专题18
新定义问题
专题18
新定义问题
【学习要点】
新定义问题常常是提供一段素材，定义一个新的概念，或一种新的运算，或一种新的变换
等.要求解题者在阅读的基础上理解新运算、定义，或相关概念及其性质，在此基础上解决问
题.新定义问题的常见类型如下：
一新运算的定义
一新法则的定义
新定义
-新数的定义
-数与代数
题
一函数背录的定义一
新图形的定义
一冬形与几利
一新变换的定义
例1如果一个四位自然数abcd的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足ab一bc=cd,
那么称这个四位数为“递减数”.例如四位数4129,41一12=29，.4129是“递减数”；又如四
位数5324，，53-32=21≠24，∴.5324不是“递减数”.若一个“递减数”为a312,则这个数为
;若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc与后三个数字组成的三位数bcd
的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是
考点追踪：本题考查学生的阅读能力、运算能力、代数推理能力，理解定义、正确计算是关键
试题精析：第1空，根据递减数满足ab一bc=cd,所以，10a十3一31=12，解方程求出a的值.
第2空，涉及a,b,c,d四个字母，可根据递减数的概念先求得10a一9b一11c=d,然后根
据题意列出两个三位数字之和，结合能被9整除的数的特征分析满足条件的最大值
解题逻辑：
ab-be-cd10a+b-(106+e;=10c+d
hc与c的和
为：1I0a-101b
ahe与c的为：
100a-10h+c+100+10c+d
能被9整除
11-2h被9格除
a=8,-lc-6,-5
最人值是8165
1123
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新定义问题
例2在四边形ABCD中，O是边BC上的一点.若△OAB≌△OCD,则点O叫作该四边形的
“等形点”
(1)正方形
“等形点”.（填“存在”或“不存在”）
(2)如图1，在四边形ABCD中，边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”.已知CD=
42,OA=5,BC=12,连接AC,求AC的长
(3)如图2，在四边形EFGH中，EH∥FG.若边FG上的点O是四边形EFGH的“等形
点”，求85的值
图1
图2
考点追踪：本题考查了全等三角形的性质、正方形的性质、勾股定理、平行线的性质等知识，理
解新定义、并能熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键
试题精析：(1)根据“等形点”的定义可知△OAB≌△OCD,则∠OAB=∠C=90°，而O是边
BC上的一，点，从而得出正方形不存在“等形，点”
(2)作AH⊥BO于点H,由△OAB2△OCD,得AB=CD=42,OA=OC=5.设OH=
x,则BH=7一x,由勾股定理得，(4√2)2一(7一x)2=52一x2,求出x的值，再利用勾股定理
求出AC的长即可.
(3)根据“等形点”的定义可得△OEF≌△OGH,则∠EOF=∠HOG,OE=OG,
∠OEF=∠OGH.再由平行线性质得OE=OH,从而推出OE=OH=OG,进而解决问题.
解题逻辑：
(1)
等形点”
八(AB六CD
∠0AB=∠=90
定义
止方形不行
在“等形点”
O点在BC[止
(2)
“等形点”
△OB2色(OD
B=(D=42
定义
(4=f=5
4B2-BH2
=(24-(0H:
△ACH是直
AHLB()丁点
角三布形
OII-x
BH-7-x
c-45
OH-x-3
(42)2-(7-x)=5-x2
124.'.BH=CH,
11a+26
是整数，且a≠b≠c≠d,1≤a≤9,1≤b≤
,∴，△BHC是等腰直角三角形，
,∴.∠HCB=45°，即∠ACB=45
9,1≤c9,0d9
②点B在点C右侧，如图3.
a=9时，原四位数可得最大值，此时b只能取0，不符
过点B作BH⊥AC于点H.
合题意，舍去
当a=8时，b=1,此时71-11c=d,
c取9或8或7时，均不符合题意；
当c取6时，d=5.
,.满足条件的数的最大值是8165
故答案为：4312：8165.
例2(1)，四边形ABCD是正方形，
∴.∠C=90°
图3
:△OAB2△OCD,
.BH=yc-yB=-m2-2n+3-(-m2-4m）=
∴.∠OAB=∠C=90°
2m+3,
,O是边BC上的一点，
CH=xB-xc=(m十1)-(-2-m)=2m十3，
,正方形不存在“等形点”
,∴.BH=CH,.∠HCB=45°，即∠ACB=135
故答案为：不存在。
当m>一1，即点A在点C右侧时，如图4，
(2)如图，作AH⊥BO于点H
边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”，
.△OAB≌△OCD,
∴.AB=CD=4√2，
0A=0C=5.
.BC=12,
.BO=7.
图4
设OH=x,则BH=7一x.
同②得BH=CH,此时∠ACB=45
由勾股定理得，(42)2-(7一x)2=52一x2,
综上所述，∠ACB的度数是45或135°.
解得，x=3,
[学习实践]
∴OH=3,
1.-10122.B
∴.AH=4,
3.(1)①-2(-1,0)②-2∴.C0=8.
(2)1-12+6
21
4
(3)n=-5,6=-3,m≤
4
在Rt△CHA中，AC=AH+CH=√4+8=
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4/5.
(3),边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”，
[学习领航]
∴.△OEF≌△OGH,
例1第1空，由题意可得10a十3一31=12，
.'.∠EOF=∠HOG,OE=OG,∠OGH=∠OEF
解得a=4,.这个数为4312.
.EH∥FG,
第2空，由题意可得，10a+b一(10b十c)=10c+d,
'.∠HEO=∠EOF,∠EHO=∠HOG,
整理，可得10a一9b一11c=d.
.∠HEO=∠EHO,
一个“递减数”的前三个数字组成的三位数ab与后三
..OE=OH.
个数字组成的三位数bcd的和为：
..OH=OG
100a+10b+c+100b+10c+d
..OE=OF
=100a+106+c+1006+10c+10a-9b-11c
=110a+1016
8腮1
=99(a+b)+11a+2b,
例3(1)如图1，与二次函数y=2x2-4x一3有3个交点的
又，一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc与
后三个数字组成的三位数bcd的和能被9整除，
是y=-3
40
