21反比例函数的概念与性质——北师大版数学2025年中考一轮复习测
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（2024九上·茂名月考）反比例函数的图象经过点，则这个反比例函数的表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：设反比例函数的解析式为，
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数解析式为：，
故答案为：C．
【分析】根据题意直接将点代入函数解析式即可求出k.
2．（2025九上·麻章期末）已知某蓄电池的电压为定值，电流I与电阻R满足反比例函数关系，它的图象如图所示，则该蓄电池的电压是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：∵某蓄电池的电压为定值，电流I与电阻R满足反比例函数关系，且经过
∴设电流I与电阻R满足
把代入，
解得
∴该蓄电池的电压是
故答案为：A
【分析】设，根据待定系数法将点代入，即可求出答案.
3．（2024九上·南山期中） 如图， 矩形OABC中， 点B(4，2)， 点A， C分别在x轴， y轴上， 边AB， BC交函数 的图象于点D， E， 将矩形OABC 沿DE折叠， 点B的对应点F 恰好落在x轴上， 则k的值为( )
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；勾股定理；同侧一线三垂直全等模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点D作，垂足为G，如图所示．
∵点，点A，C分别在x轴，y轴上，边，交函数的图象于点D，E，
∴，，．
又∵与关于直线对称，点F恰好落在x轴上，
∴，，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：，
∵，
即，
解得：．
故答案为：C．
【分析】本题考查反比例函数的性质，勾股定理，一线三直角相似.过点D作，根据反比例函数点的特征可求出点D和点E的坐标，进而可求出DG，根据轴对称的性质可得，，利用角的运算可推出，利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得，进而可求出，利用勾股定理可列出方程，解方程可求出k的值.
4．（2024九下·深圳开学考）已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 反比例函数的图象经过第一、三象限，
∴ab＞0，即a、b同号；
当a、b同为正数时，二次函数y=ax2-2x的开口向上，对称轴在y轴的右侧，抛物线经过坐标原点；一次函数y=bx+a的图象经过第一、二、三象限，故B选项错误，不符合题意，C选项正确，符合题意；
当a、b同为负数时，二次函数y=ax2-2x的开口向下，对称轴在y轴的左侧，抛物线经过坐标原点；一次函数y=bx+a的图象经过第二、三、四象限，故A、D选项错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】反比例函数，当k＞0时，图象的两支分布在一、三象限，当k＜0时图象的两支分布在二、四象限；y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限；二次函数y=ax2+bx+c，当a＞0时图象开口向上，a＜0时图象开口向下，当a、b同号时图象的对称轴在y轴的左侧，当a、b异号时，图象的对称轴在y轴的右侧，当c＞0时，图象交y轴的正半轴，当c=0时，图象经过坐标原点，当c＜0时，图象交y轴的负半轴，据此逐个判断得出答案.
5．（2024九上·新会开学考）若点都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ 点都在反比例函数的图象上
令时，，解得：
令时，，解得：
令时，，解得：．
∵5>2>-2
．
故选：C．
【分析】
根据已知条件，分别令y=-5，y=2，y=5求出的值，然后进行数值比较即可．
6．（2024九上·蓬江期末）已知反比例函数，则下列结论不正确的是（ ）
A．函数图象分别位于第二、四象限
B．当时，
C．在每一个象限内，y随x的增大而增大
D．函数图象经过点
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、反比例函数分布在第二、四象限，A不符合题意；
B、当时，，B符合题意；
C、反比例函数在每一个象限内，y随着的增大而增大，C不符合题意；
D、当时，， 函数图象经过点，D不符合题意．
故答案为：B
【分析】根据反比例函数的图象即可判断A；进而根据x的取值得到y的取值，从而判断B；根据反比例函数的性质即可判断C；再根据反比例函数图象上的点的坐标特征将x=2代入即可得到y的值，从而判断D.
7．（2024九下·顺德模拟）若点在反比例函数的图象上，下列哪个点也在函数图象上（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的概念；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
8．（2024八下·黄埔期中）李大爷想围成一个如图所示的长方形菜园，已知长方形菜园的面积为平方米，设边的长为米，边的长为米，则与之间的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数解析式；列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：根据题意可得：，
∴．
故答案为：A．
【分析】利用长方形的面积公式可得，再求出即可．
9．（2024九下·东莞期中）若点A（﹣3，a），B（﹣1，b），C（2，c）都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
10．（2020九上·广东月考）若 与 都是反比例函数 图象上的点，则a的值是（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点 是反比例函数 图象上的点；
∴k=2×4=8
∴反比例函数解析式为：
∵点 是反比例函数 图象上的点，
∴a=-4
故答案为：B．
【分析】将点A坐标代入求出反比例函数表达式，再将B点坐标代入求解即可。
11．（2023九上·光明期中）下列关于反比例函数的说法正确的是（ ）
A．反比例函数图象必经过点
B．图象在第二、四象限内
C．在每个象限内，y随x的增大而减小
D．当时，
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：A．把代入可得，左边=4，右边=，左边≠右边，∴反比例函数图象不经过点，A不符合题意；
B．∵k＜0，∴函数图象在第二、四象限内，B符合题意；
C．∵k＜0，函数图象在第二、四象限内，∴在每个象限内，y随x的增大而增大，C不符合题意；
D．当x＞-1时，y＞8或y＜0，D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据反比例函数的图象与性质对选项进行逐一分析判断即可求解.
12．（2024·南山模拟） 如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数的图象上，点C在y轴上，，轴，于点D，若点A的横坐标为5，，则k值为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：延长BD交x轴于点E，作BG⊥y轴于点G，作AF⊥x轴，
则四边形OCAF、COED、ADEF、BGCD均为矩形，
∴BG=CD，AF=DE，CD=OE，
设B点坐标为（m，n），则BG=CD=OE=m，BE=n，
∵AC=AB=5，
∴AD=AC-CD=5-m，
∵BD=3CD=3m，
∴AF=DE=BE-BD=n-3m，
在Rt△ABD中，BD2+AD2=AB2，
即 （3m）2+（5-m）2=52，
解得：m1=1，m2=0（舍去），
∴DE=n-3，AF=n-3，
∴B（1，n），A（5，n-3），
∵点B（1，n），A（5，n-3）在反比例函数图象上，
∴n=5（n-3），
解得： ，
∴；
故答案为：D.
【分析】延长BD交x轴于点E，作BG⊥y轴于点G，作AF⊥x轴，根据矩形的对边相等可得BG=CD，AF=DE，CD=OE，设B点坐标为（m，n），则BG=CD=OE=m，BE=n，在直角△ABD中利用勾股定理建立方程，求得m值，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，求出n值，即可求解.
二、填空题（每题3分，共15分）
13．（2024九上·电白月考）若函数是反比例函数，则的值是 ．
【答案】
【知识点】反比例函数的概念
14．（2024九上·三水月考）反比例函数的图象经过，、三点，则的值为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数的概念；待定系数法求反比例函数解析式
15．（2024九下·江海期中）在平面直角坐标系中，若反比例函数（）的图象经过点和点，则的值为 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
16．（2024九下·宝安模拟）如图，在中，，在轴上，平分，平分，与相交于点，且，，反比例函数的图象经过点，则的值为 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；角平分线的概念；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
17．（2024九下·东莞模拟）如图，矩形的顶点B和正方形的顶点E都在反比例函数的图象上，点B的坐标为，则点E的坐标为 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质
【解析】【解答】解：点B的坐标为在反比例函数的图象上，
反比例函数的解析式为
四边形是正方形
又点在反比例函数图象上
不妨设 ，那么
，
故答案为：．
【分析】根据待定系数法将点B坐标代入反比例函数解析式可得反比例函数的解析式为，再根据正方形性质可得AD=ED，设 ，那么，再根据两点间距离建立方程，解方程即可求出答案。
三、解答题（共7题，共49分）
18．如图，一次函数与反比例函数交于两点，其中点A的坐标为．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）在第二象限的反比例函数图象上是否存在一点M，使得AMB的面积是AOB面积的2倍？若存在，求出点M的横坐标，若不存在，请说明理由；
（3）请结合图形，直接写出不等式的解集．
【答案】（1）解：根据题意，
一次函数与反比例函数交于点，
把点分别代入和，
一次函数解析式为：，
反比例函数的解析式为：；
（2）解：由题意，联合得方程组：
，解得：或，
∴点B的坐标为（-1，6）；
由题意知，分两种情况求解：
①连接OA、OB，延长AO交反比例函数图象于一点M，则点M在第二象限，连接BM，如图1：
∵点A和点M都是反比例函数y=x图像上的点，而且直线AM经过原点，
∴点A和点M关于原点O对称，
∴AO=MO，即点O是AM的中点
，
点为，
点为，
点的横坐标为-4；
②如图1，过作直线使，
设直线的解析式为，将代入，解得，
直线的解析式为，
∴可知在直线AB上方，到直线AB的距离与l到直线AB距离相等的直线l'的解析
式为
由题意知与在第二象限的交点为
联立方程组
解得或（不合题意，舍去）
点的横坐标为；
综上所述，存在，点的横坐标为-4或；
（3）解：且
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】解：（3）根据图像
点为，点为，
不等式的解集为：且；
【分析】（1）把已知点A的坐标分别代入一次函数和反比例函数的解析式，可以求解出一次函数的斜率m和反比例函数的比例系数k，从而得到这两个函数的解析式；
（2）要找的点M使得三角形AMB的面积是三角形AOB面积的两倍。考虑到三角形的面积可以通过底乘高的一半来计算，我们可以尝试找到一个点M，使得MB是AB的两倍，且M位于第二象限的反比例函数图象上。我们可以先假设存在这样的点M，并根据题意和反比例函数的性质来推导出点M的横坐标；
（3）通过观察图像，找出一次函数图象在反比例图象上方时x的取值范围即可。
19．（【深圳市中考数学备考指南】专题9反比例函数与一次函数结合的有关计算(易1））如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为（2，4），点B的坐标为（n，2）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）点E为x轴上一个动点，若S△AEB＝5，试求点E的坐标．
【答案】（1）解：把点代入得，
解得，
反比例函数的表达式为，
点代入得，
解得，
点的坐标为，
直线过点，
，解得，
∴一次函数的表达式为y＝﹣x+6
（2）解：设点E的坐标为（a，0），
在y＝﹣x+6中，令y＝0，则﹣x+6＝0，解得x＝6，
∴点C（6，0），
∴CE＝|a﹣6|，
∵S△AEB＝S△AEC﹣S△BEC＝5，
解得a1＝11，a2＝1，
∴点E的坐标为（11，0）或（1，0）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）利用待定系数法，将A点的坐标代入反比例函数的解析式中求出m的值，进而求出比例函数的解析式；将B点的坐标代入反比例的解析式中求出n的值从而求解出B点的坐标，将A、B点的坐标代入一次函数的解析式中求出k、b的值，进而得到函数的解析式；
（2）需要确定动点E的坐标，使得三角形AEB的面积为5。这里的关键在于理解三角形面积的计算方法。给定三角形的底边长和高，可以直接利用公式×底×高来计算面积。在这个问题中，实际上是将三角形AEB分解为了两个更小的三角形AEC和BEC，其中C是直线AB与x轴的交点。通过计算这两个三角形的面积差，可以得到一个关于点E的x坐标（a）的方程，解这个方程就可以找到满足条件的点E的位置。
20．（2020九上·高明期末）如图，反比例函数 的图象与正比例函数 的图象交于点 和 ，点 在反比例函数 的图象上．
（1）求反比例函数的表达式和点 的坐标；
（2）求 的面积．
【答案】（1）解：把点 代入 ，得
∴反比例函数的表达式为
∵把 代入 得：
∴点 坐标为（1，4）．
（2）解：∵点 与点 关于原点对称，点
∴点
设 与 轴交于点 ，直线 的函数关系式为 ，
把点 、 分别代入得： ，解得
∴直线 的函数关系式为
∴点 的坐标（0，3）
∴
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数的表达式为 ，再求点的坐标即可；
（2）根据题意先求出 直线 的函数关系式为 ，再求出 点 的坐标（0，3） ，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
21．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A，C分别在坐标轴上，点B的坐标为，直线交AB，BC于点M，N，反比例函数的图象经过点M，N．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在x轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．
【答案】（1）解：∵B（4，2），四边形OABC是矩形，
∴OA＝BC＝2，
将y＝2代入y＝﹣x+3得：x＝2，
∴M（2，2），
把M的坐标代入y＝得：k＝4，
∴反比例函数的解析式是y＝
（2）解：把x＝4代入y＝得：y＝1，即CN＝1，
∵S四边形BMON＝S矩形OABC﹣S△AOM﹣S△CON
＝4×2﹣×2×2﹣×4×1＝4，
由题意得：|OP|×AO＝4，
∵AO＝2
∴|OP|＝4，
∴点P的坐标是（4，0）或（﹣4，0）
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质，求得点M的坐标，把点M的坐标代入反比例函数的解析式求得k的值，从而求得反比例函数的解析式；
（2）由题意，S四边形BMON = S矩形OABC - S△AOM-S△CON，将数据代入计算出S四边形BMON=4，从而有S△OPM=4，再分当点P在y轴的正半轴时和当点P在y轴的负半轴时，利用三角形面积公式求解．
22．（2024九上·电白月考）小明新买了一盏亮度可调节的台灯（如图1所示），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流（单位：）与电阻R（单位：）满足反比例函数关系，其图象如图2所示．
（1）求I关于R的函数解析式；
（2）当时，求I的值．
【答案】（1）
（2）
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
23．（2024九上·深圳期末）如图，点A 在反比例函数的图象上，轴于点B，，．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若直线垂直平分线段，交于点D，交y轴于点C，交x轴于点E，求线段的长．
【答案】（1）
（2）5
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；线段垂直平分线的性质；勾股定理
24．（2024九上·深圳月考）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足、为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”．
（1）【尝试初探】
点 “美好点”（填“是”或“不是” ；若点是第一象限内的一个“美好点”，则 ；
（2）【深入探究】
若“美好点” ，在双曲线，且为常数）上，则 ；
（3）【拓展延伸】
我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”．
①求关于的函数表达式，并求出自变量的取值范围；
②在图2的平面直角坐标系中画出函数图象：
列表：下表是与的几组对应值，请将下表填写完整．
3 4 5 6 7 8
描点：根据表中各组对应值，在图2的平面直角坐标系中描出各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；
③结合图象研究性质，下列结论正确的选项是 ▲ ；（多项选择，全部选对的得2分，部分选对的得1分，有选错的不得分）
．图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点；
．随着的增大而减小；
．随着的增大而增大；
．图象经过点．
④对于图象上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由．
⑤结合上述问题，观察图象可知该图象可由哪个函数的图象怎样平移得到？
【答案】（1）不是；4
（2）18
（3）①点是第一象限内的“美好点”，
，
化简得：，
第一象限内的点的横坐标为正，
，
解得：，
关于的函数表达式为：（）；
②列表如下，
如图如图所示：
③故答案为：AB；
④，
，
对于图象上任意一点，代数式是为定值，定值为．
⑤该图象可由向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，
故答案为：；
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：（1），
点不是“美好点”，
点是第一象限内的一个“美好点”，
，
解得：，
故答案为：不是，4；
（2）是“美好点”，
，
解得：，
，
将代入双曲线，
得，
故答案为：18；
（3）③由图象可得：
A，图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点，A正确；
B，由图象可知随着的增大而减小，B正确；
C，随着的增大而增大，该选项说法错误，C错误；
D，当时，，所以图象经过点，故该选项说法错误，D错误
故答案为：AB；
【分析】本题考查矩形的性质、反比例函数的图象与性质．
（1）通过计算可得，再根据“美好点”的定义可以判断点是不是“美好点”，根据“美好点”的定义可列出方程，解方程可求出的值；
（2）根据“美好点”的定义可列出方程，解方程可求出的值，得据此可得的坐标，将点代入反比例函数解析式，可求出k的值，据此可求出答案；
（3）①根据“美好点”的定义可得，通过化简可得：，再根据第一象限内的点的横坐标为正，可列出不等式组，解不等式组可求出x的取值范围，据此可求出关于的函数表达式为；
②先列出表格，再进行描点连线，可画出函数图象，
③根据图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点，可判断A选项；根据函数图象下降，据此可得图象可知随着的增大而减小，据此可判断B选项和C选项；根据当时，，所以图象经过点，据此可判断D选项.
④将代入，通过化简可得：，据此可得出答案，
⑤由图象观察可知，该图像可由向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，据此可得到答案.
1 / 121反比例函数的概念与性质——北师大版数学2025年中考一轮复习测
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（2024九上·茂名月考）反比例函数的图象经过点，则这个反比例函数的表达式为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025九上·麻章期末）已知某蓄电池的电压为定值，电流I与电阻R满足反比例函数关系，它的图象如图所示，则该蓄电池的电压是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·南山期中） 如图， 矩形OABC中， 点B(4，2)， 点A， C分别在x轴， y轴上， 边AB， BC交函数 的图象于点D， E， 将矩形OABC 沿DE折叠， 点B的对应点F 恰好落在x轴上， 则k的值为( )
A．2 B． C．3 D．
4．（2024九下·深圳开学考）已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A． B．
C． D．
5．（2024九上·新会开学考）若点都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·蓬江期末）已知反比例函数，则下列结论不正确的是（ ）
A．函数图象分别位于第二、四象限
B．当时，
C．在每一个象限内，y随x的增大而增大
D．函数图象经过点
7．（2024九下·顺德模拟）若点在反比例函数的图象上，下列哪个点也在函数图象上（ ）
A． B． C． D．
8．（2024八下·黄埔期中）李大爷想围成一个如图所示的长方形菜园，已知长方形菜园的面积为平方米，设边的长为米，边的长为米，则与之间的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024九下·东莞期中）若点A（﹣3，a），B（﹣1，b），C（2，c）都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
10．（2020九上·广东月考）若 与 都是反比例函数 图象上的点，则a的值是（ ）
A．4 B． C．2 D．
11．（2023九上·光明期中）下列关于反比例函数的说法正确的是（ ）
A．反比例函数图象必经过点
B．图象在第二、四象限内
C．在每个象限内，y随x的增大而减小
D．当时，
12．（2024·南山模拟） 如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数的图象上，点C在y轴上，，轴，于点D，若点A的横坐标为5，，则k值为（ ）
A．3 B．4 C． D．
二、填空题（每题3分，共15分）
13．（2024九上·电白月考）若函数是反比例函数，则的值是 ．
14．（2024九上·三水月考）反比例函数的图象经过，、三点，则的值为 ．
15．（2024九下·江海期中）在平面直角坐标系中，若反比例函数（）的图象经过点和点，则的值为 ．
16．（2024九下·宝安模拟）如图，在中，，在轴上，平分，平分，与相交于点，且，，反比例函数的图象经过点，则的值为 ．
17．（2024九下·东莞模拟）如图，矩形的顶点B和正方形的顶点E都在反比例函数的图象上，点B的坐标为，则点E的坐标为 ．
三、解答题（共7题，共49分）
18．如图，一次函数与反比例函数交于两点，其中点A的坐标为．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）在第二象限的反比例函数图象上是否存在一点M，使得AMB的面积是AOB面积的2倍？若存在，求出点M的横坐标，若不存在，请说明理由；
（3）请结合图形，直接写出不等式的解集．
19．（【深圳市中考数学备考指南】专题9反比例函数与一次函数结合的有关计算(易1））如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为（2，4），点B的坐标为（n，2）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）点E为x轴上一个动点，若S△AEB＝5，试求点E的坐标．
20．（2020九上·高明期末）如图，反比例函数 的图象与正比例函数 的图象交于点 和 ，点 在反比例函数 的图象上．
（1）求反比例函数的表达式和点 的坐标；
（2）求 的面积．
21．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A，C分别在坐标轴上，点B的坐标为，直线交AB，BC于点M，N，反比例函数的图象经过点M，N．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在x轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．
22．（2024九上·电白月考）小明新买了一盏亮度可调节的台灯（如图1所示），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流（单位：）与电阻R（单位：）满足反比例函数关系，其图象如图2所示．
（1）求I关于R的函数解析式；
（2）当时，求I的值．
23．（2024九上·深圳期末）如图，点A 在反比例函数的图象上，轴于点B，，．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若直线垂直平分线段，交于点D，交y轴于点C，交x轴于点E，求线段的长．
24．（2024九上·深圳月考）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足、为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”．
（1）【尝试初探】
点 “美好点”（填“是”或“不是” ；若点是第一象限内的一个“美好点”，则 ；
（2）【深入探究】
若“美好点” ，在双曲线，且为常数）上，则 ；
（3）【拓展延伸】
我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”．
①求关于的函数表达式，并求出自变量的取值范围；
②在图2的平面直角坐标系中画出函数图象：
列表：下表是与的几组对应值，请将下表填写完整．
3 4 5 6 7 8
描点：根据表中各组对应值，在图2的平面直角坐标系中描出各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；
③结合图象研究性质，下列结论正确的选项是 ▲ ；（多项选择，全部选对的得2分，部分选对的得1分，有选错的不得分）
．图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点；
．随着的增大而减小；
．随着的增大而增大；
．图象经过点．
④对于图象上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由．
⑤结合上述问题，观察图象可知该图象可由哪个函数的图象怎样平移得到？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：设反比例函数的解析式为，
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数解析式为：，
故答案为：C．
【分析】根据题意直接将点代入函数解析式即可求出k.
2．【答案】A
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：∵某蓄电池的电压为定值，电流I与电阻R满足反比例函数关系，且经过
∴设电流I与电阻R满足
把代入，
解得
∴该蓄电池的电压是
故答案为：A
【分析】设，根据待定系数法将点代入，即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；勾股定理；同侧一线三垂直全等模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点D作，垂足为G，如图所示．
∵点，点A，C分别在x轴，y轴上，边，交函数的图象于点D，E，
∴，，．
又∵与关于直线对称，点F恰好落在x轴上，
∴，，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：，
∵，
即，
解得：．
故答案为：C．
【分析】本题考查反比例函数的性质，勾股定理，一线三直角相似.过点D作，根据反比例函数点的特征可求出点D和点E的坐标，进而可求出DG，根据轴对称的性质可得，，利用角的运算可推出，利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得，进而可求出，利用勾股定理可列出方程，解方程可求出k的值.
4．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 反比例函数的图象经过第一、三象限，
∴ab＞0，即a、b同号；
当a、b同为正数时，二次函数y=ax2-2x的开口向上，对称轴在y轴的右侧，抛物线经过坐标原点；一次函数y=bx+a的图象经过第一、二、三象限，故B选项错误，不符合题意，C选项正确，符合题意；
当a、b同为负数时，二次函数y=ax2-2x的开口向下，对称轴在y轴的左侧，抛物线经过坐标原点；一次函数y=bx+a的图象经过第二、三、四象限，故A、D选项错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】反比例函数，当k＞0时，图象的两支分布在一、三象限，当k＜0时图象的两支分布在二、四象限；y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限；二次函数y=ax2+bx+c，当a＞0时图象开口向上，a＜0时图象开口向下，当a、b同号时图象的对称轴在y轴的左侧，当a、b异号时，图象的对称轴在y轴的右侧，当c＞0时，图象交y轴的正半轴，当c=0时，图象经过坐标原点，当c＜0时，图象交y轴的负半轴，据此逐个判断得出答案.
5．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ 点都在反比例函数的图象上
令时，，解得：
令时，，解得：
令时，，解得：．
∵5>2>-2
．
故选：C．
【分析】
根据已知条件，分别令y=-5，y=2，y=5求出的值，然后进行数值比较即可．
6．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、反比例函数分布在第二、四象限，A不符合题意；
B、当时，，B符合题意；
C、反比例函数在每一个象限内，y随着的增大而增大，C不符合题意；
D、当时，， 函数图象经过点，D不符合题意．
故答案为：B
【分析】根据反比例函数的图象即可判断A；进而根据x的取值得到y的取值，从而判断B；根据反比例函数的性质即可判断C；再根据反比例函数图象上的点的坐标特征将x=2代入即可得到y的值，从而判断D.
7．【答案】A
【知识点】反比例函数的概念；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
8．【答案】A
【知识点】函数解析式；列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：根据题意可得：，
∴．
故答案为：A．
【分析】利用长方形的面积公式可得，再求出即可．
9．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
10．【答案】B
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点 是反比例函数 图象上的点；
∴k=2×4=8
∴反比例函数解析式为：
∵点 是反比例函数 图象上的点，
∴a=-4
故答案为：B．
【分析】将点A坐标代入求出反比例函数表达式，再将B点坐标代入求解即可。
11．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：A．把代入可得，左边=4，右边=，左边≠右边，∴反比例函数图象不经过点，A不符合题意；
B．∵k＜0，∴函数图象在第二、四象限内，B符合题意；
C．∵k＜0，函数图象在第二、四象限内，∴在每个象限内，y随x的增大而增大，C不符合题意；
D．当x＞-1时，y＞8或y＜0，D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据反比例函数的图象与性质对选项进行逐一分析判断即可求解.
12．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：延长BD交x轴于点E，作BG⊥y轴于点G，作AF⊥x轴，
则四边形OCAF、COED、ADEF、BGCD均为矩形，
∴BG=CD，AF=DE，CD=OE，
设B点坐标为（m，n），则BG=CD=OE=m，BE=n，
∵AC=AB=5，
∴AD=AC-CD=5-m，
∵BD=3CD=3m，
∴AF=DE=BE-BD=n-3m，
在Rt△ABD中，BD2+AD2=AB2，
即 （3m）2+（5-m）2=52，
解得：m1=1，m2=0（舍去），
∴DE=n-3，AF=n-3，
∴B（1，n），A（5，n-3），
∵点B（1，n），A（5，n-3）在反比例函数图象上，
∴n=5（n-3），
解得： ，
∴；
故答案为：D.
【分析】延长BD交x轴于点E，作BG⊥y轴于点G，作AF⊥x轴，根据矩形的对边相等可得BG=CD，AF=DE，CD=OE，设B点坐标为（m，n），则BG=CD=OE=m，BE=n，在直角△ABD中利用勾股定理建立方程，求得m值，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，求出n值，即可求解.
13．【答案】
【知识点】反比例函数的概念
14．【答案】
【知识点】反比例函数的概念；待定系数法求反比例函数解析式
15．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
16．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；角平分线的概念；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
17．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质
【解析】【解答】解：点B的坐标为在反比例函数的图象上，
反比例函数的解析式为
四边形是正方形
又点在反比例函数图象上
不妨设 ，那么
，
故答案为：．
【分析】根据待定系数法将点B坐标代入反比例函数解析式可得反比例函数的解析式为，再根据正方形性质可得AD=ED，设 ，那么，再根据两点间距离建立方程，解方程即可求出答案。
18．【答案】（1）解：根据题意，
一次函数与反比例函数交于点，
把点分别代入和，
一次函数解析式为：，
反比例函数的解析式为：；
（2）解：由题意，联合得方程组：
，解得：或，
∴点B的坐标为（-1，6）；
由题意知，分两种情况求解：
①连接OA、OB，延长AO交反比例函数图象于一点M，则点M在第二象限，连接BM，如图1：
∵点A和点M都是反比例函数y=x图像上的点，而且直线AM经过原点，
∴点A和点M关于原点O对称，
∴AO=MO，即点O是AM的中点
，
点为，
点为，
点的横坐标为-4；
②如图1，过作直线使，
设直线的解析式为，将代入，解得，
直线的解析式为，
∴可知在直线AB上方，到直线AB的距离与l到直线AB距离相等的直线l'的解析
式为
由题意知与在第二象限的交点为
联立方程组
解得或（不合题意，舍去）
点的横坐标为；
综上所述，存在，点的横坐标为-4或；
（3）解：且
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】解：（3）根据图像
点为，点为，
不等式的解集为：且；
【分析】（1）把已知点A的坐标分别代入一次函数和反比例函数的解析式，可以求解出一次函数的斜率m和反比例函数的比例系数k，从而得到这两个函数的解析式；
（2）要找的点M使得三角形AMB的面积是三角形AOB面积的两倍。考虑到三角形的面积可以通过底乘高的一半来计算，我们可以尝试找到一个点M，使得MB是AB的两倍，且M位于第二象限的反比例函数图象上。我们可以先假设存在这样的点M，并根据题意和反比例函数的性质来推导出点M的横坐标；
（3）通过观察图像，找出一次函数图象在反比例图象上方时x的取值范围即可。
19．【答案】（1）解：把点代入得，
解得，
反比例函数的表达式为，
点代入得，
解得，
点的坐标为，
直线过点，
，解得，
∴一次函数的表达式为y＝﹣x+6
（2）解：设点E的坐标为（a，0），
在y＝﹣x+6中，令y＝0，则﹣x+6＝0，解得x＝6，
∴点C（6，0），
∴CE＝|a﹣6|，
∵S△AEB＝S△AEC﹣S△BEC＝5，
解得a1＝11，a2＝1，
∴点E的坐标为（11，0）或（1，0）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）利用待定系数法，将A点的坐标代入反比例函数的解析式中求出m的值，进而求出比例函数的解析式；将B点的坐标代入反比例的解析式中求出n的值从而求解出B点的坐标，将A、B点的坐标代入一次函数的解析式中求出k、b的值，进而得到函数的解析式；
（2）需要确定动点E的坐标，使得三角形AEB的面积为5。这里的关键在于理解三角形面积的计算方法。给定三角形的底边长和高，可以直接利用公式×底×高来计算面积。在这个问题中，实际上是将三角形AEB分解为了两个更小的三角形AEC和BEC，其中C是直线AB与x轴的交点。通过计算这两个三角形的面积差，可以得到一个关于点E的x坐标（a）的方程，解这个方程就可以找到满足条件的点E的位置。
20．【答案】（1）解：把点 代入 ，得
∴反比例函数的表达式为
∵把 代入 得：
∴点 坐标为（1，4）．
（2）解：∵点 与点 关于原点对称，点
∴点
设 与 轴交于点 ，直线 的函数关系式为 ，
把点 、 分别代入得： ，解得
∴直线 的函数关系式为
∴点 的坐标（0，3）
∴
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数的表达式为 ，再求点的坐标即可；
（2）根据题意先求出 直线 的函数关系式为 ，再求出 点 的坐标（0，3） ，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
21．【答案】（1）解：∵B（4，2），四边形OABC是矩形，
∴OA＝BC＝2，
将y＝2代入y＝﹣x+3得：x＝2，
∴M（2，2），
把M的坐标代入y＝得：k＝4，
∴反比例函数的解析式是y＝
（2）解：把x＝4代入y＝得：y＝1，即CN＝1，
∵S四边形BMON＝S矩形OABC﹣S△AOM﹣S△CON
＝4×2﹣×2×2﹣×4×1＝4，
由题意得：|OP|×AO＝4，
∵AO＝2
∴|OP|＝4，
∴点P的坐标是（4，0）或（﹣4，0）
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质，求得点M的坐标，把点M的坐标代入反比例函数的解析式求得k的值，从而求得反比例函数的解析式；
（2）由题意，S四边形BMON = S矩形OABC - S△AOM-S△CON，将数据代入计算出S四边形BMON=4，从而有S△OPM=4，再分当点P在y轴的正半轴时和当点P在y轴的负半轴时，利用三角形面积公式求解．
22．【答案】（1）
（2）
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
23．【答案】（1）
（2）5
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；线段垂直平分线的性质；勾股定理
24．【答案】（1）不是；4
（2）18
（3）①点是第一象限内的“美好点”，
，
化简得：，
第一象限内的点的横坐标为正，
，
解得：，
关于的函数表达式为：（）；
②列表如下，
如图如图所示：
③故答案为：AB；
④，
，
对于图象上任意一点，代数式是为定值，定值为．
⑤该图象可由向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，
故答案为：；
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：（1），
点不是“美好点”，
点是第一象限内的一个“美好点”，
，
解得：，
故答案为：不是，4；
（2）是“美好点”，
，
解得：，
，
将代入双曲线，
得，
故答案为：18；
（3）③由图象可得：
A，图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点，A正确；
B，由图象可知随着的增大而减小，B正确；
C，随着的增大而增大，该选项说法错误，C错误；
D，当时，，所以图象经过点，故该选项说法错误，D错误
故答案为：AB；
【分析】本题考查矩形的性质、反比例函数的图象与性质．
（1）通过计算可得，再根据“美好点”的定义可以判断点是不是“美好点”，根据“美好点”的定义可列出方程，解方程可求出的值；
（2）根据“美好点”的定义可列出方程，解方程可求出的值，得据此可得的坐标，将点代入反比例函数解析式，可求出k的值，据此可求出答案；
（3）①根据“美好点”的定义可得，通过化简可得：，再根据第一象限内的点的横坐标为正，可列出不等式组，解不等式组可求出x的取值范围，据此可求出关于的函数表达式为；
②先列出表格，再进行描点连线，可画出函数图象，
③根据图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点，可判断A选项；根据函数图象下降，据此可得图象可知随着的增大而减小，据此可判断B选项和C选项；根据当时，，所以图象经过点，据此可判断D选项.
④将代入，通过化简可得：，据此可得出答案，
⑤由图象观察可知，该图像可由向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，据此可得到答案.
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