在R△ABO中，n∠ABO-沿-5.得∠AB0=60.
,,矩形EF'G'H'和菱形ABCD重叠部分为等边三角
冷
在R△BME中，由EM=EB Xtan60,EB=1-之
1
形，该等边三角形的边长为2Xan60=之
名得B1-号
此时面积5最小是小值为号×名×气-停
S6e=2 EBXEM--月
3
·同理，得S△NH=8
等上所达当 <时亮s反
11w3
:EE=t,得S矩形EHH=EE'XEH=1.
专题17数学思想方法
又S=SE形EHH-S△ME一S△BNH,
[学习领航]
S=1-3
例1解：：m2十n2=2十mn,
4
∴.(2m一3n)2+(m+2n)(m一2n)》
当EE-BM-受时，则矩形EFGH和支形ACD
=4m2+9n2一12+m2一4n2=5m3+5n2一12in
=5(nn+2)-12nn=10-7m
重叠部分为△BEH',
.m2+n2=2十n,
二1的取值范围是
(m+n)2=2+3mn≥0，∴mm≥-
3
@由①及题意可知当25≤1≤时，矩形EFGH
3、3
∴.(m一n)2=2-mn≥0，.mn2,
和菱形ABCD重叠部分的面积S是增大的：当3，
mm≤2，.-4≤10-7mm≤g)
2
3时，矩形EF'G'H'和菱形ABCD重叠部分的面积
即(2m-3m)P+(m十2m)(m-2n)的最大值为兰
4
∴，故选B.
S是减小的.
例2解：(1)图中点B表示的实际意义为当销量为60kg
二当1一33时.矩形EFGH和菱形ABCD重叠部分
时，甲、乙两种苹果的销售额均为1200元.
(2)设甲种苹果销售额y(单位：元)与销售量x(单位：
如图2，此时面积S最大，最大值为S=1×√5=√5.
kg)之间的函数表达式为y甲=kx(k≠0)，
把(60,1200)代入解析式得：1200=60k,解得k=20.
∴.甲种苹果销售额y与销售量x之间的函数表达式
r且
为y甲=20x(0x120).
当0≤x≤30时，设乙种苹果销售额y与销售量x之
间的函数表达式为y之='x('≠0).
图2
把(30,750)代人解析式得：750=30'，解得k'=25.
·yz=25x.
当=13
4
时，矩形E'F'GH和菱形ABCD重叠部分
当30x≤120时，设乙种苹果销售额y与销售量x
如图3.
之间的函数表达式为y乙=m.x十n(m≠0).
w
则
30m十n=750.
m=15,
解得：
G H NiP
60m十n=1200,
(n=300.
B
.yz=15x+300,
综上，乙种苹果销售额y与销售量x之间的函数表达
25x(0x30),
图3
式为yz
115.x+300(30x≤120).
由(1)可知B,D之间的水平距离为2√3，则有点D到
(3)①当0≤a≤30时，
GF的距离为后-(-25）-
根据题意得：(20一8)a+(25一12)a=1500,
解得：a=60>30,不合题意：
由①可知：∠D=∠B=60°，
②当3038专题17
数学思想方法
专题17数学思想方法
【学习要点】
数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本
策略.数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展
和应用的过程中，数学思想方法是数学的精髓，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思
想的习惯。
中考常用到的数学思想方法有：整体思想、分类讨论思想、化归思想、数形结合思想、函数
与方程思想等
【学习领航】
例1已知实数m,n满足m2+n2=2十mn,则(2m一3n)2+(m十2n)(m一2n)的最大值为
()
A.24
B
D.-4
考点追踪：此题主要考查了完全平方公式、整式的乘法，运用整体的思想方法将代数式灵活变
形是关键.
试题精析：将所求代数式化简成只含有mn的代数式，再将m2十n2=2十mn变形，运用完全平
方式是非负数的特，点求出n的取值范围，即可求出答案，
解题逻辑：
化简(2-3n)2+(+2n)〔-2n)
10-7mm
4签10-7ms44
z+r2=2+m2
(m+n) =2-3n0
〔2-n”=2-n≥0
代数式的成人荷是料
-专mn2
例2某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元.kg、12元/kg,这两种苹果的销售额
y(单位：元)与销售量x(单位：kg)之间的关系如图所示.
(1)写出图中点B表示的实际意义；
元
(2)分别求甲、乙两种苹果销售额y与销售量x之间的函数表
达式x的取值范围；
1200
(3)若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为akg
750-
时，它们的利润和为1500元，求a的值.
3060
120 x/kg
考点追踪：本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确
专题17
数学思想方法
函数图像所给信息，利用数形结合的思想解答，
试题精析：(1)根据图形即可得出结论；
(2)用待定系数法分别求出甲、乙两种苹果销售额y(单位：元)与销售量x(单位：kg)之间
的函数表达式即可；
(3)分0≤a≤30和30例3【阅读理解】如图1，在矩形ABCD中，若AB=a,BC=b,由勾股定理，得AC2=a2十
b2.同理BD2=a2+b2.故AC2+BD2=2(a2+b2).
【探究发现】如图2，四边形ABCD为平行四边形，若AB=a,BC=b,则上述结论是否依
然成立？请加以判断，并说明理由。
【拓展提升】如图3，已知BO为△ABC的一条中线，AB=a,BC=b,AC=c.求证：
B02=a2+b2c2
2
4
【尝试应用】如图4，在矩形ABCD中，若AB=8,BC=12,点P在边AD上，则PB2+
PC2的最小值为
图1
图2
图3
图4
考点追踪：四边形综合题，勾股定理、运算能力、运用转化与化归的数学思想将复杂问题转化为
简单问题，同时运用函数思想解决几何图形中的最值问题，
119