.'BC=AB=2.
13
当BC=2W2时，过点A作AH⊥BC于点H.
∴.SAAQ=26
如图2：
同理Sam=}-
26
.两块三角板重叠部分图形的面积为1
3
3
(3)连接AF,如图5：
A
图2
.AB=AC,
:.BH-CH
m∠BAH-
BH=亚，
图5
:AB=AC,F为BC中点，
,.∠BAH=45,
∠AFB=90°，
,∴.∠BAC=2∠BAH=90
∴F的运动轨迹是以AB为直径的圆，
a=120°-90°=30.
如图3：
点F的运动路径长为2x×雪-江
故答案为2元
专题8四边形
[学习领航]
例1证明：连接AC交BD于O.
:四边形ABCD是平行四边形，
..AO=OC.BO=DO.
AM//CN.
图3
∴.∠EAC=∠FCA.
同理可得∠BAC=90.
在△AOE与△COF中，
a=60°+90°+60°=210.
∠EAC=∠FCO.
,.当BC=22时，a=30°或210°.
AO-CO.
故答案为2,30或210.
∠AOE=∠COF,
(2)如图4：
.△AOE≌△COF(ASA),
:∠ADB=90°，∠B=30°，AB=2,
..OE=OF.
AD=1.
..BO-OE=OD-OF
a=90°，
即BE=DF
.∠BAC=60°+60°-90°=30°，
例2证明：AMBN,
.∠QAD=∠BAD-∠BAC=30°
∴.∠DAC=∠BCA.
..DQ=AD_/3
图4
AC平分∠BAM,
331
.∠DAC=∠BAC
So=号X1X9-5
1
.∠BCA=∠BAC,
361
∴.BA=BC
∠D'=∠D'AD=∠D=90°，AD=AD',
,BD⊥AC
.四边形ADPD'是正方形，
.∠AOB=∠AOD=90°
..DP=AD=1,
:∠DAC=∠BAC,
SAam=号X1X1=2
1
.∠ABO=∠ADO
..AB=AD.
13
.'.AD=BC.
∠HAM=∠DAC,
.AD∥BC,
,∴.△HAM≌△DAC
,',四边形ABCD是平行四边形
∴.AM=AC
又，BD⊥AC,
∴.AH-AC=AD-AM.
.平行四边形ABCD是菱形.
∴.CH=MD.
例3解：(1)点E,F,G,H分别是平行四边形ABCD各
例5(1)证明：如题图1中，
边的中点，
四边形ABCD是正方形，
..AH//CF,AH=CF.
.∠A=∠B=90°，
∴，四边形AFCH是平行四边形，
∴∠AEH+∠AHE=90.
∴.AMCN
,四边形EFGH是正方形
同理可得，四边形AECG是平行四边形，
.EH=EF,∠HEF=90°，
.∴.AN/CM,
∠AEH+∠BEF=90°，
.四边形AMCN是平行四边形，
∴∠BEF=∠AHE.
(2)如图所示，连接AC.
在△AEH和△BFE中，
,H,G分别是AD,CD的中点，
(∠A=∠B=90°，
∴点N是△ACD的重心，
∠AHE=∠BEF,
∴.CN=2HN,
EH-FE
Sw=号Saam
.△AEH≌△BFE(AAS),
∴.AH=BE,
又CH是△ACD的中线，
,'.AE+AH=AE十BE=AB.
1
SACH-2SAND
(2)解：当AE=CF时，四边形EFGH是矩形
理由：如题图2中，
。1
SAACN-3SAAC.
,四边形ABCD是正方形，
又'AC是□AMCN和□ABCD的对角线，
∴.AB=CD=AD=BC,∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
1
AE=AH.CF=CG.
∴BE=BF,DH=DG,
又□AMCN的面积为4，
∴.∠AEH=∠BEF=45°，
,.□ABCD的面积为12.
∴.∠HEF=90.
同法可证，∠EHG=90°，∠EFG=90°.
∴，四边形EFGH是矩形.
故答案为AE=CF.
F
(3)解：结论：四边形EFGH是平行四边形
例4解：(1)四边形AECF为矩形.理由如下：
理由：如图，过点H作HM⊥BC于点M,交EG于
.AE⊥BC,CF⊥AD,
点N
∴.∠AEC=90°，∠AFC=90°，
,四边形ABCD是正方形，
,四边形ABCD为菱形，
..AB//CD.
..AD//BC.
.AE=DG,AE∥DG
.∠AFC+∠ECF=180°，∠ECF=180
.四边形AEGD是平行四边形，
-∠AFC=90°.
∴.ADEG,
∴，四边形AECF为矩形
∴.EGBC,
(2)CH=MD.理由如下：
,四边形ABCD为菱形，
器架
.AB=AD,∠B=∠D
,OE:OF=4:5,
,△ABE旋转得到△AHG,
∴.AB=AH,∠B=∠H.
设OE=4x,OF=5x,HN=h,则=205
20
∴.AH=AD,∠H=∠D
∴.h=4(4-x)专题8
四边形
专题8四边形
【学习要点】
四边形
两纽对边分别抑等的四两对边分别平行
边形平行四边形；
一平行川边形的对边阳等：
2两组衬角分别阳等的四
判定
性质2平行四边形的对角柑等：
边形是平行四边形；
Ψ行四边形前刘角线；
对角线万.相平分的四边
平行四边形
-相Ψ分。
形兄平行四边形；
一如边平行川杆等的
四边形足平行四边形
个是直布
组邻边柑等
心菱形的四条边都柑等：
心形训个角都是古角：质
性质②蒌形的两条对角线.
②矩形的对布线柑等
相乖古，且每一条对
角线Ψ分一组对角.
对角线相等前半行叫
边形是形：
判定
形
菱形
判定四条边柑等的四边形是
②有二个直角前四边形
菱必.
是斯形.
止方形
【学习领航】
例1如图，在□ABCD中，点M,N分别在边BC,AD上，且AMCN,对角线BD分别交
AM,CN于点E,F.求证BE=DF.
考点追踪：本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质，正确地找出辅助线是解
题的关键，
试题精析：连接AC交BD于点O,根据平行四边形的性质得到AO=OC,BO=DO,根据全等
三角形的性质得到OE=OF,于是得到结论，
48
专题8
四边形
解题逻辑：
平四边形.4BD
4(=(,
BO=DO
△A)E兰△()F
()=(h
AM,特(V一∠EC=∠FC1
BE-DE
例2如图，AM∥BN,AC平分∠BAM,交BN于点C,过点B
作BD⊥AC,交AM于点D,垂足为O,连接CD.求证：四边形
ABCD是菱形.
2
考点追踪：本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、等
腰三角形的判定以及平行线的性质等知识，掌握菱形的判定定理是解题的关键.
试题精析：由平行线的性质和角平分线定义得∠BCA=∠BAC,则BA=BC,再证∠ABO=
∠ADO,则AB=AD,然后证四边形ABCD是平行四边形，即可得出结论.
解题逻辑：
AM//BN
+∠D=∠BtA
∠BA=∠B:
BA=B(:
1Ψ分∠B.1H
∠DiCr=∠BC
B1)⊥A(:
∠1C)B=∠1(0D=90
∠1BO=∠1DO
AB=AI)
平行四边形
BD⊥(：四边形BCID是
ADBC
AB(D是菱形
平年行四边形
AD-BC
49
专题8
四边形
例3如图，点E,F,G,H分别是平行四边形ABCD各边的中点，连接AF,CE相交于点M,
连接AG,CH相交于点N.
(1)求证：四边形AMCN是平行四边形；
(2)若□AMCN的面积为4，求□ABCD的面积.
考点追踪：本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及三角形
重心性质的运用，解决问题的关键是掌握平行四边形的判定方法以及三角形重心性质.
试题精析：(1)依据四边形AFCH是平行四边形，可得AMCN,依据四边形AECG是平行
四边形，可得ANCM,进而得出四边形AMCN是平行四边形
(②》连接AC,依据三角形支心的性质，即可得到S6=号s1再根据CH足△ACD
的中线，即可得出S△Cv=3S△aD,进而得到SawN=3Sauw,依据□AMCN的面积为4，
即可得出结论.
解题逻辑：
(1点F,1为，AD中点
边形FI
All/cF
是Ψ行四边形
1:醇(
四边，形1v
是半行四边形
点E.G为1B,CD中点
四边形CN
E接C好
是平行四边形
A度(CH
(2)H,(分别是AD、
()的中点
(.-2HV
CH是△ACLD的小线
S4,-12
50
