四川省成都市成实外教育集团2024-2025学年高三上学期12月联考数学试卷
1．（2024高三上·金牛月考）复数（为虚数单位）的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：复数，则共轭复数.
故答案为：A.
【分析】利用复数代数形式的乘法运算求出复数，再求其共轭复数即可.
2．（2024高三上·金牛月考）命题：“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题：“，”的否定是.
故答案为：C.
【分析】根据命题否定的定义直接判断即可.
3．（2024高三上·金牛月考）下列函数中，既是偶函数，又在区间上是单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：A、函数的定义域为，将代入函数，可得，则函数为奇函数，故A错误；
B、函数的定义域为，将代入函数，可得，则函数为偶函数，当时，函数解析式为，
易知该函数是增函数，故B正确；
C、函数的定义域为，将代入函数，可得，则函数为偶函数，当时，函数解析式为，
易知该函数是减函数，故C错误；
D、函数的定义域为，将代入函数，可得，
则函数为奇函数，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据函数奇偶性的定义以及指数函数与对数函数的单调性判断即可.
4．（2024高三上·金牛月考）已知一组数据：的平均数为6，则该组数据的分位数为（ ）
A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
【答案】C
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解： 数据：的平均数为6，则，解得，
将数据从小到大排列可得：，，则该组数据的分位数为.
故答案为：C.
【分析】根据平均数及百分位数的定义求解即可.
5．（2024高三上·金牛月考）设，是两个不重合平面，，是两条不重合直线，则（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：A、若，，则或与异面，故A错误；
B、若，，则与可能相交、平行或，故B错误；
C、若，，则，又因为，则，故C正确；
D、若，，，当都与的交线平行时，满足题设条件，
此时，故D错误.
故答案为：C.
【分析】举出反例即可判断ABD；根据线面垂直的性质即可判断C.
6．（2024高三上·金牛月考）“”是“直线与圆有公共点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：易知圆的圆心，半径，
若直线与圆有公共点，
则圆心到直线的距离，解得，
因为是的真子集，
所以“”是“直线与圆有公共点”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】先根据直线与圆的位置关系求得，再根据充分、必要条件的定义判定即可.
7．（2024高三上·金牛月考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：，
因为，所以.
故答案为：B.
【分析】利用诱导公式、同角三角函数关系以及二倍角公式将转化为，再代值计算即可.
8．（2024高三上·金牛月考）已知函数，将图像上所有的点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到函数的图像，若在上恰有一个极值点，则的取值不可能是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】D
【知识点】函数在某点取得极值的条件；简单的三角恒等变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：
，
将图像上所有的点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到，
因为，所以，
又因为在上恰有一个极值点，所以，解得.
故答案为：D.
【分析】利用三角函数的和差公式以及辅助角公式化简求得函数的解析式，再根据三角函数图象的平移变换求得函数的解析式，最后利用极值点个数列不等式求解即可.
9．（2024高三上·金牛月考）某校1000名学生参加环保知识竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．频率分布直方图中的值为0.004
B．估计这20名学生考试成绩的平均数为76.5
C．估计这20名学生数学考试成绩的众数为80
D．估计总体中成绩落在内的学生人数为150
【答案】B,D
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：A、根据频率分布直方图每个矩形面积之和为1可得：
，解得，故A错误；
B、这20名学生考试成绩的平均数为：
，故B正确；
C、易知这20名学生数学考试成绩的众数为75，故C错误；
D、总体中成绩落在内的学生人数为，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据频率分布直方图每个矩形面积之和为1列式求出，再根据频率分布直方图中平均数、众数的计算方法求解判断即可.
10．（2024高三上·金牛月考）设单位向量满足，则下列结论正确的是（ ）
A．与的夹角为
B．
C．
D．在的方向上的投影向量为
【答案】B,C,D
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：A、因为单位向量满足， 所以于，
所以，则，故A错误；
B、由A分析可知，故B正确；
C、因为，故，
又因为，故，所以，故C正确；
D、在的方向上的投影向量为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】将平方，可得即可判断AB；由向量模长公式分别计算即可判断C；根据投影向量公式计算即可判断D.
11．（2024高三上·金牛月考）已知点是抛物线的焦点，，是经过点的弦且，直线的斜率为，且，，两点在轴上方，则（ ）
A．
B．四边形面积最小值为64
C．
D．若，则直线的斜率为
【答案】A,C,D
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意可得 ，则抛物线方程为；
A、设直线的方程为，点、，
联立，消元整理可得，由韦达定理可得，，
则，故A正确；
B、，
同理可得，
所以四边形的面积为：，
当且仅当时等号成立，即四边形面积最小值为32，故B错误；
C、， 故C正确；
D、设点、，直线的方程为，
联立，消元整理可得，则，
则，解得，
因为，所以，则直线的斜率为， 故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】先求出 ，抛物线方程为，设直线的方程为，将该直线的方程与抛物线的方程联立，结合韦达定理求解即可判断A；求出、关于的表达式，利用基本不等式即可判断B；利用弦长公式即可判断C；利用弦长公式求出的值即可判断D.
12．（2024高三上·金牛月考）的内角、、所对边长分别为、、，且，则 ．
【答案】
【知识点】解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：，由余弦定理可得，
因为，所以.
故答案为：.
【分析】由题意，利用余弦定理求角即可.
13．（2024高三上·金牛月考）若，，且函数在处有极值，则的最小值等于 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的极值；基本不等式
【解析】【解答】解：函数的定义域为，求导得，
因为函数在处有极值，所以，解得，
则，由，得，
当时，；当时，，函数在处取得极值，
因此，，
当且仅当时等号成立，则的最小值等于.
故答案为：.
【分析】先求函数的定义域，再求导，利用极值点求出的关系并验证，最后利用基本不等式“1”的妙用求出最小值即可.
14．（2024高三上·金牛月考）如图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关1次，将导致自身和所有相邻（上、下相邻或左、右相邻）的开关改变状态．若从这十六个开关中随机选两个不同的开关先后各按1次，则和的最终状态都未改变的概率为 ．
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：要使的状态发生改变，则需要按，，这三个开关中的一个；
要使的状态发生改变，则需要按，，，，这五个开关中的一个，所以要使得和的最终状态都未发生改变，
则需按其他八个开关中的两个或，，，，中的两个
或，，中的两个，
故所求概率为.
故答案为：.
【分析】由题意，根据开关阵列的性质，结合古典概型的概率公式求解即可.
15．（2024高三上·金牛月考）已知等差数列的前项和为，，
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和
【答案】（1）解：设等差数列的公差为，
因为，所以，又因为，所以，
则；
（2）解：由（1）得，则，
则.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）设等差数列的公差，根据，求解即可；
（2）由（1）可得，再利用裂项相消法求和即可.
（1）由题意设等差数列的公差为，
，.
（2）由（1）得，则，
则.
16．（2024高三上·金牛月考）双曲线左右焦点分别为，，若双曲线经过点，且离心率
（1）求双曲线的方程；
（2）过作倾斜角为的直线交双曲线于、两点，求的面积为坐标原点）
【答案】（1）解：因为双曲线经过点，
所以，解得，则双曲线的方程为；
（2）解：由（1）知，则直线的方程为，
即，此时原点到直线的距离，
不妨设，联立，消去并整理得，
此时，由韦达定理得，
所以
则的面积.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意求出，即可得双曲线方程；
（2）先求出直线的方程，求出原点到直线的距离，联立方程，利用韦达定理求出，再根据弦长公式求出，再计算面积即可.
（1）因为双曲线经过点，
所以，解得，则双曲线的方程为
（2）由（1）知，所以直线的方程为，
即，此时原点到直线的距离
不妨设，联立，消去并整理得，
此时，由韦达定理得
所以
则的面积
17．（2024高三上·金牛月考）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧面是菱形，平面平面，分别是棱，的中点，是棱上一点，且
（1）证明：平面；
（2）在菱形中，若，
（ⅰ）求三棱锥的体积；
（ⅱ）若二面角的余弦值为，求的值
【答案】（1）证明：取中点，连接，如图所示：
因为为的中点，为的中点，所以，，且，
在三棱柱中，易知，，
据此可得四边形为平行四边形，，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）解：（ⅰ）过作，如图所示：
因为平面平面，平面平面，所以平面，
在菱形中，边长为，因为，所以，
正的面积，
则三棱锥的体积；
（ⅱ）由（i）可知平面，易知为中点，则，
分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
由，则，
，，，
设平面和平面的一个法向量分别为，
，，，
设二面角的平面角为，
则，整理可得，
分解因式可得，解得．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线与平行四边形的性质，利用线面平行判定证明即可；
（2）（i）由题意作出三棱锥的高，利用菱形的性质以及正三角形的性质，结合三棱锥体积公式求解即可；
（ii）由题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
（1）证明：取中点，连接，如下图：
为的中点，为的中点，，，且，
在三棱柱中，易知，，
据此可得四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面.
（2）（ⅰ）过作，如下图：
平面平面，平面平面，平面，
在菱形中，边长为，，
正的面积，
三棱锥的体积．
（ⅱ）由（i）可知平面，易知为中点，，
如图分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，
，
由，则，
，，，
设平面和平面的一个法向量分别为，
，，，
设二面角的平面角为，
，整理可得，
分解因式可得，
解得．
18．（2024高三上·金牛月考）某学校高二年级组织举办了知识竞赛．选拔赛阶段采用逐一答题的方式，每位选手最多有5次答题机会，累计答对3道题则进入初赛，累计答错3道题则被淘汰．初赛阶段参赛者每两人一组进行比赛，组织者随机从准备好的题目中抽取2道试题供两位选手抢答，每位选手抢到每道试题的机会相等，得分规则如下：选手抢到试题且回答正确得10分，对方选手得0分，选手抢到试题但没有回答正确得0分，对方选手得5分，2道试题抢答完毕后得分少者被淘汰，得分多者进入决赛（若分数相同，则同时进入决赛）
（1）已知选拔赛中选手甲答对每道试题的概率为，且回答每道试题是否正确相互独立，求甲进入初赛的概率；
（2）已知初赛中选手甲答对每道试题的概率为，对手答对每道试题的概率为，两名选手回答每道试题是否正确相互独立，求初赛中甲的得分的分布列与期望；
（3）进入决赛后，每位选手回答4道试题，至少答对3道试题胜出，否则被淘汰，已知选手甲进入决赛，且决赛中前3道试题每道试题被答对的概率都为，若甲4道试题全对的概率为，求甲能胜出的概率的最小值.
【答案】（1）解：设为甲的答题数，则可能取，
，
，
，
所以甲进入初赛的概率为；
（2）解：由题知，可能取，
则，
，
，
，
，
的分布列为：
0 5 10 15 20
则；
（3）解：因为甲4道试题全对的概率为，所以第4道试题答对的概率为，
所以甲能胜出的概率，
即，且，
因为，所以当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
故．
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）由题意，根据独立事件概率公式结合互斥事件和概率公式计算即可；
（2）利用独立事件概率乘积公式，再列分布列计算数学期望即可；
（3）先应用n次独立重复实验求概率再结合导函数求概率的最小值即可.
（1）设为甲的答题数，则可能取，
，
，
，
所以甲进入初赛的概率为．
（2）由题知，可能取，
则，
，
，
，
，
所以的分布列为：
0 5 10 15 20
所以．
（3）因为甲4道试题全对的概率为，所以第4道试题答对的概率为，
所以甲能胜出的概率，
即，
因为，
因为，
所以当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
所以．
19．（2024高三上·金牛月考）在必修一第210页研究正切函数的图象时，借助图形的面积，我们得到了以下不等式：当时，，此过程相当有乐趣.在今年的某地的模拟试题中出现了这样的一个题目：当时，，此题目引发了很多思考.请你完成下列问题：
（1）判断函数的奇偶性，并讨论其是否为周期函数，若是，请写出其一个周期，若不是，请说明理由；
（2）证明：当时，；
（3）已知函数，其中且，当时，有恒成立. 证明：
【答案】（1）解：函数定义域为，且满足，则为偶函数；，则是周期为的周期函数；
（2）证明：当时，，，则，
函数在上单调递减，由，得，
所以；
（3）证明：当，且不等式在区间上恒成立，而，
得，又，则，
又，则有，即，
因此，即，
要证：，即证：，即证：，
不妨设，即证：，设，
求导得，则在上单调递增，于是，即，
因此，所以.
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【分析】（1）利用正余弦函数的奇偶性、周期性推理判断即可；
（2）利用已知不等式，结合正余弦函数的单调性证明即可；
（3）由给定条件，可得，进而得到，由结合分析法推理、构造函数并利用导数推导证明.
（1）函数定义域为，
所以为偶函数，，
所以是周期为的周期函数.
（2）当时，，，则，
函数在上单调递减，由，得，
所以.
（3）当，且不等式在区间上恒成立，而，
得，又，则，
又，则有，即，
因此，即，
要证：，即证：，即证：
不妨设，即证：，设，
求导得，则在上单调递增，于是，即，
因此，所以.
1 / 1四川省成都市成实外教育集团2024-2025学年高三上学期12月联考数学试卷
1．（2024高三上·金牛月考）复数（为虚数单位）的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三上·金牛月考）命题：“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2024高三上·金牛月考）下列函数中，既是偶函数，又在区间上是单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高三上·金牛月考）已知一组数据：的平均数为6，则该组数据的分位数为（ ）
A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
5．（2024高三上·金牛月考）设，是两个不重合平面，，是两条不重合直线，则（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
6．（2024高三上·金牛月考）“”是“直线与圆有公共点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2024高三上·金牛月考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高三上·金牛月考）已知函数，将图像上所有的点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到函数的图像，若在上恰有一个极值点，则的取值不可能是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
9．（2024高三上·金牛月考）某校1000名学生参加环保知识竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．频率分布直方图中的值为0.004
B．估计这20名学生考试成绩的平均数为76.5
C．估计这20名学生数学考试成绩的众数为80
D．估计总体中成绩落在内的学生人数为150
10．（2024高三上·金牛月考）设单位向量满足，则下列结论正确的是（ ）
A．与的夹角为
B．
C．
D．在的方向上的投影向量为
11．（2024高三上·金牛月考）已知点是抛物线的焦点，，是经过点的弦且，直线的斜率为，且，，两点在轴上方，则（ ）
A．
B．四边形面积最小值为64
C．
D．若，则直线的斜率为
12．（2024高三上·金牛月考）的内角、、所对边长分别为、、，且，则 ．
13．（2024高三上·金牛月考）若，，且函数在处有极值，则的最小值等于 ．
14．（2024高三上·金牛月考）如图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关1次，将导致自身和所有相邻（上、下相邻或左、右相邻）的开关改变状态．若从这十六个开关中随机选两个不同的开关先后各按1次，则和的最终状态都未改变的概率为 ．
15．（2024高三上·金牛月考）已知等差数列的前项和为，，
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和
16．（2024高三上·金牛月考）双曲线左右焦点分别为，，若双曲线经过点，且离心率
（1）求双曲线的方程；
（2）过作倾斜角为的直线交双曲线于、两点，求的面积为坐标原点）
17．（2024高三上·金牛月考）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧面是菱形，平面平面，分别是棱，的中点，是棱上一点，且
（1）证明：平面；
（2）在菱形中，若，
（ⅰ）求三棱锥的体积；
（ⅱ）若二面角的余弦值为，求的值
18．（2024高三上·金牛月考）某学校高二年级组织举办了知识竞赛．选拔赛阶段采用逐一答题的方式，每位选手最多有5次答题机会，累计答对3道题则进入初赛，累计答错3道题则被淘汰．初赛阶段参赛者每两人一组进行比赛，组织者随机从准备好的题目中抽取2道试题供两位选手抢答，每位选手抢到每道试题的机会相等，得分规则如下：选手抢到试题且回答正确得10分，对方选手得0分，选手抢到试题但没有回答正确得0分，对方选手得5分，2道试题抢答完毕后得分少者被淘汰，得分多者进入决赛（若分数相同，则同时进入决赛）
（1）已知选拔赛中选手甲答对每道试题的概率为，且回答每道试题是否正确相互独立，求甲进入初赛的概率；
（2）已知初赛中选手甲答对每道试题的概率为，对手答对每道试题的概率为，两名选手回答每道试题是否正确相互独立，求初赛中甲的得分的分布列与期望；
（3）进入决赛后，每位选手回答4道试题，至少答对3道试题胜出，否则被淘汰，已知选手甲进入决赛，且决赛中前3道试题每道试题被答对的概率都为，若甲4道试题全对的概率为，求甲能胜出的概率的最小值.
19．（2024高三上·金牛月考）在必修一第210页研究正切函数的图象时，借助图形的面积，我们得到了以下不等式：当时，，此过程相当有乐趣.在今年的某地的模拟试题中出现了这样的一个题目：当时，，此题目引发了很多思考.请你完成下列问题：
（1）判断函数的奇偶性，并讨论其是否为周期函数，若是，请写出其一个周期，若不是，请说明理由；
（2）证明：当时，；
（3）已知函数，其中且，当时，有恒成立. 证明：
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：复数，则共轭复数.
故答案为：A.
【分析】利用复数代数形式的乘法运算求出复数，再求其共轭复数即可.
2．【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题：“，”的否定是.
故答案为：C.
【分析】根据命题否定的定义直接判断即可.
3．【答案】B
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：A、函数的定义域为，将代入函数，可得，则函数为奇函数，故A错误；
B、函数的定义域为，将代入函数，可得，则函数为偶函数，当时，函数解析式为，
易知该函数是增函数，故B正确；
C、函数的定义域为，将代入函数，可得，则函数为偶函数，当时，函数解析式为，
易知该函数是减函数，故C错误；
D、函数的定义域为，将代入函数，可得，
则函数为奇函数，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据函数奇偶性的定义以及指数函数与对数函数的单调性判断即可.
4．【答案】C
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解： 数据：的平均数为6，则，解得，
将数据从小到大排列可得：，，则该组数据的分位数为.
故答案为：C.
【分析】根据平均数及百分位数的定义求解即可.
5．【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：A、若，，则或与异面，故A错误；
B、若，，则与可能相交、平行或，故B错误；
C、若，，则，又因为，则，故C正确；
D、若，，，当都与的交线平行时，满足题设条件，
此时，故D错误.
故答案为：C.
【分析】举出反例即可判断ABD；根据线面垂直的性质即可判断C.
6．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：易知圆的圆心，半径，
若直线与圆有公共点，
则圆心到直线的距离，解得，
因为是的真子集，
所以“”是“直线与圆有公共点”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】先根据直线与圆的位置关系求得，再根据充分、必要条件的定义判定即可.
7．【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：，
因为，所以.
故答案为：B.
【分析】利用诱导公式、同角三角函数关系以及二倍角公式将转化为，再代值计算即可.
8．【答案】D
【知识点】函数在某点取得极值的条件；简单的三角恒等变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：
，
将图像上所有的点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到，
因为，所以，
又因为在上恰有一个极值点，所以，解得.
故答案为：D.
【分析】利用三角函数的和差公式以及辅助角公式化简求得函数的解析式，再根据三角函数图象的平移变换求得函数的解析式，最后利用极值点个数列不等式求解即可.
9．【答案】B,D
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：A、根据频率分布直方图每个矩形面积之和为1可得：
，解得，故A错误；
B、这20名学生考试成绩的平均数为：
，故B正确；
C、易知这20名学生数学考试成绩的众数为75，故C错误；
D、总体中成绩落在内的学生人数为，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据频率分布直方图每个矩形面积之和为1列式求出，再根据频率分布直方图中平均数、众数的计算方法求解判断即可.
10．【答案】B,C,D
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：A、因为单位向量满足， 所以于，
所以，则，故A错误；
B、由A分析可知，故B正确；
C、因为，故，
又因为，故，所以，故C正确；
D、在的方向上的投影向量为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】将平方，可得即可判断AB；由向量模长公式分别计算即可判断C；根据投影向量公式计算即可判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意可得 ，则抛物线方程为；
A、设直线的方程为，点、，
联立，消元整理可得，由韦达定理可得，，
则，故A正确；
B、，
同理可得，
所以四边形的面积为：，
当且仅当时等号成立，即四边形面积最小值为32，故B错误；
C、， 故C正确；
D、设点、，直线的方程为，
联立，消元整理可得，则，
则，解得，
因为，所以，则直线的斜率为， 故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】先求出 ，抛物线方程为，设直线的方程为，将该直线的方程与抛物线的方程联立，结合韦达定理求解即可判断A；求出、关于的表达式，利用基本不等式即可判断B；利用弦长公式即可判断C；利用弦长公式求出的值即可判断D.
12．【答案】
【知识点】解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：，由余弦定理可得，
因为，所以.
故答案为：.
【分析】由题意，利用余弦定理求角即可.
13．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的极值；基本不等式
【解析】【解答】解：函数的定义域为，求导得，
因为函数在处有极值，所以，解得，
则，由，得，
当时，；当时，，函数在处取得极值，
因此，，
当且仅当时等号成立，则的最小值等于.
故答案为：.
【分析】先求函数的定义域，再求导，利用极值点求出的关系并验证，最后利用基本不等式“1”的妙用求出最小值即可.
14．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：要使的状态发生改变，则需要按，，这三个开关中的一个；
要使的状态发生改变，则需要按，，，，这五个开关中的一个，所以要使得和的最终状态都未发生改变，
则需按其他八个开关中的两个或，，，，中的两个
或，，中的两个，
故所求概率为.
故答案为：.
【分析】由题意，根据开关阵列的性质，结合古典概型的概率公式求解即可.
15．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，
因为，所以，又因为，所以，
则；
（2）解：由（1）得，则，
则.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）设等差数列的公差，根据，求解即可；
（2）由（1）可得，再利用裂项相消法求和即可.
（1）由题意设等差数列的公差为，
，.
（2）由（1）得，则，
则.
16．【答案】（1）解：因为双曲线经过点，
所以，解得，则双曲线的方程为；
（2）解：由（1）知，则直线的方程为，
即，此时原点到直线的距离，
不妨设，联立，消去并整理得，
此时，由韦达定理得，
所以
则的面积.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意求出，即可得双曲线方程；
（2）先求出直线的方程，求出原点到直线的距离，联立方程，利用韦达定理求出，再根据弦长公式求出，再计算面积即可.
（1）因为双曲线经过点，
所以，解得，则双曲线的方程为
（2）由（1）知，所以直线的方程为，
即，此时原点到直线的距离
不妨设，联立，消去并整理得，
此时，由韦达定理得
所以
则的面积
17．【答案】（1）证明：取中点，连接，如图所示：
因为为的中点，为的中点，所以，，且，
在三棱柱中，易知，，
据此可得四边形为平行四边形，，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）解：（ⅰ）过作，如图所示：
因为平面平面，平面平面，所以平面，
在菱形中，边长为，因为，所以，
正的面积，
则三棱锥的体积；
（ⅱ）由（i）可知平面，易知为中点，则，
分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
由，则，
，，，
设平面和平面的一个法向量分别为，
，，，
设二面角的平面角为，
则，整理可得，
分解因式可得，解得．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线与平行四边形的性质，利用线面平行判定证明即可；
（2）（i）由题意作出三棱锥的高，利用菱形的性质以及正三角形的性质，结合三棱锥体积公式求解即可；
（ii）由题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
（1）证明：取中点，连接，如下图：
为的中点，为的中点，，，且，
在三棱柱中，易知，，
据此可得四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面.
（2）（ⅰ）过作，如下图：
平面平面，平面平面，平面，
在菱形中，边长为，，
正的面积，
三棱锥的体积．
（ⅱ）由（i）可知平面，易知为中点，，
如图分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，
，
由，则，
，，，
设平面和平面的一个法向量分别为，
，，，
设二面角的平面角为，
，整理可得，
分解因式可得，
解得．
18．【答案】（1）解：设为甲的答题数，则可能取，
，
，
，
所以甲进入初赛的概率为；
（2）解：由题知，可能取，
则，
，
，
，
，
的分布列为：
0 5 10 15 20
则；
（3）解：因为甲4道试题全对的概率为，所以第4道试题答对的概率为，
所以甲能胜出的概率，
即，且，
因为，所以当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
故．
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）由题意，根据独立事件概率公式结合互斥事件和概率公式计算即可；
（2）利用独立事件概率乘积公式，再列分布列计算数学期望即可；
（3）先应用n次独立重复实验求概率再结合导函数求概率的最小值即可.
（1）设为甲的答题数，则可能取，
，
，
，
所以甲进入初赛的概率为．
（2）由题知，可能取，
则，
，
，
，
，
所以的分布列为：
0 5 10 15 20
所以．
（3）因为甲4道试题全对的概率为，所以第4道试题答对的概率为，
所以甲能胜出的概率，
即，
因为，
因为，
所以当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
所以．
19．【答案】（1）解：函数定义域为，且满足，则为偶函数；，则是周期为的周期函数；
（2）证明：当时，，，则，
函数在上单调递减，由，得，
所以；
（3）证明：当，且不等式在区间上恒成立，而，
得，又，则，
又，则有，即，
因此，即，
要证：，即证：，即证：，
不妨设，即证：，设，
求导得，则在上单调递增，于是，即，
因此，所以.
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【分析】（1）利用正余弦函数的奇偶性、周期性推理判断即可；
（2）利用已知不等式，结合正余弦函数的单调性证明即可；
（3）由给定条件，可得，进而得到，由结合分析法推理、构造函数并利用导数推导证明.
（1）函数定义域为，
所以为偶函数，，
所以是周期为的周期函数.
（2）当时，，，则，
函数在上单调递减，由，得，
所以.
（3）当，且不等式在区间上恒成立，而，
得，又，则，
又，则有，即，
因此，即，
要证：，即证：，即证：
不妨设，即证：，设，
求导得，则在上单调递增，于是，即，
因此，所以.
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