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第16章 二次根式 单元测试培优卷
一．选择题（共10小题）
1．（2025 乐陵市校级开学）下列式子中，一定是二次根式的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据二次根式的定义解答即可．
【解析】、是二次根式，符合题意；
、不是二次根式，不符合题意；
、中，当，即时不是二次根式，不符合题意；
、不是二次根式，不符合题意，
故选．
2．（2024秋 肥乡区期末）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件列不等式组求解．
【解析】由题意可得：，
解得，
故选．
3．（2024秋 青龙县期末）最简二次根式与是同类二次根式，则
A．2 B．3 C．0 D．4
【答案】
【分析】利用最简二次根式与同类二次根式定义判断即可确定出的值．
【解析】根据最简二次根式与同类二次根式的定义，
得，
解得：．
故选．
4．（2024秋 大祥区期末）已知，则的值为
A．5 B．3 C． D．
【答案】
【分析】首先根据二次根式有意义的条件，即可求得的值，进而得到的值，然后代入代数式即可求解．
【解析】根据题意得：，
解得：．
则．
则．
故选．
5．（2024秋 攸县期末）已知，，那么与的关系为
A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．是的平方根
【答案】
【分析】直接利用二次根式的性质计算得出答案．
【解析】，，
，
故与的关系为互为倒数．
故选．
6．（2024秋 曲阳县期末）已知，，则
A． B． C． D．
【答案】
【分析】把0.063写成分数的形式，化简后再利用积的算术平方根的性质，写成含的形式．
【解析】
，，
原式．
故选．
7．（2024秋 美兰区校级期末）下列计算，结果正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据二次根式的运算法则逐项计算判断即可．
【解析】根据二次根式的运算法则逐项计算判断如下：
，故该选项不符合题意；
．，故该选项不符合题意；
．不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意；
．，故该选项符合题意；
故选．
8．（2023秋 兴文县期末）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间（单位：和高度（单位：近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从高空抛物到落地所需时间为．从高空抛物到落地所需时间为，则的值是
A． B． C． D．2
【答案】
【分析】将代入进行计算即可；将代入进行计算，再计算与的比值即可得出结论．
【解析】当时，（秒；
当时，（秒；
，
故选．
9．（2025 献县开学）老师设计了一个“接力游戏”，几位同学合作完成二次根式的运算．如图，老师把题目交给第一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是
A．只有丁 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁
【答案】
【分析】根据二次根式的运算法则可和性质逐个判断即可．
【解析】根据二次根式的运算法则可和性质逐个判断可得：
，
甲没有出现错误；
，
乙出现错误；
，
丙没有出现错误；
，
丁出现错误；
故自己负责的式子出现错误的是乙和丁，
故选．
10．（2024秋 新安县校级月考）我国南宋时期数学家秦九韶（约公元1208年年）曾提出利用三角形的三边，，（其中，求其面积的秦九韶公式．若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】把，，的值代入秦九韶公式，然后利用二次根式的性质化简即可．
【解析】根据题意，得
，
故选．
二．填空题（共6小题）
11．（2024 运城一模）化简： 3 ．
【答案】3
【分析】先根据二次根式的乘法法则得到原式，约去得到原式，然后根据二次根式的性质化简即可．
【解析】原式．
故答案为3．
12．（2024春 南昌期中）写出一个正整数，使是最简二次根式，则可以是 1（答案不唯一） ．
【答案】1（答案不唯一）．
【分析】根据最简二次根式的概念解答即可．
【解析】当时，，
是最简二次根式，
故答案为：1（答案不唯一）．
13．（2023春 东港区期末）若等式成立，则的取值范围是 ．
【答案】．
【分析】根据二次根式的乘法法则得出不等式组，求出不等式组的解集即可．
【解析】要使等式成立，必须，
解得：，
故答案为：．
14．（2024秋 宁强县期末）实数，在数轴上对应位置如图所示，则 ．
【答案】．
【分析】由数轴得，，进一步得出，再根据二次根式的性质化简即可．
【解析】由数轴得，，
，
，
故答案为：．
15．（2024 岳阳楼区校级开学）已知实数、满足，，则的值为 ．
【答案】．
【分析】将所求式子变形为，再将，代入求值即可．
【解析】，，
，，
，
当，时，原式．
故答案为：．
16．（2024春 东港区校级月考）关于的方程的解是 ．
【答案】．
【分析】先利用分母有理化进行化简计算，然后再按照解一元一次方程的步骤进行计算，即可解答．
【解析】，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
17．（2024秋 浦东新区校级期末）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先化简各数，再合并同类二次根式即可；
（2）先化简各数，再合并同类二次根式即可．
【解析】（1）原式；
（2）原式．
18．（2024 怀远县校级开学）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先运用二次根式的乘除运算可得原式，再进行化简即可；
（2）先运用二次根式的乘除运算可得原式，再进行化简即可．
【解析】（1）
；
（2）
．
19．（2024秋 澧县期末）先化简，后求值：，其中，．
【分析】先分别将分子、分母进行因式分解，再约分、合并同类项得到最简结果，最后将，的值代入计算即可．
【解析】原式
．
当，时，原式．
20．（2024秋 定兴县月考）已知与最简二次根式可以加减合并，是27的立方根．
（1）求，的值；
（2）求的平方根；
（3）若，求的值．
【分析】（1）根据题意，得到和是同类二次根式，求出的值，立方根的定义求出的值即可；
（2）先求出代数式的值，再根据平方根的定义进行求解即可；
（3）求出的值，将转化为，再代值计算即可．
【解析】（1），由题意，得：，
，
；
（2）当，时，
，
的平方根；
（3）
．
21．（2024秋 大名县期末）如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为．
（1）求长方形空地的周长；（结果化为最简二次根式）
（2）已知李明家种植的草莓售价为8元千克，且每平方米产草莓15千克，若李明家将所种的草莓全部销售完，销售收入为多少元？
【分析】（1）根据长方形的周长公式列式计算即可；
（2）先计算出种草莓的面积，再计算销售收入即可．
【解析】（1）长方形空地的周长
，
答：长方形空地的周长为．
（2）种草莓的面积为：
，
（元，
答：销售收入为4680元．
22．（2024秋 常德期末）阅读与思考
配方思想，是初中数学重要的思想方法之一，用配方思想方法，可以简化数学运算，常用的配方公式有：，．用配方思想方法，解答下面问题：
（1）已知：，求的值；
（2）已知：，，求的值；
（3）已知：，，，求的值．
【分析】（1）运用完全平方公式的变形求解即可；
（2）分别求出，，，的值，再将所要求的式子变形，最后整体代入计算即可；
（3）将变形为，最后整体代入计算即可．
【解析】（1）由条件可知；
（2），
，
，
，
原式
；
（3），，
．
23．（2024春 铁西区期中）我们在学习二次根式时，了解了分母有理化及其应用，其实，还有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消除分子中的根式．
比如：．
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较：和的大小可以先将它们分子有理化如下：
．
因为，所以，．
再例如，求的最大值、做法如下：
解：由，可知，而．
当时，分母有最小值2．所以的最大值是2．
利用上面的方法，完成下面问题：
（1）比较和的大小；
（2）求的最大值．
【分析】（1）利用分母有理化得到，，然后根据分母大的分数反而小解答即可；
（2）根据二次根式有意义的条件得出，，利用分母有理化得到，根据当时，分母有最小值即可解答．
【解析】（1），，
，
，
即；
（2），，
，
，
当时，分母有最小值，
则的最大值为：．
24．（2025 天元区校级自主招生）阅读材料，并完成下列任务：
材料一：裂项求和
小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，发现规律：为正整数），并证明了此规律成立．
材料二：根式化简
例；
例
（1）猜想并证明： 为正整数）．
（2）计算：；
（3）已知，，比较和的大小，并说明理由．
【分析】（1）根据例2，可以写出相应的猜想；
（2）根据分母有理化，可得二次根式的化简，根据二次根式的加减，即可得到答案；
（3）结合例1，例2的规律进行计算即可．
【解析】（1）猜想：，验证如下：
，
，
，
故答案为：；
（2）原式
；
（3）
，
，
故．中小学教育资源及组卷应用平台
第16章 二次根式 单元测试培优卷
一．选择题（共10小题）
1．（2025 乐陵市校级开学）下列式子中，一定是二次根式的是
A． B． C． D．
2．（2024秋 肥乡区期末）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是
A． B． C． D．
3．（2024秋 青龙县期末）最简二次根式与是同类二次根式，则
A．2 B．3 C．0 D．4
4．（2024秋 大祥区期末）已知，则的值为
A．5 B．3 C． D．
5．（2024秋 攸县期末）已知，，那么与的关系为
A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．是的平方根
6．（2024秋 曲阳县期末）已知，，则
A． B． C． D．
7．（2024秋 美兰区校级期末）下列计算，结果正确的是
A． B． C． D．
8．（2023秋 兴文县期末）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间（单位：和高度（单位：近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从高空抛物到落地所需时间为．从高空抛物到落地所需时间为，则的值是
A． B． C． D．2
9．（2025 献县开学）老师设计了一个“接力游戏”，几位同学合作完成二次根式的运算．如图，老师把题目交给第一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是
A．只有丁 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁
10．（2024秋 新安县校级月考）我国南宋时期数学家秦九韶（约公元1208年年）曾提出利用三角形的三边，，（其中，求其面积的秦九韶公式．若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积为
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题）
11．（2024 运城一模）化简： ．
12．（2024春 南昌期中）写出一个正整数，使是最简二次根式，则可以是 ．
13．（2023春 东港区期末）若等式成立，则的取值范围是 ．
14．（2024秋 宁强县期末）实数，在数轴上对应位置如图所示，则 ．
15．（2024 岳阳楼区校级开学）已知实数、满足，，则的值为 ．
16．（2024春 东港区校级月考）关于的方程的解是 ．
三．解答题（共8小题）
17．（2024秋 浦东新区校级期末）计算：
（1）；
（2）．
18．（2024 怀远县校级开学）计算：
（1）；
（2）．
19．（2024秋 澧县期末）先化简，后求值：，其中，．
20．（2024秋 定兴县月考）已知与最简二次根式可以加减合并，是27的立方根．
（1）求，的值；
（2）求的平方根；
（3）若，求的值．
21．（2024秋 大名县期末）如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为．
（1）求长方形空地的周长；（结果化为最简二次根式）
（2）已知李明家种植的草莓售价为8元千克，且每平方米产草莓15千克，若李明家将所种的草莓全部销售完，销售收入为多少元？
22．（2024秋 常德期末）阅读与思考
配方思想，是初中数学重要的思想方法之一，用配方思想方法，可以简化数学运算，常用的配方公式有：，．用配方思想方法，解答下面问题：
（1）已知：，求的值；
（2）已知：，，求的值；
（3）已知：，，，求的值．
23．（2024春 铁西区期中）我们在学习二次根式时，了解了分母有理化及其应用，其实，还有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消除分子中的根式．
比如：．
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较：和的大小可以先将它们分子有理化如下：
．
因为，所以，．
再例如，求的最大值、做法如下：
解：由，可知，而．
当时，分母有最小值2．所以的最大值是2．
利用上面的方法，完成下面问题：
（1）比较和的大小；
（2）求的最大值．
24．（2025 天元区校级自主招生）阅读材料，并完成下列任务：
材料一：裂项求和
小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，发现规律：为正整数），并证明了此规律成立．
材料二：根式化简
例；
例
（1）猜想并证明： 为正整数）．
（2）计算：；
（3）已知，，比较和的大小，并说明理由．
