湖南省岳阳市临湘市2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题
1．（2024高三上·临湘月考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三上·临湘月考）已知为虚数单位，复数，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高三上·临湘月考）已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024高三上·临湘月考）已知直线和直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2024高三上·临湘月考）如图，已知等腰中，，点是边上的动点，则的值（ ）
A．为定值 B．不为定值，有最大值
C．为定值 D．不为定值，有最小值
6．（2024高三上·临湘月考）已知数列中，，若，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．（2024高三上·临湘月考）在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为
A． B． C． D．
8．（2024高三上·临湘月考）已知函数，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高三上·临湘月考）设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，无极值点
C．，使在上是减函数
D．图象对称中心的横坐标不变
10．（2024高三上·临湘月考）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．在上单调递减
C．的表达式可以写成
D．若关于的方程在上有且只有4个实数根，则
11．（2024高三上·临湘月考）冒泡排序是一种计算机科学领域的较简单的排序算法，其基本思想是：通过对待排序序列从左往右，依次对相邻两个元素比较大小，若，则交换两个数的位置，使值较大的元素逐渐从左移向右，就如水底下的气泡一样逐渐向上冒，重复以上过程直到序列中所有数都是按照从小到大排列为止.例如：对于序列进行冒泡排序，首先比较，需要交换1次位置，得到新序列，然后比较，无需交换位置，最后比较，又需要交换1次位置，得到新序列最终完成了冒泡排序，同样地，序列需要依次交换完成冒泡排序.因此，和均是交换2次的序列.现在对任一个包含个不等实数的序列进行冒泡排序，设在冒泡排序中序列需要交换的最大次数为，只需要交换1次的序列个数为，只需要交换2次的序列个数为，则（ ）
A．序列是需要交换3次的序列
B．
C．
D．
12．（2024高三上·临湘月考）已知函数及其导函数的定义域均为，且为非常数函数，，为奇函数，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2024高三上·临湘月考）已知复数满足，则 .
14．（2024高三上·临湘月考）已知椭圆：，过左焦点作直线与圆：相切于点，与椭圆在第一象限的交点为，且，则椭圆离心率为 .
15．（2024高三上·临湘月考）在中，，则的最大值为 .
16．（2024高三上·临湘月考）英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象.如图是一个高尔顿钉板的设计图，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗钉子恰好位于下一层两颗打子的正中间，小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落.数学课堂上，老师向学生们介绍了高尔顿钉板放学后，爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔顿钉板”，它使小球在从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时，向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.当有大量的小球依次滚下时，最终都落入钉板下面的5个不同位置.若一个小球从正上方落下，经过5层钉板最终落到4号位置的概率是 .
17．（2024高三上·临湘月考）记内角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求；
（2）若为等腰三角形且腰长为2，求的底边长.
18．（2024高三上·临湘月考）已知函数的导函数为，且．
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）若对于任意的恒成立，求实数的取值范围．
19．（2024高三上·临湘月考）设数列的前n项和为，已知，（）．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若数列满足：，．
① 求数列的通项公式；
② 是否存在正整数n，使得成立？若存在，求出所有n的值；若不存在，请说明理由．
20．（2024高三上·临湘月考）维向量是平面向量和空间向量的推广，对维向量，记，设集合.
（1）求，；
（2）（i）求中元素的个数；
（ii）记，求使得成立的最大正整数.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算；函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：函数有意义，则，解得，
则集合，因为集合，所以.
故答案为：A.
【分析】先求函数的定义域即可化简集合，再由集合的交集的运算求解即可.
2．【答案】A
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：，
.
故答案为：A.
【分析】根据复数除法的运算法则化简，再由复数模长公式，从而得出复数z的模.
3．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：空间中不过同一点的三条直线m，n，l，若m，n，l在同一平面，则m，n，l相交或m，n，l有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行．
故m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的必要不充分条件，
故答案为：B．
【分析】由m，n，l在同一平面，则m，n，l相交或m，n，l有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行，根据充分条件，必要条件的定义即可判断．
4．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；两条直线平行的判定
【解析】【解答】解：若直线，则，解得或，
当时，直线，直线，直线；
当时，直线，直线，直线，
综上所述：或，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故答案为：A.
【分析】根据的充要条件列式求得或，再由充分条件、必要条件的概念判断即可.
5．【答案】C
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
6．【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式
7．【答案】B
【知识点】平面向量的共线定理
8．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
令，
∴在上单调递增，
∴，即，
∴，
令，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
∴当时，函数取得最小值，
即，
∴.
故答案为：B.
【分析】结合题意构造函数，从而得到，再表示出，则借助导数求出函数的最小值，即可得出的最小值.
9．【答案】B,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】对于A，当时，，所以，
令得或，所以时或，
时，所以在，上单调递增，在上单调递减，
在处取得极大值，因此最多有一个零点，故A错误；
对于B，，当时，，即恒成立，
函数在上单调递增，无极值点，故B正确；
对于C，要使在上是减函数，则恒成立，
而不等式的解集不可能为，故C错误；
对于D，由，
得图象对称中心坐标为，故D正确.
故答案为：BD
【分析】先求导，利用导数研究函数的单调性、极大值小于0，判断A错误；由恒成立判断B正确；根据的解集能否为判断C错误；求出图象的对称中心判断D正确.
10．【答案】A,B,D
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：由函数图象可知，，
因为在，附近单调递增，
所以，，，
又因为，所以，，
所以，故A正确；
当时，，
所以由在单调递减可知在上单调递减，故B正确；
因为，故C错误；
令得，解得或，
方程在上有且只有4个实数根，从小到大依次为，
而第5个实数根为，所以，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据函数图象过，，建立方程组求出函数的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，从而逐项判断，即可找出说法正确的选项.
11．【答案】B,C,D
【知识点】等差数列的前n项和；数列的通项公式
【解析】【解答】解：A、序列，比较，无需交换位置，比较，需要交换1次位置，得到新序列，比较，无需交换位置，最后比较，需要交换1次位置，得到新序列，完成冒泡排序，共需要交换2次，故A错误；
B、不妨设序列的n个元素为，交换次数最多的序列为，
将元素n冒泡到最右侧，需交换次次，
将元素n-1冒泡到最右侧，需交换次次，
，
故共需要，
即最大交换次数，故B正确；
C、只要交换1次的序列是将中的任意相邻两个数字调换位置的序列，故有个这样的序列，即，故C正确；
D、当n个元素的序列顺序确定后，将元素n+1添加进原序列，
使得新序列（共n+1个元素）交换次数也是2，
则元素n+1在新序列的位置只能是最后三个位置，
若元素n+1在新序列的最后一个位置，
则不会增加交换次数，故原序列交换次数为2（这样的序列有个），
若元素n+1在新序列的倒数第二个位置，则会增加1次交换，
故原序列交换次数为1（这样的序列有个），
若元素n+1在新序列的倒数第三个位置，
则会增加2次交换，故原序列交换次数为0（这样的序列有1个），
因此，，
所以，显然，
所以，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据题意，不妨设序列的n个元素为，由题意即可判断A；再根据等差数列前项和公式即可判断B；得出只要交换1次的序列的特征即可判断C；利用累加法求出通项公式即可判断D.
12．【答案】A,B,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解：因为为奇函数，所以，
即，即，
所以的图象关于点中心对称，且，故A正确；
由，两边求导，得，即.
由的图象关于点中心对称，得，
因此，故B正确；
因为为函数的导函数且，
即，
所以，即，
所以的图象关于直线对称，
所以，
又因为，
所以，
所以的图象关于点中心对称，
则，
，
所以是周期函数，4为它的一个周期，
所以，故错误；
由，得.又，
所以3，
所以，
所以，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由奇函数的性质得出函数的图象关于点中心对称且，则判断选项A；对求导，再判断出函数的对称性，则判断选项B；由函数的图象的对称性得出函数的周期，则判断选项C；利用已知条件和函数的周期性求值，则判断选项D，进而找出结论正确的选项．
13．【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：由题意：，
所以.
故答案为：.
【分析】先根据复数的除法运算法则求出复数，再根据复数求模的公式，从而求出的值.
14．【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设椭圆右焦点为，连接，如下图所示：
由圆：可知圆心，半径，
显然，且，
因此可得，所以，
可得，
即可得，又易知，
由余弦定理可得：，
解得，
再由椭圆定义可得，即，
因此离心率.
故答案为：.
【分析】由题意，利用直线与圆相切的位置关系判断方法，从而可得，再由余弦定理计算得出，则利用椭圆定义可得出椭圆的离心率.
15．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；两角和与差的正切公式；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：因为，
可得，
所以，
可得，
由正弦定理得，
又因为，
所以，
所以，则，
因为为三角形的内角，所以，
由，
又因为，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以.
故答案为：.
【分析】根据题意，利用向量的数量积的运算法则、两角和的正弦公式以及正弦定理和三角形的内角和定理，化简得到，从而得到，再由两角差的正切公式得到，再结合基本不等式求最值的方法，从而得出的最大值.
16．【答案】
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：因为向左下落的概率为向右下落的概率的2倍，
所以向左下落的概率为，向右下落的概率为，
则下落的过程中向左一次，向右三次才能最终落到4号位置，
此时概率为：.
故答案为：.
【分析】利用向左下落的概率为向右下落的概率的2倍得出向左下落的概率为，向右下落的概率为，再由二项分布的性质，计算出若一个小球从正上方落下，经过5层钉板最终落到4号位置的概率.
17．【答案】（1）解：，由正弦定理得：，
，
∵，
，
∵，
.
（2）解：当为顶角，
则底边，
；
当为底角，则该三角形内角分别为，，，
则底边AC为，
故的底边长为或.
【知识点】解三角形；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）根据正弦定理边化角的方法得出角B的余弦值，再根据三角形中角B的取值范围，从而得出角B的值.
（2）分别讨论当为顶角和为底角时的底边长，从而得出的底边长.
（1），由正弦定理得：
，∵
，
∵，
（2）当为顶角，则底边，
，
当为底角，则该三角形内角分别为，，，则底边为
故的底边长为或.
18．【答案】（1）解：求导得，
令，则，
，即直线：．
（2）解：方法一，，
①当时，左边右边，不等式显然成立；
②当时，，
令
，
当时，
在上单调递减，
③当时，，
令，当时，单调递减；
当时，单调递增，
，
综上所述：的取值范围为．
法二，令，，
令，
所以恒成立，在上递增.
①若，即对，
在单调递减，，
与矛盾，无解，舍去；
②若，即，
在上单调递增，
，
故；
③若，即当时，
，使得，即，
，
即，
，
，故，
综上所述，．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求导得出导函数，利用赋值法求得，从而求得函数的解析式，结合导数的几何意义得出切线的斜率，再利用代入法和点斜式得出函数在点处的切线方程.
（2）法一：分，，三种情况分离变量，再结合函数的单调性求得函数的最大值，进而求得实数的取值范围.
法二：令，利用二次求导判断恒成立应满足的条件，进而求得实数的取值范围.
（1）求导得，
令，则，
，即：．
（2）方法一，，
①当时，左边右边，不等式显然成立．
②当时，
令
当时，在上单调递减
③当时，
令，当时，单调递减；
当时，单调递增．
综上：的取值范围为．
法二，令，，
令，所以恒成立，在上递增．
①若，即对
在单调递减，，
与矛盾，无解，舍去．
②若，即，
在上递增
.
故．
③若即：时，
使得，，即：
即：
，故
综上．
19．【答案】证明：（1）由，得（），
两式相减，得，即（），
因为，由，得，所以，
所以对任意都成立，
所以数列为首项为1，公比为2等比数列．
解：① 由（1）知，，
由，得，
即，即，
因为，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，
所以．
② 设，
则，
所以，
两式相减得 ，
所以．
由，得，即，
显然当时，上式成立，
设（），即，
因为，
所以数列单调递减，所以只有唯一解，
所以存在唯一正整数，使得成立．
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）由题中的递推关系式得到（），再结合等比数列的定义证出数列为等比数列．
（2）① 由（1）知，，化简得，则数列是首项为1，公差为1的等差数列，再结合等差数列的通项公式得出数列的通项公式．
②利用错位相减法求得，从而得到，显然当 时，上式成立，设，由判断出数列单调递减，进而得到存在唯一正整数，使得成立．
20．【答案】（1）解：，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，，
；
，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，，
.
（2）解：（i）设中元素的个数为，
，，
为偶数时，，且，
，
中的元素个数为.
（ii）①当时，
；
②当时，
；
③当时，
；
；
要使得成立，
其必要条件是当时，，
令，则，
数列为递增数列，又，，
的解为；
当时，，
即充分性成立；
使得成立的最大正整数.
【知识点】元素与集合的关系；集合的表示方法；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】（1）利用已知条件列举出所有可能的情况，再根据可求得，的值.
（2）（i）设中元素的个数为，根据定义可得递推关系式，再结合等比数列求和公式，即可推导求得，从而得出中元素的个数.
（ii）首先确定的必要条件为当时，，由此可得；再验证当时充分性成立，从而得到使得成立的最大正整数的值.
（1），
当时，；当时，；当时，；当时，，
；
，
当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，
.
（2）（i）设中元素的个数为，
，，
为偶数时，，且，
，
中的元素个数为.
（ii）①当时，
；
②当时，
；
③当时，
；
；
要使得成立，其必要条件是当时，，
令，则，
数列为递增数列，又，，
的解为；
当时，，
即充分性成立；
使得成立的最大正整数.
1 / 1湖南省岳阳市临湘市2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题
1．（2024高三上·临湘月考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算；函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：函数有意义，则，解得，
则集合，因为集合，所以.
故答案为：A.
【分析】先求函数的定义域即可化简集合，再由集合的交集的运算求解即可.
2．（2024高三上·临湘月考）已知为虚数单位，复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：，
.
故答案为：A.
【分析】根据复数除法的运算法则化简，再由复数模长公式，从而得出复数z的模.
3．（2024高三上·临湘月考）已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：空间中不过同一点的三条直线m，n，l，若m，n，l在同一平面，则m，n，l相交或m，n，l有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行．
故m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的必要不充分条件，
故答案为：B．
【分析】由m，n，l在同一平面，则m，n，l相交或m，n，l有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行，根据充分条件，必要条件的定义即可判断．
4．（2024高三上·临湘月考）已知直线和直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；两条直线平行的判定
【解析】【解答】解：若直线，则，解得或，
当时，直线，直线，直线；
当时，直线，直线，直线，
综上所述：或，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故答案为：A.
【分析】根据的充要条件列式求得或，再由充分条件、必要条件的概念判断即可.
5．（2024高三上·临湘月考）如图，已知等腰中，，点是边上的动点，则的值（ ）
A．为定值 B．不为定值，有最大值
C．为定值 D．不为定值，有最小值
【答案】C
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
6．（2024高三上·临湘月考）已知数列中，，若，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式
7．（2024高三上·临湘月考）在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的共线定理
8．（2024高三上·临湘月考）已知函数，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
令，
∴在上单调递增，
∴，即，
∴，
令，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
∴当时，函数取得最小值，
即，
∴.
故答案为：B.
【分析】结合题意构造函数，从而得到，再表示出，则借助导数求出函数的最小值，即可得出的最小值.
9．（2024高三上·临湘月考）设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，无极值点
C．，使在上是减函数
D．图象对称中心的横坐标不变
【答案】B,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】对于A，当时，，所以，
令得或，所以时或，
时，所以在，上单调递增，在上单调递减，
在处取得极大值，因此最多有一个零点，故A错误；
对于B，，当时，，即恒成立，
函数在上单调递增，无极值点，故B正确；
对于C，要使在上是减函数，则恒成立，
而不等式的解集不可能为，故C错误；
对于D，由，
得图象对称中心坐标为，故D正确.
故答案为：BD
【分析】先求导，利用导数研究函数的单调性、极大值小于0，判断A错误；由恒成立判断B正确；根据的解集能否为判断C错误；求出图象的对称中心判断D正确.
10．（2024高三上·临湘月考）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．在上单调递减
C．的表达式可以写成
D．若关于的方程在上有且只有4个实数根，则
【答案】A,B,D
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：由函数图象可知，，
因为在，附近单调递增，
所以，，，
又因为，所以，，
所以，故A正确；
当时，，
所以由在单调递减可知在上单调递减，故B正确；
因为，故C错误；
令得，解得或，
方程在上有且只有4个实数根，从小到大依次为，
而第5个实数根为，所以，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据函数图象过，，建立方程组求出函数的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，从而逐项判断，即可找出说法正确的选项.
11．（2024高三上·临湘月考）冒泡排序是一种计算机科学领域的较简单的排序算法，其基本思想是：通过对待排序序列从左往右，依次对相邻两个元素比较大小，若，则交换两个数的位置，使值较大的元素逐渐从左移向右，就如水底下的气泡一样逐渐向上冒，重复以上过程直到序列中所有数都是按照从小到大排列为止.例如：对于序列进行冒泡排序，首先比较，需要交换1次位置，得到新序列，然后比较，无需交换位置，最后比较，又需要交换1次位置，得到新序列最终完成了冒泡排序，同样地，序列需要依次交换完成冒泡排序.因此，和均是交换2次的序列.现在对任一个包含个不等实数的序列进行冒泡排序，设在冒泡排序中序列需要交换的最大次数为，只需要交换1次的序列个数为，只需要交换2次的序列个数为，则（ ）
A．序列是需要交换3次的序列
B．
C．
D．
【答案】B,C,D
【知识点】等差数列的前n项和；数列的通项公式
【解析】【解答】解：A、序列，比较，无需交换位置，比较，需要交换1次位置，得到新序列，比较，无需交换位置，最后比较，需要交换1次位置，得到新序列，完成冒泡排序，共需要交换2次，故A错误；
B、不妨设序列的n个元素为，交换次数最多的序列为，
将元素n冒泡到最右侧，需交换次次，
将元素n-1冒泡到最右侧，需交换次次，
，
故共需要，
即最大交换次数，故B正确；
C、只要交换1次的序列是将中的任意相邻两个数字调换位置的序列，故有个这样的序列，即，故C正确；
D、当n个元素的序列顺序确定后，将元素n+1添加进原序列，
使得新序列（共n+1个元素）交换次数也是2，
则元素n+1在新序列的位置只能是最后三个位置，
若元素n+1在新序列的最后一个位置，
则不会增加交换次数，故原序列交换次数为2（这样的序列有个），
若元素n+1在新序列的倒数第二个位置，则会增加1次交换，
故原序列交换次数为1（这样的序列有个），
若元素n+1在新序列的倒数第三个位置，
则会增加2次交换，故原序列交换次数为0（这样的序列有1个），
因此，，
所以，显然，
所以，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据题意，不妨设序列的n个元素为，由题意即可判断A；再根据等差数列前项和公式即可判断B；得出只要交换1次的序列的特征即可判断C；利用累加法求出通项公式即可判断D.
12．（2024高三上·临湘月考）已知函数及其导函数的定义域均为，且为非常数函数，，为奇函数，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解：因为为奇函数，所以，
即，即，
所以的图象关于点中心对称，且，故A正确；
由，两边求导，得，即.
由的图象关于点中心对称，得，
因此，故B正确；
因为为函数的导函数且，
即，
所以，即，
所以的图象关于直线对称，
所以，
又因为，
所以，
所以的图象关于点中心对称，
则，
，
所以是周期函数，4为它的一个周期，
所以，故错误；
由，得.又，
所以3，
所以，
所以，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由奇函数的性质得出函数的图象关于点中心对称且，则判断选项A；对求导，再判断出函数的对称性，则判断选项B；由函数的图象的对称性得出函数的周期，则判断选项C；利用已知条件和函数的周期性求值，则判断选项D，进而找出结论正确的选项．
13．（2024高三上·临湘月考）已知复数满足，则 .
【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：由题意：，
所以.
故答案为：.
【分析】先根据复数的除法运算法则求出复数，再根据复数求模的公式，从而求出的值.
14．（2024高三上·临湘月考）已知椭圆：，过左焦点作直线与圆：相切于点，与椭圆在第一象限的交点为，且，则椭圆离心率为 .
【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设椭圆右焦点为，连接，如下图所示：
由圆：可知圆心，半径，
显然，且，
因此可得，所以，
可得，
即可得，又易知，
由余弦定理可得：，
解得，
再由椭圆定义可得，即，
因此离心率.
故答案为：.
【分析】由题意，利用直线与圆相切的位置关系判断方法，从而可得，再由余弦定理计算得出，则利用椭圆定义可得出椭圆的离心率.
15．（2024高三上·临湘月考）在中，，则的最大值为 .
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；两角和与差的正切公式；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：因为，
可得，
所以，
可得，
由正弦定理得，
又因为，
所以，
所以，则，
因为为三角形的内角，所以，
由，
又因为，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以.
故答案为：.
【分析】根据题意，利用向量的数量积的运算法则、两角和的正弦公式以及正弦定理和三角形的内角和定理，化简得到，从而得到，再由两角差的正切公式得到，再结合基本不等式求最值的方法，从而得出的最大值.
16．（2024高三上·临湘月考）英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象.如图是一个高尔顿钉板的设计图，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗钉子恰好位于下一层两颗打子的正中间，小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落.数学课堂上，老师向学生们介绍了高尔顿钉板放学后，爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔顿钉板”，它使小球在从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时，向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.当有大量的小球依次滚下时，最终都落入钉板下面的5个不同位置.若一个小球从正上方落下，经过5层钉板最终落到4号位置的概率是 .
【答案】
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：因为向左下落的概率为向右下落的概率的2倍，
所以向左下落的概率为，向右下落的概率为，
则下落的过程中向左一次，向右三次才能最终落到4号位置，
此时概率为：.
故答案为：.
【分析】利用向左下落的概率为向右下落的概率的2倍得出向左下落的概率为，向右下落的概率为，再由二项分布的性质，计算出若一个小球从正上方落下，经过5层钉板最终落到4号位置的概率.
17．（2024高三上·临湘月考）记内角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求；
（2）若为等腰三角形且腰长为2，求的底边长.
【答案】（1）解：，由正弦定理得：，
，
∵，
，
∵，
.
（2）解：当为顶角，
则底边，
；
当为底角，则该三角形内角分别为，，，
则底边AC为，
故的底边长为或.
【知识点】解三角形；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）根据正弦定理边化角的方法得出角B的余弦值，再根据三角形中角B的取值范围，从而得出角B的值.
（2）分别讨论当为顶角和为底角时的底边长，从而得出的底边长.
（1），由正弦定理得：
，∵
，
∵，
（2）当为顶角，则底边，
，
当为底角，则该三角形内角分别为，，，则底边为
故的底边长为或.
18．（2024高三上·临湘月考）已知函数的导函数为，且．
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）若对于任意的恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：求导得，
令，则，
，即直线：．
（2）解：方法一，，
①当时，左边右边，不等式显然成立；
②当时，，
令
，
当时，
在上单调递减，
③当时，，
令，当时，单调递减；
当时，单调递增，
，
综上所述：的取值范围为．
法二，令，，
令，
所以恒成立，在上递增.
①若，即对，
在单调递减，，
与矛盾，无解，舍去；
②若，即，
在上单调递增，
，
故；
③若，即当时，
，使得，即，
，
即，
，
，故，
综上所述，．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求导得出导函数，利用赋值法求得，从而求得函数的解析式，结合导数的几何意义得出切线的斜率，再利用代入法和点斜式得出函数在点处的切线方程.
（2）法一：分，，三种情况分离变量，再结合函数的单调性求得函数的最大值，进而求得实数的取值范围.
法二：令，利用二次求导判断恒成立应满足的条件，进而求得实数的取值范围.
（1）求导得，
令，则，
，即：．
（2）方法一，，
①当时，左边右边，不等式显然成立．
②当时，
令
当时，在上单调递减
③当时，
令，当时，单调递减；
当时，单调递增．
综上：的取值范围为．
法二，令，，
令，所以恒成立，在上递增．
①若，即对
在单调递减，，
与矛盾，无解，舍去．
②若，即，
在上递增
.
故．
③若即：时，
使得，，即：
即：
，故
综上．
19．（2024高三上·临湘月考）设数列的前n项和为，已知，（）．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若数列满足：，．
① 求数列的通项公式；
② 是否存在正整数n，使得成立？若存在，求出所有n的值；若不存在，请说明理由．
【答案】证明：（1）由，得（），
两式相减，得，即（），
因为，由，得，所以，
所以对任意都成立，
所以数列为首项为1，公比为2等比数列．
解：① 由（1）知，，
由，得，
即，即，
因为，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，
所以．
② 设，
则，
所以，
两式相减得 ，
所以．
由，得，即，
显然当时，上式成立，
设（），即，
因为，
所以数列单调递减，所以只有唯一解，
所以存在唯一正整数，使得成立．
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）由题中的递推关系式得到（），再结合等比数列的定义证出数列为等比数列．
（2）① 由（1）知，，化简得，则数列是首项为1，公差为1的等差数列，再结合等差数列的通项公式得出数列的通项公式．
②利用错位相减法求得，从而得到，显然当 时，上式成立，设，由判断出数列单调递减，进而得到存在唯一正整数，使得成立．
20．（2024高三上·临湘月考）维向量是平面向量和空间向量的推广，对维向量，记，设集合.
（1）求，；
（2）（i）求中元素的个数；
（ii）记，求使得成立的最大正整数.
【答案】（1）解：，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，，
；
，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，，
.
（2）解：（i）设中元素的个数为，
，，
为偶数时，，且，
，
中的元素个数为.
（ii）①当时，
；
②当时，
；
③当时，
；
；
要使得成立，
其必要条件是当时，，
令，则，
数列为递增数列，又，，
的解为；
当时，，
即充分性成立；
使得成立的最大正整数.
【知识点】元素与集合的关系；集合的表示方法；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】（1）利用已知条件列举出所有可能的情况，再根据可求得，的值.
（2）（i）设中元素的个数为，根据定义可得递推关系式，再结合等比数列求和公式，即可推导求得，从而得出中元素的个数.
（ii）首先确定的必要条件为当时，，由此可得；再验证当时充分性成立，从而得到使得成立的最大正整数的值.
（1），
当时，；当时，；当时，；当时，，
；
，
当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，
.
（2）（i）设中元素的个数为，
，，
为偶数时，，且，
，
中的元素个数为.
（ii）①当时，
；
②当时，
；
③当时，
；
；
要使得成立，其必要条件是当时，，
令，则，
数列为递增数列，又，，
的解为；
当时，，
即充分性成立；
使得成立的最大正整数.
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