Ac
3
2
AC-BC-BE
CG
B的
∴c6-E
图3
BE=-吉cG+6
在△BOH和△AOD中，
BE随CG的增大而减小
∠BHO=∠ADO,
综上所述：
∠BOH=∠AOD,
当CG≥6时，BE随CG的增大而增大；
OB=OA,
当3∴.△BOH≌△AOD(AAS)
专题10相似形与锐角三角函数
..AD=BH=3,
学习领航]
.AC=2AD=6,
例1解：如图，过点E作EG⊥AB于点G,交CD于点H,
..AB=AC=BC=6,
则GH⊥CD
△ABC为等边三角形，
,CD∥AB.
∠BAC=∠ACB=60,
.△ABE∽△CDE,
∴∠CAG=30°，∠CAG+∠G=60°，
∴∠G=30°=∠CAG,
.EG_AB=4=2,
EH CD2
∴.CA=CG=6.
G=号cH=
2
8
②当CG≥6时，如图4，过点A作直径AM,交BC于
×4=3
点H
1
.S刚=S△AE=
AB·EG=
2×4X816
33
故选C
D H
C
图4
∠E=∠CAH,∠EDC=∠AHC=90°，
例2解：如图1，过点B作BC⊥AH,垂足为点C
'.△ACHc∽△ECD,
品
AC
3
2
·Ac-EC
图1
:OH⊥AC,BC⊥AC,
CG
2
∠AH0=∠ACB=90.
CG-BE+6'
:∠OAH=∠BAC,
BE=专cG-6
,.△AOHC∽△ABC,
.BE随CG的增大而增大.
限怨
③当3如图2，过点A作AD⊥BH,垂足为点D,
:∠ACM=∠DCE,∠EDC=
∠AMC=90°，
'.△AMCc∽△EDC,
B
瓷儡
图5
图2
19
.OH⊥BD,AD⊥BD,
高约16cm.
,∴.∠BHO=∠BDA=90°
例4解：(1)，正八边形A1A2AA1AA6A,As的外角=
:∠OBH=∠ABD,
36
8=45,
∴.△BOH∽△BAD,
∴.∠CA1A2=45°+45°=90°
恶溜
.·正八边形AA2AAAA6A,As内角=180°一
45°=135，
费+疆品阳”
AB
AB=1.
.∠CA2A1=360°-59°-90°-135°=76
.BC=60,AD=90,
故答案为90：76.
÷0-1.
(2)如图，过点A1作AD⊥BC于点D.
由题意得，∠CA1D=45
解得：OH=36
AC
在R△A1A,C中，tan∠CA:A=AA
.跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是
36cm.
AC=A,A:im76≈号×4=2v2(m.
故选A.
例3解：点C离地面的高度升高.
在Rt△CAD中，cos∠CA,D=AD
AC
理由：如图1，当∠GAE=60时，过点C作CK⊥HA,
∴AD=AC·cos45=22X2=2.0(km).
交HA的延长线于点K.
.BC⊥N,AH
答：点A1到道路BC的距离为2.0千米.
(3)如图，连接CAg并延长交BM于点E,延长A1A
MN,
交BE于点G
.BC∥AH.
:∠A7AsG=∠AsA,G=45°，
.AD=BC.
》沛饰芦
∴.∠A,GAg=90°
∴.四边形ABCD是平
ARG
行四边形，
在Rt△AA,G中，im∠A,A,G=AA
∴.ABCD
∴∠ADC=∠GAE=
也血
A.G=AA·5-号×号m
60
图1
A.G-A:A.+A.G-+
2
km,
:点C离地面的高度
为288cm,DH=208cm
:CB-CD+BD-/5km
2
∴.DK=288-208=80(cm)
.∠A,GA.=∠MBC=90°，∴.A,G∥BC
在Rt△CDK中，cos∠CDK=DK
∴△EAG∽△ECB,
CD
..CD=DK
80
儡
EB
C0s60°
1
=160(cm).
2
2EB-2
如图2，当∠GAE=54°，过点C作CQ⊥HA,交HA
2+5
EB
2
的延长线于点Q,
得EB2.4km,
.AB//CD.
答：小李离点B不超过2.4km,才能确保观察雕塑不
∴∠CIDQ=∠GAE=
会受到游乐城的影响，
54°
在Rt△CDQ中，
D补流晋
G
∠cDQ0器
5o2
,∴.DQ=CD·c0s54°≈
小
A2
45形
160×0.6=96(cm).
.96-80=16(cm),
图2
s
点C离地面的高度升
()专题10相似形与锐角三角函数
专题10相似形与锐角三角函数
【学习要点】
相似阁形
·位似图形
·应川
平行于.角形一边的古线利其他两边机交，所构成的
二角形与惊三角形相似；
袝似多边形
判定
2边成比例的两个.角形机似：
3两边成比例日火角相等的两个二角形相似：
两角分别机等的两个.：角形机似
杆似三角形
机似角形的对应角机等：
性质
②相似三角形的对应边成比例；
:③机似角形对应线段的比等于机似比：
相似二角形的周长比等丁相似比：
⑤杯似布形的M积比等于机似比的平方.
本角一角形相似的立角三角形
的边角关系
∠4能下弦sn上4=乙的逃
斜边
锐作：角函墩
∠的余路cos∠A=∠的邻边
斜边
、
特殊布的
二角晒数
∠的止划latn∠d=
∠的对边
∠.的邻边
獬白布伯形
实际问题
【学习领航】
例1如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为
(
A.5
B.6
C.
n号
考点追踪：本题主要考查了相似三角形的性质与判定、三角形的面积公式，解题的关键在于证
明三角形相似，
试题精析：寻找相似三角形，再根据三角形的面积关系求得结果.
65
专题10相似形与锐角三角函数
解题逻辑：
AB度(D
AABE△(DE
器8-2-6等5w-9
例2如图，不等臂跷跷板AB的一端A碰到地面时，另一端B到地面
A
的高度为60cm;当AB的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度
为90cm.则跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是
()
B
A.36 cm
B.40 cm
77777777
C.42 cm
D.45 cm
考点追踪：本题考查了相似三角形的应用，构造A字形相似三角形是解题的关键
试题精析：当A端碰到地面时，过点B作BC⊥AH于，点C,再证明△AOH∽△ABC,可得
OH AO
BC一AB:当B瑞碰到地面时，过点A作AD⊥BH于点D,再证明△BOH∽△BAD,可得
OH OB
ADAB,最后进行计算即可解答.
解题逻辑：
OH⊥AC,
/A1=/ACB=03
BC_AC'
A)Hn仑AB(
10
BC
AB
O1H=∠BiC
OH_BD,
fD⊥BD
∠BHO=∠BDA=90
f八B.D
OH BO
AD AB
∠OBH=∠ABD
0-3660
19兴_400
月()-B)1B
90
3:
AD ABAB
AB
1B
例3四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题.如
图是某篮球架的侧面示意图，BE,CD,GF为长度固定的支架，支
架在A,D,G处与立柱AH连接(AH垂直于MN,垂足为点H),
篮板
在B,C处与篮板连接(BC所在直线垂直于MN),EF是可以调
伸疥劈
节长度的伸缩臂（旋转点F处的螺栓改变EF的长度，使得支架
BE绕点A旋转，从而改变四边形ABCD的形状，以此调节篮板
的高度).已知AD=BC,DH=208cm,测得∠GAE=60时，点C地而
离地面的高度为288cm.调节伸缩臂EF,将∠GAE由60°调节为54°，判断点C离地面的高
度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：sin54°≈0.8，cos54°≈0.6）
考点追踪：本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助
线构造直角三角形是解题的关键
试题精析：当∠GAE=60°时，过点C作CK⊥HA,交HA的延长线于，点K,根据已知易证
BC∥AH,可得四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD,然后利用平行线的性质可得
∠ADC=∠GAE=60°，再根据已知求出DK=80cm,最后在Rt△CDK中，利用锐角三角函
66
