广东省江门市新会第一中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题
1．（2024高二上·新会期末）已知向量，，则（ ）
A． B．8 C．3 D．9
2．（2024高二上·新会期末）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ）
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8
3．（2024高二上·新会期末）双曲线和椭圆共焦点，且一条渐近线方程是，则此双曲线方程是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二上·新会期末）样本数据：11，12，15，13，17，18，16，22，36，30的第70百分位数是（ ）
A．16 B．19 C．20 D．22
5．（2024高二上·新会期末）直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高二上·新会期末）下列说法正确的是（ ）
A．若，为两个事件，则“与互斥”是“与相互对立”的必要不充分条件
B．若，为两个事件，则
C．若事件，，两两互斥，则
D．若事件，满足，则与相互对立
7．（2024高二上·新会期末）已知抛物线的方程为，为其焦点，点坐标为，过点作直线交抛物线于、两点，是轴上一点，且满足，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二上·新会期末）设 ，如果把函数 的图象被两条直线 所截的一段近似地看作一条线段，则下列关系中， (c) 的最佳近似表示式是 （ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2024高二上·新会期末）点在圆上，点在圆上，则（ ）
A．的最小值为3
B．的最大值为7
C．两个圆心所在的直线斜率为
D．两个圆相交弦所在直线的方程为
10．（2024高二上·新会期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则（ ）
A．椭圆的离心率为
B．的周长为4
C．若，则的面积为3
D．若，则
11．（2024高二上·新会期末）如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是棱上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．若是棱的中点，则过的平面截正方体所得的截面图形的周长为
C．若与平面所成的角为，则
D．若是棱的中点，则四面体的外接球的表面积为
12．（2024高二上·新会期末）总体由编号为的50各个体组成，利用随机数表（以下摘取了随机数表中第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第4个个体的编号为 ．
66 67 40 67 14 64 05 71 95 86 11 05 65 09 68 76 83 20 37 90
57 16 00 11 66 14 90 84 45 11 75 73 88 05 90 52 27 41 14 86
13．（2024高二上·新会期末）如果双曲线上一点到它的右焦点的距离是8，那么点到它的左焦点的距离是 .
14．（2024高二上·新会期末）已知抛物线的焦点为，过点作直线的垂线，垂足为，点是拋物线上的动点，则（1）拋物线的准线方程为 ，（2）的最小值为 .
15．（2024高二上·新会期末）某校组织全体学生参加“数学以我为傲”知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：，，，……，，统计结果如图所示：
（1）试估计这100名学生得分的众数、中位数；（中位数保留小数点后2位）
（2）试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；
（3）现在按分层抽样的方法在和两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求至少有一人在的概率.
16．（2024高二上·新会期末）已知、，动点满足，设动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的标准方程；
（2）求过点且与曲线相切的直线的方程.
17．（2024高二上·新会期末）在四棱锥中，底面∥，.
（1）证明：∥平面；
（2）证明：；
（3）求与平面所成的角的正切值.
18．（2024高二上·新会期末）某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为，且各轮问题能否回答正确互不影响．
（1）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；
（2）求该选手至多进入第三轮考核的概率．
19．（2024高二上·新会期末）对抛物线，定义：点叫做该抛物线的焦点，直线叫做该抛物线的准线，且该抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等.运用上述材料解决以下问题：
如图，已知抛物线：的图象与轴交于、两点，且过点.
（1）求抛物线的解析式和点A坐标；
（2）若将抛物线C的图象向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到抛物线D的图象.
①设为抛物线上任意一点，轴于点N，求的最小值；
②直线l过抛物线D的焦点且与抛物线D交于两点，证明：以为直径的圆与抛物线D的准线相切.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】向量的模；平面向量坐标表示的应用
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：C.
【分析】由向量的坐标运算和向量的模的坐标表示，从而得出答案.
2．【答案】C
【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【解答】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合集合的运算法则和频率等于频数除以样本容量的公式，进而得出该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值。
3．【答案】C
【知识点】抛物线的简单性质；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为椭圆方程为：，所以焦点坐标为，
因为椭圆与双曲线有共同的焦点，
则设双曲线的标准方程为，且①，
因为双曲线的一条渐近线方程是，所以②，
联立①②，解得，，
所以双曲线方程为.
故答案为：C.
【分析】利用椭圆标准方程得出a，b的值，利用椭圆中a，b，c三者的关系式得出椭圆的焦点坐标，由椭圆与双曲线有共同的焦点，设双曲线的方程为，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式，从而得出，由双曲线的渐近线方程可得的值，则解方程求出，的值，进而得出双曲线的标准方程.
4．【答案】C
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：因为样本数据共有10个数，则，
故从小到大排列，选择第7个数和第8个数的平均数作为第70百分位数，即20为第70百分位数.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和百分位数的定义，从而得出样本数据的第70百分位数.
5．【答案】B
【知识点】正切函数的图象与性质；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：设直线的倾斜角为，
因为，，所以，
又因为，则，
当时，单调递增，则，可得；
当时，单调递增，则，可得，
综上所述，.
故答案为：B.
【分析】设直线的倾斜角为，由已知条件可得，分两种情况和判断正切函数的单调性，从而得出其值域，进而得出直线的倾斜角的取值范围.
6．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；概率的基本性质；互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：对于A，若事件与互斥，则与不一定相互对立，
但与相互对立，则与一定互斥，
故“与互斥”是“与相互对立”的必要不充分条件，故A正确；
对于B，若，为两个事件，则，故B错误；
对于C，若事件，，两两互斥，则不一定成立，
如：抛掷一枚均匀的骰子一次，记“向上的点数为1”，
“向上的点数为2”，“向上的点数为3”，
事件，，两两互斥，但，故C错误；
对于D，抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数为偶数的概率是，
抛掷一枚硬币，正面向上的概率是，满足，但是与不对立，故D错误.
故答案为：A.
【分析】根据互斥事件和对立事件的概念以及充分条件、必要条件的判断方法，则判断选项A；根据互斥事件加法求概率公式，则判断出选项B；利用互斥事件的定义、对立事件的定义和概率的基本性质，从而举反例判断出选项C和选项D，进而找出说法正确的选项.
7．【答案】B
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设，，，直线方程为，
联立直线与抛物线方程，可得，
显然，所以，
又因为，
即，
即，，
故，是方程的解，
将代入方程，
整理得，显然，
，
，即．
故答案为：B．
【分析】设，，，直线方程为，联立直线与抛物线方程，消元结合韦达定理得到的值，再由，可得，是方程的解，将代入方程中，由的值求出的值.
8．【答案】C
【知识点】斜率的计算公式；直线的点斜式方程
【解析】【解答】根据点斜式方程得 ，
故答案为：C
【分析】当函数 y = f ( x ) 的图象被两条直线 x = a ， x = b 所截的一段近似地看作一条线段时，用斜率公式求出斜率，再由点斜式写出直线方程，再f(c).
9．【答案】A,B,C
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】圆的圆心坐标，半径
圆 ，即的圆心坐标，半径
∴圆心距
又在圆上，在圆上
则的最小值为，最大值为．
A、B符合题意；
两圆圆心所在的直线斜率为，C符合题意；
圆心距大于两圆半径和，两圆外离，无相交弦，D不符合题意.
故答案为：ABC
【分析】根据题意整理成圆的标准方程得出两圆的圆心和半径，结合两点距离公式得出圆心距、求斜率公式、圆与圆位置关系，逐项判断可得答案。
10．【答案】A,D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：对于A，由题意，，
故，，所以，故A正确；
对于B，三角形的周长为，故B错误；
对于C，，
，
当且仅当时，等号成立，
因为在上递减，
所以此时最大，的最大值为，不成立，故C错误；
对于D，由余弦定理得出
，
即，
解得，故，故D正确；
故答案为：AD.
【分析】根据题意可得， 解方程得出a，c的值，再根据椭圆的离心率公式得出椭圆的离心率，则判断出选项A；根据椭圆的定义互为三角形的周长公式，则判断出选项B；根据余弦定理和椭圆的定义以及三角形的面积公式，则判断出选项C；根据余弦定理和椭圆的定义，则得出的值，从而判断出选项D，进而找出正确的选项．
11．【答案】A,C
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；平面与平面平行的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A，连接，
因为，平面，平面，
所以平面，
又因为点是棱上的动点（含端点），
所以点到平面的距离为定值，设为，
则为定值，故A正确；
对于B，如图，四边形为过A，M，N的平面截正方体所得的截面图形，
因为平面平面，
且平面平面，平面平面，
根据面面平行的判断定理知，，
又因为为中点，所以为四等分点，
则四边形的周长为：
，故B错误；
对于C，以A为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系，
则，
则，
设平面的法向量，则，
令，则，故，
则，
当时，；
当时，，
当且仅当时等号成立，
又因为，
综上可知，，故C正确，
对于D，如图所示，连接，取的中点为，连接，
设外接圆圆心为，外接球球心为，连接，则，
在中，设其外接圆半径为，
由正弦定理知，，所以，即，
依题意，易得，
故，弦所对的圆周角相等，
故四点共圆，则，
设外接球半径为，过作，交于，
则在中，，即，①
在中，，即，②
联立①②，解得，故外接球的表面积为，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据线面平行的判定定理和点是棱上的动点（含端点），从而可知点到平面的距离为定值，再利用三棱锥的体积公式和等体积法，则判断出选项A；根据题意结合面面平行的性质定理得出线线平行，从而画出截面图，再由四边形的周长公式，则判断出选项B；利用已知条件，建立空间直角坐标系，再利用空间向量求得的表达式，则根据基本不等式求最值的方法，则得出的取值范围，则判断出选项C；利用已知条件作出图形，再根据题意和正弦定理以及全等三角形的性质，从而得出四点共圆，再由勾股定理得出四面体的外接球的半径，则由球的表面积公式，得出四面体的外接球的表面积，则判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
12．【答案】09
【知识点】随机数法
【解析】【解答】解：从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始，依次是14，05，11，09，
∴第四个数字是09.
故答案为：09.
【分析】根据随机数表法选出满足要求的编号，依次是14，05，11，09，从而得到答案.
13．【答案】4或12
【知识点】双曲线的定义
【解析】【解答】解：设点到它的左焦点的距离是，
由可知，，即，
则由双曲线定义，解得或.
故答案为：4或12.
【分析】根据已知条件和双曲线的定义，从而得出点到它的左焦点的距离.
14．【答案】 .；
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：①根据抛物线方程，得，
所以，故抛物线的准线方程为.
②由直线方程得，
所以直线过定点，连结，
则，
由题意知点在以为直径的圆上，
设，所以点Q的轨迹方程为（不包含点），
记圆圆心为，
过点，，分别作准线的垂线，垂足分别为，，，连接，
则，
当且仅当，，，四点共线且点在中间时等号同时成立，
所以的最小值.
故答案为：；.
【分析】①根据抛物线标准方程，得出p的值，从而得出抛物线的准线方程.
②先求出直线过定点，再求出点的轨迹方程，则根据数形结合，从而求出的最小值.
15．【答案】（1）解： 由频率分布直方图可知，第4组频率最大，估计众数为：75；
在内频率之和为，
设中位数为，由图可知中位数在，
由，得中位数.
（2）解：由频率分布直方图的数据，可得这100名学生得分的平均数：
.
（3）解：在和两组中的人数分别为：
人和人，
所以在分组中抽取的人数为人，记为a，b，c，
在分组中抽取的人数为2人，记为1，2，
所以这5人中随机抽取2人的情况有：
，共10种取法，
至少有一人得分在的情况有7种，则所求概率为.
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）利用众数与中位数的定义，结合频率分步直方图，即可得到这100名学生得分的众数、中位数的估计值.
（2）利用平均数定义结合频率分步直方图，即可得到这100名学生得分的平均数估计值.
（3）利用古典概型求概率公式，即可求得从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会且至少有一人在的概率.
（1）由频率分布直方图可知，第4组频率最大，估计众数为：75；
在内频率之和为，
设中位数为，由图可知中位数在，
由，得中位数
（2）由频率分布直方图的数据，可得这100名学生得分的平均数：
（3）在和两组中的人数分别为：
人和人，
所以在分组中抽取的人数为人，记为a，b，c，
在分组中抽取的人数为2人，记为1，2，
所以这5人中随机抽取2人的情况有：
，
共10种取法，至少有一人得分在的情况有7种，
所以所求概率为.
16．【答案】（1）设，则，，
由，得，
所以曲线的标准方程为.
（2）解：曲线是以为圆心，1为半径的圆，
过点的直线若斜率不存在，直线方程这，满足与圆相切；
过点的切线若斜率存在，设切线方程为，即，
有圆心到直线距离，解得，
则方程为.
过点且与曲线相切的直线的方程为或.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）设，根据，结合向量的坐标运算法则，列出方程，即可求得动点的轨迹方程；
（2）根据题意，设切线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径，求得的值，进而求切线方程.
（1）设，则，，
由，得，
所以曲线的标准方程为.
（2）曲线是以为圆心，1为半径的圆，
过点的直线若斜率不存在，直线方程这，满足与圆相切；
过点的切线若斜率存在，设切线方程为，即，
有圆心到直线距离，解得，
则方程为.
过点且与曲线相切的直线的方程为或.
17．【答案】（1）证明：因为∥，平面，平面，
所以∥平面.
（2）证明：在四边形中，作于，于，
因为，
可知四边形为等腰梯形，则，
可得，，
即，所以，
因为平面，平面，所以，
又因为，可得平面，且平面，
所以.
（3）解：如图，以点为原点，分别为轴，
建立空间直角坐标系，
因为，则，
可得，
设平面的法向量，则有，
令，则，可得，
则，
设与平面所成角为，则，
可得，
所以与平面所成角的正切值为.
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）根据∥结合线面平行的判定定理，从而证出直线∥平面.
（2）作于，于，利用勾股定理证明，根据线面垂直的性质定理可得，从而可得平面，再根据线面垂直的性质定理证出.
（3）以点为原点建立空间直角坐标系，再利用数量积求向量夹角公式，从而得出直线与平面所成角的余弦值，再根据线面角的取值范围和同角三角函数基本关系式，从而得出与平面所成角的正切值.
（1）因为∥，平面，平面，
所以∥平面.
（2）在四边形中，作于，于，
因为，
可知四边形为等腰梯形，则，
可得，，
即，所以，
因为平面，平面，所以，
又因为，可得平面，
且平面，所以.
（3）如图，以点为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
因为，则，
可得，
设平面的法向量，则有，
令，则，可得，
则，
设与平面所成角为，则，
可得，
所以与平面所成角的正切值为.
18．【答案】（1）解：记表示该选手能正确回答第个问题，
则，
该选手进入第四轮才被淘汰就是前三轮答题成功，第四轮没有成功，
各轮问题能否回答正确互不影响，
所以所求概率是
（2）解：该选手至多进入第三轮考核，即可能第一轮被淘汰，可能第二轮被淘汰，
可能第三轮被淘汰，这三种情况又是互斥的，
则所求概率为
．
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）根据相互独立事件和对立事件的概率公式，从而计算可得该选手进入第四轮才被淘汰的概率.
（2）根据相互独立事件的概率公式、互斥事件的概率公式和对立事件的概率公式，从而计算可得该选手至多进入第三轮考核的概率.
（1）记表示该选手能正确回答第个问题，则
．
该选手进入第四轮才被淘汰就是前三轮答题成功，第四轮没有成功，
各轮问题能否回答正确互不影响，
所以所求概率是.
（2）该选手至多进入第三轮考核，即可能第一轮被淘汰，可能第二轮被淘汰，
可能第三轮被淘汰，这三种情况又是互斥的，
所以所求概率为
．
19．【答案】（1）解：把代入得：，解得，
所以，抛物线C的解析式为；
在中，令得，或，所以.
（2）解：①根据题意，抛物线解析式为，
所以抛物线的焦点为，准线为，
设抛物线的焦点为，延长交直线于点，
连接、，交抛物线于点，如图：
由抛物线焦点和准线的性质可得，
，
因为，所以，
因为，
所以点与点重合时的值最小，
此时的值最小，
因为，，，
，，
所以的最小值为.
证明：②设直线的解析式为，
由，
得或，
不妨设 ，，
以为直径的圆，圆心为的中点即，，
抛物线的准线为，以为直径的圆圆心到准线的距离为，
所以，以PQ为直径的圆与抛物线的准线相切.
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）把点代入得出a的值，从而得出抛物线C的标准方程，再结合赋值法得出点A的坐标.
（2）①由抛物线的平移变换得出抛物线D的解析式，从而得出抛物线焦点坐标和准线性质，再利用三点共线，从而得出的最小值.
②设出直线的解析式，再联立直线与抛物线方程得出交点坐标，则由中点坐标公式得出以为直径的圆的圆心坐标，再求出抛物线的准线方程，再根据圆心到准线的距离公式和直线与圆相切位置关系判断方法，则证出以为直径的圆与抛物线D的准线相切.
（1）把代入得：，解得，
所以抛物线C的解析式为；
在中，令得，或，所以.
（2）①根据题意，抛物线解析式为，
所以抛物线的焦点为，准线为，
设抛物线的焦点为，延长交直线于点，连接、，交抛物线于点，如图：
由抛物线焦点和准线的性质可得，
，
因为，
所以，
因为，
所以点与点重合时的值最小，此时的值最小，
因为，，，，，
所以的最小值为.
②证明：设直线的解析式为，
由，得或，
不妨设 ，，
以为直径的圆，圆心为的中点即，，
抛物线的准线为，以为直径的圆圆心到准线的距离为，
所以以PQ为直径的圆与抛物线的准线相切.
1 / 1广东省江门市新会第一中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题
1．（2024高二上·新会期末）已知向量，，则（ ）
A． B．8 C．3 D．9
【答案】C
【知识点】向量的模；平面向量坐标表示的应用
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：C.
【分析】由向量的坐标运算和向量的模的坐标表示，从而得出答案.
2．（2024高二上·新会期末）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ）
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8
【答案】C
【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【解答】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合集合的运算法则和频率等于频数除以样本容量的公式，进而得出该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值。
3．（2024高二上·新会期末）双曲线和椭圆共焦点，且一条渐近线方程是，则此双曲线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】抛物线的简单性质；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为椭圆方程为：，所以焦点坐标为，
因为椭圆与双曲线有共同的焦点，
则设双曲线的标准方程为，且①，
因为双曲线的一条渐近线方程是，所以②，
联立①②，解得，，
所以双曲线方程为.
故答案为：C.
【分析】利用椭圆标准方程得出a，b的值，利用椭圆中a，b，c三者的关系式得出椭圆的焦点坐标，由椭圆与双曲线有共同的焦点，设双曲线的方程为，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式，从而得出，由双曲线的渐近线方程可得的值，则解方程求出，的值，进而得出双曲线的标准方程.
4．（2024高二上·新会期末）样本数据：11，12，15，13，17，18，16，22，36，30的第70百分位数是（ ）
A．16 B．19 C．20 D．22
【答案】C
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：因为样本数据共有10个数，则，
故从小到大排列，选择第7个数和第8个数的平均数作为第70百分位数，即20为第70百分位数.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和百分位数的定义，从而得出样本数据的第70百分位数.
5．（2024高二上·新会期末）直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】正切函数的图象与性质；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：设直线的倾斜角为，
因为，，所以，
又因为，则，
当时，单调递增，则，可得；
当时，单调递增，则，可得，
综上所述，.
故答案为：B.
【分析】设直线的倾斜角为，由已知条件可得，分两种情况和判断正切函数的单调性，从而得出其值域，进而得出直线的倾斜角的取值范围.
6．（2024高二上·新会期末）下列说法正确的是（ ）
A．若，为两个事件，则“与互斥”是“与相互对立”的必要不充分条件
B．若，为两个事件，则
C．若事件，，两两互斥，则
D．若事件，满足，则与相互对立
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；概率的基本性质；互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：对于A，若事件与互斥，则与不一定相互对立，
但与相互对立，则与一定互斥，
故“与互斥”是“与相互对立”的必要不充分条件，故A正确；
对于B，若，为两个事件，则，故B错误；
对于C，若事件，，两两互斥，则不一定成立，
如：抛掷一枚均匀的骰子一次，记“向上的点数为1”，
“向上的点数为2”，“向上的点数为3”，
事件，，两两互斥，但，故C错误；
对于D，抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数为偶数的概率是，
抛掷一枚硬币，正面向上的概率是，满足，但是与不对立，故D错误.
故答案为：A.
【分析】根据互斥事件和对立事件的概念以及充分条件、必要条件的判断方法，则判断选项A；根据互斥事件加法求概率公式，则判断出选项B；利用互斥事件的定义、对立事件的定义和概率的基本性质，从而举反例判断出选项C和选项D，进而找出说法正确的选项.
7．（2024高二上·新会期末）已知抛物线的方程为，为其焦点，点坐标为，过点作直线交抛物线于、两点，是轴上一点，且满足，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设，，，直线方程为，
联立直线与抛物线方程，可得，
显然，所以，
又因为，
即，
即，，
故，是方程的解，
将代入方程，
整理得，显然，
，
，即．
故答案为：B．
【分析】设，，，直线方程为，联立直线与抛物线方程，消元结合韦达定理得到的值，再由，可得，是方程的解，将代入方程中，由的值求出的值.
8．（2024高二上·新会期末）设 ，如果把函数 的图象被两条直线 所截的一段近似地看作一条线段，则下列关系中， (c) 的最佳近似表示式是 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】斜率的计算公式；直线的点斜式方程
【解析】【解答】根据点斜式方程得 ，
故答案为：C
【分析】当函数 y = f ( x ) 的图象被两条直线 x = a ， x = b 所截的一段近似地看作一条线段时，用斜率公式求出斜率，再由点斜式写出直线方程，再f(c).
9．（2024高二上·新会期末）点在圆上，点在圆上，则（ ）
A．的最小值为3
B．的最大值为7
C．两个圆心所在的直线斜率为
D．两个圆相交弦所在直线的方程为
【答案】A,B,C
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】圆的圆心坐标，半径
圆 ，即的圆心坐标，半径
∴圆心距
又在圆上，在圆上
则的最小值为，最大值为．
A、B符合题意；
两圆圆心所在的直线斜率为，C符合题意；
圆心距大于两圆半径和，两圆外离，无相交弦，D不符合题意.
故答案为：ABC
【分析】根据题意整理成圆的标准方程得出两圆的圆心和半径，结合两点距离公式得出圆心距、求斜率公式、圆与圆位置关系，逐项判断可得答案。
10．（2024高二上·新会期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则（ ）
A．椭圆的离心率为
B．的周长为4
C．若，则的面积为3
D．若，则
【答案】A,D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：对于A，由题意，，
故，，所以，故A正确；
对于B，三角形的周长为，故B错误；
对于C，，
，
当且仅当时，等号成立，
因为在上递减，
所以此时最大，的最大值为，不成立，故C错误；
对于D，由余弦定理得出
，
即，
解得，故，故D正确；
故答案为：AD.
【分析】根据题意可得， 解方程得出a，c的值，再根据椭圆的离心率公式得出椭圆的离心率，则判断出选项A；根据椭圆的定义互为三角形的周长公式，则判断出选项B；根据余弦定理和椭圆的定义以及三角形的面积公式，则判断出选项C；根据余弦定理和椭圆的定义，则得出的值，从而判断出选项D，进而找出正确的选项．
11．（2024高二上·新会期末）如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是棱上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．若是棱的中点，则过的平面截正方体所得的截面图形的周长为
C．若与平面所成的角为，则
D．若是棱的中点，则四面体的外接球的表面积为
【答案】A,C
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；平面与平面平行的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A，连接，
因为，平面，平面，
所以平面，
又因为点是棱上的动点（含端点），
所以点到平面的距离为定值，设为，
则为定值，故A正确；
对于B，如图，四边形为过A，M，N的平面截正方体所得的截面图形，
因为平面平面，
且平面平面，平面平面，
根据面面平行的判断定理知，，
又因为为中点，所以为四等分点，
则四边形的周长为：
，故B错误；
对于C，以A为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系，
则，
则，
设平面的法向量，则，
令，则，故，
则，
当时，；
当时，，
当且仅当时等号成立，
又因为，
综上可知，，故C正确，
对于D，如图所示，连接，取的中点为，连接，
设外接圆圆心为，外接球球心为，连接，则，
在中，设其外接圆半径为，
由正弦定理知，，所以，即，
依题意，易得，
故，弦所对的圆周角相等，
故四点共圆，则，
设外接球半径为，过作，交于，
则在中，，即，①
在中，，即，②
联立①②，解得，故外接球的表面积为，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据线面平行的判定定理和点是棱上的动点（含端点），从而可知点到平面的距离为定值，再利用三棱锥的体积公式和等体积法，则判断出选项A；根据题意结合面面平行的性质定理得出线线平行，从而画出截面图，再由四边形的周长公式，则判断出选项B；利用已知条件，建立空间直角坐标系，再利用空间向量求得的表达式，则根据基本不等式求最值的方法，则得出的取值范围，则判断出选项C；利用已知条件作出图形，再根据题意和正弦定理以及全等三角形的性质，从而得出四点共圆，再由勾股定理得出四面体的外接球的半径，则由球的表面积公式，得出四面体的外接球的表面积，则判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
12．（2024高二上·新会期末）总体由编号为的50各个体组成，利用随机数表（以下摘取了随机数表中第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第4个个体的编号为 ．
66 67 40 67 14 64 05 71 95 86 11 05 65 09 68 76 83 20 37 90
57 16 00 11 66 14 90 84 45 11 75 73 88 05 90 52 27 41 14 86
【答案】09
【知识点】随机数法
【解析】【解答】解：从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始，依次是14，05，11，09，
∴第四个数字是09.
故答案为：09.
【分析】根据随机数表法选出满足要求的编号，依次是14，05，11，09，从而得到答案.
13．（2024高二上·新会期末）如果双曲线上一点到它的右焦点的距离是8，那么点到它的左焦点的距离是 .
【答案】4或12
【知识点】双曲线的定义
【解析】【解答】解：设点到它的左焦点的距离是，
由可知，，即，
则由双曲线定义，解得或.
故答案为：4或12.
【分析】根据已知条件和双曲线的定义，从而得出点到它的左焦点的距离.
14．（2024高二上·新会期末）已知抛物线的焦点为，过点作直线的垂线，垂足为，点是拋物线上的动点，则（1）拋物线的准线方程为 ，（2）的最小值为 .
【答案】 .；
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：①根据抛物线方程，得，
所以，故抛物线的准线方程为.
②由直线方程得，
所以直线过定点，连结，
则，
由题意知点在以为直径的圆上，
设，所以点Q的轨迹方程为（不包含点），
记圆圆心为，
过点，，分别作准线的垂线，垂足分别为，，，连接，
则，
当且仅当，，，四点共线且点在中间时等号同时成立，
所以的最小值.
故答案为：；.
【分析】①根据抛物线标准方程，得出p的值，从而得出抛物线的准线方程.
②先求出直线过定点，再求出点的轨迹方程，则根据数形结合，从而求出的最小值.
15．（2024高二上·新会期末）某校组织全体学生参加“数学以我为傲”知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：，，，……，，统计结果如图所示：
（1）试估计这100名学生得分的众数、中位数；（中位数保留小数点后2位）
（2）试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；
（3）现在按分层抽样的方法在和两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求至少有一人在的概率.
【答案】（1）解： 由频率分布直方图可知，第4组频率最大，估计众数为：75；
在内频率之和为，
设中位数为，由图可知中位数在，
由，得中位数.
（2）解：由频率分布直方图的数据，可得这100名学生得分的平均数：
.
（3）解：在和两组中的人数分别为：
人和人，
所以在分组中抽取的人数为人，记为a，b，c，
在分组中抽取的人数为2人，记为1，2，
所以这5人中随机抽取2人的情况有：
，共10种取法，
至少有一人得分在的情况有7种，则所求概率为.
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）利用众数与中位数的定义，结合频率分步直方图，即可得到这100名学生得分的众数、中位数的估计值.
（2）利用平均数定义结合频率分步直方图，即可得到这100名学生得分的平均数估计值.
（3）利用古典概型求概率公式，即可求得从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会且至少有一人在的概率.
（1）由频率分布直方图可知，第4组频率最大，估计众数为：75；
在内频率之和为，
设中位数为，由图可知中位数在，
由，得中位数
（2）由频率分布直方图的数据，可得这100名学生得分的平均数：
（3）在和两组中的人数分别为：
人和人，
所以在分组中抽取的人数为人，记为a，b，c，
在分组中抽取的人数为2人，记为1，2，
所以这5人中随机抽取2人的情况有：
，
共10种取法，至少有一人得分在的情况有7种，
所以所求概率为.
16．（2024高二上·新会期末）已知、，动点满足，设动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的标准方程；
（2）求过点且与曲线相切的直线的方程.
【答案】（1）设，则，，
由，得，
所以曲线的标准方程为.
（2）解：曲线是以为圆心，1为半径的圆，
过点的直线若斜率不存在，直线方程这，满足与圆相切；
过点的切线若斜率存在，设切线方程为，即，
有圆心到直线距离，解得，
则方程为.
过点且与曲线相切的直线的方程为或.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）设，根据，结合向量的坐标运算法则，列出方程，即可求得动点的轨迹方程；
（2）根据题意，设切线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径，求得的值，进而求切线方程.
（1）设，则，，
由，得，
所以曲线的标准方程为.
（2）曲线是以为圆心，1为半径的圆，
过点的直线若斜率不存在，直线方程这，满足与圆相切；
过点的切线若斜率存在，设切线方程为，即，
有圆心到直线距离，解得，
则方程为.
过点且与曲线相切的直线的方程为或.
17．（2024高二上·新会期末）在四棱锥中，底面∥，.
（1）证明：∥平面；
（2）证明：；
（3）求与平面所成的角的正切值.
【答案】（1）证明：因为∥，平面，平面，
所以∥平面.
（2）证明：在四边形中，作于，于，
因为，
可知四边形为等腰梯形，则，
可得，，
即，所以，
因为平面，平面，所以，
又因为，可得平面，且平面，
所以.
（3）解：如图，以点为原点，分别为轴，
建立空间直角坐标系，
因为，则，
可得，
设平面的法向量，则有，
令，则，可得，
则，
设与平面所成角为，则，
可得，
所以与平面所成角的正切值为.
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）根据∥结合线面平行的判定定理，从而证出直线∥平面.
（2）作于，于，利用勾股定理证明，根据线面垂直的性质定理可得，从而可得平面，再根据线面垂直的性质定理证出.
（3）以点为原点建立空间直角坐标系，再利用数量积求向量夹角公式，从而得出直线与平面所成角的余弦值，再根据线面角的取值范围和同角三角函数基本关系式，从而得出与平面所成角的正切值.
（1）因为∥，平面，平面，
所以∥平面.
（2）在四边形中，作于，于，
因为，
可知四边形为等腰梯形，则，
可得，，
即，所以，
因为平面，平面，所以，
又因为，可得平面，
且平面，所以.
（3）如图，以点为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
因为，则，
可得，
设平面的法向量，则有，
令，则，可得，
则，
设与平面所成角为，则，
可得，
所以与平面所成角的正切值为.
18．（2024高二上·新会期末）某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为，且各轮问题能否回答正确互不影响．
（1）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；
（2）求该选手至多进入第三轮考核的概率．
【答案】（1）解：记表示该选手能正确回答第个问题，
则，
该选手进入第四轮才被淘汰就是前三轮答题成功，第四轮没有成功，
各轮问题能否回答正确互不影响，
所以所求概率是
（2）解：该选手至多进入第三轮考核，即可能第一轮被淘汰，可能第二轮被淘汰，
可能第三轮被淘汰，这三种情况又是互斥的，
则所求概率为
．
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）根据相互独立事件和对立事件的概率公式，从而计算可得该选手进入第四轮才被淘汰的概率.
（2）根据相互独立事件的概率公式、互斥事件的概率公式和对立事件的概率公式，从而计算可得该选手至多进入第三轮考核的概率.
（1）记表示该选手能正确回答第个问题，则
．
该选手进入第四轮才被淘汰就是前三轮答题成功，第四轮没有成功，
各轮问题能否回答正确互不影响，
所以所求概率是.
（2）该选手至多进入第三轮考核，即可能第一轮被淘汰，可能第二轮被淘汰，
可能第三轮被淘汰，这三种情况又是互斥的，
所以所求概率为
．
19．（2024高二上·新会期末）对抛物线，定义：点叫做该抛物线的焦点，直线叫做该抛物线的准线，且该抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等.运用上述材料解决以下问题：
如图，已知抛物线：的图象与轴交于、两点，且过点.
（1）求抛物线的解析式和点A坐标；
（2）若将抛物线C的图象向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到抛物线D的图象.
①设为抛物线上任意一点，轴于点N，求的最小值；
②直线l过抛物线D的焦点且与抛物线D交于两点，证明：以为直径的圆与抛物线D的准线相切.
【答案】（1）解：把代入得：，解得，
所以，抛物线C的解析式为；
在中，令得，或，所以.
（2）解：①根据题意，抛物线解析式为，
所以抛物线的焦点为，准线为，
设抛物线的焦点为，延长交直线于点，
连接、，交抛物线于点，如图：
由抛物线焦点和准线的性质可得，
，
因为，所以，
因为，
所以点与点重合时的值最小，
此时的值最小，
因为，，，
，，
所以的最小值为.
证明：②设直线的解析式为，
由，
得或，
不妨设 ，，
以为直径的圆，圆心为的中点即，，
抛物线的准线为，以为直径的圆圆心到准线的距离为，
所以，以PQ为直径的圆与抛物线的准线相切.
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）把点代入得出a的值，从而得出抛物线C的标准方程，再结合赋值法得出点A的坐标.
（2）①由抛物线的平移变换得出抛物线D的解析式，从而得出抛物线焦点坐标和准线性质，再利用三点共线，从而得出的最小值.
②设出直线的解析式，再联立直线与抛物线方程得出交点坐标，则由中点坐标公式得出以为直径的圆的圆心坐标，再求出抛物线的准线方程，再根据圆心到准线的距离公式和直线与圆相切位置关系判断方法，则证出以为直径的圆与抛物线D的准线相切.
（1）把代入得：，解得，
所以抛物线C的解析式为；
在中，令得，或，所以.
（2）①根据题意，抛物线解析式为，
所以抛物线的焦点为，准线为，
设抛物线的焦点为，延长交直线于点，连接、，交抛物线于点，如图：
由抛物线焦点和准线的性质可得，
，
因为，
所以，
因为，
所以点与点重合时的值最小，此时的值最小，
因为，，，，，
所以的最小值为.
②证明：设直线的解析式为，
由，得或，
不妨设 ，，
以为直径的圆，圆心为的中点即，，
抛物线的准线为，以为直径的圆圆心到准线的距离为，
所以以PQ为直径的圆与抛物线的准线相切.
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