广东省深圳市盐田高级中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学模拟卷（1）
1．（2024高二上·盐田期末）已知三个向量共面，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二上·盐田期末）已知数列为等比数列，其中 为方程的两根，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二上·盐田期末）已知椭圆的焦距为8，且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为10，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． 或
C． D． 或
4．（2024高二上·盐田期末）函数的导数为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024高二上·盐田期末）一条光线从点射出，经反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
6．（2024高二上·盐田期末）如图，二面角的大小为，点A，B分别在半平面，内，于点C，于点D．若，，．则（ ）
A． B．6 C． D．
7．（2024高二上·盐田期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，M，N是上的两点，满足，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二上·盐田期末）已知为等差数列的前n项和，为其公差，且，给出以下命题：①；②；③使得取得最大值时的n为8；④满足成立的最大n值为17.其中正确命题的序号为（ ）
A．①③ B．①③④ C．①②③ D．①②④
9．（2024高二上·盐田期末）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2024高二上·盐田期末）函数，若存在，使有解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．（2024高二上·盐田期末）点P是棱长为1的正方体的表面上一个动点，则下列结论中正确的（ ）
A．当P在平面上运动时，四棱锥的体积变大．
B．当P在线段上运动时，与所成角的取值范围是
C．若F是的中点，当P在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是
D．使直线与平面所成的角为的点P的轨迹长度为
12．（2024高二上·盐田期末）已知点在圆上，点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与圆相离
B．当最大时，
C．点到直线的距离最大值为
D．点到直线的距离最小值为
13．（2024高二上·盐田期末）已知抛物线：的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的焦点坐标是
B．
C．若，则
D．若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径
14．（2024高二上·盐田期末）已知函数，则（ ）
A． B．是的一个极值点
C．在上的平均变化率为1 D．在处的瞬时变化率为2
15．（2024高二上·盐田期末）已知点，点，则点到直线的距离为 ．
16．（2024高二上·盐田期末）圆与圆的公共弦长为 ．
17．（2024高二上·盐田期末）已知是椭圆的左 右焦点，过原点的直线与交于两点，当时，四边形面积为60，且的周长为30，则的离心率大小为 ．
18．（2024高二上·盐田期末）已知数列是等比数列，且，，，成等差数列.若，且对任意恒成立，则实数的取值范围是 .
19．（2024高二上·盐田期末）已知、，动点满足，设动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的标准方程；
（2）求过点且与曲线相切的直线的方程.
20．（2024高二上·盐田期末）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，底面为等边三角形，平面平面，点满足，点为棱上的动点（含端点）．
（1）当与重合时，证明：平面平面；
（2）是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
21．（2024高二上·盐田期末）椭圆的左、右焦点分别为，过作直线交E于两点．过作垂直于直线的直线交E于两点．直线与相交于点P．
（1）若直线的斜率为1，求直线的方程．
（2）求点P的轨迹方程．
（3）求四边形面积的取值范围．
22．（2024高二上·盐田期末）已知数列为正项数列，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
23．（2024高二上·盐田期末）已知函数．
（1）当时，求的最大值；
（2）若有且只有1个极小值点，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】解：因为向量共面，所以存在实数对使得，
则，解得.
故答案为：C.
【分析】根据向量共面列关系式求解即可.
2．【答案】B
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为为方程的两根，所以，，
易知，
由等比数列性质可知：，解得，
设等比数列的公比为，则，故.
故答案为：B.
【分析】利用韦达定理判断以及的正负，再结合等比数列性质求即可.
3．【答案】B
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程
【解析】【解答】解：易知，，即，，，
故椭圆的标准方程为 或.
故答案为：B.
【分析】根据椭圆的定义结合之间的关系求解即可.
4．【答案】B
【知识点】导数的四则运算；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：，
．
故答案为：B.
【分析】利用导数的运算法则以及复合函数求导法则求解即可.
5．【答案】B
【知识点】与直线关于点、直线对称的直线方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意，设点关于直线的对称点为，
则，解得，即，
设直线方程为：，即，
易知圆心，半径，则圆心到切线的距离等于半径，即，
整理得，解得或.
故答案为：B.
【分析】由题意，先求得点关于直线的对称点，再设切线方程，由圆心到切线的距离等于半径求解即可.
6．【答案】C
【知识点】向量的模；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：已知，，
，，，
因为，所以，
则，解得，则．
故答案为：C.
【分析】由题意，根据向量的线性运算以及向量的数量积运算求解即可.
7．【答案】A
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：延长与交于点，如图所示：
因为，所以，根据对称性可知，
设，则，可得，即，
所以，则，
即，可知，
在中，由勾股定理得，即，
解得.
故答案为：A.
【分析】由题意，利用双曲线焦点三角形的性质，推出，再利用勾股定理求出的关系，求双曲线的离心率即可.
8．【答案】A
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质；数列与函数的综合
【解析】【解答】解：由为等差数列的前n项和，为其公差，且，可得存在最大值，则，故①③正确；
由，可得，则，故②错误；
由，可知，
则满足成立的最大n值为15，故④错误.
故答案为：A.
【分析】由题意以及等差数列前n项和的函数性质即可判断①③；应用等差数列前n项和公式可得，并结合即可判断②④.
9．【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：构造函数，
满足，
则是偶函数，
因为，当时，恒成立，
所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
又因为，且，即，
所以，则，故B正确；
当时，，故A和D错误；
当时，，故C错误.
故答案为：B.
【分析】由题意，构造函数，利用函数的奇偶性及导数与函数单调性间的关系，可得在区间上单调递减，在区间上单调递增，结合条件可得据此求解即可.
10．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：若存在，使得有解，分离参数即，
设，，求导可得，
令，解得，
则当时，，单调递增；
当时，，单调递减，且．
故的取值范围为．
故答案为：A.
【分析】由题意可得，构造函数，求导利用导数判断函数的单调性求最值，即可得的取值范围.
11．【答案】B,C
【知识点】异面直线所成的角；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与平面的位置关系；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、 当P在平面上运动时 ，底面正方形的面积不变，P到平面的距离为正方体棱长，故四棱锥的体积不变，故A错误；
B、与所成角即与所成，为等边三角形，
当P在端点A，时，所成角最小，为，当P在中点时，所成角最大为，故B正确；
C、以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
设，则
设平面的一个法向量为，则，
取，可得，即，
因为平面，所以，可得，
所以，
当时等号成立，故C正确；
D、因为直线与平面所成的角为，若点在平面和平面内，
因为最大，不成立；
在平面内，点的轨迹是；
在平面内，点的轨迹是；
在平面时，作平面，如图所示：
因为，所以，
又因为，所以，所以，
所以点的轨迹是以点为圆心，以1为半径的四分之一圆，
故的轨迹长度为，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】 当P在平面上运动时， 考虑底面积和高均未变，所以体积不变即可判断A；找到异面直线所成角即可判断B；建系，利用距离公式求解即可判断C；找到的轨迹，计算即可即可判断D.
12．【答案】B,C
【知识点】直线的点斜式方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：易知直线，即，
圆的圆心为，半径为，
则圆心到的距离为，即直线与圆相交，故A错误；
要使最大，只需与圆相切，则，故B正确；
由A分析知，点到直线的距离，最大值为，最小值为，故C正确，D错误.
故答案为：BC.
【分析】由题意，写出直线方程，根据圆心到该直线距离判定直线与圆位置，数形结合判断最大时的位置，逐项判断即可.
13．【答案】A,B,D
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：对于选项A，
因为抛物线：的焦点到准线的距离是4，
所以，，故A正确；
对于选项B，当直线的斜率不存在时，，所以，
当直线的斜率存在时，设直线，
得，所以，故B正确；
对于选项C，因为，故C错误.
对于选项D，如图所示：
过分别向准线作垂线，垂足为，
因为，
所以，
即：以为直径的圆与的准线相切，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据题意结合 焦点到准线的距离是4得到的值，从而得出抛物线C的焦点坐标，则判断出选项A；分别对直线斜率存在和不存在进行讨论，再联立直线与抛物线方程结合韦达定理，即可判断选项B；根据焦点弦的公式，即可判断选项C；首先过分别向准线作垂线，垂足为，再结合抛物线的定义，即可判断选项D，从而找出说法正确的选项.
14．【答案】B,D
【知识点】简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的极值；平均变化率；瞬时变化率
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、因为，当时，，
且时，，时，，故为极大值点，故B正确；
C、由在上的平均变化率为，故C错误；
D、因为，当时，，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】利用复合函数的求导法则计算即可判断A；根据极值点的概念即可判断B；根据平均变化率的算法即可判断C；根据瞬时变化率的算法即可判断D.
15．【答案】
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解： 由点，点， ，
可得，，
则点到直线的距离为：.
故答案为：.
【分析】利用点到直线距离的向量公式直接求解即可.
16．【答案】
【知识点】相交弦所在直线的方程
【解析】【解答】解：由圆 与圆 ，
两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为 ，
圆 的圆心 ，半径 ，
则圆心 到直线 的距离 ，
所以公共弦长为 .
故答案为： .
【分析】两圆方程相减求出公共弦所在直线的解析式，求出第一个圆心到直线的距离，再由第一个圆的半径，利用勾股定理及垂径定理即可求出公共弦长.
17．【答案】
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：易知点关于原点对称，且是的中点，
因为，所以四边形为矩形，且，，
于是，由的周长为30，
得，
则，解得，所以的离心率.
故答案为：.
【分析】由题意，结合椭圆的对称性可得四边形为矩形，利用勾股定理及椭圆定义建立关系求出，代入离心率公式求解即可.
18．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；等比数列的性质；数列与函数的综合；等差中项
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，由，，成等差数列，可得，
因为，所以，解得，所以，所以，
当为偶数时，由，得，
所以对任意的偶数成立，
因为单调递减，所以当时取最大值，故；
当为奇数时，由，得，
所以对任意的奇数成立，
因为单调递增，且当时，，故．
综上所述，．
故答案为：.
【分析】设等比数列的公比为，由题意，结合等差中项列方程，求得q，从而解得，进而得，再分是偶数或是奇数讨论，利用单调性求最值即可.
19．【答案】（1）设，则，，
由，得，
所以曲线的标准方程为.
（2）解：曲线是以为圆心，1为半径的圆，
过点的直线若斜率不存在，直线方程这，满足与圆相切；
过点的切线若斜率存在，设切线方程为，即，
有圆心到直线距离，解得，
则方程为.
过点且与曲线相切的直线的方程为或.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）设，根据，结合向量的坐标运算法则，列出方程，即可求得动点的轨迹方程；
（2）根据题意，设切线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径，求得的值，进而求切线方程.
（1）设，则，，
由，得，
所以曲线的标准方程为.
（2）曲线是以为圆心，1为半径的圆，
过点的直线若斜率不存在，直线方程这，满足与圆相切；
过点的切线若斜率存在，设切线方程为，即，
有圆心到直线距离，解得，
则方程为.
过点且与曲线相切的直线的方程为或.
20．【答案】（1）证明：如图，取中点，连接，
因为侧面为菱形，，
所以，
又因为平面平面，平面平面，
平面，
所以平面，
又因为为的中点，
所以四边形为平行四边形，所以，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面.
（2）解：连接，因为为等边三角形，则，
所以两两垂直，
则以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示：
令三棱柱的棱长为2，所以，
故，，
又因为，所以，
设，，则
即；
又因为，
设平面的法向量为，
则则，
取，则，
故平面的法向量可为，
又因为，设直线与平面所成角为，
由题可得，即
整理得：，解得，
故当时，直线与平面所成角的正弦值为．
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）取中点，连接，根据面面垂直的性质定理证出直线平面，从而证出，进而可得直线平面，再根据面面垂直的判定定理，即可证出平面平面.
（2）连接，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，令三棱柱的棱长为2，得出点的坐标，设，，结合平面向量基本定理得出向量的坐标，再根据两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，再由数量积求向量夹角公式和诱导公式得出直线与平面所成角的正弦值，则根据已知条件得出的值，进而得出满足要求的的值.
（1）如图，取中点，连接，
因为侧面为菱形，，
所以，
又因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
又因为为的中点，所以四边形为平行四边形，所以，
所以平面，又平面，所以平面平面；
（2）连接，因为为等边三角形，则，
所以两两垂直，则以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示：
令三棱柱的棱长为2，所以，
故，
，
又，所以，
设，，
则，
即；
又，
设平面的法向量为，
则则，取，则，
故平面的法向量可为，
又，设直线与平面所成角为，
由题可得，即，
整理得：，解得，
故当时，直线与平面所成角的正弦值为．
21．【答案】（1）解：由已知条件可知，，，
则，
所以，，
因为直线的斜率为1，
所以直线的斜率为，且直线过点，
所以直线的方程为，即.
（2）解：设，
依题意得出，，且，
又因为，，
所以，即，
故点的轨迹方程为.
（3）解：依题意，，
过作平行于的直线交于两点，由对称性可知，.
①当的斜率为0或斜率不存在时，
和是或，；
②当的斜率存在且不为0时，
设，，，
联立方程，得，
则，，，
故，
同理，
故，
令，，则，
其中，故，
综上所述，.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据两直线垂直的斜率关系，再利用直线过点，即可求出直线方程.
（2）根据，再结合数量积的坐标表示，从而求出点的轨迹方程.
（3）首先分直线的斜率为0或直线的斜率不存在，直线的斜率存在且不为0两种情况，利用对角线互斥垂直，从而根据对角线的长度表示出四边形的面积，再利用换元法，令，则，再根据二次函数的图象求值域的方法，进而得出四边形面积的取值范围．
（1）由条件可知，，，则，
所以，，
因为直线的斜率为1，所以直线的斜率为，且直线过点，
所以直线的方程为，即；
（2）设，依题意，，且，
，，
所以，即，
故点的轨迹方程为；
（3）依题意，，
过作平行于的直线交于两点，由对称性可知，，
①当的斜率为0或斜率不存在时，和是或，；
②当的斜率存在且不为0时，设，，，
联立方程，得，
，，，
故，
同理，
故，
令，，则，
其中，故，
综上，
22．【答案】（1）解：由题意得：且，
有，，，，
将以上各式相加，得，
将代入上式即得，且当时也成立，所以，
又因为数列为正项数列，所以；
（2）解：由（1）可得，令，其前项和为，
对任意的，，则，
又因为，所以.
【知识点】数列的求和；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）利用累加法结合可求得数列的通项公式；
（2）由（1）可得，利用并项求和法结合分组求和法求即可.
（1）解法一（构造常数列）：由，且，
可得，
故数列是恒为的常数列，所以，
又因为数列为正项数列，所以.
解法二（累加法）：由题意得：且，
有，，，，
将以上各式相加，得，
将代入上式即得，且当时也成立，所以，
又因为数列为正项数列，所以.
（2）由（1）可得，令，其前项和为，
对任意的，，则，
又因为，
所以.
23．【答案】（1）解：当时，定义域为，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在时取最大值，最大值为；
（2）解：，，则，
当时，，所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，所以无极小值点，不符合题意；
当时，，在，上，，单调递增；
在上，，单调递减，
所以当时，取得极小值，且只有一个，符合题意；
当时，，所以单调递增，不存在极小值点，不符合题意；
当时，，在，上，，单调递增；
在上，，单调递减，
此时当时，取得极小值，且只有一个，符合题意．
综上，的取值范围为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）将代入，先求定义域，再求导利用导数求得函数的单调性，并求函数的最大值即可；
（2）求出导数，分，，，讨论判断单调性求解即可.
（1）当时，，，
则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在时取最大值，最大值为．
（2），，
则，
当时，，所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以无极小值点，不符合题意；
当时，，在，上，，单调递增；
在上，，单调递减，
所以当时，取得极小值，且只有一个，符合题意；
当时，，所以单调递增，不存在极小值点，不符合题意；
当时，，在，上，，单调递增；
在上，，单调递减，
此时当时，取得极小值，且只有一个，符合题意．
综上，的取值范围为．
1 / 1广东省深圳市盐田高级中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学模拟卷（1）
1．（2024高二上·盐田期末）已知三个向量共面，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】解：因为向量共面，所以存在实数对使得，
则，解得.
故答案为：C.
【分析】根据向量共面列关系式求解即可.
2．（2024高二上·盐田期末）已知数列为等比数列，其中 为方程的两根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为为方程的两根，所以，，
易知，
由等比数列性质可知：，解得，
设等比数列的公比为，则，故.
故答案为：B.
【分析】利用韦达定理判断以及的正负，再结合等比数列性质求即可.
3．（2024高二上·盐田期末）已知椭圆的焦距为8，且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为10，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． 或
C． D． 或
【答案】B
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程
【解析】【解答】解：易知，，即，，，
故椭圆的标准方程为 或.
故答案为：B.
【分析】根据椭圆的定义结合之间的关系求解即可.
4．（2024高二上·盐田期末）函数的导数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】导数的四则运算；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：，
．
故答案为：B.
【分析】利用导数的运算法则以及复合函数求导法则求解即可.
5．（2024高二上·盐田期末）一条光线从点射出，经反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】B
【知识点】与直线关于点、直线对称的直线方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意，设点关于直线的对称点为，
则，解得，即，
设直线方程为：，即，
易知圆心，半径，则圆心到切线的距离等于半径，即，
整理得，解得或.
故答案为：B.
【分析】由题意，先求得点关于直线的对称点，再设切线方程，由圆心到切线的距离等于半径求解即可.
6．（2024高二上·盐田期末）如图，二面角的大小为，点A，B分别在半平面，内，于点C，于点D．若，，．则（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】C
【知识点】向量的模；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：已知，，
，，，
因为，所以，
则，解得，则．
故答案为：C.
【分析】由题意，根据向量的线性运算以及向量的数量积运算求解即可.
7．（2024高二上·盐田期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，M，N是上的两点，满足，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：延长与交于点，如图所示：
因为，所以，根据对称性可知，
设，则，可得，即，
所以，则，
即，可知，
在中，由勾股定理得，即，
解得.
故答案为：A.
【分析】由题意，利用双曲线焦点三角形的性质，推出，再利用勾股定理求出的关系，求双曲线的离心率即可.
8．（2024高二上·盐田期末）已知为等差数列的前n项和，为其公差，且，给出以下命题：①；②；③使得取得最大值时的n为8；④满足成立的最大n值为17.其中正确命题的序号为（ ）
A．①③ B．①③④ C．①②③ D．①②④
【答案】A
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质；数列与函数的综合
【解析】【解答】解：由为等差数列的前n项和，为其公差，且，可得存在最大值，则，故①③正确；
由，可得，则，故②错误；
由，可知，
则满足成立的最大n值为15，故④错误.
故答案为：A.
【分析】由题意以及等差数列前n项和的函数性质即可判断①③；应用等差数列前n项和公式可得，并结合即可判断②④.
9．（2024高二上·盐田期末）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：构造函数，
满足，
则是偶函数，
因为，当时，恒成立，
所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
又因为，且，即，
所以，则，故B正确；
当时，，故A和D错误；
当时，，故C错误.
故答案为：B.
【分析】由题意，构造函数，利用函数的奇偶性及导数与函数单调性间的关系，可得在区间上单调递减，在区间上单调递增，结合条件可得据此求解即可.
10．（2024高二上·盐田期末）函数，若存在，使有解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：若存在，使得有解，分离参数即，
设，，求导可得，
令，解得，
则当时，，单调递增；
当时，，单调递减，且．
故的取值范围为．
故答案为：A.
【分析】由题意可得，构造函数，求导利用导数判断函数的单调性求最值，即可得的取值范围.
11．（2024高二上·盐田期末）点P是棱长为1的正方体的表面上一个动点，则下列结论中正确的（ ）
A．当P在平面上运动时，四棱锥的体积变大．
B．当P在线段上运动时，与所成角的取值范围是
C．若F是的中点，当P在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是
D．使直线与平面所成的角为的点P的轨迹长度为
【答案】B,C
【知识点】异面直线所成的角；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与平面的位置关系；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、 当P在平面上运动时 ，底面正方形的面积不变，P到平面的距离为正方体棱长，故四棱锥的体积不变，故A错误；
B、与所成角即与所成，为等边三角形，
当P在端点A，时，所成角最小，为，当P在中点时，所成角最大为，故B正确；
C、以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
设，则
设平面的一个法向量为，则，
取，可得，即，
因为平面，所以，可得，
所以，
当时等号成立，故C正确；
D、因为直线与平面所成的角为，若点在平面和平面内，
因为最大，不成立；
在平面内，点的轨迹是；
在平面内，点的轨迹是；
在平面时，作平面，如图所示：
因为，所以，
又因为，所以，所以，
所以点的轨迹是以点为圆心，以1为半径的四分之一圆，
故的轨迹长度为，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】 当P在平面上运动时， 考虑底面积和高均未变，所以体积不变即可判断A；找到异面直线所成角即可判断B；建系，利用距离公式求解即可判断C；找到的轨迹，计算即可即可判断D.
12．（2024高二上·盐田期末）已知点在圆上，点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与圆相离
B．当最大时，
C．点到直线的距离最大值为
D．点到直线的距离最小值为
【答案】B,C
【知识点】直线的点斜式方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：易知直线，即，
圆的圆心为，半径为，
则圆心到的距离为，即直线与圆相交，故A错误；
要使最大，只需与圆相切，则，故B正确；
由A分析知，点到直线的距离，最大值为，最小值为，故C正确，D错误.
故答案为：BC.
【分析】由题意，写出直线方程，根据圆心到该直线距离判定直线与圆位置，数形结合判断最大时的位置，逐项判断即可.
13．（2024高二上·盐田期末）已知抛物线：的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的焦点坐标是
B．
C．若，则
D．若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径
【答案】A,B,D
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：对于选项A，
因为抛物线：的焦点到准线的距离是4，
所以，，故A正确；
对于选项B，当直线的斜率不存在时，，所以，
当直线的斜率存在时，设直线，
得，所以，故B正确；
对于选项C，因为，故C错误.
对于选项D，如图所示：
过分别向准线作垂线，垂足为，
因为，
所以，
即：以为直径的圆与的准线相切，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据题意结合 焦点到准线的距离是4得到的值，从而得出抛物线C的焦点坐标，则判断出选项A；分别对直线斜率存在和不存在进行讨论，再联立直线与抛物线方程结合韦达定理，即可判断选项B；根据焦点弦的公式，即可判断选项C；首先过分别向准线作垂线，垂足为，再结合抛物线的定义，即可判断选项D，从而找出说法正确的选项.
14．（2024高二上·盐田期末）已知函数，则（ ）
A． B．是的一个极值点
C．在上的平均变化率为1 D．在处的瞬时变化率为2
【答案】B,D
【知识点】简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的极值；平均变化率；瞬时变化率
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、因为，当时，，
且时，，时，，故为极大值点，故B正确；
C、由在上的平均变化率为，故C错误；
D、因为，当时，，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】利用复合函数的求导法则计算即可判断A；根据极值点的概念即可判断B；根据平均变化率的算法即可判断C；根据瞬时变化率的算法即可判断D.
15．（2024高二上·盐田期末）已知点，点，则点到直线的距离为 ．
【答案】
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解： 由点，点， ，
可得，，
则点到直线的距离为：.
故答案为：.
【分析】利用点到直线距离的向量公式直接求解即可.
16．（2024高二上·盐田期末）圆与圆的公共弦长为 ．
【答案】
【知识点】相交弦所在直线的方程
【解析】【解答】解：由圆 与圆 ，
两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为 ，
圆 的圆心 ，半径 ，
则圆心 到直线 的距离 ，
所以公共弦长为 .
故答案为： .
【分析】两圆方程相减求出公共弦所在直线的解析式，求出第一个圆心到直线的距离，再由第一个圆的半径，利用勾股定理及垂径定理即可求出公共弦长.
17．（2024高二上·盐田期末）已知是椭圆的左 右焦点，过原点的直线与交于两点，当时，四边形面积为60，且的周长为30，则的离心率大小为 ．
【答案】
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：易知点关于原点对称，且是的中点，
因为，所以四边形为矩形，且，，
于是，由的周长为30，
得，
则，解得，所以的离心率.
故答案为：.
【分析】由题意，结合椭圆的对称性可得四边形为矩形，利用勾股定理及椭圆定义建立关系求出，代入离心率公式求解即可.
18．（2024高二上·盐田期末）已知数列是等比数列，且，，，成等差数列.若，且对任意恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；等比数列的性质；数列与函数的综合；等差中项
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，由，，成等差数列，可得，
因为，所以，解得，所以，所以，
当为偶数时，由，得，
所以对任意的偶数成立，
因为单调递减，所以当时取最大值，故；
当为奇数时，由，得，
所以对任意的奇数成立，
因为单调递增，且当时，，故．
综上所述，．
故答案为：.
【分析】设等比数列的公比为，由题意，结合等差中项列方程，求得q，从而解得，进而得，再分是偶数或是奇数讨论，利用单调性求最值即可.
19．（2024高二上·盐田期末）已知、，动点满足，设动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的标准方程；
（2）求过点且与曲线相切的直线的方程.
【答案】（1）设，则，，
由，得，
所以曲线的标准方程为.
（2）解：曲线是以为圆心，1为半径的圆，
过点的直线若斜率不存在，直线方程这，满足与圆相切；
过点的切线若斜率存在，设切线方程为，即，
有圆心到直线距离，解得，
则方程为.
过点且与曲线相切的直线的方程为或.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）设，根据，结合向量的坐标运算法则，列出方程，即可求得动点的轨迹方程；
（2）根据题意，设切线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径，求得的值，进而求切线方程.
（1）设，则，，
由，得，
所以曲线的标准方程为.
（2）曲线是以为圆心，1为半径的圆，
过点的直线若斜率不存在，直线方程这，满足与圆相切；
过点的切线若斜率存在，设切线方程为，即，
有圆心到直线距离，解得，
则方程为.
过点且与曲线相切的直线的方程为或.
20．（2024高二上·盐田期末）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，底面为等边三角形，平面平面，点满足，点为棱上的动点（含端点）．
（1）当与重合时，证明：平面平面；
（2）是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：如图，取中点，连接，
因为侧面为菱形，，
所以，
又因为平面平面，平面平面，
平面，
所以平面，
又因为为的中点，
所以四边形为平行四边形，所以，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面.
（2）解：连接，因为为等边三角形，则，
所以两两垂直，
则以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示：
令三棱柱的棱长为2，所以，
故，，
又因为，所以，
设，，则
即；
又因为，
设平面的法向量为，
则则，
取，则，
故平面的法向量可为，
又因为，设直线与平面所成角为，
由题可得，即
整理得：，解得，
故当时，直线与平面所成角的正弦值为．
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）取中点，连接，根据面面垂直的性质定理证出直线平面，从而证出，进而可得直线平面，再根据面面垂直的判定定理，即可证出平面平面.
（2）连接，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，令三棱柱的棱长为2，得出点的坐标，设，，结合平面向量基本定理得出向量的坐标，再根据两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，再由数量积求向量夹角公式和诱导公式得出直线与平面所成角的正弦值，则根据已知条件得出的值，进而得出满足要求的的值.
（1）如图，取中点，连接，
因为侧面为菱形，，
所以，
又因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
又因为为的中点，所以四边形为平行四边形，所以，
所以平面，又平面，所以平面平面；
（2）连接，因为为等边三角形，则，
所以两两垂直，则以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示：
令三棱柱的棱长为2，所以，
故，
，
又，所以，
设，，
则，
即；
又，
设平面的法向量为，
则则，取，则，
故平面的法向量可为，
又，设直线与平面所成角为，
由题可得，即，
整理得：，解得，
故当时，直线与平面所成角的正弦值为．
21．（2024高二上·盐田期末）椭圆的左、右焦点分别为，过作直线交E于两点．过作垂直于直线的直线交E于两点．直线与相交于点P．
（1）若直线的斜率为1，求直线的方程．
（2）求点P的轨迹方程．
（3）求四边形面积的取值范围．
【答案】（1）解：由已知条件可知，，，
则，
所以，，
因为直线的斜率为1，
所以直线的斜率为，且直线过点，
所以直线的方程为，即.
（2）解：设，
依题意得出，，且，
又因为，，
所以，即，
故点的轨迹方程为.
（3）解：依题意，，
过作平行于的直线交于两点，由对称性可知，.
①当的斜率为0或斜率不存在时，
和是或，；
②当的斜率存在且不为0时，
设，，，
联立方程，得，
则，，，
故，
同理，
故，
令，，则，
其中，故，
综上所述，.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据两直线垂直的斜率关系，再利用直线过点，即可求出直线方程.
（2）根据，再结合数量积的坐标表示，从而求出点的轨迹方程.
（3）首先分直线的斜率为0或直线的斜率不存在，直线的斜率存在且不为0两种情况，利用对角线互斥垂直，从而根据对角线的长度表示出四边形的面积，再利用换元法，令，则，再根据二次函数的图象求值域的方法，进而得出四边形面积的取值范围．
（1）由条件可知，，，则，
所以，，
因为直线的斜率为1，所以直线的斜率为，且直线过点，
所以直线的方程为，即；
（2）设，依题意，，且，
，，
所以，即，
故点的轨迹方程为；
（3）依题意，，
过作平行于的直线交于两点，由对称性可知，，
①当的斜率为0或斜率不存在时，和是或，；
②当的斜率存在且不为0时，设，，，
联立方程，得，
，，，
故，
同理，
故，
令，，则，
其中，故，
综上，
22．（2024高二上·盐田期末）已知数列为正项数列，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
【答案】（1）解：由题意得：且，
有，，，，
将以上各式相加，得，
将代入上式即得，且当时也成立，所以，
又因为数列为正项数列，所以；
（2）解：由（1）可得，令，其前项和为，
对任意的，，则，
又因为，所以.
【知识点】数列的求和；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）利用累加法结合可求得数列的通项公式；
（2）由（1）可得，利用并项求和法结合分组求和法求即可.
（1）解法一（构造常数列）：由，且，
可得，
故数列是恒为的常数列，所以，
又因为数列为正项数列，所以.
解法二（累加法）：由题意得：且，
有，，，，
将以上各式相加，得，
将代入上式即得，且当时也成立，所以，
又因为数列为正项数列，所以.
（2）由（1）可得，令，其前项和为，
对任意的，，则，
又因为，
所以.
23．（2024高二上·盐田期末）已知函数．
（1）当时，求的最大值；
（2）若有且只有1个极小值点，求的取值范围．
【答案】（1）解：当时，定义域为，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在时取最大值，最大值为；
（2）解：，，则，
当时，，所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，所以无极小值点，不符合题意；
当时，，在，上，，单调递增；
在上，，单调递减，
所以当时，取得极小值，且只有一个，符合题意；
当时，，所以单调递增，不存在极小值点，不符合题意；
当时，，在，上，，单调递增；
在上，，单调递减，
此时当时，取得极小值，且只有一个，符合题意．
综上，的取值范围为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）将代入，先求定义域，再求导利用导数求得函数的单调性，并求函数的最大值即可；
（2）求出导数，分，，，讨论判断单调性求解即可.
（1）当时，，，
则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在时取最大值，最大值为．
（2），，
则，
当时，，所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以无极小值点，不符合题意；
当时，，在，上，，单调递增；
在上，，单调递减，
所以当时，取得极小值，且只有一个，符合题意；
当时，，所以单调递增，不存在极小值点，不符合题意；
当时，，在，上，，单调递增；
在上，，单调递减，
此时当时，取得极小值，且只有一个，符合题意．
综上，的取值范围为．
1 / 1
