第16章 二次根式与材料阅读问题 专题练 2024--2025学年初中数学人教版八年级下册

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第16章 二次根式与材料阅读问题 专题练
2024--2025学年初中数学人教版八年级下册
一、解答题
1．请阅读下列材料：
问题：已知，求代数式的值．
小敏的做法是：根据得，
，得：．
把作为整体代入：得．
即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．
请你用上述方法解决下面问题：
(1)已知，求代数式的值；
(2)已知，求代数式的值．
2．小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的：
∵，
∴.
∴，即.
∴，
∴.
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)填空：___________；___________；
(2)计算： ；
(3)若，求的值.
3．阅读并解答问题：
；
；
；
……
上面的计算过程叫做“分母有理化”，仿照上述计算过程，解答下列问题：
(1)将的分母有理化；
(2)已知，，求的值；
(3)计算．
4．爱动脑筋的小明在做二次根式的化简时，发现一些二次根式的被开方数是二次三项式，而且这些二次三项式正好是完全平方式的结构，于是就可以利用二次根式的性质：来进一步化简．
比如：，
∴当即时，原式；当即时，原式．
（1）仿照上面的例子，请你尝试化简．
（2）判断甲、乙两人在解决问题：“，求的值”时谁的答案正确，并说明理由．
甲的答案：原式；
乙的答案：原式．
（3）化简并求值：，其中．
5．“分母有理化”是我们常见的一种化简的方法．
如：．
除此之外，我们也可以平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数．
如：化简．
解：设，易知．故．
由于．
解得，即．
根据以上方法，化简：．
6．小马在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个含根号的式子的平方，如，善于思考的小明进行了如下探索：
设，（其中a、b、m、n均为正整数）则有
，，
这样，小马找到了把部分的式子化为平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决问题：
(1)当a，b，m，n均为正整数时，若，用含m，n的式子分别表示a，b得，___________，___________.
(2)利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空：.
(3)设，试用含有x的代数式（各项系数均为有理数）来表示.（要写出必要过程）
7．阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：﹣＝＝．
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较﹣和的大小可以先将它们分子有理化如下：﹣＝，＝．
因为+＞，所以，﹣＜．
再例如，求y＝﹣的最大值、做法如下：
解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y＝﹣＝．
当x＝2时，分母﹣有最小值2．所以y的最大值是2．
利用上面的方法，完成下述两题：
（1）比较﹣和﹣的大小；
（2）求y＝﹣+3的最大值．
8．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．设a+b（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样可以把部分a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　，b＝　．
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：　　　+　　＝（　　+　　）2；
（3）化简
9．阅读材料：
像、、……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式.例如与，与，与等都是互为有理化因式.
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如：；
解答下列问题：
（1）与 互为有理化因式，将分母有理化得
（2）计算：
（3）观察下面的变形规律并解决问题：
①，，，……若为正整数，请你猜想
②计算：
10．如果一个三角形三边长分别为a，b，c ，记，那么三角形的面积为…，①古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称为海伦公式，我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式…，②这两个公式实质上是同一个公式，所以也称①为海伦—秦九韶公式．
(1)设a，b，c为的三边，当，，时，求的面积．
(2)请你对公式②进行变形，推导出公式①．
11．阅读以下材料：如果两个正数，即，由完全平方式的非负数性质可得：
（当即时，取等号），
（当且仅当时取等号）
结论：对任意两个正数，都有；上述不等式当且仅当时等号成立．当这两个正数的积为定值（常数）时，可以利用这个结论求两数的和的最小值．
例如：当为正数时，两数和均为正数，且（常数），则有当且仅当即时取等号
当时，有最小值，最小值为4.
利用以上结论完成下列问题：
(1)已知为正数，即，则当 时，取到最小值，最小值为 ；
(2)当均为正数，即时，求函数的最小值；
(3)如图，四边形的对角线相交于点的面积分别是4和9，求四边形面积的最小值．
12．中国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积，用现代式子表示为（秦九韶公式）．
古希腊数学家海伦利用三角形三条边的边长直接求出了三角形的面积．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积 （海伦公式）．
请完成下列问题：
(1)一个三角形的三边长依次为5，5，6，则该三角形的面积为 ；
(2)请由秦九韶公式推导出海伦公式；
(3)若三角形的周长为，一边长为，求此三角形的面积的最大值，并判断此时三角形的形状．
13．[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式．
（1）的有理化因式是______（写出一个即可），的有理化因式是_______（写出一个即可）；
[材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
（2）利用分母有理化化简：．
[材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，
这种变形叫做分子有理化．
比如：
（3）试利用分子有理化比较和的大小．
参考答案
1．(1)；
(2)0．
（1）先将原式配方变形后，将的值代入计算即可求出值；
（2）先求出的值，原式变形后，将各自的值代入计算即可求出值．
（1）解：，
，
则原式
；
（2）解：，
，
则原式
．
2．(1)；
(2)2020
(3)
（1）解：；
．
故答案为：；．
（2）解：原式
．
（3）解：，
∵，
∴原式．
3．(1)
(2)
(3)
（1）解：原式．
（2）解：，，
∴．
（3）解：原式
．
4．（1）当时，原式；当时，原式；（2）两个人的答案都不正确，正确结果是：17，理由见详解；（3），
解：（1）
∴当即时，原式；
当即时，原式，
（2）两个人的答案都不正确，
正确的解法是：
当时，原式；
（3）
，
∵，
∴，
∴
，
当时，原式．
5．
解：，
设，
∵，
∴，
∵
，
∴，
∴原式．
6．(1)
(2)12，6，3，1（答案不唯一）
(3)
（1）解：∵，
∴，
∴，；
故答案为：，．
（2）解：设，
∵，
∴，，
取，，则，，
故答案为： 12，6，3，1；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴
∴．
7．（1）＜；（2）+3
解：（1），
，
而，
∴＞，
∴＜；
（2）∵x+1≥0，x﹣1≥0，
∴x≥1，
∵y＝＝，
当x＝1时，分母有最小值，
∴y＝有最大值是+3．
8．（1）m2+3n2，2mn；（2）21，4，1，2；（3）
解：（1）∵，＝m2+2mn+3n2
∴a＝m2+3n2，b＝2mn
故答案为：m2+3n2，2mn．
（2）设a+b＝
则＝m2+2mn+5n2
∴a＝m2+5n2，b＝2mn
若令m＝1，n＝2，则a＝21，b＝4
故答案为：21，4，1，2．
（3）
＝﹣
＝﹣
＝﹣
＝﹣
＝++﹣
＝
9．（1），；（2）；（3）①，②2018.
解：（1）根据互为有理化因式的定义可知，与互为有理化因式；
，
故答案为，；
（2）
，
故答案为；
（3）①；
②
=2019-1
=2018.
故答案为①，②2018.
10．(1)；
(2)见解析．
（1）解：当，，时，，
∴，，，
∴＝．
（2）解：∵
∴，，
∴＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝．
11．(1)1，2
(2)3.
(3)
（1）解；当时，，
当且仅当即时取等号
当时，有最小值，最小值为2.
故答案为：1，2
（2）当时，函数，
∵
当且仅当即，即时取等号，
当时，有最小值，最小值为3.
（3）设，
由题意可知，，
则
则，
∴四边形面积，
当且仅当时，等号成立，
∴四边形面积的最小值为．
12．(1)
(2)证明见解析
(3)的最大值为，三角形是等腰三角形．
（1）解：∵一个三角形的三边长依次为5，5，6，
∴．
∴
；
（2）解：
∵，
∴，
∴
；
（3）∵三角形的周长为，一边长为，
设另一边为，则第三边为，
∴，
∴
，
∴当时，的最大值为，
此时，三边分别为，，，
∴三角形是等腰三角形．
13．（1），；（2）；（3）
（1）解：∵，
∴的有理化因式是；
∵，
∴的有理化因式是；
故答案为：，；
（2）解：
；
（3）．
理由如下：
∵，，
∵，
∴，
∴．
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