专题7
三角形
专题7三角形
【学习要点】
二仲形的任意两边：之和大」
-布形的
第一边，任意两边之养小
一边关系：
第边.
如等搜一角形是轴对称
一布形的内舟
二角形的内角和等」180°；
性质：
形，有一条剥称轴；
2等边对等布：
走理及其推论：
②二角形的一个外舟等与
世不州邻的两个内的印
③二线合一
DH布二角形的两个锐角红余：
H布三角形中，30°吊所对的
,有两边州等的二角修
等医一角形
白的边$丁斜边的一半：
性质：角角形.斜边上的线
判定：烂等Ⅲ一角形：
好于斜边的半：
2等布刊舒边
勾收定理：共上布-布形的两
直角边分别悬u,b,斜边心，
等边三吊形地耕对称
则+=：2
图形.有条对称轴：
性质：②条边都扣等：
①冇一个角品立角的三角形是立
-个内角都相变.部
有角二角形
角三约形；
等于60°.
2有两个中边余的.一角它是i角
珀形：
三尔边都相等的三角
判定：得股定埋逆定理：如朱片升
形品等边二角形：
等边三角形
角形的一边K分别为a,b,心〔最
判定：三个内角都州等的
长边长)、且+h=.那么这个
角形等边一角形：
角形是白所角形
3有一个升是60的等
业三角形光等边三角形
们企等一三形对应边相等；
一性：
②牟等二角形对应角州等；
③企炉形对应的到小线、高线、角平分线都和等：
①全等二仲形的周长州等，而积州等
心边介别抑等的两个一布形全等：
②两边和它门的夹分州扣等的两个一介形企茶：
全等三角形一
判定：③两角和它的火边分别朴等的两个一角形全等：
④两布分圳和等山其：组您的对边扣等的两个-序企等：
5斜边和一杀立角边分刚朴等的两个立仲三角形全等.
常见模州平移用：
村你州：
技：
40
专题7
三角形
【学习领航】
例1下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：cm),其中能搭成一个三角形的是(
A.5,7,12
B.7,7,15
C.6,9,16
D.6,8,12
考点追踪：此题考查了三角形三边关系，能否组成三角形，看较小的两个数的和能否大于第三
个数，
试题精析：根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行分析
判断.
解题逻辑：
三师形的.边关系：两边之和人丁
简使法：看较小的两数之和能
第边，两边之差小丁第.三边
否大丁第山
[D61812
例2如图，点C在线段AD上，AB=AD,∠B=∠D,BC=DE.
(1)求证：△ABC≌△ADE;
(2)若∠BAC=60°，求∠ACE的度数.
考点追踪：此题重点考查全等三角形的判定与性质，适当选择全等三
角形的判定定理证明△ABC≌△ADE是解题的关键，
试题精析：(1)由BC=DE,∠B=∠D,AB=AD,根据“SAS”证明△ABC≌△ADE;
(2)由全等三角形的性质得AC=AE,∠BAC=∠DAE=60°，可证△ACE是等边三角
形，求出∠ACE的度数，
解题逻辑：
(1)
3-1D
∠B=∠)
△1B△DE
1B-1D
(2)
A(=,4E
LACE-LAEC
△AB≌△才)北
等边二角形A:
BAC=/DAE=60
/A(E=60.B(1750,21875)
.△ACE是等边三角形，
把B的坐标代入解析式得：21875=1750k,解得k=
.∠ACE=60.
12.5.
例3
(1)证明：，∠B=∠AED=∠C,∠AEC=∠B十
,当一次性销售不低于1750千克时函数解析式为y=
∠BAE=∠AED+∠CED,
12.5.x.
∴∠BAE=∠CED.
当y=22100时，则22100=12.5x,解得x=1768.
在△ABE和△ECD中，
综上所述，当一次性销售为1300或1700或1768千克
I∠BAE=∠CED,
时利润为22100元.
B=∠C,
3.解：(1)由题意得：y1=x(x-2)=x2-2x.
BE=CD,
而y2过(2,0)，(4,0)，则y2=(x-2)(x-4)=
.△ABE≌△ECD(AAS),
x2-6x十8.
.'.AE=ED,
(2)设点P(p,p2一2p)、点A(2,0),直线PA的表达式
.∠EAD=∠EDA.
为：y=k(x-2).
(2)解：，∠AED=∠C=60°，AE=ED
将点P的坐标代入得：p2一2p=k(p一2)，
,△AED为等边三角形，
解得：k=p,则直线AP的表达式为：y=p(x一2).
.AE=AD=ED=4.
联立上式和抛物线的表达式得：x2一6.x十8=p(x一2)，
过A点作AF⊥ED于点F,
解得：xo=4十p,则x。一xP=4十p-p=4,
EF-号ED=2,
(3)由(1)知，y1=x(x-2)=x2-2x,
∴.AF=√/AE-EF=√-2=25，
联立1y得：x2一2x=x2一8x十1，解得：x=
则点c(信，-)
iS-ED.AF-2X4X2/5-4/3.
由点C,M的坐标得，直线CM的表达式为：y=
(m+-2)x-m
联立上式和yg的表达式得：x2一8x+t=
例4证明：(1)，AD⊥BC,
(m+-2）-m
.∠ADB=∠ADC=90°，
整理得：x2-(6+m+名)k+(1+日m)上=0，
在△ADB和△ADC中，
AD=AD,
则e十=6+m十名，即+n=6m+
∠ADB=∠AIDC,
BD=CD.
即n一m=6,即m一n=6为定值。
∴.△ADB≌△AIDC(SAS).
专题7三角形
∠B=∠C;
[学习领航]
(2)小军的证明过程：
例1解：A.5+7=12,不能构成三角形，故此选项不合题
分别延长DB,DC至E,F两点，使得BE=BA,CF=
意：B.7十7<15，不能构成三角形，故此选项不合题
CA,如图所示
意：C.6十9<16，不能构成三角形，故此选项不合题
意；D.8十6>12，能构成三角形，故此选项符合题意.
故选D.
例2(1)证明：在△ABC和△ADE中，
BC=DE.
.'AB+BD=AC+CD,
∠B=∠D,
.'BE+BD=CF+CD.
AB=AD.
..DE=DF.
.△ABC≌△ADE(SAS).
,AD⊥BC
(2)解：由(1)得△ABC≌△ADE
∴∠ADE=∠ADF=90°
∴AC=AE,∠BAC=∠DAE=60°，
在△ADE和△ADF中，
