四川省绵阳市三台中学2024-2025学年高二上学期期末适应性考试数学试题
1．（2024高二上·三台期末）抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二上·三台期末）已知点关于轴的对称点为，则等于（ ）
A． B． C．2 D．
3．（2024高二上·三台期末）我市某所高中每天至少用一个小时学习数学的学生共有1200人，其中一、二、三年级的人数比为，要用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为120的样本，则应抽取的一年级学生的人数为（ ）
A．52 B．48 C．36 D．24
4．（2024高二上·三台期末）若直线l过点，且与双曲线过第一和第三象限的渐近线互相垂直，则直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二上·三台期末）安排甲，乙，丙三位志愿者到编号为的三个教室打扫卫生，每个教室恰好安排一位志愿者，则甲恰好不安排到号教室的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二上·三台期末）已知直线过定点M，点在直线上，则的最小值是（ ）
A．5 B． C． D．
7．（2024高二上·三台期末）已知，圆，动圆经过点且与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024高二上·三台期末）已知，是椭圆：的左、右焦点，是的下顶点，直线与的另一个交点为，且满足，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二上·三台期末）一只不透明的口袋内装有9张相同的卡片，上面分别标有这9个数字（每张卡片上标1个数），“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字为2或5或8”记为事件，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字不超过6”记为事件，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字大于等于7”记为事件．则下列说法正确的是（ ）
A．事件与事件是互斥事件 B．事件与事件是对立事件
C．事件与事件相互独立 D．
10．（2024高二上·三台期末）（多选）已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线过点且与抛物线交于，两点，若是线段的中点，则（ ）
A． B．抛物线的方程为
C．直线的方程为 D．
11．（2024高二上·三台期末）如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点O是与的交点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．平面平面
12．（2024高二上·三台期末）两平行直线，的距离为 .
13．（2024高二上·三台期末）已知，，，，这个数的平均数为，方差为，则，，，这个数的方差为 ．
14．（2024高二上·三台期末）已知圆，椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，直线与圆交于点，，若，则 .
15．（2024高二上·三台期末）已知圆C与轴相切，其圆心在轴的正半轴上，且圆被直线截得的弦长为．
（1）求圆的标准方程；
（2）若过点的直线与圆相切，求直线的方程.
16．（2024高二上·三台期末）在2024年法国巴黎奥运会上，中国乒乓球队包揽了乒乓球项目全部5枚金牌，国球运动再掀热潮.现有甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛（五局三胜制），其中每局中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛都是相互独立的.
（1）求比赛只需打三局的概率；
（2）已知甲在前两局比赛中获胜，求甲最终获胜的概率.
17．（2024高二上·三台期末）高二某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于秒到秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（1）若成绩大于等于14秒且小于16秒规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数；
（2）请根据频率分布直方图，估计样本数据的众数和中位数（精确到0.01）；
（3）设，表示该班两个学生的百米测试成绩，已知，∈[13，14）∪[17，18]，求事件“|﹣|＞2”的概率．
18．（2024高二上·三台期末）如图所示，直角梯形中，，四边形为矩形，，平面平面．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出线段的长度，若不存在，请说明理由．
19．（2024高二上·三台期末）已知双曲线的左、右焦点为、，虚轴长为，离心率为，过的左焦点作直线交的左支于A、B两点.
（1）求双曲线C的方程；
（2）若，求的余弦值；
（3）若，试问：是否存在直线，使得点在以为直径的圆上？请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线的标准方程为，则焦点坐标为.
故答案为：C.
【分析】将抛物线方程化为标准方程，再求焦点坐标即可.
2．【答案】D
【知识点】空间中的点的坐标；空间中两点间的距离公式
【解析】【解答】解：点关于轴的对称点为，
则.
故答案为：D.
【分析】由题意，根据点对称的性质求得点坐标，再求即可.
3．【答案】C
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：由题意可知：应抽取的一年级学生的人数为.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用分层抽样的抽样列式计算即可.
4．【答案】B
【知识点】两条直线垂直的判定；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：如图：
易知双曲线过第一和第三象限的渐近线方程为：，
因为直线l与之垂直，所以直线l的斜率为，
又因为直线l过点，所以直线l的方程为，即.
故答案为：B.
【分析】先求双曲线的渐近线方程，再根据两直线垂直求出直线的斜率，利用直线的点斜式求的方程即可.
5．【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：甲，乙，丙三位志愿者到编号为的三个教室，
每个教室恰好安排一位志愿者，
则（甲，），（乙，），（丙，），
（甲，），（乙，），（丙，），
（甲，），（乙，），（丙，），
（甲，），（乙，），（丙，），
（甲，），（乙，），（丙，），
（甲，），（乙，），（丙，），共种，
其中甲恰好不安排到号教室：
（甲，），（乙，），（丙，），
（甲，），（乙，），（丙，），
（甲，），（乙，），（丙，），
（甲，），（乙，），（丙，），共种，
所以甲恰好不安排到号教室的概率为.
故答案为：A.
【分析】由题意，列出基本事件，再利用古典概型的概率计算公式求解即可.
6．【答案】B
【知识点】恒过定点的直线；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：由kx+y+2-k=0得y+2=k(1-x)，所以直线l过定点 M(1，-2)，
所以|MP|的最小值就是点M到直线2x-y+1=0的距离，即
故答案为：B.
【分析】先求得定点，根据题意得|MP|的最小值就是点M到直线2x-y+1=0的距离，根据点到直线距离公式求解即可.
7．【答案】C
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；圆与圆锥曲线的综合；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：易知圆的圆心为，半径，设动圆的半径为，
若动圆与圆相内切，则圆在圆内，所以，，
所以，则动点是以、为焦点的双曲线的右支，
且、，，即动圆圆心的轨迹方程是；
若动圆与圆相外切，则，，，
则动点是以、为焦点的双曲线的左支，且、，，
即动圆圆心的轨迹方程是，
综上可得：动圆圆心的轨迹方程是.
故答案为：C.
【分析】先求圆C的圆心坐标与半径，设动圆的半径为，分两圆相内切与外切两种情况讨论，结合双曲线的定义计算即可.
8．【答案】A
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：由题意可得：，令，则
因为，所以，
即，∴，，
在中，，
在中，由余弦定理可得：，
即，解得，则的离心率为.
故答案为：A.
【分析】根据椭圆的定义及勾股定理用表示出，在中求出，再在中，利用余弦定理得到与的关系，化简求离心率即可.
9．【答案】B,C
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意，样本空间为．
因为，所以事件与事件不是互斥事件，故错误；
因为，所以事件与事件为对立事件，故正确；
因为，所以，即事件与事件相互独立，故正确；
因为，所以，故D错误．
故选：BC.
【分析】根据题意，得到．
，利用古典概型的概率的计算公式，分别算出事件的概率，再根据互斥事件、对立事件、相互独立事件及概率的运算性质，逐项分析判断，即可得到答案.
10．【答案】A,C,D
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：因为焦点到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知，故A正确
故抛物线的方程为，焦点，故B错误
则，．
又是的中点，则，所以，
即，所以直线的方程为．故C正确
由，
得．故D正确
故选：ACD．
【分析】由抛物线的焦点到准线的距离，求得，得出抛物线的方程，可判断A正确，B错误；由是的中点，得到，结合中点弦的性质，以及斜率公式，求得直线的斜率，得出直线的方程，可判定C正确；由，得到，结合抛物线的焦点弦的性质，求得弦的长，可判断D正确.
11．【答案】A,B,D
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算；空间向量的数量积运算；用空间向量研究平面与平面的位置关系
【解析】【解答】解：对于A，由图，，故A正确；
对于B，由A，
，故B正确；
对于C，
，则与BC不垂直，故C错误；
对于D，取BC中点为D，连接AD，则，又由图可得，
注意到，
则，又，平面，
则平面，又平面，则平面平面，故D正确.
故选：ABD.
【分析】由空间向量加法，结合图形，得到 ，可判断A正确；由空间向量模长公式，以及向量的数量积的运算公式，求得的长，可判定B正确；利用空间向量的数量积的运算公式，验证是否为0，可判断C错误；取BC中点为D，连接AD，判断是否为0，结合线面垂直的判定定理，可判断D正确.
12．【答案】
【知识点】两条直线平行的判定；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：因为直线与平行，所以，解得，
则直线的方程为，直线的方程为，即，
故两直线间的距离为.
故答案为：.
【分析】由两直线平行列式求出实数的值，再利用平行线间的距离公式求解即可.
13．【答案】
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：由题意可得：，
则，，，这个数的平均数为，
，即，
故，，，这个数的方差为.
故答案为：.
【分析】利用平均数和方差的计算求解即可.
14．【答案】6
【知识点】椭圆的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：设，
因为，所以，
又因为，所以，
所以，
则．
故答案为：6.
【分析】利用椭圆的额定义求出，再将转化为求解即可.
15．【答案】（1）解：由题意，设圆的方程为：，
圆心到直线的距离为，
则圆被直线截得的弦长为，解得，
所以圆的标准方程为.
（2）解：由题意得：当直线的斜率不存在时，直线方程为，符合题意；
当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离等于半径，即，解得，
所以直线方程为，
综上所述：直线的方程为或.
【知识点】圆的标准方程；圆的切线方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）根据题意，设圆的方程为，再由圆被直线截得的弦长为结合弦长公式，从而得出a的值，进而得出圆C的标准方程.
（2）分直线的斜率不存在和存在两种情况，再利用直线与圆相切位置关系判断方法，即圆心到直线的距离等于半径，从而得出直线的斜率，进而得出直线的方程.
（1）由题意设圆的方程为：，
圆心到直线的距离为，
则圆被直线截得的弦长为，解得，
所以圆的标准方程为；
（2）由题意得：当直线的斜率不存在时，直线方程为，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离等于半径，即，解得，
所以直线方程为，
综上：直线的方程为或.
16．【答案】（1）解：设事件=“甲前三局都获胜”，事件=“乙前三局都获胜”，
则，
，
所以，比赛只需打三局的概率为：
.
（2）解：因为甲需要打三局的概率为：，
甲需要打四局的概率为：，
甲需要打五局的概率为：，
则甲最终获胜的概率为：.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）“比赛只需打三局”可看作互斥事件“甲前三局都获胜”与“乙前三局都获胜”的和事件，再利用相互独立事件乘法概率公式与互斥事件加法概率公式，从而得出比赛只需打三局的概率.
（2）利用“甲最终获胜”是互斥事件“第三局甲胜”、“第三局甲输第四局甲胜”与“第三局第四局甲均输第五局甲胜”的和事件，再利用相互独立事件乘法概率公式与互斥事件加法概率公式，从而得出甲最终获胜的概率.
（1）设事件=“甲前三局都获胜”，事件=“乙前三局都获胜”，
则，
，
比赛只需打三局的概率为：
.
（2）甲需要打三局的概率为：，
甲需要打四局的概率为：，
甲需要打五局的概率为：，
则甲最终获胜的概率为：.
17．【答案】解：（1）根据频率分布直方图知成绩在[14，16）内的人数为：
50×0.18+50×0.38＝28人，
∴该班在这次百米测试中成绩为良好的人数为28人.
（2）由频率分布直方图知众数落在第三组[15，16）内，
众数是，
∵数据落在第一、二组的频率＝1×0.04+1×0.18＝0.22＜0.5，
数据落在第一、二、三组的频率＝1×0.04+1×0.18+1×0.38＝0.6＞0.5，
∴中位数一定落在第三组中，
假设中位数是，则0.22+（﹣15）×0.38＝0.5，
解得＝，∴中位数是15.74.
（3）因为成绩在[13，14）的人数有50×0.04＝2人，
成绩在[17，18）的人数有50×0.06＝3人，
又因为，表示该班两个学生的百米测试成绩，
且，∈[13，14）∪[17，18]，
∴事件“|﹣|＞2”等价于其中一个学生的百米测试成绩在，
另一个学生的百米测试成绩在内，
记百米测试成绩在[13，14）内的两个人为，
百米测试成绩在内的三个人为，则从这个学生中任取两个，
有，，共种情况，
其中一个学生的百米测试成绩在，
另一个学生的百米测试成绩在内的有种情况，
所以事件“|﹣|＞2”概率为.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图求出成绩在[14，16）内的人数，由此得到该班在这次百米测试中成绩为良好的人数.
（2）由频率分布直方图得出众数落在第二组[15，16）内，由此求出众数，再利用数据落在第一、二组的频率是0.22＜0.5，数据落在第一、二、三组的频率是0.6＞0.5，则中位数一定落在第三组中，假设中位数是，则0.22+（﹣15）×0.38＝0.5，从而求出中位数.
（3）利用成绩在[13，14）的人数有2人，成绩在[17，18）的人数有3人，则事件“|﹣|＞2”等价于其中一个学生的百米测试成绩在，另一个学生的百米测试成绩在内，记百米测试成绩在[13，14）内的两个人为，百米测试成绩在内的三个人为，再利用列举法和古典概型求概率公式，从而得出事件“|﹣|＞2”的概率．
18．【答案】（1）证明：因为四边形为矩形，平面平面，
平面平面，
所以，则平面，
根据题意可以以为原点，所在直线为轴，
所在直线为轴建立空间直角坐标系，
如图，易知，，
设平面的法向量，
不妨令，则，
又，，
又平面平面．
（2）解：由上可知，设平面的法向量，
，令，则，
，
平面与平面夹角的余弦值为．
（3）解：设，
，
又平面的法向量，
由直线与平面所成角的余弦值为，
，
，或．
当时，；
当时，．
综上，．
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，证得平面，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，以及向量，结合，进而证得平面；
（2）由（1）中的空间直角坐标系，求得平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解；
（3）设，得到，得出，由平面的法向量，结合，列出方程，求得的值，进而得到答案.
（1）因为四边形为矩形，平面平面，
平面平面，
所以，则平面，
根据题意可以以为原点，所在直线为轴，
所在直线为轴建立空间直角坐标系，
如图，易知，，
设平面的法向量，
不妨令，则，
又，，
又平面平面．
（2）由上可知，设平面的法向量，
，令，则，
，
平面与平面夹角的余弦值为．
（3）设，
，
又平面的法向量，
由直线与平面所成角的余弦值为，
，
，或．
当时，；
当时，．
综上，．
19．【答案】（1）解：由题意可知：，解得，
所以双曲线的方程为：.
（2）解：因为，
所以，且，
所以，
所以的余弦值为.
（3）解：依题意，如图所示：
假设存在满足要求，
当的斜率不存在时，，
由解得，
所以，
所以不垂直，故不满足要求；
当的斜率存在时，
因为与双曲线有两个交点，所以，即，
设直线，，
联立可得，
且，即，
所以，所以
所以，
所以，
所以也不满足要求，
故假设不成立，即不存在直线，使得点在以为直径的圆上.
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据已知条件结合虚轴长定义、离心率公式和双曲线中a，b，c三者的关系式，从而列出关于的方程组，解方程得出，c的值，从而得出双曲线的标准方程.
（2）根据已知条件和双曲线的定义得出的值，再结合焦距的定义和余弦定理，从而得出的余弦值.
（3）当直线的斜率不存在时，联立直线与双曲线的方程得出交点坐标，结合向量的坐标表示和数量积的坐标表示，再由两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出不垂直，则不满足要求；当直线的斜率存在时，设出直线的方程并与双曲线方程联立，结合判别式法得出，再根据韦达定理和向量的坐标表示以及数量积的坐标表示，从而得出，则
也不满足要求，进而得出假设不成立，即不存在直线，使得点在以为直径的圆上.
（1）由题意可知：，解得，
所以双曲线的方程为：；
（2）因为，所以，且，
所以，
所以的余弦值为.
（3）假设存在满足要求，
当的斜率不存在时，，由解得，
所以，所以不垂直，故不满足要求；
当的斜率存在时，因为与双曲线有两个交点，所以，即，
设，，
联立可得，
且，即，
所以，
所以，
所以，
所以
，
所以也不满足要求，
故假设不成立，即不存在直线，使得点在以为直径的圆上.
1 / 1四川省绵阳市三台中学2024-2025学年高二上学期期末适应性考试数学试题
1．（2024高二上·三台期末）抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线的标准方程为，则焦点坐标为.
故答案为：C.
【分析】将抛物线方程化为标准方程，再求焦点坐标即可.
2．（2024高二上·三台期末）已知点关于轴的对称点为，则等于（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】空间中的点的坐标；空间中两点间的距离公式
【解析】【解答】解：点关于轴的对称点为，
则.
故答案为：D.
【分析】由题意，根据点对称的性质求得点坐标，再求即可.
3．（2024高二上·三台期末）我市某所高中每天至少用一个小时学习数学的学生共有1200人，其中一、二、三年级的人数比为，要用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为120的样本，则应抽取的一年级学生的人数为（ ）
A．52 B．48 C．36 D．24
【答案】C
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：由题意可知：应抽取的一年级学生的人数为.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用分层抽样的抽样列式计算即可.
4．（2024高二上·三台期末）若直线l过点，且与双曲线过第一和第三象限的渐近线互相垂直，则直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两条直线垂直的判定；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：如图：
易知双曲线过第一和第三象限的渐近线方程为：，
因为直线l与之垂直，所以直线l的斜率为，
又因为直线l过点，所以直线l的方程为，即.
故答案为：B.
【分析】先求双曲线的渐近线方程，再根据两直线垂直求出直线的斜率，利用直线的点斜式求的方程即可.
5．（2024高二上·三台期末）安排甲，乙，丙三位志愿者到编号为的三个教室打扫卫生，每个教室恰好安排一位志愿者，则甲恰好不安排到号教室的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：甲，乙，丙三位志愿者到编号为的三个教室，
每个教室恰好安排一位志愿者，
则（甲，），（乙，），（丙，），
（甲，），（乙，），（丙，），
（甲，），（乙，），（丙，），
（甲，），（乙，），（丙，），
（甲，），（乙，），（丙，），
（甲，），（乙，），（丙，），共种，
其中甲恰好不安排到号教室：
（甲，），（乙，），（丙，），
（甲，），（乙，），（丙，），
（甲，），（乙，），（丙，），
（甲，），（乙，），（丙，），共种，
所以甲恰好不安排到号教室的概率为.
故答案为：A.
【分析】由题意，列出基本事件，再利用古典概型的概率计算公式求解即可.
6．（2024高二上·三台期末）已知直线过定点M，点在直线上，则的最小值是（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】B
【知识点】恒过定点的直线；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：由kx+y+2-k=0得y+2=k(1-x)，所以直线l过定点 M(1，-2)，
所以|MP|的最小值就是点M到直线2x-y+1=0的距离，即
故答案为：B.
【分析】先求得定点，根据题意得|MP|的最小值就是点M到直线2x-y+1=0的距离，根据点到直线距离公式求解即可.
7．（2024高二上·三台期末）已知，圆，动圆经过点且与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；圆与圆锥曲线的综合；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：易知圆的圆心为，半径，设动圆的半径为，
若动圆与圆相内切，则圆在圆内，所以，，
所以，则动点是以、为焦点的双曲线的右支，
且、，，即动圆圆心的轨迹方程是；
若动圆与圆相外切，则，，，
则动点是以、为焦点的双曲线的左支，且、，，
即动圆圆心的轨迹方程是，
综上可得：动圆圆心的轨迹方程是.
故答案为：C.
【分析】先求圆C的圆心坐标与半径，设动圆的半径为，分两圆相内切与外切两种情况讨论，结合双曲线的定义计算即可.
8．（2024高二上·三台期末）已知，是椭圆：的左、右焦点，是的下顶点，直线与的另一个交点为，且满足，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：由题意可得：，令，则
因为，所以，
即，∴，，
在中，，
在中，由余弦定理可得：，
即，解得，则的离心率为.
故答案为：A.
【分析】根据椭圆的定义及勾股定理用表示出，在中求出，再在中，利用余弦定理得到与的关系，化简求离心率即可.
9．（2024高二上·三台期末）一只不透明的口袋内装有9张相同的卡片，上面分别标有这9个数字（每张卡片上标1个数），“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字为2或5或8”记为事件，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字不超过6”记为事件，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字大于等于7”记为事件．则下列说法正确的是（ ）
A．事件与事件是互斥事件 B．事件与事件是对立事件
C．事件与事件相互独立 D．
【答案】B,C
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意，样本空间为．
因为，所以事件与事件不是互斥事件，故错误；
因为，所以事件与事件为对立事件，故正确；
因为，所以，即事件与事件相互独立，故正确；
因为，所以，故D错误．
故选：BC.
【分析】根据题意，得到．
，利用古典概型的概率的计算公式，分别算出事件的概率，再根据互斥事件、对立事件、相互独立事件及概率的运算性质，逐项分析判断，即可得到答案.
10．（2024高二上·三台期末）（多选）已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线过点且与抛物线交于，两点，若是线段的中点，则（ ）
A． B．抛物线的方程为
C．直线的方程为 D．
【答案】A,C,D
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：因为焦点到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知，故A正确
故抛物线的方程为，焦点，故B错误
则，．
又是的中点，则，所以，
即，所以直线的方程为．故C正确
由，
得．故D正确
故选：ACD．
【分析】由抛物线的焦点到准线的距离，求得，得出抛物线的方程，可判断A正确，B错误；由是的中点，得到，结合中点弦的性质，以及斜率公式，求得直线的斜率，得出直线的方程，可判定C正确；由，得到，结合抛物线的焦点弦的性质，求得弦的长，可判断D正确.
11．（2024高二上·三台期末）如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点O是与的交点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．平面平面
【答案】A,B,D
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算；空间向量的数量积运算；用空间向量研究平面与平面的位置关系
【解析】【解答】解：对于A，由图，，故A正确；
对于B，由A，
，故B正确；
对于C，
，则与BC不垂直，故C错误；
对于D，取BC中点为D，连接AD，则，又由图可得，
注意到，
则，又，平面，
则平面，又平面，则平面平面，故D正确.
故选：ABD.
【分析】由空间向量加法，结合图形，得到 ，可判断A正确；由空间向量模长公式，以及向量的数量积的运算公式，求得的长，可判定B正确；利用空间向量的数量积的运算公式，验证是否为0，可判断C错误；取BC中点为D，连接AD，判断是否为0，结合线面垂直的判定定理，可判断D正确.
12．（2024高二上·三台期末）两平行直线，的距离为 .
【答案】
【知识点】两条直线平行的判定；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：因为直线与平行，所以，解得，
则直线的方程为，直线的方程为，即，
故两直线间的距离为.
故答案为：.
【分析】由两直线平行列式求出实数的值，再利用平行线间的距离公式求解即可.
13．（2024高二上·三台期末）已知，，，，这个数的平均数为，方差为，则，，，这个数的方差为 ．
【答案】
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：由题意可得：，
则，，，这个数的平均数为，
，即，
故，，，这个数的方差为.
故答案为：.
【分析】利用平均数和方差的计算求解即可.
14．（2024高二上·三台期末）已知圆，椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，直线与圆交于点，，若，则 .
【答案】6
【知识点】椭圆的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：设，
因为，所以，
又因为，所以，
所以，
则．
故答案为：6.
【分析】利用椭圆的额定义求出，再将转化为求解即可.
15．（2024高二上·三台期末）已知圆C与轴相切，其圆心在轴的正半轴上，且圆被直线截得的弦长为．
（1）求圆的标准方程；
（2）若过点的直线与圆相切，求直线的方程.
【答案】（1）解：由题意，设圆的方程为：，
圆心到直线的距离为，
则圆被直线截得的弦长为，解得，
所以圆的标准方程为.
（2）解：由题意得：当直线的斜率不存在时，直线方程为，符合题意；
当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离等于半径，即，解得，
所以直线方程为，
综上所述：直线的方程为或.
【知识点】圆的标准方程；圆的切线方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）根据题意，设圆的方程为，再由圆被直线截得的弦长为结合弦长公式，从而得出a的值，进而得出圆C的标准方程.
（2）分直线的斜率不存在和存在两种情况，再利用直线与圆相切位置关系判断方法，即圆心到直线的距离等于半径，从而得出直线的斜率，进而得出直线的方程.
（1）由题意设圆的方程为：，
圆心到直线的距离为，
则圆被直线截得的弦长为，解得，
所以圆的标准方程为；
（2）由题意得：当直线的斜率不存在时，直线方程为，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离等于半径，即，解得，
所以直线方程为，
综上：直线的方程为或.
16．（2024高二上·三台期末）在2024年法国巴黎奥运会上，中国乒乓球队包揽了乒乓球项目全部5枚金牌，国球运动再掀热潮.现有甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛（五局三胜制），其中每局中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛都是相互独立的.
（1）求比赛只需打三局的概率；
（2）已知甲在前两局比赛中获胜，求甲最终获胜的概率.
【答案】（1）解：设事件=“甲前三局都获胜”，事件=“乙前三局都获胜”，
则，
，
所以，比赛只需打三局的概率为：
.
（2）解：因为甲需要打三局的概率为：，
甲需要打四局的概率为：，
甲需要打五局的概率为：，
则甲最终获胜的概率为：.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）“比赛只需打三局”可看作互斥事件“甲前三局都获胜”与“乙前三局都获胜”的和事件，再利用相互独立事件乘法概率公式与互斥事件加法概率公式，从而得出比赛只需打三局的概率.
（2）利用“甲最终获胜”是互斥事件“第三局甲胜”、“第三局甲输第四局甲胜”与“第三局第四局甲均输第五局甲胜”的和事件，再利用相互独立事件乘法概率公式与互斥事件加法概率公式，从而得出甲最终获胜的概率.
（1）设事件=“甲前三局都获胜”，事件=“乙前三局都获胜”，
则，
，
比赛只需打三局的概率为：
.
（2）甲需要打三局的概率为：，
甲需要打四局的概率为：，
甲需要打五局的概率为：，
则甲最终获胜的概率为：.
17．（2024高二上·三台期末）高二某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于秒到秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（1）若成绩大于等于14秒且小于16秒规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数；
（2）请根据频率分布直方图，估计样本数据的众数和中位数（精确到0.01）；
（3）设，表示该班两个学生的百米测试成绩，已知，∈[13，14）∪[17，18]，求事件“|﹣|＞2”的概率．
【答案】解：（1）根据频率分布直方图知成绩在[14，16）内的人数为：
50×0.18+50×0.38＝28人，
∴该班在这次百米测试中成绩为良好的人数为28人.
（2）由频率分布直方图知众数落在第三组[15，16）内，
众数是，
∵数据落在第一、二组的频率＝1×0.04+1×0.18＝0.22＜0.5，
数据落在第一、二、三组的频率＝1×0.04+1×0.18+1×0.38＝0.6＞0.5，
∴中位数一定落在第三组中，
假设中位数是，则0.22+（﹣15）×0.38＝0.5，
解得＝，∴中位数是15.74.
（3）因为成绩在[13，14）的人数有50×0.04＝2人，
成绩在[17，18）的人数有50×0.06＝3人，
又因为，表示该班两个学生的百米测试成绩，
且，∈[13，14）∪[17，18]，
∴事件“|﹣|＞2”等价于其中一个学生的百米测试成绩在，
另一个学生的百米测试成绩在内，
记百米测试成绩在[13，14）内的两个人为，
百米测试成绩在内的三个人为，则从这个学生中任取两个，
有，，共种情况，
其中一个学生的百米测试成绩在，
另一个学生的百米测试成绩在内的有种情况，
所以事件“|﹣|＞2”概率为.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图求出成绩在[14，16）内的人数，由此得到该班在这次百米测试中成绩为良好的人数.
（2）由频率分布直方图得出众数落在第二组[15，16）内，由此求出众数，再利用数据落在第一、二组的频率是0.22＜0.5，数据落在第一、二、三组的频率是0.6＞0.5，则中位数一定落在第三组中，假设中位数是，则0.22+（﹣15）×0.38＝0.5，从而求出中位数.
（3）利用成绩在[13，14）的人数有2人，成绩在[17，18）的人数有3人，则事件“|﹣|＞2”等价于其中一个学生的百米测试成绩在，另一个学生的百米测试成绩在内，记百米测试成绩在[13，14）内的两个人为，百米测试成绩在内的三个人为，再利用列举法和古典概型求概率公式，从而得出事件“|﹣|＞2”的概率．
18．（2024高二上·三台期末）如图所示，直角梯形中，，四边形为矩形，，平面平面．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出线段的长度，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：因为四边形为矩形，平面平面，
平面平面，
所以，则平面，
根据题意可以以为原点，所在直线为轴，
所在直线为轴建立空间直角坐标系，
如图，易知，，
设平面的法向量，
不妨令，则，
又，，
又平面平面．
（2）解：由上可知，设平面的法向量，
，令，则，
，
平面与平面夹角的余弦值为．
（3）解：设，
，
又平面的法向量，
由直线与平面所成角的余弦值为，
，
，或．
当时，；
当时，．
综上，．
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，证得平面，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，以及向量，结合，进而证得平面；
（2）由（1）中的空间直角坐标系，求得平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解；
（3）设，得到，得出，由平面的法向量，结合，列出方程，求得的值，进而得到答案.
（1）因为四边形为矩形，平面平面，
平面平面，
所以，则平面，
根据题意可以以为原点，所在直线为轴，
所在直线为轴建立空间直角坐标系，
如图，易知，，
设平面的法向量，
不妨令，则，
又，，
又平面平面．
（2）由上可知，设平面的法向量，
，令，则，
，
平面与平面夹角的余弦值为．
（3）设，
，
又平面的法向量，
由直线与平面所成角的余弦值为，
，
，或．
当时，；
当时，．
综上，．
19．（2024高二上·三台期末）已知双曲线的左、右焦点为、，虚轴长为，离心率为，过的左焦点作直线交的左支于A、B两点.
（1）求双曲线C的方程；
（2）若，求的余弦值；
（3）若，试问：是否存在直线，使得点在以为直径的圆上？请说明理由.
【答案】（1）解：由题意可知：，解得，
所以双曲线的方程为：.
（2）解：因为，
所以，且，
所以，
所以的余弦值为.
（3）解：依题意，如图所示：
假设存在满足要求，
当的斜率不存在时，，
由解得，
所以，
所以不垂直，故不满足要求；
当的斜率存在时，
因为与双曲线有两个交点，所以，即，
设直线，，
联立可得，
且，即，
所以，所以
所以，
所以，
所以也不满足要求，
故假设不成立，即不存在直线，使得点在以为直径的圆上.
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据已知条件结合虚轴长定义、离心率公式和双曲线中a，b，c三者的关系式，从而列出关于的方程组，解方程得出，c的值，从而得出双曲线的标准方程.
（2）根据已知条件和双曲线的定义得出的值，再结合焦距的定义和余弦定理，从而得出的余弦值.
（3）当直线的斜率不存在时，联立直线与双曲线的方程得出交点坐标，结合向量的坐标表示和数量积的坐标表示，再由两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出不垂直，则不满足要求；当直线的斜率存在时，设出直线的方程并与双曲线方程联立，结合判别式法得出，再根据韦达定理和向量的坐标表示以及数量积的坐标表示，从而得出，则
也不满足要求，进而得出假设不成立，即不存在直线，使得点在以为直径的圆上.
（1）由题意可知：，解得，
所以双曲线的方程为：；
（2）因为，所以，且，
所以，
所以的余弦值为.
（3）假设存在满足要求，
当的斜率不存在时，，由解得，
所以，所以不垂直，故不满足要求；
当的斜率存在时，因为与双曲线有两个交点，所以，即，
设，，
联立可得，
且，即，
所以，
所以，
所以，
所以
，
所以也不满足要求，
故假设不成立，即不存在直线，使得点在以为直径的圆上.
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