．
该汽车在高速路段所用时间为，
所耗电量，
易知在上单调递增，所以．
故当该汽车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时，总耗电量最少，最少为．
1 / 1吉林省长春市德惠市五校2024-2025学年高一上学期期末联考数学试卷
1．（2024高一上·德惠期末）设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一上·德惠期末）已知，若是的充分条件，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高一上·德惠期末）已知函数且的图象经过定点，且点在角的终边上，则（ ）
A． B．0 C．5 D．
4．（2024高一上·德惠期末）已知正数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
5．（2024高一上·德惠期末）已知函数，且，则的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．2
6．（2024高一上·德惠期末）已知关于的不等式的解集为，则函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一上·德惠期末）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一上·德惠期末）已知函数是上的偶函数，对任意，且都有成立．若，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高一上·德惠期末）幂函数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．函数是偶函数 D．函数的值域为
10．（2024高一上·德惠期末）已知函数，则（ ）
A．的最大值为 B．为偶函数
C．在上单调递减 D．在上有6个零点
11．（2024高一上·德惠期末）已知取整函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，，．已知函数，则（ ）
A． B．若，则
C． D．函数的最小值为2
12．（2024高一上·德惠期末）已知，且，则 .
13．（2024高一上·德惠期末）已知的圆心角所对的弧长为，则这个扇形的面积为 .
14．（2024高一上·德惠期末）已知函数，若方程的一个实根在区间上，则的所有可能取值形成的集合为 .
15．（2024高一上·德惠期末）（1）已知，求的值；
（2）计算：．
16．（2024高一上·德惠期末）已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若，求实数的取值范围.
17．（2024高一上·德惠期末）定义在上的函数满足，当时，.
（1）求的值；
（2）判断的奇偶性，并说明理由；
（3）证明：在上单调递减.
18．（2024高一上·德惠期末）已知函数．
（1）求的最小正周期和对称轴；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象.
（i）求不等式的解集；
（ii）当时，若函数有零点，求实数的取值范围．
19．（2024高一上·德惠期末）环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车在一段国道上进行测试，汽车行驶速度低于80km/h．经多次测试得到该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：km/h）的数据如下表所示：
为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：，且，，（）．
（1）当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型，并说明理由；
（2）求出（1）中所选函数模型的函数解析式；
（3）根据（2）中所得函数解析式，求解如下问题：现有一辆同型号电动汽车从地驶到地，前一段是200km的国道，后一段是60km的高速路（汽车行驶速度不低于80km/h），若高速路上该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：km/h）的关系满足，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：因为全集，集合，
所以，所以.
故答案为：A.
【分析】由已知条件和并集、补集的运算法则，从而得出集合.
2．【答案】B
【知识点】充分条件
【解析】【解答】解：因为，
所以或x=3，
因为是的充分条件，所以，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据是的充分条件得出，再解不等式组结合交集的运算法则，从而得出实数m的取值范围.
3．【答案】D
【知识点】对数函数的图象与性质；任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：当时，
则，故，
∵在角的终边上，
∴，，
∴.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和代入法，从而得出点A的坐标，再根据三角函数的定义和同角三角函数基本关系式，从而得出的值.
4．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为正实数满足，
所以，
当且仅当时，即当时等号成立，
结合，则取等条件为.
故答案为：B.
【分析】根据基本不等式中“1”的妙用和基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
5．【答案】C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：因为，
所以，
又因为，即，解得．
故答案为：C.
【分析】利用代入法和换元法，从而得出函数的解析式，再利用已知条件和代入法，从而得出实数的值.
6．【答案】C
【知识点】函数的单调性及单调区间；一元二次不等式及其解法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：因为关于的不等式的解集为，
所以方程的两根是和，
由韦达定理得，解得，且，
所以，对称轴为，开口向下，
所以，函数的单调递增区间为.
故答案为：C.
【分析】根据一元二次不等式的解集得出方程的两根，根据韦达定理，可以判断，且，从而得出二次函数，再利用二次函数的对称轴和开口方向，从而得出二次函数的单调递增区间.
7．【答案】C
【知识点】同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：因为，则，
又因为，所以，
所以.
又因为，
，
所以，.
故答案为：C.
【分析】利用和不等式的基本性质、同角三角函数的基本关系以及诱导公式，从而得出的值.
8．【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由题意可得，当时，单调递增，
由是上的偶函数，
故，即，
由，，
即，则，
由，则，
故，，即，
又因为，则，
故.
故答案为：D.
【分析】由题意可得函数在时的单调性，再利用对数函数和指数函数的单调性结合函数图象的对称性，从而比较出的大小.
9．【答案】A,C,D
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：对于A，因为是幂函数，
所以，可得或（舍去），则，故A正确；
对于B，因为，，所以，故B错误；
对于C，因为定义域为且，
所以函数是偶函数，故C正确；
对于D，由得函数的值域为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据幂函数的定义求出的值，则判断出选项A；根据函数的单调性比较大小的方法，则判断出选项B；根据偶函数定义，则判断出选项C；根据幂函数的性质求出值域，则判断出选项D，进而找出正确结论的选项.
10．【答案】B,C
【知识点】函数的奇偶性；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：因为的最大值为，时可取到最大值，所以A错误；
因为的定义域为，
又因为，
所以为偶函数，所以B正确；
令函数在上单调递增，且当时，的值域为.
因为函数在上单调递减，所以在上单调递减，所以C正确；
当时，的值域为，
函数在上有5个零点，
所以在上有5个零点所以D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据三角型函数的性质求最值的方法，则判断出选项A；根据奇偶性的定义判断出函数的奇偶性，则判断出选项B；根据复合函数的单调性，即可判断出选项C；利用三角型函数的值域和函数在上零点的个数，则由函数的周期性得出函数在上的零点个数，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数的概念及其构成要素；指数函数的单调性与特殊点；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，因为，所以，解得，故B正确；
对于C，因为函数的定义域为，
又因为，
当且仅当，即取等号，
所以，故不存在，使，故C不正确；
对于D，因为，
当且仅当时，即当时取等号，
所以函数的最小值为2，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据取整函数的定义，计算可判断出选项A和选项B；根据函数的值域，则可判断选项B；利用基本不等式求最值的方法，则可判断选项D，进而找出正确的选项.
12．【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由，
又因为，则.
故答案为：.
【分析】利用和两角差的正弦公式和同角三角函数基本关系式，从而得出角的余弦值.
13．【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：由题意，，
故这个扇形的半径，面积为.
故答案为：.
【分析】根据角度与弧度的互化公式，再结合扇形面积公式得出这个扇形的面积.
14．【答案】
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：①由方程，解得：，
因为，故；
②由于方程即方程，分别作出左右两边函数的图象，
从图象上可得出：方程在区间内有一个实根，
故方程在区间内有且仅有一个实根，此时.
下面证明：方程在区间内有一个实根，
函数，在区间和内各有一个零点，
因为时，，故函数在区间是增函数，
又因为，，即，
由零点存在性定理知，函数在区间内仅有一个零点，
即方程在区间内有且仅有一个实根，此时，
综上所述：的所有可能取值形成的集合为.
故答案为：．
【分析】先由求出的值，从而确定的值，变形得到，画出两函数图象，再数形结合得到方程的两个根，则根据零点存在性定理得到两根分别在和，从而确定k的所有可能值.
15．【答案】解：（1）因为，
所以，
所以
所以.
（2）
.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）利用指数式与对数式的互化公式和对数的运算性质，从而得出的值.
（2）利用对数的运算性质和换底公式，从而化简求值.
16．【答案】（1）解：将等价于，即，
即等价于，解得：或，
所以解集为.
（2）解：因为，所以，
令，
所以
等价于在上恒成立，
即，
因为在上单调递减，
在单调递增，
所以，
则，解得，
所以实数的取值范围为.
【知识点】函数的最大（小）值；函数恒成立问题；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）将代入函数可得到关于x的一元二次不等式，再结合对数型函数的单调性和一元二次不等式求解方法，从而得出不等式的解集.
（2）利用x的取值范围和对数函数的值域求解方法，结合换元法，将等价转化为在上恒成立，再根据不等式恒成立问题求解方法，则求出函数的最小值，即可求出实数的取值范围.
（1）等价于，即，
即，等价于，解得：或，
所以解集为.
（2）因为，所以，令，
所以等价于在上恒成立，
即，
因为，在上单调递减，在单调递增，
所以，则，解得，
所以实数的取值范围为.
17．【答案】（1）解：∵，
∴令，则，解得.
（2）解：为偶函数.
理由如下：
令，则，
又∵，∴，
令，
则，即，
∴是偶函数.
（3）证明：且，
则，，
则，
∴，
∴，即，
故在上单调递减.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；抽象函数及其应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件和赋值法，即可得出的值.
（2）利用赋值法得到与关系，再根据偶函数的定义，从而判断出函数的奇偶性.
（3）利用已知条件和赋值法构造出的表达式，再运用单调性的定义，从而证出函数在上的单调性.
（1）∵，
∴令，则，解得.
（2）为偶函数.
理由如下：
令，则.
又∵，∴.
令，则，即，
∴是偶函数.
（3）且，则，，
则，
∴，
∴，即.
故在上单调递减.
18．【答案】（1）解：
，
则，
令，
则，
即的最小正周期为，对称轴为.
（2）解：（i），
令，则有，
解得，
故所求解集为；
（ii）当时，，则，
若函数有零点，即有解，即.
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数的零点与方程根的关系；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【分析】（1）借助降幂公式与辅助角公式可将原函数化为正弦型函数，再借助正弦型函数的周期性及其对称轴计算即可得；
（2）（i）利用正弦型函数的图象变换得到函数的解析式，再结合正弦型函数的图象和已知条件，从而得出不等式的解集.
（ii）由题意结合函数的零点与方程的根的等价关系，从而可得有解，再结合的取值范围求出值域，从而得出实数m的取值范围.
（1），则，
令，则，
即的最小正周期为，对称轴为；
（2）（i），
令，则有，
解得，
故所求解集为；
（ii）当时，，则，
若函数有零点，即有解，即.
19．【答案】（1）解：若选，
则当时，该函数无意义，不合题意；
若选，
显然该函数是减函数，这与矛看，不合题意，
故选择．
（2）解：选择，
由表中数据得，
解得，
所以，当时，．
（3）解：由题可知该汽车在国道路段所用时间为，
所耗电量为：
=，
所以，当时，，
该汽车在高速路段所用时间为，
所耗电量为：
易知在上单调递增，
所以，
故当该汽车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时，总耗电量最少，最少为．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值
【解析】【分析】（1）由表格数据和函数的单调性，从而推出矛盾，进而判断出合适的函数关系.
（2）利用选择的函数的解析式和表中数据，从而代入数据列方程组求解得出b，c的值，进而得出（1）中所选函数模型的函数解析式.
（3）利用已知条件，分别表示在国道与高速路上的耗电量，再由函数在上的单调性求出函数在上的最小值，进而得出此时的速度.
（1）若选，则当时，该函数无意义，不合题意．
若选，显然该函数是减函数，这与矛看，不合题意．
故选择．
（2）选择，由表中数据得，
解得，所以当时，．
（3）由题可知该汽车在国道路段所用时间为，
所耗电量，
所以当时，．
该汽车在高速路段所用时间为，
所耗电量，
易知在上单调递增，所以．
故当该汽车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时，总耗电量最少，最少为．
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