专题12
代数最值问题
专题12代数最值问题
【学习要点】
一定义：在代数式巾，伙某个代数式取得最人或最小位的数拟.
代数最俏定义
分类：绝对佰最人最小、平方最值、平方和最估等.
配方法：将代数式化简为完全平式，再进彳训算
代数运算：通过川算符马对代数式逃行少形、以
代数最位
求代数最伯的
方法
求孙最伯，
图像法：将代数式化为啊数形式，通过数图像来
判断最位
几仙问题：利州代数最位解决几何问题，三角形
代数最俏的
的最位、圆的最伯等
实际应州
实应州问题：利代数最伯解决最伯问题
【学习领航】
例1已知实数m,n满足m2+n2=2+mn,则(2m一3n)2+(m+2n)(m一2n)的最大值为多
少？
考点追踪：此题主要考查了完全平方公式、整式的乘法，化简(2m一3n)2十(m十2n)(m一2n)
以及求出n的范围是解本题的关键，
试题精析：先化简(2m一3n)2十(m十2n)(m一2n)=10一7mn,再判断出mn的范围，即可求出
答案
解题逻辑：
化简〔2-3n）2+(m+2）〔-2n）10-7mn
代数式的最位
n2-2=21H1(1m-n)2=2-32m的范同
80
专题12
代数最值问题
例2若W=5.x2一4xy+y2-2y+8x十3(x,y为实数)，则W的最小值为多少？
考点追踪：本题考查配方法的应用及偶次幂的非负性，利用配方法把原式整理为“平方十常数”
的形式是解题的关键
试题精析：将原式进行配方，然后根据偶次幂的非负性即可求得答案，
解题逻辑：
解法一：
5.x2-4xy十y2-2y十8.x+3>乘积项：-4xy,-2y,8.x→
配方成(2x一y十1)2十(.x十2)2一2
解法二：
5x2-4+-2+8+3一主心法，养成是x的一心.次方刑
方行根(4≥0)52+(84y)x+〔-243-印）=0
专题12
代数最值问题
例3将边长均为6cm的等边三角形纸片ABC,DEF叠放在一起，使点E,B分别在边AC,
DF上（端点除外），边AB,EF相交于点G,边BC,DE相交于点H.
(1)如图1，当E是边AC的中点时，两张纸片重叠部分的形状是
(2)如图2，若EFBC,求两张纸片重叠部分的面积的最大值：
图1
图2
考点追踪：本题主要考查了二次函数的应用、等边三角形的性质与判定、平行四边形的性质与
判定、等腰三角形的性质与判定、勾股定理、四点共圆，正确作出辅助线是解题的关键，
试题精析：(1)连接BE,CD,先证明四边形BHEG是平行四边形，再根据EH=BH,得出四
边形BHEG是菱形.
(2)过，点E作ET⊥HC.设EH=CIH=2xcm,则BH=(6-2x)cm,HT=2CH=
xcm,ET=√EH-HT=V3xcm,S生叠=Sm形BHG-BH·ET=V3x(6-2x)=
-25(-8x+ 9)=-25-多》+99得出当1-号时5有装大值，大位为
9√3
2cm2.
解题逻辑：
(1)
∠1CB=∠EDF=60B,D,(,四点共因
B:为圆的古径
点E定AC的中点一/BB:-0
D为岗的古径
BC-DE
BGEI、B1H∥E;-∠GEB=∠EBH=∠CBE=∠BEH=-30
E=BHH为网心
四边形BHEG是业行四边形
四边形BHh(G是菱形
bH=BH
82补全条形统计图如下：
故答案为>
球类情况条形统计图
例5解：(1)画树状图如下
开始
60
54
50
50
46
10
31.
20
20
内」
10
共有12种等可能的结果，其中恰好是甲、乙的结果有
0
B
D
2种
(3)2000×200
46
460(名).
“恰好是甲，乙的概率=2=6
21
答：估计该校最喜欢“E乒乓球”的学生人数为460名。
(2)画树状图如下：
例2解：(1)，抽样调查方式样本的选取需要的是广泛性和
川游
.--
可靠性，
.抽样调查方式合理的是随机抽取100个麦穗的长度
内
作为样本.
故答案为③.
丁乙T之丁Ψ平内乙4丁Ψ之乙：Ψ乙
(2)①频率分布表中的m=1-(0.04十0.45+0.3+
共有24种等可能的结果，其中甲、乙在其中的结果有
12种
0.09)=0.12.
故答案为0.12
“甲，乙在其中的概率为242
,121
②麦穗长度频率分布在6.1≤x<6.8之间的频数有：
100×0.3=30.
故答案为号
频数分布直方图补全如下：
学习实践】
试验田100个麦穗长度频数分布直方图
(2)3
十蚊
1C2.B3.号
3
50H
45
专题12
代数最值问题
40H
30
[学习领航
0
0
例1解：：m2+n2=2+mn,
12
10R
∴.(2n-3)2+(m+21)(m-2n》
=4m2+9n2-12m1n十m2-4n
4.04.75.46.16.87.5长度m
=5m2+5n2-121n
(3)0.45+0.3+0.09=0.84.
=5(mn十2)-12m7
故长度不小于5.4cm的麦穗在该试验田里所占比例
=10-7mn
为84%.
,m2十n2=2十mn,
例3解：①由统计表可知这20个充电宝的完全充放电次数
∴.(m十n)2=2+3≥0（当m十n=0时，取等号），
都不低于300次，故正确：
2
②这20个充电宝的完全充放电次数t的中位数满足
..1≥
3
500t<600,故正确：
∴.(m一n)2=2一n≥0（当m一n=0时，取等号），
③这20个充电宝的完全充放电次数在300≤t<400
,.m12,
中只有2个，故平均数一定大于400，故不正确。
2
3
n2,
故答案为①②
例4解：由题意可得，前9次标枪的平均数和10次投掷标
÷-1<-7m<号
枪的平均数相同，均为20m.
,第10次投掷标枪的落点恰好在20m线上，
-4长10-7mm<号
-0i
即(2m-一3n)十(m十2n)m-2m)的最大值为号
>s.
例2解法一：W=5x2一4xy十y2一2y十8.x十3
22
