专题15
图形变化
专题15
图形变化
【学习要点】
钏对称性质
①对应点的连线被对称轴垂出平分；
②对应线段相等；
X对应线段或延长线的交点征刈称轴上：
①成轨村称的两个图形全等
图形的对称
厂成中心为的则个图形中，利应点的连：
中心对标件质
线经过对称中心，被刈称中心平分；
②城中对称的两个图形全等.
平移前后.对应线段平行（或在问一条古线上）且阳等，
图形的平移
性质
对成布柑等；
②对成点所连的线段Ψ行〔或在问条古线上)且柑等；
平移前的图形企等.
一对应点到诞转中心的中离旧等；
格形的旋转
性质
2刈应点与旋转中心连线斯成的角郴等丁旋转角；
3》旋转前后的图形全等。
【学习领航】
例1如图，矩形ABCD是一张A4纸，其中AD=√2AB,小天用该A4纸玩折纸游戏.
游戏1折出对角线BD,将点B翻折到BD上的点E处，折痕AF交BD于点G.展开后
得到图1，发现点F恰为BC的中点.
游戏2在游戏1的基础上，将点C翻折到BD上，折痕为BP;展开后将点B沿过点F
的直线翻折到BP上的点H处；再展开并连接GH后得到图2，发现∠AGH是一个特定
的角.
(1)请你证明游戏1中发现的结论；
(2)请你猜想游戏2中∠AGH的度数，并说明理由，
D
图1
图2
考点追踪：本题考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、锐角三角函数，熟练掌握以上知识是
100
专题15
图形变化
解题关键.
试题精析：(1)由折叠的性质可得AF⊥BD,根据题意可得∠BAG=∠ADB=∠GBF.再设
AB=a,然后表示出AD,BD,再由锐角三角函求出BF即可
(2)由折叠的性质可知∠GBH=∠FBH,BF=HF,从而可得出∠GBH=∠BHF,进而
得到BD∥HF,∠DGH=∠GHF.由(1)知AF⊥BD,可得AF⊥HF.在Rt△GFH中求出
∠GHF的正切值即可解答，
解题逻辑：
(1)
设AB=
折径
∠B1F=∠1DB
tan BAF-tan/ADB
a
点为
的中点
(2)
折叠
GBIE=/FBIL,
∠rBH=∠H3
∠GBH=∠FHB
BF=HK
BDHE
BC心3
设1B=u
。
F⊥Hh
AFLBD LDGII-LGIIF
la∠(GP=5
∠A(iH=1209
例2如图1，矩形ABCD中，AB=5,AD=3,将△ABC绕点A旋转到△AB'C'位置，设AC
交直线CD于点M.
(1)当点B'恰好落在DC边上时，求△AB'C'与矩形ABCD重叠部分的面积：
(2)如图2，当点C,B',C恰好在一直线上时，求DM的长度，
B
D
B
图1
图2
101[学习实践]
专题15图形变化
1.解：(1)如图1，连接BD,过点D作DH⊥AB于点H.
[学习领航]
:∠A=45,∠AHD=90°，
例1(1)证明：由折叠的性质可得AF⊥BD,
.∴∠ADH=45°=∠A,
.∠AGB=90.
∴△ADH是等腰直角三角形，
:四边形ABCD是矩形，
又'AD=3√2.
.∠BAD=∠ABC=90°，
..AH=DH=3,
∠BAF=∠ADB.
∴.BH=AB-AH=5-3=2.
AD=/2AB.
∴，R△BDH中，BD=√32+2=I3.
设AB=a,则AD=√2a,
.tan∠BAF=tan∠ADB
熙铝
H
图1
图2
(2)如图2，AG即为所求。
②a'
2.解：(1)如图，⊙0为所作.
解得F
2a.
BC=AD=√2a,
BF-BC.
点F为BC的中点.
(2)PM和PN为⊙O的切线
(2)解：∠AGH=120°.理由如下：
∴.OM⊥PB,ON⊥PN,∠MPO=∠NPO=
连接HF,如图.
∠APB-30.
1
∴.∠OMP=∠ONP=90°，
.∠MON=180°-∠APB=120.
在Rt△POM中，，∠MPO=30°，
由折叠的性质可知∠GBH=∠FBH,BF=HF
.OM-3
.∠GBH=∠FBH,∠FBH=∠BHF,
∴⊙O的劣弧MN与PM,PN所围成图形的面积
∠GBH=∠BHF,
=S因边形N一S南形MN
.BD∥HF,
.∠DGH=∠GHF,
=2x号×3x月-120XW5)
360
由(1)知AF⊥BD,可得AF⊥HF,
=3√3-π
∴∠AGD=90°，∠GFH=90°.
3.解：【初步尝试】如图1，直线OP即为所求.
设AB=a,则AD=2a=BC,BF=HF=2。
24
【问题联想】如图2，三角形MNP即为所求。
【问题再解】如图3中，DF即为所求
·BG=
3a,
.GF-/6
a.
6
GF
在Rt△GFH中，tan∠GHF=
6a3
HF
23
2
图2
图3
.∠GHF=30,
∠DGH=30,
..∠AGH=∠AGD+∠DGH=90°+30°=120°.
29
例2解：(1)过点M作MN⊥AB'于点N,如图1.
例3(1)证明：如图1，连接CD.
由题意得：BC=BD,∠CBD=180°-2a,
∴.∠BDC=∠BCD
,'∠BDC+∠BCD+∠CBD=180°，
∠BDC=180°-180-2a)=a.
2
∴.∠BDC=∠A,
图1
∴.CA=CD
由旋转的性质可知，∠C'AB'=∠CAB,AB'=AB=5,
,DE⊥AN,
tan∠C'AB'=tan∠CAB=AB-5
BC 3
∴.∠1+∠A=∠2+∠BDC=90°，
.∠1=∠2.
在Rt△ADB'中，DB'=√AB-AD=4,
..CD=CE,
tm∠ABD-子
..CA=CE.
.点C是AE的中点
设MN=3.x,则AN=5.x,B'N=4x,
AB'=9x=5,
=N=号
Sew-号MN·AB'-g
1
(2)设AB'交CD于点N,如图2
图1
由旋转的性质可知，AC'=(,
(2)解：EF=2AC.
AC,∠C'AB'=∠CAB,
在射线AM上取点H,使得BH=BA,取EF的中点
∠AB'C'=∠B=90°，
D
G,连接DG,HD,如图2.
∴△ACC为等腰三角形，
∠C'AB'=CAB'.
.CD∥AB,
∠DCA=∠CAB,
图2
∠NAC=∠NCA,
∴.AN=CN
图2
在Rt△ADN中，AD+DN=AN2,
.'BH=BA,
即9+DN=6-DN)2DN=g.
.∠BAH=∠BHA=a,
∴.∠ABH=180°-2a=∠CBD
,∠MNA=∠NAC+∠NCA,
,∴.∠ABC=∠HBD
∴·∠MAC=∠MNA.
.BC=BD,
:∠NMA=∠CMA,
∴.△ABC≌△HBD(SAS),
∴.△AMN∽△CMA,
∴.AC=DH,∠BHD=∠A=a,
出器
∴.∠FHD=∠BHA+∠BHD=2a
:DF∥AN,
∴.AM=MN·CM.
,∴.∠EFD=∠A=a,∠EDF=∠3=90°
在Rt△ADM中，AM2=MD2+AD2,
G是EF的中点，
∴.MN·CM=MD+AD2.
∴.GF=GD,EF=2GD
设DM=,则MN=x+号.CM=5+x
∴.∠GFD=∠GDF=&,
∴.∠HGD=2a,
(+)x+5)=+9,
∴.∠HGD=∠FHD,
解得-名即DM=
5
.'DG=DH
.AC=DH.
30
