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第17章 勾股定理 单元测试培优卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024春 威宁县期末）如图，在△中，，，，则的长为
A．6 B． C．24 D．2
2．（2024秋 定安县期末）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是
A．2，3，4 B．4，5，6 C．5，12，13 D．8，15，16
3．（2024秋 肥乡区期末）已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长是
A．10 B．10或 C． D．或
4．（2024秋 平顶山期末）如图，若正方形，的面积分别为25和16，则正方形的边长为
A．3 B．6 C．9 D．12
5．（2025 竞秀区开学）若直角三角形的其中两边是3和1，则第三边的长在数轴上所对应的点可能落在如图所标四段中的
A．①段 B．②段 C．②段或③段 D．③段或④段
6．（2025 鹿城区校级一模）小雯在学习了勾股定理的证明后，尝试制作了四个全等三角形纸板，并拼出一个新图形如图所示，若，，则正方形的周长为
A．14 B．17 C．20 D．24
7．（2024春 襄城县期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是
A． B．
C． D．
8．（2024秋 郑州期末）如图：在一个边长为1的小正方形组成的方格稿纸上，有、、、、、、七个点，则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是
A．点、点、点 B．点、点、点 C．点、点、点 D．点、点、点
9．（2024秋 罗湖区期末）如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离时，钟摆的长度是
A． B． C． D．
10．（2024秋 射洪市校级期末）勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一．如图，在△中，，以△各边为边向外作正方形、正方形、正方形．连接、、，若，，则这个六边形的面积为
A．28 B．26 C．32 D．30
二．填空题（共6小题）
11．（2024春 齐河县校级月考）下列几组数：①8，15，17；②1，2，；③0.3，0.4，0.5；④，，；⑤12，16，20．其中是勾股数的有 ．（填序号）
12．（2024秋 淄川区期末）如图，在四边形中，，，，四边形的周长为32，则的长为 ．
13．（2024春 花山区校级期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，，，是小正方形的顶点，则 ．
14．（2024秋 青羊区校级期末）如图，数轴上点所表示的数为1，点，，是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于，两点，则点所表示的数为 ．
15．（2024秋 城关区校级期末）如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形、正方形的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为 ．
16．（2024春 夏津县期末）如图，某港口位于南北延伸的海岸线上，东面是大海远洋号，长峰号两艘轮船同时离开港，各自沿固定方向航行，“远洋”号每小时航行，“长峰”号每小时航行，它们离开港口1小时后，分别到达，两个位置，且，已知“远洋”号沿着北偏东方向航行，那么“长峰”号航行的方向是 ．
三．解答题（共8小题）
17．（2024秋 普宁市期末）如图，△中，的垂直平分线分别交、于点、，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
18．（2024秋 贵州期末）如图，已知点，请你按要求分别设计，使，．
（1）的长为无理数，、的长均为有理数；
（2）的长为有理数，、的长均为无理数；
（3）三边的长均为无理数．
19．（2024秋 定安县期末）如图，已知在中，于，，，．
（1）求的长；
（2）求的长；
（3）判断的形状．
20．（2024春 官渡区校级期中）如图，在△中，内角，，所对应的边分别为，，．
（1）若，，满足，求证：△是直角三角形．
（2）若，，（其中，都是正整数，且，求证：△是直角三角形．
21．（2024秋 临淄区期末）如图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条到的小路，经测量，，，，，．
（1）求小路的长；
（2）淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点处，小狗以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点处停止奔跑．现在小狗从点出发，奔跑秒后到达小路上的某点，此时小狗与淇淇的距离最近，求的值．
22．（2023秋 沈丘县期末）图1为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．根据该图，赵爽用两种不同的方法计算正方形的面积，通过正方形面积相等，从而证明了勾股定理．现有4个全等的直角三角形（图2中灰色部分），直角边长分别为，，斜边长为，将它们拼合为图2的形状．
（1）小诚同学在图2中加了相应的虚线，从而轻松证明了勾股定理，请你根据小诚同学的思路写出证明过程；
（2）当，时，求图2中空白部分的面积．
23．（2024春 黄石港区期末）阅读下列一段文字，回答问题．
【材料阅读】平面内两点，，，，则由勾股定理可得，这两点间的距离．
例如，如图1，，，则．
【直接应用】
（1）已知，，求、两点间的距离；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，，，与轴正半轴的夹角是．
①求点的坐标；
②试判断的形状．
24．（2025 开福区校级开学）春晚已经成为中国现代化发展的文化符号：成为国家交流和对外传播的品牌和名片，成为彰显中国文化软实为的代表，从而构筑中国精神，中国价值，中国力量．在2025年中央广播电视台联欢晚会中：“巳巳如意“被用作主题，与“生生不息“相结合；表达了对未来的美好期望和祝福．我们定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫做“巳巳如意三角形”．
（1）根据“巳巳如意三角形”的定义，可知等腰直角三角形 “是”或“不是” ；
（2）若某三角形的三边长分别为6，，8，问该三角形是不是“巳巳如意三角形”？请作出判断并写出判断依据；
（3）在△中，三边长分别为，，，且，，若这个三角形是“巳巳如意三角形”，请你求出的值，并说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台
第17章 勾股定理 单元测试培优卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024春 威宁县期末）如图，在△中，，，，则的长为
A．6 B． C．24 D．2
【答案】
【分析】根据勾股定理计算即可．
【解析】，，，
根据勾股定理，得．
故选．
2．（2024秋 定安县期末）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是
A．2，3，4 B．4，5，6 C．5，12，13 D．8，15，16
【答案】
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形，逐一判定即可．
【解析】、，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
、，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
、，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故本选项符合题意；
、，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选．
3．（2024秋 肥乡区期末）已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长是
A．10 B．10或 C． D．或
【答案】
【分析】题目中没有说明两条边是否包含斜边，因此需分边长为8的边是直角和斜边两种情况，利用勾股定理分别求解．
【解析】当边长为8的边是直角边时，
第三边为斜边，边长为：；
当边长为8的边是斜边时，
第三边为直角边，边长为：；
因此第三边的长是10或，
故选．
4．（2024秋 平顶山期末）如图，若正方形，的面积分别为25和16，则正方形的边长为
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】
【分析】设正方形、、的边长分别为：，，，由勾股定理即可求解．
【解析】设正方形、、的边长分别为：，，，
正方形，的面积分别为25和16，
，，，
，
（负值舍去）．
故选．
5．（2025 竞秀区开学）若直角三角形的其中两边是3和1，则第三边的长在数轴上所对应的点可能落在如图所标四段中的
A．①段 B．②段 C．②段或③段 D．③段或④段
【答案】
【分析】分当3是直角边长时，当3是斜边长时，求出第三边的长即可得出结论．
【解析】当3是直角边长时，第三边长，
可能落在③段；
当3是斜边长时，第三边长，
可能落在②段；
综上所述，可能落在②段或③段；
故选．
6．（2025 鹿城区校级一模）小雯在学习了勾股定理的证明后，尝试制作了四个全等三角形纸板，并拼出一个新图形如图所示，若，，则正方形的周长为
A．14 B．17 C．20 D．24
【答案】
【分析】先设每个三角形的长直角边为，短直角边为，然后根据题意和图形可以得到，然后求出、的值，再根据勾股定理即可求得的长，最后根据正方形的周长边长计算即可．
【解析】设每个三角形的长直角边为，短直角边为，
由题意可得，，
解得，
，
正方形的周长为，
故选．
7．（2024春 襄城县期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理．
【解析】、大正方形的面积为：；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，
，故选项能证明勾股定理．
、梯形的面积为：；
也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：，
，
，故选项能证明勾股定理．
、大正方形的面积为：；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，
，
，故选项能证明勾股定理．
、大正方形的面积为：；
也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：，
，
选项不能证明勾股定理．
故选．
8．（2024秋 郑州期末）如图：在一个边长为1的小正方形组成的方格稿纸上，有、、、、、、七个点，则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是
A．点、点、点 B．点、点、点
C．点、点、点 D．点、点、点
【答案】．
【分析】根据勾股定理分别求得每两个点之间的距离的平方，再进一步利用勾股定理的逆定理进行分析．
【解析】、，，，，不可以构成直角三角形；
、，，，，不可以构成直角三角形；
、，，，，可以构成直角三角形
、，，，，不可以构成直角三角形．
故选．
9．（2024秋 罗湖区期末）如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离时，钟摆的长度是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】设 ，根据题意可推出，然后在△中利用勾股定理列方程求解即可．
【解析】设 ，
根据题意可知，，，，，
，
，
在△中，，
，即，
解得：，
故选．
10．（2024秋 射洪市校级期末）勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一．如图，在△中，，以△各边为边向外作正方形、正方形、正方形．连接、、，若，，则这个六边形的面积为
A．28 B．26 C．32 D．30
【答案】
【分析】根据，，想法把，，求出来，想到作辅助线，构造直角三角形．
【解析】设，，，过作作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为，
，，
，
在△与△中，
，
△△，
，，
同理可证△△，
，，
在△中，，即，
在△中，，即，
，，．
．
故选．
二．填空题（共6小题）
11．（2024春 齐河县校级月考）下列几组数：①8，15，17；②1，2，；③0.3，0.4，0.5；④，，；⑤12，16，20．其中是勾股数的有 ①⑤ ．（填序号）
【答案】①⑤．
【分析】根据勾股数的定义，逐一判断即可求解．
【解析】①，
，15，17是勾股数；
②不是整数，故1，2，不是勾股数；
③0.3，0.4，0.5不是整数，故0.3，0.4，0.5不是勾股数；
④，，不是整数，故，，不是勾股数；
⑤，
，16，20是勾股数；
故答案为：①⑤．
12．（2024秋 淄川区期末）如图，在四边形中，，，，四边形的周长为32，则的长为 10 ．
【答案】10．
【分析】连接，可证明△是等边三角形，得出，，进而得出，根据勾股定理计算即可得到答案．
【解析】如图，连接，
，，
△是等边三角形，
，，
，
由条件可知，
，
在△中，，
，
故答案为：10．
13．（2024春 花山区校级期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，，，是小正方形的顶点，则 45 ．
【答案】45．
【分析】连接，先根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，再根据，从而可得是等腰直角三角形，即可解答．
【解析】连接，
由题意得：，
，
，
，
是直角三角形，
，
，
，
故答案为：45．
14．（2024秋 青羊区校级期末）如图，数轴上点所表示的数为1，点，，是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于，两点，则点所表示的数为 ．
【答案】．
【分析】直接利用勾股定理得出的长，再利用数轴得出答案．
【解析】轴，
，
是直角三角形，
，，
，
，
点所表示的数为：．
故答案为：．
15．（2024秋 城关区校级期末）如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形、正方形的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为 139 ．
【答案】139．
【分析】根据勾股定理求得的长度，然后结合图形得到：阴影部分的面积正方形的面积直角三角形的面积．
【解析】根据题意知，，，
所以，，，
所以．
故答案为：139．
16．（2024春 夏津县期末）如图，某港口位于南北延伸的海岸线上，东面是大海远洋号，长峰号两艘轮船同时离开港，各自沿固定方向航行，“远洋”号每小时航行，“长峰”号每小时航行，它们离开港口1小时后，分别到达，两个位置，且，已知“远洋”号沿着北偏东方向航行，那么“长峰”号航行的方向是 南偏东 ．
【答案】南偏东．
【分析】由题意得：与重合，得出，由勾股定理的逆定理得出是直角三角形，，求出，即可得出答案．
【解析】由题意得：与重合，如图所示：
，，，
，
，
是直角三角形，
，
，
，
“长峰”号航行的方向是南偏东，
故答案为：南偏东．
三．解答题（共8小题）
17．（2024秋 普宁市期末）如图，△中，的垂直平分线分别交、于点、，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质可得，然后利用勾股定理逆定理可得结论；
（2）首先确定的长，进而可得的长，再利用勾股定理进行计算即可．
【解析】（1）证明：连接，
的垂直平分线分别交、于点、，
，
，
，
，
△是直角三角形，且；
（2）解：，，
设，，
，
，
由勾股定理得：，
即，
．
18．（2024秋 贵州期末）如图，已知点，请你按要求分别设计，使，．
（1）的长为无理数，、的长均为有理数；
（2）的长为有理数，、的长均为无理数；
（3）三边的长均为无理数．
【分析】（1）根据题目要求画三边长为2，2，的三角形；
（2）画三边长为，和2的三角形；
（3）画三边长为，和的三角形．
【解析】（1）如图所示：，则；
（2）如图所示：，则；
（3）如图所示：，则．
19．（2024秋 定安县期末）如图，已知在中，于，，，．
（1）求的长；
（2）求的长；
（3）判断的形状．
【分析】（1）在中，根据勾股定理求出的长；
（2）在中根据勾股定理求出的长，故可得出的长；
（3）由勾股定理的逆定理即可得出结论．
【解析】（1）在中，因为，
所以．
所以．
所以．
（2）在中，因为，
所以．
所以．
所以．
所以．
（3）因为，，
所以．
所以是直角三角形．
20．（2024春 官渡区校级期中）如图，在△中，内角，，所对应的边分别为，，．
（1）若，，满足，求证：△是直角三角形．
（2）若，，（其中，都是正整数，且，求证：△是直角三角形．
【分析】（1）根据比例的性质，以及完全平方公式进行计算，即可解答；
（2）根据勾股定理的逆定理进行计算，即可解答．
【解析】证明：（1），
，
，
，
，
△是直角三角形；
（2），，，
，
，
，
△是直角三角形
21．（2024秋 临淄区期末）如图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条到的小路，经测量，，，，，．
（1）求小路的长；
（2）淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点处，小狗以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点处停止奔跑．现在小狗从点出发，奔跑秒后到达小路上的某点，此时小狗与淇淇的距离最近，求的值．
【分析】（1）先运用勾股定理列式计算，即可作答．
（2）先证明，再运用面积法，得出，根据勾股定理列式计算得出，最后结合运动速度，即可作答．
【解析】（1），，，
在△中，，
小路的长为；
（2）如图所示：过作，
当小狗在小路上奔跑，且跑到点的位置时，小狗淇淇的距离最近．
，．，
，，
即，
，
则，
即，
，
由题意可得：，
则，
当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑12秒与淇淇的距离最近．
22．（2023秋 沈丘县期末）图1为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．根据该图，赵爽用两种不同的方法计算正方形的面积，通过正方形面积相等，从而证明了勾股定理．现有4个全等的直角三角形（图2中灰色部分），直角边长分别为，，斜边长为，将它们拼合为图2的形状．
（1）小诚同学在图2中加了相应的虚线，从而轻松证明了勾股定理，请你根据小诚同学的思路写出证明过程；
（2）当，时，求图2中空白部分的面积．
【分析】（1）根据图形可得，图2中图形的总面积可以表示为：以为边的正方形的面积两个直角三角形的面积；也可以表示为：以和为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积；两种表示方法面积相等，即可求证；
（2）根据图形可得空白部分面积等于以为边的正方形的面积两个直角三角形的面积，将，代入求解即可．
【解析】（1）证明：图2中图形的总面积可以表示为：以为边的正方形的面积两个直角三角形的面积，
即，
也可以表示为：以和为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积，
即，
，即．
（2）解：当，时，，
由图可知，空白部分面积以为边的正方形的面积两个直角三角形的面积，
即：空白部分面积为：．
23．（2024春 黄石港区期末）阅读下列一段文字，回答问题．
【材料阅读】平面内两点，，，，则由勾股定理可得，这两点间的距离．
例如，如图1，，，则．
【直接应用】
（1）已知，，求、两点间的距离；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，，，与轴正半轴的夹角是．
①求点的坐标；
②试判断的形状．
【分析】（1）由两点间的距离公式可求出答案；
（2）①过点作轴于点，求出，则可求出答案；
②求出和的长，由勾股定理的逆定理可得出结论．
【解析】（1），，
；
（2）①过点作轴于点，
与轴正半轴的夹角是，
，
，
，
；
②，，
，，
，，
，
是直角三角形．
24．（2025 开福区校级开学）春晚已经成为中国现代化发展的文化符号：成为国家交流和对外传播的品牌和名片，成为彰显中国文化软实为的代表，从而构筑中国精神，中国价值，中国力量．在2025年中央广播电视台联欢晚会中：“巳巳如意“被用作主题，与“生生不息“相结合；表达了对未来的美好期望和祝福．我们定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫做“巳巳如意三角形”．
（1）根据“巳巳如意三角形”的定义，可知等腰直角三角形 是 “是”或“不是” ；
（2）若某三角形的三边长分别为6，，8，问该三角形是不是“巳巳如意三角形”？请作出判断并写出判断依据；
（3）在△中，三边长分别为，，，且，，若这个三角形是“巳巳如意三角形”，请你求出的值，并说明理由．
【分析】（1）根据“巳巳如意三角形”的定义判断即可；
（2）根据“巳巳如意三角形”的定义判断即可；
（3）先由勾股定理求出的值，再根据“巳巳如意三角形”的定义判断出正确的的值，即可得出答案．
【解析】（1）三角形为等腰直角三角形，
设直角边为，则斜边为，
，
等腰直角三角是“巳巳如意三角形”，
故答案为：是；
（2）该三角形是“巳巳如意三角形”，理由如下：
，
该三角形是“巳巳如意三角形”；
（3）的值为，理由如下：
△中，三边长分别为，，，且，，
或，
当时，，
这个三角形是“巳巳如意三角形”，
此时，（负值已舍去）；
当时，、、，
这个三角形不是“巳巳如意三角形”；
综上所述，的值为．
