四川省成都市蓉城联盟2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷
1．（2024高一上·成都期末）若集合，集合，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024高一上·成都期末）在平面直角坐标系中，若角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则终边与角相同的角的集合为（ ）
A．或 B．
C． D．
3．（2024高一上·成都期末）下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高一上·成都期末）已知函数，若，则（ ）
A．9 B．6 C．4 D．2
5．（2024高一上·成都期末）若实数满足，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一上·成都期末）已知某糕点店制作一款面包的固定成本为400元，每次制作个，每天每个面包的存留成本为1元，若每个面包的平均存留时间为天，为了使每个面包的总成本最小，则每天应制作（ ）
A．20个 B．30个 C．40个 D．50个
7．（2024高一上·成都期末）若正实数满足，则函数与函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024高一上·成都期末）若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024高一上·成都期末）已知全集，集合，集合，则（ ）
A． B．的子集个数为8
C． D．
10．（2024高一上·成都期末）已知函数，则关于函数的说法正确的是（ ）
A．定义域为且 B．关于点对称
C．在区间上为增函数 D．值域为
11．（2024高一上·成都期末）已知函数，若，使成立，则实数的值可以是（ ）
A． B． C． D．
12．（2024高一上·成都期末）函数的定义域为 .
13．（2024高一上·成都期末）若第二象限角的终边与单位圆交点的横坐标为，则 ．
14．（2024高一上·成都期末）已知函数，对任意的，若，恒有，则实数的取值范围为 ．
15．（2024高一上·成都期末）已知函数，
（1）在下图平面直角坐标系中画出函数的图象；
（2）解关于的方程．
16．（2024高一上·成都期末）（1）若角满足，且，求，的值；
（2）若集合，且，求实数的取值范围．
17．（2024高一上·成都期末）17世纪，牛顿发现物体表面的热流密度与物体表面温度和周围环境温度之差成正比，其原理是当一个物体表面的温度高于周围环境的温度时，物体将会通过热传导、对流和辐射等方式向周围环境释放热量．如：一杯热茶水会在常温下逐渐冷却，设茶水的冷却时间为（单位：），茶水冷却后水温为（单位：），根据该机理，我们得到函数模型：，其中为茶水的初始温度，为室温，为冷却系数．李大爷在室温的条件下泡了一杯的茶水，后，测得水温为．
（1）求冷却系数；
（2）经研究表明，饮水温度不宜高于，以保证口腔与食管不受到损害，根据该模型判断后该杯茶水是否宜于饮用，并说明理由．
18．（2024高一上·成都期末）已知函数．
（1）判断函数的奇偶性并证明；
（2）判断函数在区间上的单调性并用定义法证明；
（3）若都有成立，求正实数的取值范围．
19．（2024高一上·成都期末）已知，设是到的一个函数，对任意的，若全不相等，则称为函数．
（1）试判断与是否为函数（不必写出理由）；
（2）已知为函数，记的元素个数为．
（ⅰ）若，求的最小值；
（ⅱ）若，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：当时，，但反之不一定成立，
则“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】根据充分、必要性定义判断即可.
2．【答案】B
【知识点】终边相同的角
【解析】【解答】解：因为角的终边落在直线上，所以设且，
故终边与角相同的角的集合为.
故答案为：B.
【分析】根据角的终边所在位置写出终边相同的角，即可得终边与角相同的角的集合.
3．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由幂函数性质可知：、为偶函数，
为奇函数，为非奇非偶函数，
在上单调递减，在上单调递增，
综上，是偶函数，在区间上单调递减.
故答案为：A.
【分析】根据幂函数的性质逐项判断即可.
4．【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：函数，若，
则，即，故.
故答案为：D.
【分析】由题意，根据对数函数解析式以及对数运算性质求的值即可.
5．【答案】D
【知识点】指数函数的图象与性质；对数的性质与运算法则；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、因为，所以，由指数函数性质知，故A错误；
B、由，可得，但不一定成立，则不一定成立，故B错误；
C、当时，，故C错误；
D、由，则，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据指数、对数函数性质即可判断ABD；取特殊值结合幂指数函数性质即可判断C.
6．【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：由题意可知：总成本为，
每个面包的总成本，
当且仅当时等号成立，故每个面包的总成本最小，每天应制作40个.
故答案为：C.
【分析】由题意可知：每个面包的总成本，利用基本不等式求解即可.
7．【答案】A
【知识点】指数函数的图象与性质；二次函数模型
【解析】【解答】解：正实数满足， 令，解得或，
函数，若，则的零点，故A满足，B不满足；
函数，若，则的零点，故C、D不满足.
故答案为：A.
【分析】令，求得函数的零点为或，讨论、判断的范围，数形结合判断满足要求的图象即可.
8．【答案】C
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：令，得，令，得或，
作出函数的图象，如图所示：
数形结合可得：或，即实数的范围为.
故答案为：C.
【分析】根据分段函数的性质画出大致图象，根据零点个数，数形结合确定参数范围即可.
9．【答案】B,C
【知识点】子集与真子集；集合间关系的判断；并集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】解：A、易知，，故A错误；
B、，子集有个，故B正确；
C、易知，则，故C正确；
D、由A选项可知，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】先求集合的补集，再判断集合的包含关系及子集个数即可判断AB；利用集合的并补运算即可判断CD.
10．【答案】A,D
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A、要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为且，故A正确；
B、，则函数为偶函数，图象关于y轴对称，故B错误；
C、当时，函数，易知函数在上单调递减，故C错误；
D、由上，，则，根据对称性知上值域也是，
若，则，故，根据对称性知上值域是，即函数值域为，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据函数解析式求定义域，并判断其奇偶性即可判断AB；根据解析式直接判断函数在区间上单调性即可判断C；由解析式求区间值域，结合对称性确定函数值域即可判断D.
11．【答案】A,B,C
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：由题意，在上，
当，则在上单调递减，即，
，即，解得；
当，则在上单调递增，，
即，解得，即；
综上，或.
故答案为：ABC.
【分析】由题意有上，讨论、，结合函数单调性列方程求参数值即可.
12．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数 有意义，则，解得且，
即函数的定义域为.
故答案为：.
【分析】根据分式和对数式有意义，列不等式组求解即可.
13．【答案】
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意可得： 角 终边与单位圆交点坐标为，则.
故答案为：.
【分析】由题意，写出角的终边与单位圆的交点坐标，再结合任意角得正切定义求函数值即可.
14．【答案】
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：易知函数在上是单调函数，，
令，则在上单调，
由在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以只需，则，即实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】由题意可得函数在上是单调函数，再结合指数函数、二次函数的单调性得到，解不等式求实数a的取值范围即可.
15．【答案】（1）解：函数图象如下：
（2）解：由，可得，
令，则或，即或，均满足；
令，则，满足；
综上，方程的解集为.
【知识点】指数函数的图象与性质；对数的性质与运算法则；对数函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据分段函数解析式及指对数函数性质画出函数图象即可；
（2）由，结合解析式解方程求解集即可.
（1）由指对数函数性质及分段函数解析式，可得函数图象如下，
（2）由题设，令，则或，
所以或，均满足；
令，则，满足；
综上，方程的解集为.
16．【答案】解：（1）因为，所以，解得，
又因为，所以，所以，则；
（2）由题设，，
当，则，可得，满足；
当，则，可得；
综上，，即实数a的范围为.
【知识点】集合间关系的判断；集合关系中的参数取值问题；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）由题意，将平方求得，再根据，求得，代入求的值即可；
（2）解一元二次不等式求集合B，讨论、求参数范围即可.
17．【答案】（1）解：由题意可得：，，
故冷却系数；
（2）解：由（1）知，，
当时，，
则后该杯茶水不适宜饮用．
【知识点】函数的值；指数式与对数式的互化
【解析】【分析】（1）由题意，将数值代入解析式，待定系数法求解即可；
（2）当时，利用（1）中求得的解析式，求出此时函数值，与40比较大小判断即可．
（1）由题，
故冷却系数．
（2）由（1）知，，
当时，
，
所以后该杯茶水不适宜饮用．
18．【答案】（1）解：函数为偶函数，证明如下：
要使函数有意义，则，解得，
即函数的定义域为，定义域关于原点对称，
且满足，
则函数为偶函数；
（2）解：函数在区间上单调递减，证明如下：
设任取，且，设，
，
根据复合函数单调性可知，，即在区间单调递减；
（3）解：若都有成立，，
即对于恒成立，即，解得①，
又，则对于恒成立，
即，也就是对于恒成立，
设，开口向上，且，
则，解得②，
由①和②得.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断即可；
（2）利用给定条件结合定义法证明单调性即可；
（3）根据题意，和对于恒成立，求的取值范围即可．
（1）函数为偶函数，证明如下：
要使函数f（x）有意义，则解得，
故函数的定义域为，关于原点对称．
对任意，则，
所以，
所以函数为偶函数．
（2）函数在区间上单调递减，证明如下：
设，设，
，
根据复合函数单调性可知，，
故在区间单调递减．
（3）若都有成立，
即对于恒成立，即，解得①，
又，则对于恒成立，
即，也就是对于恒成立，
设，开口向上，且，
则，解得②，
由①和②得.
19．【答案】（1）解：由且，
所以，故不是函数；
由且，
所以，故是函数；
（2）解：（ⅰ）由题设，即共有6个不同值，
当，显然不符，排除；
当，必存在相等情况，排除；
当，如，显然有，满足；
综上，的最小值为3；
（ⅱ）由，共有21个不同值，
集合中有5个不同元素，任选2个元素作商，商都不相同，即保证种不同值，
注意：还有一个值是中的一个元素对应中两个自变量，即存在一个值为1，
只有上述情况满足、时，有21个不同值，
取，其中不符，排除；
取，其中不符，排除；
取，任选2个元素作商，满足种不同值，
此时取值依次为，
所以最小值为.
【知识点】集合中元素的个数问题
【解析】【分析】（1）根据函数的定义判断即可；
（2）（ⅰ）根据题设共有6个不同值，讨论、2、3的情况，结合定义确定其最小值即可；
（ⅱ）根据已知分析得到集合中有5个不同元素，任选2个元素作商，需保证种不同值，分别讨论、、研究满足条件的情况，求的最小值即可.
（1）由且，
所以，故不是函数；
由且，
所以，故是函数；
（2）（ⅰ）由题设，即共有6个不同值，
当，显然不符，排除；
当，必存在相等情况，排除；
当，如，显然有，满足；
综上，的最小值为3；
（ⅱ）由，共有21个不同值，
集合中有5个不同元素，任选2个元素作商，商都不相同，即保证种不同值，
注意：还有一个值是中的一个元素对应中两个自变量，即存在一个值为1，
只有上述情况满足、时，有21个不同值，
取，其中不符，排除；
取，其中不符，排除；
取，任选2个元素作商，满足种不同值，
此时取值依次为，
所以最小值为.
1 / 1四川省成都市蓉城联盟2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷
1．（2024高一上·成都期末）若集合，集合，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：当时，，但反之不一定成立，
则“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】根据充分、必要性定义判断即可.
2．（2024高一上·成都期末）在平面直角坐标系中，若角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则终边与角相同的角的集合为（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】B
【知识点】终边相同的角
【解析】【解答】解：因为角的终边落在直线上，所以设且，
故终边与角相同的角的集合为.
故答案为：B.
【分析】根据角的终边所在位置写出终边相同的角，即可得终边与角相同的角的集合.
3．（2024高一上·成都期末）下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由幂函数性质可知：、为偶函数，
为奇函数，为非奇非偶函数，
在上单调递减，在上单调递增，
综上，是偶函数，在区间上单调递减.
故答案为：A.
【分析】根据幂函数的性质逐项判断即可.
4．（2024高一上·成都期末）已知函数，若，则（ ）
A．9 B．6 C．4 D．2
【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：函数，若，
则，即，故.
故答案为：D.
【分析】由题意，根据对数函数解析式以及对数运算性质求的值即可.
5．（2024高一上·成都期末）若实数满足，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数的图象与性质；对数的性质与运算法则；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、因为，所以，由指数函数性质知，故A错误；
B、由，可得，但不一定成立，则不一定成立，故B错误；
C、当时，，故C错误；
D、由，则，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据指数、对数函数性质即可判断ABD；取特殊值结合幂指数函数性质即可判断C.
6．（2024高一上·成都期末）已知某糕点店制作一款面包的固定成本为400元，每次制作个，每天每个面包的存留成本为1元，若每个面包的平均存留时间为天，为了使每个面包的总成本最小，则每天应制作（ ）
A．20个 B．30个 C．40个 D．50个
【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：由题意可知：总成本为，
每个面包的总成本，
当且仅当时等号成立，故每个面包的总成本最小，每天应制作40个.
故答案为：C.
【分析】由题意可知：每个面包的总成本，利用基本不等式求解即可.
7．（2024高一上·成都期末）若正实数满足，则函数与函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数的图象与性质；二次函数模型
【解析】【解答】解：正实数满足， 令，解得或，
函数，若，则的零点，故A满足，B不满足；
函数，若，则的零点，故C、D不满足.
故答案为：A.
【分析】令，求得函数的零点为或，讨论、判断的范围，数形结合判断满足要求的图象即可.
8．（2024高一上·成都期末）若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：令，得，令，得或，
作出函数的图象，如图所示：
数形结合可得：或，即实数的范围为.
故答案为：C.
【分析】根据分段函数的性质画出大致图象，根据零点个数，数形结合确定参数范围即可.
9．（2024高一上·成都期末）已知全集，集合，集合，则（ ）
A． B．的子集个数为8
C． D．
【答案】B,C
【知识点】子集与真子集；集合间关系的判断；并集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】解：A、易知，，故A错误；
B、，子集有个，故B正确；
C、易知，则，故C正确；
D、由A选项可知，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】先求集合的补集，再判断集合的包含关系及子集个数即可判断AB；利用集合的并补运算即可判断CD.
10．（2024高一上·成都期末）已知函数，则关于函数的说法正确的是（ ）
A．定义域为且 B．关于点对称
C．在区间上为增函数 D．值域为
【答案】A,D
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A、要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为且，故A正确；
B、，则函数为偶函数，图象关于y轴对称，故B错误；
C、当时，函数，易知函数在上单调递减，故C错误；
D、由上，，则，根据对称性知上值域也是，
若，则，故，根据对称性知上值域是，即函数值域为，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据函数解析式求定义域，并判断其奇偶性即可判断AB；根据解析式直接判断函数在区间上单调性即可判断C；由解析式求区间值域，结合对称性确定函数值域即可判断D.
11．（2024高一上·成都期末）已知函数，若，使成立，则实数的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：由题意，在上，
当，则在上单调递减，即，
，即，解得；
当，则在上单调递增，，
即，解得，即；
综上，或.
故答案为：ABC.
【分析】由题意有上，讨论、，结合函数单调性列方程求参数值即可.
12．（2024高一上·成都期末）函数的定义域为 .
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数 有意义，则，解得且，
即函数的定义域为.
故答案为：.
【分析】根据分式和对数式有意义，列不等式组求解即可.
13．（2024高一上·成都期末）若第二象限角的终边与单位圆交点的横坐标为，则 ．
【答案】
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意可得： 角 终边与单位圆交点坐标为，则.
故答案为：.
【分析】由题意，写出角的终边与单位圆的交点坐标，再结合任意角得正切定义求函数值即可.
14．（2024高一上·成都期末）已知函数，对任意的，若，恒有，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：易知函数在上是单调函数，，
令，则在上单调，
由在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以只需，则，即实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】由题意可得函数在上是单调函数，再结合指数函数、二次函数的单调性得到，解不等式求实数a的取值范围即可.
15．（2024高一上·成都期末）已知函数，
（1）在下图平面直角坐标系中画出函数的图象；
（2）解关于的方程．
【答案】（1）解：函数图象如下：
（2）解：由，可得，
令，则或，即或，均满足；
令，则，满足；
综上，方程的解集为.
【知识点】指数函数的图象与性质；对数的性质与运算法则；对数函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据分段函数解析式及指对数函数性质画出函数图象即可；
（2）由，结合解析式解方程求解集即可.
（1）由指对数函数性质及分段函数解析式，可得函数图象如下，
（2）由题设，令，则或，
所以或，均满足；
令，则，满足；
综上，方程的解集为.
16．（2024高一上·成都期末）（1）若角满足，且，求，的值；
（2）若集合，且，求实数的取值范围．
【答案】解：（1）因为，所以，解得，
又因为，所以，所以，则；
（2）由题设，，
当，则，可得，满足；
当，则，可得；
综上，，即实数a的范围为.
【知识点】集合间关系的判断；集合关系中的参数取值问题；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）由题意，将平方求得，再根据，求得，代入求的值即可；
（2）解一元二次不等式求集合B，讨论、求参数范围即可.
17．（2024高一上·成都期末）17世纪，牛顿发现物体表面的热流密度与物体表面温度和周围环境温度之差成正比，其原理是当一个物体表面的温度高于周围环境的温度时，物体将会通过热传导、对流和辐射等方式向周围环境释放热量．如：一杯热茶水会在常温下逐渐冷却，设茶水的冷却时间为（单位：），茶水冷却后水温为（单位：），根据该机理，我们得到函数模型：，其中为茶水的初始温度，为室温，为冷却系数．李大爷在室温的条件下泡了一杯的茶水，后，测得水温为．
（1）求冷却系数；
（2）经研究表明，饮水温度不宜高于，以保证口腔与食管不受到损害，根据该模型判断后该杯茶水是否宜于饮用，并说明理由．
【答案】（1）解：由题意可得：，，
故冷却系数；
（2）解：由（1）知，，
当时，，
则后该杯茶水不适宜饮用．
【知识点】函数的值；指数式与对数式的互化
【解析】【分析】（1）由题意，将数值代入解析式，待定系数法求解即可；
（2）当时，利用（1）中求得的解析式，求出此时函数值，与40比较大小判断即可．
（1）由题，
故冷却系数．
（2）由（1）知，，
当时，
，
所以后该杯茶水不适宜饮用．
18．（2024高一上·成都期末）已知函数．
（1）判断函数的奇偶性并证明；
（2）判断函数在区间上的单调性并用定义法证明；
（3）若都有成立，求正实数的取值范围．
【答案】（1）解：函数为偶函数，证明如下：
要使函数有意义，则，解得，
即函数的定义域为，定义域关于原点对称，
且满足，
则函数为偶函数；
（2）解：函数在区间上单调递减，证明如下：
设任取，且，设，
，
根据复合函数单调性可知，，即在区间单调递减；
（3）解：若都有成立，，
即对于恒成立，即，解得①，
又，则对于恒成立，
即，也就是对于恒成立，
设，开口向上，且，
则，解得②，
由①和②得.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断即可；
（2）利用给定条件结合定义法证明单调性即可；
（3）根据题意，和对于恒成立，求的取值范围即可．
（1）函数为偶函数，证明如下：
要使函数f（x）有意义，则解得，
故函数的定义域为，关于原点对称．
对任意，则，
所以，
所以函数为偶函数．
（2）函数在区间上单调递减，证明如下：
设，设，
，
根据复合函数单调性可知，，
故在区间单调递减．
（3）若都有成立，
即对于恒成立，即，解得①，
又，则对于恒成立，
即，也就是对于恒成立，
设，开口向上，且，
则，解得②，
由①和②得.
19．（2024高一上·成都期末）已知，设是到的一个函数，对任意的，若全不相等，则称为函数．
（1）试判断与是否为函数（不必写出理由）；
（2）已知为函数，记的元素个数为．
（ⅰ）若，求的最小值；
（ⅱ）若，求的最小值．
【答案】（1）解：由且，
所以，故不是函数；
由且，
所以，故是函数；
（2）解：（ⅰ）由题设，即共有6个不同值，
当，显然不符，排除；
当，必存在相等情况，排除；
当，如，显然有，满足；
综上，的最小值为3；
（ⅱ）由，共有21个不同值，
集合中有5个不同元素，任选2个元素作商，商都不相同，即保证种不同值，
注意：还有一个值是中的一个元素对应中两个自变量，即存在一个值为1，
只有上述情况满足、时，有21个不同值，
取，其中不符，排除；
取，其中不符，排除；
取，任选2个元素作商，满足种不同值，
此时取值依次为，
所以最小值为.
【知识点】集合中元素的个数问题
【解析】【分析】（1）根据函数的定义判断即可；
（2）（ⅰ）根据题设共有6个不同值，讨论、2、3的情况，结合定义确定其最小值即可；
（ⅱ）根据已知分析得到集合中有5个不同元素，任选2个元素作商，需保证种不同值，分别讨论、、研究满足条件的情况，求的最小值即可.
（1）由且，
所以，故不是函数；
由且，
所以，故是函数；
（2）（ⅰ）由题设，即共有6个不同值，
当，显然不符，排除；
当，必存在相等情况，排除；
当，如，显然有，满足；
综上，的最小值为3；
（ⅱ）由，共有21个不同值，
集合中有5个不同元素，任选2个元素作商，商都不相同，即保证种不同值，
注意：还有一个值是中的一个元素对应中两个自变量，即存在一个值为1，
只有上述情况满足、时，有21个不同值，
取，其中不符，排除；
取，其中不符，排除；
取，任选2个元素作商，满足种不同值，
此时取值依次为，
所以最小值为.
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