广东省广州市2024-2025学年高一上学期期末检测（一） 数学试卷
1．（2024高一上·广州期末）下列与角终边相同的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】终边相同的角
【解析】【解答】解：与角终边相同的角构成的集合为 ，
当时，可得.
故答案为：D.
【分析】根据终边相同角的定义求解即可.
2．（2024高一上·广州期末）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】由题可知
，A符合题意，B不符合题意；
，C不符合题意，D不符合题意.
故答案为：A
【分析】利用交集、并集的定义，逐项进行判断，可得答案.
3．（2024高一上·广州期末）已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A． B．9 C． D．1
【答案】A
【知识点】函数的值；幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：设幂函数为常数，
因为幂函数的图象过，所以，解得，
则，即.
故答案为：A.
【分析】设幂函数为常数，根据函数图象过点，求出幂函数的解析式，再求函数值即可.
4．（2024高一上·广州期末）已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设扇形的半径为，易知扇形的圆心角，由弧长，解得，
则该扇形的面积为.
故答案为：D.
【分析】设扇形的半径为，根据扇形的弧长公式以及面积公式计算即可.
5．（2024高一上·广州期末）函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：易知函数，在上单调递减，则函数在上单调递减，因为，，，，，所以，根据函数零点存在定理可知：函数在区间上有零点.
故答案为：B.
【分析】先判断函数在上的单调性，再利用零点存在性定理判断即可.
6．（2024高一上·广州期末）已知，为正实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：由，得，所以，则充分性成立；
由，得，则，所以，则必要性成立，
综上所述，“”是“”的充要条件.
故答案为：C.
【分析】运用作差法比较大小，再结合充分条件和必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
7．（2024高一上·广州期末）若存在正实数x，y满足，且使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次不等式及其解法；基本不等式
【解析】【解答】解：因为，且，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
则，解得或，
即的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，再解一元二次不等式求实数的范围即可.
8．（2024高一上·广州期末）已知函数，若关于的不等式的解集为，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的值域；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】解：因为关于的不等式的解集为，
则为方程的两根，即，
整理得：，
所以函数的值域为.
故答案为：D.
【分析】由题意可知为方程的两根，由此求出函数的解析式，再利用二次是的图象求值域的方法，从而求出函数的值域.
9．（2024高一上·广州期末）下列能够表示集合到集合的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】函数的概念及其构成要素
【解析】【解答】解：A、若，当时，对应的函数值为，故A正确；
B、若，当时，对应的函数值为，故B正确；
C、若，当时，对应的函数值为，但，故C错误；
D、若，当时，对应的函数值为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由题意，根据函数的概念逐项判断即可.
10．（2024高一上·广州期末）已知，，则下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，所以，
A、由，可得，
即，故A正确；
B、由A知，，，且，
则，即，故B正确；
C、由B选项可得，解得，则，故C错误；
D、，故D正确．
故答案为：ABD.
【分析】根据的关系，结合同角三角函数平方关系判断即可.
11．（2024高一上·广州期末）已知函数，则（ ）
A．当时，为偶函数 B．既有最大值又有最小值
C．在上单调递增 D．的图象恒过定点
【答案】A,C,D
【知识点】指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：当时，，定义域为，
因为，所以为偶函数，故A正确；
因为，
所以，则有最大值，没有最小值，故B错误；
因为在上单调递增，在上单调递减，
又因为在上单调递增，
所以在上单调递增，在上单调递减，故C正确；
当时，，所以的图象恒过定点，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由函数奇偶性定义，则判断选项A；根据指数函数的单调性与二次函数的单调性，从而求出函数的最值，则判断选项B；由复合函数的单调性判断出选项C；计算后，即可判断选项D，则找出正确的选项．
12．（2024高一上·广州期末）已知命题，，则命题的否定为 .
【答案】，
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题“，”的否定为“，”.
故答案为：，.
【分析】根据命题否定的定义直接写答案即可.
13．（2024高一上·广州期末）已知满足，且，则 .
【答案】4
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：令，得，所以，
令，，得.
故答案为：4.
【分析】利用已知条件，令得，再令， 得出函数的值.
14．（2024高一上·广州期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为 .
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：因为函数在上单调递增，
所以，解得，则实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】由题意，根据二次函数、一次函数、分段函数的单调性列不等式求解即可.
15．（2024高一上·广州期末）已知集合，．
（1）若成立的一个必要条件是，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：因为集合，．
若成立的一个必要条件是，所以，
则，所以，
故实数的取值范围为.
（2）解：若，则或，
所以或，
故实数的取值范围为.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；子集与交集、并集运算的转换；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】（1）利用成立的一个必要条件是，则，再结合分类讨论的方法借助数轴得出实数m的取值范围.
（2）由，则或，从而求解得出实数的取值范围.
（1）因为集合，．
若成立的一个必要条件是，所以，
则，所以，
故实数的取值范围.
（2）若，则或，
所以或，
故实数的取值范围.
16．（2024高一上·广州期末）已知函数.
（1）填写下表，用“五点法”画出函数在一个周期上的图象；
0 2 0
0
（2）解不等式.
【答案】（1）解：列表：
0
0 2 0 0
函数在一个周期上的图象，如图所示：
（2）解：由，得，所以，
则，或，，
解得，或，，
则的解集为.
【知识点】正弦函数的性质；五点法画三角函数的图象
【解析】【分析】（1）先填表，再根据“五点法”作图的步骤画图即可；
（2）由转化为，由正弦函数图象与性质列出不等式求解即可.
（1）列表：
0
0 2 0 0
描点，连线得到图象如下.
（2）由，得，所以.
则，或，，
解得，或，.
所以的解集为.
17．（2024高一上·广州期末）已知二次函数满足.
（1）求函数的解析式；
（2）若，，求的最小值.
【答案】（1）解：设二次函数，
因为
，
所以，解得，则；
（2）解：，，
当时，在上单调递增，；
当时，；
当时，在上单调递减，，
综上，.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值
【解析】【分析】（1）设二次函数，由题意列式求解即可；
（2）由（1）可得，，对分类讨论，利用二次函数的性质求解即可.
（1）设，
因为
，
所以，解得，所以.
（2），.
当时，在上单调递增，；
当时，；
当时，在上单调递减，.
综上，.
18．（2024高一上·广州期末）近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐受到越来越多人们的关注和喜爱．某平台从2021年建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2021到2023年，每年年末该平台的会员人数如下表所示．
建立平台第年 1 2 3
会员人数（千人） 22 34 70
（1）请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算该平台建立第年年末会员人数（千人），求出你所选择模型的解析式，并预测2024年年末的会员人数；
①；②；③．
（2）为了更好地维护管理平台，该平台规定第年年末的会员人数上限为千人，请根据（1）中得到的函数模型，求的最小值．
【答案】（1）解：由表格中的数据知，所求函数是一个增函数，且增长越来越快，
模型①的函数递减，模型②的函数即使递增，增长也较缓慢，因此选择模型③，
于是，解得，
所以函数模型对应的解析式为，
当时，预测2024年年末的会员人数为千人；
（2）解：由（1）及已知得，对，都有，令，则，
令，则不等式右边等价于函数，
函数在区间上单调递增，且，
则，即的最小值为．
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；“指数爆炸”模型
【解析】【分析】（1）根据表格中的数据变化选择模型，再利用待定系数法求出解析式及函数值即可；
（2）利用（1）的结论建立不等式，分离参数构造函数并求其最大值即可.
（1）由表格中的数据知，所求函数是一个增函数，且增长越来越快，
模型①的函数递减，模型②的函数即使递增，增长也较缓慢，因此选择模型③，
于是，解得，
所以函数模型对应的解析式为，
当时，预测2024年年末的会员人数为千人．
（2）由（1）及已知得，对，都有，令，则，
令，则不等式右边等价于函数，
函数在区间上单调递增，因此，
则，所以的最小值为．
19．（2024高一上·广州期末）已知函数的图象经过点，.
（1）证明：函数的图象是轴对称图形；
（2）求关于的不等式的解集；
（3）若函数有且只有一个零点，求实数的值.
【答案】（1）证明：由题意可得：，解得，，
则函数，易知函数的定义域为，
因为，
所以函数是偶函数，
故函数的图象是轴对称图形；
（2）解：由（1）可知不等式为，即，
解得，因为，所以，解得，
故原不等式的解集为；
（3）解：由（1）可知，，
由题意可知，，得，即，
令，又知函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得.
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；指、对数不等式的解法；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）将点，代入函数的解析式求出，再证明函数为偶函数，证明函数的图象是轴对称图形即可；
（2）将利用对数的运算化为，再进行求解即可；
（3）将问题转化为只有一个解，结合函数的单调性求实数的值即可.
（1）由题意可知，，解得，.
所以.易知的定义域为，
因为，
所以函数是偶函数，故函数的图象是轴对称图形.
（2）不等式可化为，即，
解得，又，所以，解得，故原不等式的解集为.
（3）由（1）可知，，
由题意可知，，得，即，
令，又知函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得.
1 / 1广东省广州市2024-2025学年高一上学期期末检测（一） 数学试卷
1．（2024高一上·广州期末）下列与角终边相同的角为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一上·广州期末）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高一上·广州期末）已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A． B．9 C． D．1
4．（2024高一上·广州期末）已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一上·广州期末）函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一上·广州期末）已知，为正实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2024高一上·广州期末）若存在正实数x，y满足，且使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024高一上·广州期末）已知函数，若关于的不等式的解集为，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高一上·广州期末）下列能够表示集合到集合的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024高一上·广州期末）已知，，则下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024高一上·广州期末）已知函数，则（ ）
A．当时，为偶函数 B．既有最大值又有最小值
C．在上单调递增 D．的图象恒过定点
12．（2024高一上·广州期末）已知命题，，则命题的否定为 .
13．（2024高一上·广州期末）已知满足，且，则 .
14．（2024高一上·广州期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为 .
15．（2024高一上·广州期末）已知集合，．
（1）若成立的一个必要条件是，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
16．（2024高一上·广州期末）已知函数.
（1）填写下表，用“五点法”画出函数在一个周期上的图象；
0 2 0
0
（2）解不等式.
17．（2024高一上·广州期末）已知二次函数满足.
（1）求函数的解析式；
（2）若，，求的最小值.
18．（2024高一上·广州期末）近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐受到越来越多人们的关注和喜爱．某平台从2021年建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2021到2023年，每年年末该平台的会员人数如下表所示．
建立平台第年 1 2 3
会员人数（千人） 22 34 70
（1）请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算该平台建立第年年末会员人数（千人），求出你所选择模型的解析式，并预测2024年年末的会员人数；
①；②；③．
（2）为了更好地维护管理平台，该平台规定第年年末的会员人数上限为千人，请根据（1）中得到的函数模型，求的最小值．
19．（2024高一上·广州期末）已知函数的图象经过点，.
（1）证明：函数的图象是轴对称图形；
（2）求关于的不等式的解集；
（3）若函数有且只有一个零点，求实数的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】终边相同的角
【解析】【解答】解：与角终边相同的角构成的集合为 ，
当时，可得.
故答案为：D.
【分析】根据终边相同角的定义求解即可.
2．【答案】A
【知识点】并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】由题可知
，A符合题意，B不符合题意；
，C不符合题意，D不符合题意.
故答案为：A
【分析】利用交集、并集的定义，逐项进行判断，可得答案.
3．【答案】A
【知识点】函数的值；幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：设幂函数为常数，
因为幂函数的图象过，所以，解得，
则，即.
故答案为：A.
【分析】设幂函数为常数，根据函数图象过点，求出幂函数的解析式，再求函数值即可.
4．【答案】D
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设扇形的半径为，易知扇形的圆心角，由弧长，解得，
则该扇形的面积为.
故答案为：D.
【分析】设扇形的半径为，根据扇形的弧长公式以及面积公式计算即可.
5．【答案】B
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：易知函数，在上单调递减，则函数在上单调递减，因为，，，，，所以，根据函数零点存在定理可知：函数在区间上有零点.
故答案为：B.
【分析】先判断函数在上的单调性，再利用零点存在性定理判断即可.
6．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：由，得，所以，则充分性成立；
由，得，则，所以，则必要性成立，
综上所述，“”是“”的充要条件.
故答案为：C.
【分析】运用作差法比较大小，再结合充分条件和必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
7．【答案】D
【知识点】一元二次不等式及其解法；基本不等式
【解析】【解答】解：因为，且，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
则，解得或，
即的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，再解一元二次不等式求实数的范围即可.
8．【答案】D
【知识点】函数的值域；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】解：因为关于的不等式的解集为，
则为方程的两根，即，
整理得：，
所以函数的值域为.
故答案为：D.
【分析】由题意可知为方程的两根，由此求出函数的解析式，再利用二次是的图象求值域的方法，从而求出函数的值域.
9．【答案】A,B,D
【知识点】函数的概念及其构成要素
【解析】【解答】解：A、若，当时，对应的函数值为，故A正确；
B、若，当时，对应的函数值为，故B正确；
C、若，当时，对应的函数值为，但，故C错误；
D、若，当时，对应的函数值为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由题意，根据函数的概念逐项判断即可.
10．【答案】A,B,D
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，所以，
A、由，可得，
即，故A正确；
B、由A知，，，且，
则，即，故B正确；
C、由B选项可得，解得，则，故C错误；
D、，故D正确．
故答案为：ABD.
【分析】根据的关系，结合同角三角函数平方关系判断即可.
11．【答案】A,C,D
【知识点】指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：当时，，定义域为，
因为，所以为偶函数，故A正确；
因为，
所以，则有最大值，没有最小值，故B错误；
因为在上单调递增，在上单调递减，
又因为在上单调递增，
所以在上单调递增，在上单调递减，故C正确；
当时，，所以的图象恒过定点，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由函数奇偶性定义，则判断选项A；根据指数函数的单调性与二次函数的单调性，从而求出函数的最值，则判断选项B；由复合函数的单调性判断出选项C；计算后，即可判断选项D，则找出正确的选项．
12．【答案】，
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题“，”的否定为“，”.
故答案为：，.
【分析】根据命题否定的定义直接写答案即可.
13．【答案】4
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：令，得，所以，
令，，得.
故答案为：4.
【分析】利用已知条件，令得，再令， 得出函数的值.
14．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：因为函数在上单调递增，
所以，解得，则实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】由题意，根据二次函数、一次函数、分段函数的单调性列不等式求解即可.
15．【答案】（1）解：因为集合，．
若成立的一个必要条件是，所以，
则，所以，
故实数的取值范围为.
（2）解：若，则或，
所以或，
故实数的取值范围为.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；子集与交集、并集运算的转换；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】（1）利用成立的一个必要条件是，则，再结合分类讨论的方法借助数轴得出实数m的取值范围.
（2）由，则或，从而求解得出实数的取值范围.
（1）因为集合，．
若成立的一个必要条件是，所以，
则，所以，
故实数的取值范围.
（2）若，则或，
所以或，
故实数的取值范围.
16．【答案】（1）解：列表：
0
0 2 0 0
函数在一个周期上的图象，如图所示：
（2）解：由，得，所以，
则，或，，
解得，或，，
则的解集为.
【知识点】正弦函数的性质；五点法画三角函数的图象
【解析】【分析】（1）先填表，再根据“五点法”作图的步骤画图即可；
（2）由转化为，由正弦函数图象与性质列出不等式求解即可.
（1）列表：
0
0 2 0 0
描点，连线得到图象如下.
（2）由，得，所以.
则，或，，
解得，或，.
所以的解集为.
17．【答案】（1）解：设二次函数，
因为
，
所以，解得，则；
（2）解：，，
当时，在上单调递增，；
当时，；
当时，在上单调递减，，
综上，.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值
【解析】【分析】（1）设二次函数，由题意列式求解即可；
（2）由（1）可得，，对分类讨论，利用二次函数的性质求解即可.
（1）设，
因为
，
所以，解得，所以.
（2），.
当时，在上单调递增，；
当时，；
当时，在上单调递减，.
综上，.
18．【答案】（1）解：由表格中的数据知，所求函数是一个增函数，且增长越来越快，
模型①的函数递减，模型②的函数即使递增，增长也较缓慢，因此选择模型③，
于是，解得，
所以函数模型对应的解析式为，
当时，预测2024年年末的会员人数为千人；
（2）解：由（1）及已知得，对，都有，令，则，
令，则不等式右边等价于函数，
函数在区间上单调递增，且，
则，即的最小值为．
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；“指数爆炸”模型
【解析】【分析】（1）根据表格中的数据变化选择模型，再利用待定系数法求出解析式及函数值即可；
（2）利用（1）的结论建立不等式，分离参数构造函数并求其最大值即可.
（1）由表格中的数据知，所求函数是一个增函数，且增长越来越快，
模型①的函数递减，模型②的函数即使递增，增长也较缓慢，因此选择模型③，
于是，解得，
所以函数模型对应的解析式为，
当时，预测2024年年末的会员人数为千人．
（2）由（1）及已知得，对，都有，令，则，
令，则不等式右边等价于函数，
函数在区间上单调递增，因此，
则，所以的最小值为．
19．【答案】（1）证明：由题意可得：，解得，，
则函数，易知函数的定义域为，
因为，
所以函数是偶函数，
故函数的图象是轴对称图形；
（2）解：由（1）可知不等式为，即，
解得，因为，所以，解得，
故原不等式的解集为；
（3）解：由（1）可知，，
由题意可知，，得，即，
令，又知函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得.
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；指、对数不等式的解法；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）将点，代入函数的解析式求出，再证明函数为偶函数，证明函数的图象是轴对称图形即可；
（2）将利用对数的运算化为，再进行求解即可；
（3）将问题转化为只有一个解，结合函数的单调性求实数的值即可.
（1）由题意可知，，解得，.
所以.易知的定义域为，
因为，
所以函数是偶函数，故函数的图象是轴对称图形.
（2）不等式可化为，即，
解得，又，所以，解得，故原不等式的解集为.
（3）由（1）可知，，
由题意可知，，得，即，
令，又知函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得.
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