专题14
R规作图
专题14尺规作图
【学习要点】
作：·条线段等丁已知线段作法：
州点尺m射线：，州圆规正射线下.俄收B-a.
B C
作法：
作个角等于已知布
(1)以点()为圆心、任意长为半你瓶.分州交A,(B于
B
点，D:
D
(2)画一条射线OA',以)为圆.心、0长为半径画弧.
交AJ点C":
(3)以点（为网心、(D长为半径i弧.与j第2步中所的
D'
相交于点D:
（4)过.点)画射线B.则∠AOB=∠)B.
作法：
作角平分线
(1)以点()为圆心：、适当长为半称山弧.分别交于点过.
交OB于点：
(2)分别以点M,为圆心，大J与的长为水径画弧，两
作
弧在∠AO的内部相交丁点(；
图
(3》H时线O,线脚为所求
过·点作已知白线的线
作法：
〔1)过有线上.一点作已片线的华线，作法问“作Ψ角的
布半分线”.
、I)
〔2)过克线外一点作心知直线的垂线，作法下：
①任意取一点，使点K和点C在AB的两方：
F
2:以点(：为同心、(K长为半径州弧，交4B丁点D和E;
③分别以，点D和E为同心，人丁DE的长为半径作[、
两呱相交于点上；
作立线(F,直线("℉即为听求
作线段的乖垂白平分线
c
作法：
(1)分别以点A利和点B为圆心、人于AB的长为半径作城，
两弧相交于(.L)两.点
D
(2;作直线D),直线CD即为听求
【学习领航】
例1如图，在△ABC中，AB>AC.尺规作图：作∠BAC的角平分线，在角平分线上确定点
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专题14
尺规作图
D,使得DB=DC.(不写作法，保留痕迹)
B
考点追踪：本题主要考查角平分线以及垂直平分线的作法，
试题精析：作∠BAC的角平分线和线段BC的垂直平分线相交于点D,即为所求.
解题逻辑：
∠B1C的布火分线
两线交，点即为点D
DB=1:
(的垂直平分线
例2如图，已知线段AC和线段a.
(1)用直尺和圆规按下列要求作图.（请保留作图痕迹，并标明相应的字母，不写作法）
①作线段AC的垂直平分线1，交线段AC于点O:
②以线段AC为对角线，作矩形ABCD,使得AB=a,并且点B在线段AC的上方.
(2)当AC=4,a=2时，求(1)中所作矩形ABCD的面积.
a
考点追踪：本题考查作图一复杂作图、线段垂直平分线的性质、矩形的判定与性质、勾股定
理，熟练掌握线段垂直平分线的作图方法以及矩形的判定与性质是解答本题的关键.
试题精析：(1)①按照线段垂直平分线的作图步骤作图即可.
②以，点O为圆心、OA的长为半径画弧，再以点A为圆心、线段α的长为半径画弧，两孤在
线段AC上方交于点B.同理，以点O为圆心、OC的长为半径画孤，再以点C为圆心、线段a的
长为半径画孤，两弧在线段AC下方交于点D.连接AD,CD,AB,BC,即可得矩形ABCD.
(2)利用勾股定理求出BC,再利用矩形的面积公式求解即可.
解题逻辑：(1)作AC的垂直平分线即可，
(2)
01=(0B
以.点)为圆心、（的
长为半径而弧
两孤在线段C
以，点A为同心，线段
上方父丁点B
矩形ABCD
才B=&
的长为半径而弧
以，点(0为岗心、（的
两弧在线段1C
0r-0D
长为半径而狐
下方交十点D
连接AD,(,AB,B:
即可得炔形A)
93<号
..AD:=AP2-PD2=PE2+AE2-PF2-DF2=82-
52=39,
DF的最小值为
∴.AD=√39.
3.解：(1)如图1.
(4)如图4，将△BDC沿BC对折，D的对应点为D1,将
△AEC沿AC对折，E的对应点为E1,连接DE1.
..CD=CD.CE=CEL
图1
:正方形ABCD,EFGH及圆为正方形ABCD的内切
圆，为正方形EFGH的外接正方形，
.AE=DE=DH=CH=CG=BG=AF=BF=m.
∠A=90°，
,∴.AB=AD=21,EF=√2m,
图4
∴.S正方形D=4m2,S正方形cH=(W2m)2=2m2.
再将△ABE1沿AC方向平移，使A与D1重合，如图5，
.大正方形面积是小正方形面积的2倍，
得△B:D1E2,连接E1E2,BE2.
故答案为：2.
(2)如图2.
B
)
图2
图5
.EG⊥FH,
..a2=OF2+0E2.c2=0G2+0H2,d:=OE2+0H2,
由(2)可得：AE+BD=D1E2十BD1.
b2=0F2+OG,
∴当E2,D,B三点共线时，AE十BD=DE2十BD
,.a2十c2=b2十d2.
最短
结合图形变换可得：PA2+PC2=PB2+PD2.
.AC十CD=5,BC+CE=8,
(3)如图3，，将△PDC绕点P逆时针旋转，
.E1E2=5,BE1=8
∴点D在以点P为圆心、PD为半径的圆上运动.
∴BE2=√BE+E1E=√82+5=√89.
AE十BD的最小值为、89.
专题14
尺规作图
学习领航]
例1解：如图，AD即为所求.
图3
A为圆外一个定点，
.当AD与⊙P相切时，∠DAP最大
.PD⊥AD,
∴.AD=AP2-PD2
由(2)可得：AE=DF
PE=8,PF=5,
例2解：(1)①如图1，直线1即为所求.
27
(2)如图，点B,M即为所求
(3)由作图可知OA=OC=OB,
∴∠ACB=90°.
咖AG-
图1
.可以假设BC=3k,AB=5k,则AC=4k.
,BM平分∠CBQ,MC⊥CB,MH⊥BQ,
②如图2，矩形ABCD即为所求
∴.∠MBC=∠MBH,∠MCB=∠BHM=90.
.'BM=BM.
,∴.△MBC≌△MBH(AAS),
∴.BC=BH=3k,
∴.AH=AB+BH=8k.
图2
“aA限
(2):四边形ABCD为矩形，
,∴.AM=10k,MH=MC=6k,
∴.∠ABC=90.
∴.12=6k.
.a=2,
.k=2,
,.AB=CD=2,
∴.BH=6,MH=12,
∴.BC=AD=√AC2-AB2=2√3，
∴.BM=√BH+MH=65.
∴，矩形ABCD的面积为AB·BC=2X2√3=43.
例5解：(1)如图，先作∠ABC的平分线交AC于点D,再
例3解：(1)如图，点D即为所求.
过D点作AC的垂线交AB于O点，然后以O点为圆
心、OB为半径作⊙O,则⊙O为所作
(2)如图，过点A作AH⊥BC于点H,
在Rt△ABH中，AB=2,∠B=60°，
(2)⊙O交BC于E点，交AB于F点，连接OE
,∴.BH=AB·cos60°=1，AH=AB·sin60°=√3，
如图.
设⊙O的半径为r,则OB=r.
,∴.CH=BC-BH=2.
:∠DAC=∠ACB,
:AC为⊙O的切线，
∴.OD⊥AC,OD=r
.AD∥BC
AH⊥CB,CD⊥AD
∠C=90°，∠ABC=60,
∴∠A=30°，
..∠AHC=∠ADC=∠DCH=90°，
∴.OA=2r.
,.四边形AHCD是矩形，
.AB=4,
,∴.AD=CH=2.
.2r+r=4,
∴s8m-2x2+3X5-昌5.
1
解得一专
放答案为：昌5
OB=OE,∠OBE=60°，
∴.△OBE为等边三角形，
例4解：(1)如图点O即为所求
∴.∠BOE=60°，
.∠E0F=120,
∴.⊙O与△ABC重叠部分的面积=S嘲形mF十S△OE
1x×传-+
360
4
28
