课后定时检测案1 集合
一、单项选择题
1．[2024·河南开封模拟]已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{x|x＝ab，a，b∈A}，则集合B的真子集个数是( )
A．3B．4
C．7D．8
2．[2024·河北保定模拟]已知集合A＝{x|x2－4x＋3≤0}，B＝{－1，0，1，2，3}，则A∩B＝( )
A．{－1，0，1，2}B．{2，3}
C．{0，1，2}D．{1，2，3}
3．[2024·河南新乡模拟]已知集合A＝{4，x，2y}，B＝{－2，x2，1－y}，若A＝B，则实数x的取值集合为( )
A．{－1，0，2}B．{－2，2}
C．{－1，0，2}D．{－2，1，2}
4．[2023·安徽合肥模拟]设集合M＝{x|x＝＋，n∈Z}，N＝{x|x＝，n∈Z}，则 NM＝( )
A． B．{x|x＝，n∈Z}
C．{x|x＝，n∈Z}D．{x|x＝2n，n∈Z}
5．[2024·福建宁德模拟]已知集合A＝{x|x2≤1}，集合B＝{x|x∈Z且x－1∈A}，则B＝( )
A．{－1，0，1}B．{0，1，2}
C．{－2，－1，0}D．{－2，－1，0，1，2}
6．[2024·江西萍乡模拟]已知全集U＝R，集合A＝{x|x≥2或x≤－3}，B＝{x|0≤x≤4}，则Venn图中阴影部分表示的集合为( )
A.[0，2) B．[0，3)
C．(2，4] D．(3，4]
7．[2024·重庆模拟]已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，A∩B＝{1，m}，则m＝( )
A．0或B．0或3
C．1或3D．1或3或0
8．已知集合A＝{x∈Z|x2＋x－2<0}，B＝{－1，2}，那么A∪B＝( )
A．{－1，0，1，2}B．{－1，0，2}
C．{－1，2}D．{－1}
9．(素养提升)已知集合A＝{x|x＝＋，a∈Z}，B＝{x|x＝－，b∈Z}，C＝{x|x＝c＋，c∈Z}，则A，B，C之间的关系正确的是( )
A．A＝B CB．A＝B C
C．A＝B＝CD．A B＝C
10．(素养提升)[2024·山东青岛模拟]已知全集U＝R，集合A，B满足A (A∩B)，则下列关系一定正确的是( )
A．A＝BB．B A
C．A∩( UB)＝ D．( UA)∩B＝
二、多项选择题
11．已知集合M＝{x|6x2－5x＋1＝0}，集合P＝{x|ax＝1}，若M∩P＝P，则实数a的取值可能为( )
A．0B．1
C．2D．3
12．(素养提升)若非空集合M，N，P满足：M∩N＝N，M∪P＝P，则( )
A．P MB．M∩P＝M
C．N∪P＝PD．M∩( PN)＝
三、填空题
13．[2024·天津武清模拟]已知全集U＝{1，2，3，5，7，8}，集合A＝{1，2，3}，集合B＝{3，5}，则A∩( UB)＝________．
14．(素养提升)[2024·福建厦门模拟]设集合A＝{x|1≤x≤3}，集合B＝{x|y＝}，若ACB，写出一个符合条件的集合C＝__________．
四、解答题
15．已知集合A＝{x|3
如果A∩B≠ ，求a的取值范围．
?优生选做题?
16．设A1，A2，A3，…，A7是均含有2个元素的集合，且A1∩A7＝ ，Ai∩Ai＋1＝ (i＝1，2，3，…，6)，记B＝A1∪A2∪A3∪…∪A7，则B中元素个数的最小值是( )
A．5B．6
C．7D．8
17．已知集合A＝{x|x2－9>0}，B＝{x∈Z|x2－8x＋a<0}，若集合A∩B一共有4个子集．
(1)求A∩B.(直接写答案)
(2)求实数a的取值范围．
课后定时检测案1 集合
1．解析：由题意得B＝{－1，0，1}，所以集合B的真子集个数为23－1＝7.故选C.
答案：C
2．解析：因为A＝{x|x2－4x＋3≤0}＝{x|1≤x≤3}，所以A∩B＝{1，2，3}．故选D.
答案：D
3．解析：因为A＝B，所以－2∈A.
当x＝－2时，2y＝1－y，得y＝；
当2y＝－2时，则x＝2.
故实数x的取值集合为{－2，2}．故选B.
答案：B
4．解析：由题意可知，x＝＋＝＝(2n＋1)×，n∈Z，可知集合M表示的是的奇数倍，
而由x＝，n∈Z可知，集合N表示的是的整数倍，
即N＝M∪{x|x＝，n∈Z}， NM＝{x|x＝＝，n∈Z}．故选B.
答案：B
5．解析：因为A＝{x|x2≤1}＝{x|－1≤x≤1}，
B＝{x|x∈Z且x－1∈A}，
所以B＝{0，1，2}．故选B.
答案：B
6．解析：集合A＝{x|x≥2或x≤－3}，故 UA＝{x|－3由Venn图可知阴影部分表示的集合为( UA)∩B＝{x|0≤x<2}＝[0，2).故选A.
答案：A
7．解析：∵集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，且A∩B＝{1，m}，
∴B A，
∴m＝3或m＝，
解得m＝3或m＝0或m＝1，
由元素的互异性得m＝1不合题意，舍去，
则m＝3或0.故选B.
答案：B
8．解析：x2＋x－2<0，即(x－1)(x＋2)<0，得－2所以A＝{－1，0}，B＝{－1，2}，
所以A∪B＝{－1，0，2}．故选B.
答案：B
9．解析：由题意知A＝{x|x＝＋，a∈Z}＝{x|x＝，a∈Z}，B＝{x|x＝－，b∈Z}＝{x|x＝，b∈Z}，C＝{x|x＝c＋，c∈Z}＝{x|x＝，c∈Z}，
由此可知集合A，B表示被3除余1的数再除以6的数的集合，集合C表示被6除余1的数再除以6的数的集合，故A＝B C.故选A.
答案：A
10．解析：因为集合A，B满足A (A∩B)，故可得A B，
对A：当A为B的真子集时，不成立；
对B：当A为B的真子集时，也不成立；
对C：A∩( UB)＝ ，恒成立；
对D：当A为B的真子集时，不成立．故选C.
答案：C
11．解析：由6x2－5x＋1＝0得(2x－1)(3x－1)＝0，解得x＝或x＝，故M＝{，}，
因为M∩P＝P，所以P M，
当P＝ 时，得a＝0，满足题意；
当P≠ 时，得a≠0，则P＝{x|ax＝1}＝{x|x＝}，
所以＝或＝，得a＝2或a＝3；
综上a＝0或a＝2或a＝3.故选ACD.
答案：ACD
12．解析：由M∩N＝N可得N M，由M∪P＝P，可得M P，则推不出P M，故选项A错误；由M P可得M∩P＝M，故选项B正确；因为N M且M P，所以N P，则N∪P＝P，故选项C正确；由N M可得：M∩( PN)不一定为空集，故选项D错误．故选BC.
答案：BC
13．解析：因为全集U＝{1，2，3，5，7，8}，集合A＝{1，2，3}，集合B＝{3，5}，所以 UB＝{1，2，7，8}，所以A∩( UB)＝{1，2}．
答案：{1，2}
14．解析：A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x≥1}，故若A?C?B，则可有C＝[1，4].
答案：[1，4](答案不唯一)
15．解析：因为集合A＝{x|3所以a>3，
即a的取值范围为(3，＋∞).
16．解析：设x1，x2，…，xn(n≥4)是集合B互不相同的元素，若n＝3，则A1∩A2≠ ，不合乎题意．
①假设集合B中含有4个元素，可设A1＝{x1，x2}，则A2＝A4＝A6＝{x3，x4}，A3＝A5＝A7＝{x1，x2}，这与A1∩A7＝ 矛盾；
②假设集合B中含有5个元素，可设A1＝A6＝{x1，x2}，A2＝A7＝{x3，x4}，A3＝{x5，x1}，A4＝{x2，x3}，A5＝{x4，x5}，满足题意．
综上所述，集合B中元素个数最少为5.故选A.
答案：A
17．解析：(1)因为集合A∩B一共有4个子集，故A∩B共有2个元素．
故B≠ 且B＝{x∈Z|4－故4∈B，而A∩B共有2个元素．
故4∈B，5∈B，6 B，故A∩B＝{4，5}．
(2)由(1)可得，
故a的取值范围为[12，15).课后定时检测案2 常用逻辑用语
一、单项选择题
1．命题“所有能被4整除的整数都是偶数”的否定是( )
A．所有不能被4整除的整数都是偶数
B．所有能被4整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被4整除的整数是偶数
D．存在一个能被4整除的整数不是偶数
2．命题“存在两个不同的无理数a，b，使得a＋b是无理数”的否定为( )
A．存在两个相同的无理数a，b，使得a＋b是有理数
B．存在两个相同的有理数a，b，使得a＋b是有理数
C．任意两个不同的无理数a，b，都有a＋b是无理数
D．任意两个不同的无理数a，b，都有a＋b是有理数
3．[2024·湖北武汉模拟]已知p：ab≤1，q：a＋b≤2，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．已知命题p的否定为“ x∈R，x2＋1≤1”，则下列说法中正确的是( )
A．命题p为“ x∈R，x2＋1>1”且为真命题
B．命题p为“ x R，x2＋1>1”且为假命题
C．命题p为“ x∈R，x2＋1>1”且为假命题
D．命题p为“ x∈R，x2＋1≥1”且为真命题
5．[2024·重庆模拟]若p是q的必要不充分条件，q的充要条件是r，则r是p的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．[2024·安徽安庆模拟]命题p： x∈R，>0，则 p为( )
A． x∈R，≤0B． x∈R，≤0
C． x∈R，>0D． x∈R，x≤0
7．[2024·江苏苏州模拟]“a＋b>4”是“a>2且b>2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．“≤”成立的一个充分不必要条件是( )
A．x≤yB．0≤x≤y
C．1≤x≤yD．x≤y≤1
9．(素养提升)[2024·河北邯郸模拟]在等差数列{an}中，“a2＋a5＝a3＋am”是“m＝4”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
10．(素养提升)[2024·广东深圳模拟]“a≥”是“圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x＋a)2＋(y－2a)2＝36存在公切线”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
二、多项选择题
11．已知条件p：x2＋x－6＝0；条件q：ax＋1＝0(a≠0).若p是q的必要条件，则实数a的值可以是( )
A． B．C．－ D．－
12．(素养提升)[2024·广东广州模拟]下列选项正确的有( )
A．命题“ x>1，x2＋2x－3<0”的否定是：“ x>1，x2＋2x－3≥0”
B．命题“ x>1，x2＋2x－3<0”的否定是：“ x≤1，x2＋2x－3≥0”
C．α＝＋2kπ(k∈Z)是sinα＝的充分不必要条件
D．sinα＝是α＝＋2kπ(k∈Z)的必要不充分条件
三、填空题
13．[2024·江苏天一中学模拟]设A，B，C，D是四个命题，A是B的必要不充分条件，A是C的充分不必要条件，D是B的充分必要条件，那么D是C的______条件．(充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要四选一)
14．若“－1≤x<3”是“x四、解答题
15．已知“ x∈R，ax2＋1<0”为假命题，求实数a的取值范围．
?优生选做题?
16．[2024·安徽滁州模拟]函数f(x)＝xa－2与g(x)＝()－x在(0，＋∞)上均单调递减的一个充分不必要条件是( )
A．a∈(0，2) B．a∈[0，1)
C．a∈[1，2) D．a∈(1，2]
17．不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x恒成立的k的取值集合为A，集合B＝{x|x2－mx－3<0}．
(1)求集合A；
(2)若________，求实数m的取值范围．
在①“x∈A”是“x∈B”的充分条件；②“x∈ RA”是“x∈ RB”的必要条件这两个条件中任选一个补充在第(2)问中，并给出解答．
注：如果选择多个条件分别作答，则按第一种解答情况给分．
课后定时检测案2 常用逻辑用语
1．解析：全称量词命题的否定是存在量词命题，且只否定结论，所以“所有能被4整除的整数都是偶数”的否定是“存在一个能被4整除的整数不是偶数”．故选D.
答案：D
2．解析：“存在两个不同的无理数a，b，使得a＋b是无理数”的否定为“任意两个不同的无理数a，b，都有a＋b是有理数”．故选D.
答案：D
3．解析：当a＝－1，b＝4时，p不能推出q；
当a＝－2，b＝－2时，q不能推出p，
所以p是q的既不充分也不必要条件．故选D.
答案：D
4．解析：∵命题p的否定为存在量词命题，
∴p： x∈R，x2＋1>1，排除AD；
∵当x＝0时，x2＋1＝1，
∴p为假命题，排除B.故选C.
答案：C
5．解析：p是q的必要不充分条件，q的充要条件是r，则有q p，p q，q r，则r q p，又由p q，可得p r，则r是p的充分不必要条件．故选A.
答案：A
6．解析：由题意，命题p：“ x∈R，>0”可化为命题p：“ x∈R，x>0”．根据全称量词命题与存在量词命题的关系得，命题p：“ x∈R，x>0”的否定 p：“ x∈R，x≤0”．故选D.
答案：D
7．解析：当a＝1，b＝4，此时满足a＋b>4，但a>2且b>2不成立，所以充分性不成立；
反之：若a>2且b>2，可得a＋b>4成立，所以必要性成立，
所以“a＋b>4”是“a>2且b>2”的必要不充分条件．故选B.
答案：B
8．解析：因为≤ 0≤x≤y，
0≤x≤y能推出x≤y，但x≤y不能推出0≤x≤y，所以x≤y是≤成立的必要不充分条件，故A不正确；
0≤x≤y能推出≤，≤也能推出0≤x≤y，所以0≤x≤y是≤成立的充要条件，故B不正确；
0≤x≤y不能推出1≤x≤y，但1≤x≤y能推出0≤x≤y，所以1≤x≤y是≤成立的充分不必要条件，故C正确；
0≤x≤y不能推出x≤y≤1，x≤y≤1也不能推出0≤x≤y，故x≤y≤1是≤成立的既不充分也不必要条件，故D不正确．故选C.
答案：C
9．解析：当{an}的公差d＝0时，由a2＋a5＝a3＋am，得m是任意的正整数，
由m＝4，得a2＋a5＝a3＋am，
则“a2＋a5＝a3＋am”是“m＝4”的必要不充分条件．故选A.
答案：A
10．解析：当两圆无公切线时，两圆内含，
圆C1的圆心为(0，0)，半径r1＝1，圆C2的圆心为(－a，2a)，半径为r2＝6，
所以两圆的圆心距为d＝|C1C2|＝＝，
即<|6－1|，解得－所以当两圆有公切线时a≥或a≤－，
所以a≥能推出圆C1和C2有公切线，而圆C1和C2有公切线不能推出a≥，
所以“a≥”是“圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x＋a)2＋(y－2a)2＝36存在公切线”的充分不必要条件．故选A.
答案：A
11．解析：由x2＋x－6＝0，得x＝2或x＝－3，
由ax＋1＝0(a≠0)，得x＝－.
因为p是q的必要条件，可知－＝2或－＝－3，解得a＝－或a＝.故选BC.
答案：BC
12．解析：对于AB选项，由全称量词命题的否定可知，
命题“ x>1，x2＋2x－3<0”的否定是：“ x>1，x2＋2x－3≥0”，A对B错；
对于CD选项，由sinα＝可得α＝＋2kπ或＋2kπ(k∈Z)，因为{α|α＝＋2kπ，k∈Z}?{α|α＝＋2kπ或α＝＋2kπ，k∈Z}，所以α＝＋2kπ(k∈Z)是sinα＝的充分不必要条件，sinα＝是α＝＋2kπ(k∈Z)的必要不充分条件，C对D对．故选ACD.
答案：ACD
13．解析：因为A是B的必要不充分条件，所以B A，但A B，
A是C的充分不必要条件，所以A C，但C A，
D是B的充分必要条件，所以D B，但B D，
所以D B A C，但C D，
故D是C的充分不必要条件．
答案：充分不必要
14．解析：因为“－1≤x<3”是“x所以{x|－1≤x<3}是{x|x答案：[3，＋∞)
15．解析：因命题“ x∈R，ax2＋1<0”为假命题，则命题“ x∈R，ax2＋1≥0”为真命题，
当a＝0时，1≥0恒成立，则a＝0；
当a≠0时，必有，解得a>0，
综上，实数a的取值范围是[0，＋∞).
16．解析：函数f(x)＝xa－2在(0，＋∞)上单调递减可得a－2<0即a<2；
函数g(x)＝()－x＝()x在(0，＋∞)上单调递减可得0<<1，解得0若函数f(x)＝xa－2与g(x)＝()－x均单调递减，可得0由题可得所求区间真包含于(0，2)，
结合选项，函数f(x)＝xa－2与g(x)＝()－x均单调递减的一个充分不必要条件是a∈[1，2)，C正确．故选C.
答案：C
17．解析：(1)当k＝0时，－<0显然恒成立，当k≠0时不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，
则解得－3(2)选①②都有A B又B＝{x|x2－mx－3<0}，即x2－mx－3<0在(－3，0]上恒成立，
令f(x)＝x2－mx－3，则解得m≤－2，所以m的取值范围为(－∞，－2].课后定时检测案3 等式性质与不等式性质
一、单项选择题
1．已知0A．x2>>xB．>x2>x
C．x>>x2D．>x>x2
2．已知a>0，b>0，M＝＋，N＝，则( )
A．M>NB．MC．M≥ND．M≤N
3．已知2A．(0，2) B．(2，5)
C．(5，8) D．(6，7)
4．设a、b、c为实数，且aA．C．>D．|a|>|b|
5．如果a<0，－1A．a>ab>ab2B．ab2>ab>a
C．ab>a>ab2D．ab>ab2>a
6．已知a，b，c，m∈R，则下列说法正确的是 ( )
A．若a>b，则am2>bm2
B．若>，则a>b
C．若ac2>bc2，则a>b
D．若a2>b2，ab>0，则<
7．[2024·河北承德模拟]已知a>b>0，c>0，则( )
A．>B．>
C．a2c>ac2D．b2c>bc2
8．设α∈(－，)，β∈[0，π]，那么2α－的取值范围是( )
A．(0，) B．(－，)
C．[－，) D．(－，π)
9．(素养提升)设a，b为实数，则“a>b>0”的一个充分不必要条件是( )
A．>B．a2>b2
C．>D．a－b>b－a
10．(素养提升)购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱一定．假设连续购买两天该物品，第一天物品的价格为a1，第二天物品的价格为a2，且a1≠a2，则以下选项正确的为( )
A．第一种方式购买物品的单价为
B．≥
C．第一种购买方式所用单价更低
D．第二种购买方式所用单价更低
二、多项选择题
11．[2024·河北沧州模拟]已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，其中a>b>c，若f(1)＝0，则( )
A．b2>bcB．acC．ab>acD．a2>c2
12．[2024·安徽安庆模拟]若－1A．>B．a2＋b2>2ab
C．a＋b>2D．a＋>b＋
三、填空题
13．已知下列四个条件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0.不能推出<成立的序号是__________．
14．(素养提升)[2024·北京房山模拟]能够说明“设a，b，c是任意实数，若a四、解答题
15．(1)设a，b为实数，比较a2＋b2与4a－2b－5的值的大小．
(2)已知a>b>0，c.
?优生选做题?
16．[2024·贵州贵阳模拟]已知正实数a，b，c分别满足a2＝，b＝ln2，c＝，其中e是自然常数，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>c>bB．a>b>c
C．b>c>aD．b>a>c
17．已知2(1)求x的取值范围；
(2)求的取值范围；
(3)求2x－3y的取值范围．
课后定时检测案3 等式性质与不等式性质
1．解析：因为00，所以－x＝＝>0，所以>x，
又x－x2＝x(1－x)>0，所以x>x2，
所以>x>x2.故选D.
答案：D
2．解析：由题意得M2＝a＋b＋2，N2＝a＋b，而a>0，b>0，得M>N.故选A.
答案：A
3．解析：2故4<2a<6，1<－b<2，得5<2a－b<8.故选C.
答案：C
4．解析：因为a、b、c为实数，且a所以>，|a|>|b|，a2>b2，ab>0，故A错误，D正确；
当c＝0时ac2＝bc2，故B错误；
因为－＝<0，所以<，故C错误．故选D.
答案：D
5．解析：由选项可知，仅需要比较a，ab，ab2三个数的大小，
显然，a<0，ab>0，ab2<0，所以ab最大，
由－1所以ab2－a＝a(b2－1)>0，即ab2>a，
可得ab>ab2>a.故选D.
答案：D
6．解析：对于A，若m＝0，则不成立，故A错误；
对于B，若c<0，则不成立，故B错误；
对于C，将ac2>bc2两边同时除以c2，可得a>b，故C正确；
对于D，取a＝－2，b＝－1，可得<不成立，故D错误．故选C.
答案：C
7．解析：对于A，若a＝2，b＝1，c＝1，则＝，＝，因为<，所以<，所以A错误；
对于B，因为a>b>0，所以a－b>0，因为c>0，所以－＝>0，所以B正确；
对于C，若a＝2，c＝5，则a2c＝20对于D，若b＝1，c＝2，则b2c＝2答案：B
8．解析：α∈(－，)，β∈[0，π]，所以－<2α<π，－≤－≤0，则－<2α－<π.故选D.
答案：D
9．解析：由>，则可得a>b≥1，可推出a>b>0，反向推不出，A满足；
由a2>b2，则|a|>|b|，推不出a>b>0，反向可推出，B不满足；由>，则a>b>0或b>0>a或0>a>b，推不出a>b>0，反向可推出，C不满足；由a－b>b－a，则a>b，推不出a>b>0，反向可推出，D不满足．故选A.
答案：A
10．解析：第一种策略：设每次购买这种物品的数量均为m，则平均价格为＝，故A不正确；
第二种策略：设每次购买这种物品所花的钱为n，第一次能购得该物品的数量为，第二次能购得该物品的数量为，则平均价格为＝；
－＝－＝＝>0，
所以>，故B错误，同时说明第二种购买方式所用单价更低．故选D.
答案：D
11．解析：由f(1)＝0，得a＋b＋c＝0，又a>b>c，所以a>0，c<0，且b的符号不确定，故b2－bc＝b(b－c)的符号也不确定，故A错误；
由a>b，c<0，得ac由b>c，a>0，得ab>ac，故C正确；
因为a>0>c，两边平方后不等式不一定成立，故D错误．故选BC.
答案：BC
12．解析：A.因为－1－a>－b>0，所以－<－，则>，故正确；
B．a2＋b2≥2ab，而a≠b，取不到等号，故正确；
C．因为－1D．因为－10，所以a＋>b＋，故正确．故选ABD.
答案：ABD
13．解析：利用不等式性质可知：①b>0>a可得<0<，即可得<，
②0>a>b时，可得<，
③a>0>b可得>0>，故不能得出<，
④a>b>0，可得<，
所以不能推出<成立的序号是③.
答案：③
14．解析：若a0时，ac当c＝0时，ac＝bc；
当c<0时，ac>bc；
“设a，b，c是任意实数，若a答案：－2，－1，0(答案不唯一)
15．解析：(1)a2＋b2－(4a－2b－5)＝a2－4a＋4＋b2＋2b＋1＝(a－2)2＋(b＋1)2≥0，
则a2＋b2≥4a－2b－5.
(2)∵a>b>0，－c>－d>0，∴a－c>b－d>0，
∴<，又e<0，∴>.
16．解析：由a2＝得a＝，∴＝×＝，
∵e>()2＝，∴>，∴＝>1，又c>0，∴a>c；
令f(x)＝，则f′(x)＝＝，
∴当x∈(0，e2)时，f′(x)>0；当x∈(e2，＋∞)时，f′(x)<0；
∴f(x)在(0，e2)上单调递增，在(e2，＋∞)上单调递减；
∴f(e)>f(2)，即＝>，∴>ln2，即a>b；
且f(e2)>f(8)，即＝>＝，∴ln2<，即b综上所述a>c>b.故选A.
答案：A
17．解析：(1)因为2两个不等式相加可得5<2x<11，解得所以x的取值范围是(，).
(2)因为2所以<<，
所以<<3.
所以的取值范围是(，3).
(3)设2x－3y＝m(x＋y)＋n(x－y)，则2x－3y＝(m＋n)x＋(m－n)y.
所以解得
所以2x－3y＝－(x＋y)＋(x－y)，
因为2因为3①＋②得5<－(x＋y)＋(x－y)<14，
所以2x－3y的取值范围是(5，14).课后定时检测案4 基本不等式
一、单项选择题
1．已知4a2＋b2＝6，则ab的最大值为( )
A． B．C． D．3
2．已知x>2，则函数y＝＋x的最小值是( )
A．8 B．6C．4 D．2
3．下列函数中，最小值为2的是( )
A．y＝x＋
B．y＝
C．y＝ex＋e－x
D．y＝sinx＋(04．负实数x、y满足x＋y＝－2，则x－的最小值为( )
A．0B．－1
C．－D．－
5．[2024·黑龙江哈尔滨模拟]已知正实数m，n满足m＋n＝1，则＋的最大值是( )
A．2B．
C．D．
6．[2024·山东泰安模拟]在实验课上，小明和小芳利用一个不等臂的天平秤称取药品.实验一：小明将5克的砝码放在天平左盘，取出一些药品放在右盘中使天平平衡；实验二：小芳将20克的砝码放在右盘，取出一些药品放在天平左盘中使天平平衡，则在这两个实验中小明和小芳共称得的药品( )
A．大于20克B．小于20克
C．大于等于20克D．小于等于20克
7．函数y＝a－x－(x>0)在x＝m时有最大值为，则a－m的值为( )
A．4 B．3C．2 D．
8．[2024·河北邯郸模拟]已知a>0，b>0，且a＋b＝2，则＋的最小值是( )
A．2B．4
C．D．9
9．(素养提升)[2024·河南开封模拟]已知a>0，b>0，且a＋b＝1，a≠b，则下列不等式成立的是( )
A．＋<<＋
B．＋<＋<
C．＋<<＋
D．＋<＋<
10．(素养提升)已知点A(1，4)在直线＋＝1(a>0，b>0)上，若关于t的不等式a＋b≥t2＋5t＋3恒成立，则实数t的取值范围为( )
A．[－6，1]
B．[－1，6]
C．(－∞，－1]∪[6，＋∞)
D．(－∞，－6]∪[1，＋∞)
二、多项选择题
11．已知正数a，b，则下列不等式中恒成立的是( )
A．＋≥2B．(a＋b)(＋)≥4
C．≥2D．>
12．[2024·广东汕头模拟]若a>0，b>0，a＋b＝4，则下列不等式对一切满足条件a，b恒成立的是( )
A．≤2B．＋≤2
C．＋b2≥4D．＋≥1
三、填空题
13．[2024·河北沧州模拟](＋)(＋4)的最小值为______．
14．[2024·河北唐山模拟]已知a>0，b>0，且ab＝a＋b＋3，则a＋b的最小值为______．
四、解答题
15．(1)已知x>0，求函数f(x)＝的最大值．
(2)已知x<，求函数y＝的最大值．
?优生选做题?
16．(多选)[2024·辽宁辽阳模拟]在矩形ABCD中，以AB为母线长，2为半径作圆锥M，以AD为母线长，8为半径作圆锥N，若圆锥M与圆锥N的侧面积之和等于矩形ABCD的面积，则( )
A．矩形ABCD的周长的最小值为36π
B．矩形ABCD的面积的最小值为16π2
C．当矩形ABCD的面积取得最小值时，AB＝4AD
D．当矩形ABCD的周长取得最小值时，AD＝2AB
17．[2024·江西吉安模拟]已知a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝4，证明：
(1)a2＋＋≥；
(2)＋＋≥.
课后定时检测案4 基本不等式
1．解析：由题意得，6＝4a2＋b2＝(2a)2＋b2≥2·2a·b，即ab≤，当且仅当2a＝b，即a＝，b＝或a＝－，b＝－时等号成立，所以ab的最大值为.故选B.
答案：B
2．解析：∵x>2，∴y＝＋x＝＋x－2＋2≥2＋2＝4＋2＝6，当且仅当＝x－2，即x＝4时等号成立．∴y的最小值是6.故选B.
答案：B
3．解析：当x<0时，y＝x＋<0，故A错误；
y＝＝＋≥2，当且仅当＝，x2＝－1时取等号，又x2≠－1，故B错误；
y＝ex＋e－x≥2＝2，当且仅当ex＝e－x，即x＝0时取等号，故C正确；
当x∈(0，)时，sinx∈(0，1)，y＝sinx＋≥2，
当且仅当sinx＝，即sinx＝1时取等号，因为sinx∈(0，1)，故D错误．故选C.
答案：C
4．解析：因为负实数x、y满足x＋y＝－2，则x＝－2－y<0，可得－2由基本不等式可得x－＝－2－y－≥－2＋2＝0，当且仅当－y＝－(y<0)时，即当y＝－1时，等号成立．故x－的最小值为0.故选A.
答案：A
5．解析：由于()2－＝－≤0 ()2≤(当且仅当a＝b时等号成立)，
所以()2≤＝，
即＋≤，当且仅当m＝n＝时等号成立．故选B.
答案：B
6．解析：设天平左、右两边臂长分别为a，b，小明、小芳放入的药品的克数分别为x，y，
则由杠杆原理得：5a＝bx，ay＝20b，于是x＝，y＝，
故x＋y＝＋≥2＝20，当且仅当a＝2b时取等号.故选C.
答案：C
7．解析：因为x>0时，x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝时取“＝”，所以函数y＝a－x－＝a－(x＋)≤a－2＝，解得a＝3，m＝，所以a－m＝3－＝2.故选C.
答案：C
8．解析：因为a＋b＝2，所以(a＋1)＋(b＋1)＝4，则
＋＝[(a＋1)＋(b＋1)](＋)
＝[＋＋10]≥×(2×4＋10)＝，
当且仅当a＝，b＝时取等号．
答案：C
9．解析：(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤1＋a＋b＝2，
∵a≠b，∴等号不成立，故＋<；
＋≥2＝2＝2＝，
∵a≠b，∴等号不成立，故＋>，
综上，＋<<＋.故选A.
答案：A
10．解析：因为点A(1，4)在直线＋＝1(a>0，b>0)上，
所以＋＝1，
故a＋b＝(a＋b)(＋)＝＋＋5≥2＋5＝9，
当且仅当＝且＋＝1，即a＝3，b＝6时等号成立，
因为关于t的不等式a＋b≥t2＋5t＋3恒成立，
所以9≥t2＋5t＋3，解得－6≤t≤1，
所以t∈[－6，1].故选A.
答案：A
11．解析：因为a，b均为正数，所以＋≥2＝2，当且仅当a＝b时，等号成立，A正确；
因为a，b均为正数，所以(a＋b)(＋)＝＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝b时，等号成立，B正确；
因为a，b均为正数，所以a2＋b2≥2ab>0，所以≥2，当且仅当a＝b时，等号成立，C正确；
因为a，b均为正数，所以a＋b≥2，所以≤1，所以≤，当且仅当a＝b时，等号成立，D不正确．故选ABC.
答案：ABC
12．解析：对于A，a>0，b>0，a＋b≥2，即≤＝2，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以A正确；
对于B，a>0，b>0，(＋)2＝a＋b＋2＝4＋2≤4＋2×2＝8，又＋>0，则＋≤2，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以B错误；
对于C，a＋b＝4，b＝4－a>0，所以0则＋b2＝＋(4－a)2＝－8a＋16＝(a－3)2＋4≥4，并且a＝3时等号成立，所以C正确；
对于D，a>0，b>0，a＋b＝4，所以＝1，则＋＝(＋)·＝×(2＋＋)≥×(2＋2)＝1，当且仅当＝，即a＝b＝2时等号成立，所以D正确．故选ACD.
答案：ACD
13．解析：(＋)(＋4)＝5＋＋≥5＋2＝9，
当且仅当＝，即x＝4y>0时，等号成立，
所以(＋)(＋4)的最小值为9.
答案：9
14．解析：因为ab＝a＋b＋3≤(a＋b)2，
故可得：(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，
即(a＋b－6)(a＋b＋2)≥0，
解得a＋b≥6或a＋b≤－2.
因为a>0，b>0，故a＋b≥6(当且仅当a＝b＝3时取得最小值).
答案：6
15．解析：(1)f(x)＝可化为f(x)＝，
由基本不等式可得，x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时等号成立，
所以f(x)＝≤，当且仅当x＝2时等号成立，
所以当x＝2时，函数f(x)＝取最大值，最大值为.
(2)设4x－5＝t，则x＝，
因为x<，所以t<0，
所以y＝＝＝＝t＋3＋，
所以y＝t＋3＋＝－[(－t)＋(－)]＋3≤－2＋3＝1，
当且仅当t＝－1时，等号成立，
所以当x＝1时，函数y＝取最大值，最大值为1.
16．解析：设AB＝x，AD＝y，则圆锥M的侧面积为2πx，圆锥N的侧面积为8πy，
则2πx＋8πy＝xy，则＋＝，
则＋＝≥2，得xy≥64π2，
当且仅当＝，即x＝4y，AB＝4AD时，等号成立，
所以矩形ABCD的面积的最小值为64π2，此时AB＝4AD，所以B错误，C正确．
矩形ABCD的周长为2(x＋y)＝4π(＋)(x＋y)＝4π(5＋＋)≥4π(5＋2)＝36π，
当且仅当＝，即x＝2y，AB＝2AD时，等号成立，
所以矩形ABCD的周长的最小值为36π，此时AB＝2AD，所以A正确，D错误．故选AC.
答案：AC
17．证明：(1)由柯西不等式可得(a2＋＋)(12＋22＋32)≥(a＋b＋c)2＝16，
当且仅当a＝＝＝时取等号．
即a2＋＋≥＝，则原式成立．
(2)＋＋＝(a＋c＋a＋b＋b＋c)(＋＋)＝＋(＋＋＋＋＋)≥
＋(2＋2＋2)＝.
当且仅当a＝b＝c＝时取等号．课后定时检测案5 二次函数与一元二次方程、不等式
一、单项选择题
1．[2024·湖南长沙实验中学模拟]已知集合A＝{x|－1≤x≤3，x∈Z}，B＝{x|x2－3x<0}，则A∩B＝( )
A．{1，2}B．{x|0C．{0，1，2，3}D．{－1，0，1，2，3}
2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是( )
A．{x|－21}
C．{x|－2≤x≤1}D．{x|x≤－2或x≥1}
3．若不等式ax2＋bx＋2>0的解集是{x|－0的解集为( )
A．(－∞，－) B．(－∞，)
C．(－，＋∞) D．(，＋∞)
4．关于x的不等式x2－2ax－8a2<0的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a的值为( )
A．B．±
C．D．±
5．[2024·河北衡水模拟]若a∈R，则关于x的不等式4x2－4ax＋a2－1<0的解集为( )
A．{x|x<或x>}
B．{x|x<或x>}
C．{x|D．{x|－6．已知y＝(x－m)(x－n)＋2023(n>m)，且α，β(α<β)是方程y＝0的两个实数根，则α，β，m，n的大小关系是( )
A．αC．m<α<β7．[2024·江西九江模拟]无论x取何值时，不等式x2－2kx＋4>0恒成立，则k的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，－4)
C．(－4，4) D．(－2，2)
8．(素养提升)[2024·黑龙江牡丹江模拟]若“ x∈[4，6]，x2－ax－1>0”为假命题，则实数a的取值范围为( )
A．[，＋∞) B．[，＋∞)
C．(－∞，] D．(－∞，]
9．(素养提升)已知函数y＝(k2＋4k－5)x2＋4(1－k)x＋3的图象都在x轴的上方，求实数k的取值范围( )
A．{k|1≤k<19}B．{k|2≤k<18}
C．{k|0二、多项选择题
10．下列说法错误的是( )
A．≥0等价于(x－a)(x－b)≥0
B．若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0
C．不等式x2≤a的解集为[－，]
D．若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0(a<0)的解集为R
11．(素养提升)[2024·江苏连云港模拟]“关于x的不等式ax2－4ax＋4>0对 x∈R恒成立”的一个充分不必要条件是( )
A．0C．0≤a<1D．a≥0
三、填空题
12．不等式≥0的解集为__________．
13．若不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集为R，则实数a的取值范围是________．
14．(素养提升)若不等式2x－1>m(x2－1)对任意m∈[－1，1]恒成立，实数x的取值范围是________．
四、解答题
15．设函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；
(2)解不等式f(x)<(m＋1)x－3.
?优生选做题?
16．若关于x的不等式k|x|>|x－2|恰好有4个整数解，则实数k的取值范围为( )
A．(0，] B．(，]
C．(，] D．(，1]
17．已知m∈R，命题p： x∈(0，＋∞)，不等式x2－mx＋1≥0恒成立；命题q： x∈[0，1]，使得不等式－2－2x≥m2－3m成立．
(1)若p为真命题，求m的取值范围；
(2)若命题p和命题q有且仅有一个为真，求m的取值范围．
课后定时检测案5 二次函数与一元二次方程、不等式
1．解析：A＝{x|－1≤x≤3，x∈Z}＝{－1，0，1，2，3}，
B＝{x|x2－3x<0}＝{x|0所以A∩B＝{1，2}．故选A.
答案：A
2．解析：由二次函数图象知：当ax2＋bx＋c>0时，有－2故选A.
答案：A
3．解析：不等式ax2＋bx＋2>0的解集是{x|－则根据对应方程的韦达定理得到
解得
则－12x－2>0的解集为(－∞，－).故选A.
答案：A
4．解析：∵关于x的不等式x2－2ax－8a2<0的解集为(x1，x2)，
∴x1，x2是方程x2－2ax－8a2＝0的两个不同的实数根，
且Δ＝4a2＋32a2>0，
∴x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，
∵x2－x1＝15，
∴152＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4a2＋32a2，a2＝，
解得a＝±.故选D.
答案：D
5．解析：由题可知，原不等式可转化为[2x－(a＋1)][2x－(a－1)]<0，
因为>，
所以不等式的解为答案：C
6.
解析：∵α，β为方程y＝0的两个实数根，
∴α，β为函数y＝(x－m)(x－n)＋2023的图象与x轴交点的横坐标，
令y1＝(x－m)(x－n)，
∴m，n为函数y1＝(x－m)(x－n)的图象与x轴交点的横坐标，
易知函数y＝(x－m)(x－n)＋2023的图象可由y1＝(x－m)(x－n)的图象向上平移2023个单位长度得到，
∴m<α<β答案：C
7．解析：因为无论x取何值时，不等式x2－2kx＋4>0恒成立，
所以4k2－16<0，解得－2所以k的取值范围是(－2，2).故选D.
答案：D
8．解析：题设等价于 x∈[4，6]，x2－ax－1≤0恒成立，即x－≤a在[4，6]上恒成立，
所以a≥(x－)max，且x∈[4，6].
又因为f(x)＝x－在[4，6]上是增函数，
所以f(x)max＝f(6)＝6－＝，
所以a≥.故选B.
答案：B
9．解析：y＝(k2＋4k－5)x2＋4(1－k)x＋3的图象都在x轴上方，
①k2＋4k－5＝0时，k＝－5或k＝1，
k＝－5时，函数为一次函数，不满足条件；
k＝1时，y＝3满足条件；
故k＝1；
②k≠－5且k≠1时，函数为二次函数，
则，解得1综上，1≤k<19.故选A.
答案：A
10．解析：A错误，≥0等价于(x－a)(x－b)≥0且x≠b；
B正确，根据二次不等式解集的形式和二次项系数的符号的关系可知其正确；
C错误，当a＝0时，其解集为{0}，当a<0时，其解集为 ；
D错误，若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实数根，则二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)开口向下且和x轴无交点，则不等式ax2＋bx＋c>0(a<0)的解集为 .故选ACD.
答案：ACD
11．解析：当a＝0时，4>0对 x∈R恒成立，符合题意；
当a≠0时，，解得0所以“00对 x∈R恒成立”的充分不必要条件，故A正确；
“00对 x∈R恒成立”的充分不必要条件，故B正确；
“0≤a<1”是“关于x的不等式ax2－4ax＋4>0对 x∈R恒成立”的充要条件，故C错误；
“a≥0”是“关于x的不等式ax2－4ax＋4>0对 x∈R恒成立”的必要不充分条件，故D错误．故选AB.
答案：AB
12．解析：不等式≥0等价于，即，解得－2所以不等式≥0的解集为(－2，1].
答案：(－2，1]
13．解析：①当a2－1≠0，即a≠±1时，
，解得－②当a2－1＝0，即a＝±1时，
若a＝1，则原不等式为－1<0，恒成立．
若a＝－1，则原不等式为2x－1<0，即x<，不符合题目要求，舍去．
综上所述，当－答案：(－，1]
14．解析：2x－1>m(x2－1)可转化为m(x2－1)－2x＋1<0.
设f(m)＝m(x2－1)－2x＋1，则f(m)是关于m的一次函数．
要使f(m)<0恒成立，只需，
解得－1答案：(－1，2)
15．解析：(1)当m＝0时，显然满足题意，
当m≠0时，由题意得，解得－4综上，m的取值范围是(－4，0].
(2)f(x)<(m＋1)x－3，化简得(mx－1)(x－2)<0，
①m＝0时，解集为(2，＋∞)，
②m<0时，<2，原不等式解集为(－∞，)∪(2，＋∞)，
③m＝时，解集为 ，
④02，原不等式解集为(2，)，
⑤m>时，<2，原不等式解集为(，2).
16．解析：依题意可得，0＜k＜1，
函数y＝k|x|与y＝|x－2|的图象如图，
由0＜k＜1，可得xA＞1，∴关于x的不等式k|x|－|x－2|＞0恰好有4个整数解，他们是2，3，4，5，
由 xB＝∈(5，6]，故＜k≤.故选C.
答案：C
17．解析：(1)若p为真，即 x∈(0，＋∞)，不等式x2－mx＋1≥0恒成立．即m≤x＋在x>0时恒成立，又x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时取等号，故m≤2.
(2)若q为真，即 x∈[0，1]，使得不等式－2－2x≥m2－3m成立，所以m2－3m≤－2，即1≤m≤2，
因为命题p和命题q有且仅有一个为真，
若p真q假，则，或，解得m<1，
不等式组的解集为空集，所以有m<1；
若p假q真，则，无解；
故当m<1时，命题p和命题q有且仅有一个为真．课后定时检测案6 函数的概念及表示
一、单项选择题
1．函数y＝＋lg (2x－1) 的定义域是( )
A.[，＋∞) B．(，＋∞)
C．(，＋∞) D．(，)
2．下列函数中，定义域和值域不相同的是( )
A．y＝－xB．y＝
C．y＝D．y＝
3．下列选项中，两个函数表示同一个函数的是( )
A．y＝，y＝1
B．y＝()2，y＝|x|
C．f(x)＝|x|，g(x)＝
D．y＝，y＝
4．[2024·河南襄城模拟]已知函数f(x)＝则f(f(1))＝( )
A．－4B．－2
C．2D．4
5．[2024·重庆模拟]已知函数f(1－x)＝(x≠0)，则f(x)＝( )
A．－1(x≠0)
B．－1(x≠1)
C．－1(x≠0)
D．－1(x≠1)
6．[2024·北京海淀模拟]已知函数f(x)＝x3＋1，对于任意的x∈R，总有( )
A．f(x)＋f(－x)＝1B．f(x)＋f(－x)＝2
C．f(x)·f(－x)＝1D．f(x)·f(－x)＝2
7．(素养提升)已知函数f(x)＝则不等式f(x)≤1的解集为( )
A．(－∞，2] B．(－∞，0]∪(1，2]
C．[0，2] D．(－∞，0]∪[1，2]
8．(素养提升)图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术．科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h，注水时间为t，则下面选项中最符合h关于t的函数图象的是( )
二、多项选择题
9．下列说法中正确的是( )
A．式子y＝＋可表示自变量为x、因变量为y的函数
B．函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个
C．若f(x)＝|x－1|－|x|，则f(f())＝1
D．f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数
10．函数f(x)＝，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，则下列等式成立的是( )
A．f(x)＝f() B．f()＝－f(x)
C．f()＝D．f(－x)＝－f(x)
三、填空题
11．已知函数f(x)＝，则方程f(x)＝1的解为________．
12．[2024·江苏常州模拟]函数f(x)＝的定义域为____________．
13．[2024·山东济宁模拟]已知a∈R，函数f(x)＝，f(f())＝2，则a＝________．
14．[2024·山西晋中模拟]若函数f(x)满足f(x)＋2f()＝3x，则f(3)＝________．
四、解答题
15．(1)已知f(x＋)＝x3＋，求f(x)；
(2)已知f(＋1)＝lgx，求f(x)；
(3)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x).
?优生选做题?
16．[2024·九省联考]以maxM表示数集M中最大的数．设017．函数f(x)＝.
(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的定义域为[－2，1]，求实数a的值．
课后定时检测案6 函数的概念及表示
1．解析：由题意得，，解得x>，
则函数的定义域是(，＋∞).故选C.
答案：C
2．解析：对于A：函数y＝－x＋2的定义域为R，值域也为R，不符合题意；
对于B：函数y＝的定义域和值域都为[0，＋∞)，不符合题意；
对于C：y＝的定义域和值域都为{x|x≠0}，不符合题意；
对于D：y＝的定义域为R；
当x≤0时，y＝x－2≤－2；当x>0时，y＝x＋2>2；
所以值域为(－∞，－2]∪(2，＋∞)，定义域和值域不相同，符合题意．故选D.
答案：D
3．解析：对于A，y＝定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝1定义域为R，定义域不同，不是一个函数，故A错误；
对于B，y＝()2定义域为[0，＋∞)，y＝|x|定义域为R，定义域不同，不是一个函数，故B错误；
对于C，f(x)＝|x|，g(x)＝＝|x|是一个函数，故C正确；
对于D，y＝＝|x－1|，y＝＝1－x，显然不是一个函数，故D错误．故选C.
答案：C
4．解析：f(1)＝41－2＝，∴f(f(1))＝f()＝log2＝－2.
故选B.
答案：B
5．解析：令t＝1－x，则x＝1－t，且x≠0，则t≠1，
可得f(t)＝＝－1，(t≠1)，
所以f(x)＝－1(x≠1).故选B.
答案：B
6．解析：因为f(x)＝x3＋1，
所以f(x)＋f(－x)＝x3＋1＋(－x)3＋1＝2，A错误，B正确；
又f(1)＝13＋1＝2，f(－1)＝(－1)3＋1＝0，
所以f(1)·f(－1)＝0，C，D错误．故选B.
答案：B
7．解析：∵当x≥1时，log2x≤1，∴1≤x≤2.
当x<1时，≤1，解得x≤0，
∴f(x)≤1的解集为(－∞，0]∪[1，2].故选D.
答案：D
8．解析：水壶的结构：底(下)端与上端细、中间粗，所以在注水流速恒定的情况下：开始水的高度增加的快，中间增加的慢，最后水上升的速度又变快，由图可知选项A符合，故选A.
答案：A
9．解析：对于A，y＝＋，有解集为 ，不能表示自变量为x，因变量为y的函数，故A错误；
对于B，当函数y＝f(x)在x＝1处无定义时，函数y＝f(x)的图象与直线x＝1无交点，当函数y＝f(x)在x＝1处有定义时，函数y＝f(x)的图象与直线x＝1只有1个交点，所以函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个，故B正确；
对于C，因为f(x)＝|x－1|－|x|，则f()＝0，故f(f())＝f(0)＝1，故C正确；
对于D，函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t的定义域均为R，且对应关系相同，故f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数，故D正确．故选BCD.
答案：BCD
10．解析：因为x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，则f(－x)＝＝－＝－f(x)，
f()＝＝＝f(x)，AD选项正确，BC选项错误．故选AD.
答案：AD
11．解析：当x<0时，f(x)＝2x<0，
由于f(x)＝1，所以f(x)＝＝1，x＝1.
答案：1
12．解析：由题意函数f(x)＝有意义，
需满足，解得x>3且x≠4，
故函数定义域为(3，4)∪(4，＋∞).
答案：(3，4)∪(4，＋∞)
13．解析：因为>2，所以f()＝log2(5－3)＝1≤2，
所以f(f())＝f(1)＝3＋a＝2，解得a＝－1.
答案：－1
14．解析：因为f(x)＋2f()＝3x ①，
所以有f()＋2f(x)＝ ②，
②×2－①，得f(x)＝－x，
所以f(3)＝－3＝－.
答案：－
15．解析：(1)f(x＋)＝x3＋＝(x＋)(x2＋－1)
＝(x＋)[(x＋)2－3]＝(x＋)3－3(x＋)，
因为当x>0时x＋≥2，当x<0时x＋≤－2，
所以f(x)＝x3－3x(x≥2或x≤－2).
(2)令＋1＝t(t>1)，
则x＝，∴f(t)＝lg，
∴f(x)＝lg(x>1).
(3)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋b＋5a＝2x＋17，
所以a＝2，b＝7，∴f(x)＝2x＋7.
16．解析：令b－a＝m，c－b＝n，1－c＝p，其中m，n，p>0，
所以，
若b≥2a，则b＝1－n－p≥2(1－m－n－p)，故2m＋n＋p≥1，
令M＝max{b－a，c－b，1－c}＝max{m，n，p}，
因此，故4M≥2m＋n＋p≥1，则M≥，
若a＋b≤1，则1－n－p＋1－m－n－p≤1，即m＋2n＋2p≥1，
M＝max{b－a，c－b，1－c}＝max{m，n，p}，
则，故5M≥m＋2n＋2p≥1，则M≥，
当m＝2n＝2p时，等号成立，
综上可知max{b－a，c－b，1－c}的最小值为.
答案：
17．解析：(1)①若1－a2＝0，即a＝±1，
1)当a＝1时，f(x)＝，定义域为R，满足题意；
2)当a＝－1时，f(x)＝，定义域不为R，不满足题意；
②若1－a2≠0，g(x)＝(1－a2)x2＋3(1－a)x＋6为二次函数，
∵f(x)定义域为R，∴g(x)≥0对x∈R恒成立，
∴
－≤a<1；
综合①、②得a的取值范围为[－，1].
(2)命题等价于不等式(1－a2)x2＋3(1－a)x＋6≥0的解集为[－2，1]，
显然1－a2≠0，
∴1－a2<0且x1＝－2，x2＝1是方程(1－a2)x2＋3(1－a)x＋6＝0的两根，
∴ ，
解得a＝2.课后定时检测案7 函数的单调性与最值
一、单项选择题
1．下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是( )
A．y＝－x2＋1B．y＝
C．y＝D．y＝3－x
2．函数y＝的单调递增区间为( )
A．[，＋∞)
B．(－1，]
C．[，4)和(4，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(－1，]
3．已知对f(x)定义域内的任意实数x1，x2，且x1≠x2，[f(x1)－f(x2)](x1－x2)>0恒成立，设a＝f(－)，b＝f(3)，c＝f(5)，则( )
A．bC．b4．已知函数f(x)在R上是递减函数，a，b∈R且a＋b<0，则有( )
A．f(a)＋f(b)<0
B．f(a)＋f(b)>0
C．f(a)＋f(b)D．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)
5．已知函数f(x)＝，其定义域是[－8，－4)，则下列说法正确的是( )
A．f(x)有最大值，无最小值
B．f(x)有最大值，最小值
C．f(x)有最大值，无最小值
D．f(x)有最大值2，最小值
6．已知函数f(x)是实数集R上的减函数，则不等式f(2－x)>f(x－2)的解集为( )
A．(－∞，2) B．(－∞，－2)
C．(2，＋∞) D．(－2，＋∞)
7．[2024·河南洛阳模拟]已知函数f(x)＝2x＋5x.若a＝f()，b＝f(log3)，c＝f(60.2).则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>cB．a>c>b
C．c>a>bD．c>b>a
8．已知函数f(x)＝在[0，2]上单调递减，则a的取值范围是( )
A．(0，1] B．(0，1)
C．(0，2] D．[2，＋∞)
9．(素养提升)若函数f(x)＝在区间[0，1]上的最大值为，则实数m＝( )
A．3B．
C．2D．或3
10．已知函数f(x)＝是[－，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是( )
A．[－1，－] B．(－∞，－1]
C．[－1，－) D．(－∞，－1)
二、多项选择题
11．已知函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递增，则a，b的取值可以是( )
A．a＝1，b>B．a>4，b＝2
C．a＝－1，b＝2D．a＝2，b＝－1
12．(素养提升)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)>0，g(x)>0，f(x)是减函数，g(x)是增函数，则下列说法中正确的有( )
A．g(x)＋f(x)是增函数
B．f(x)－g(x)是减函数
C．f(x)g(x)是增函数
D．是减函数
三、填空题
13．[2024·浙江金华模拟]函数f(x)＝的单调递增区间是________．
14．(素养提升)若函数f(x)＝满足对任意的实数x1≠x2都有>0成立，则实数a的取值范围是____________．
四、解答题
15．[2024·河南漯河模拟]已知函数f(x)＝，且f(1)＝－4，f(2)＝－2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)判断f(x)在(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明．
?优生选做题?
16．(多选)[2024·黑龙江佳木斯一中模拟]已知函数f(x)的定义域为A，若对任意x∈A，都存在正数M使得|f(x)|≤M恒成立，则称函数f(x)是定义在A上的“有界函数”．则下列函数是“有界函数”的是( )
A．f(x)＝x＋
B．f(x)＝
C．f(x)＝
D．f(x)＝x|x＋1|
17．已知f(x)的定义域为R，对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，当x>0时，f(x)<1，f(1)＝0
(1)求f(0)，f(－1)；
(2)证明：f(x)在R上是减函数；
(3)解不等式：f(2x2－3x－2)＋2f(x)>4.
课后定时检测案7 函数的单调性与最值
1．解析：对于A，y＝－x2＋1在(0，1)上单调递减，不符合题意；
对于B，y＝在[0，＋∞)上单调递增，所以在区间(0，1)上单调递增，符合题意；
对于C，y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以在区间(0，1)上单调递减，不符合题意；
对于D，y＝3－x在(0，1)上单调递减，不符合题意．故选B.
答案：B
2．解析：由4＋3x－x2≠0可得x≠－1且x≠4，
因为y＝4＋3x－x2开口向下，其对称轴为x＝，
所以y＝4＋3x－x2的减区间为[，4)和(4，＋∞)，所以y＝的单调增区间为[，4)和(4，＋∞).故选C.
答案：C
3．解析：由[f(x1)－f(x2)](x1－x2)>0可得函数f(x)在R上是增函数，所以f(－)答案：D
4．解析：∵f(x)是减函数，a＋b<0，∴a<－b，b<－a，∴f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a)，f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b).故选D.
答案：D
5．解析：函数f(x)＝＝2＋，
即有f(x)在[－8，－4)上单调递减，
则x＝－8处取得最大值，且为，
由x＝－4取不到，即最小值取不到．故选A.
答案：A
6．解析：由函数f(x)是实数集R上的减函数，又f(2－x)>f(x－2)，所以2－x2.故选C.
答案：C
7．解析：因为0＝log11，函数y＝2x与y＝5x都是增函数，所以f(x)＝2x＋5x也是增函数，因此f(log)b>a.故选D.
答案：D
8．解析：因为函数f(x)＝在[0，2]上单调递减，
所以
解得0所以a的取值范围是(0，1].故选A.
答案：A
9．解析：函数f(x)＝，即f(x)＝2＋，x∈[0，1]，
当m＝2时，f(x)＝2不成立；
当m－2>0，即m>2时，f(x)在[0，1]上单调递减，可得f(0)为最大值，
即f(0)＝＝，解得m＝成立；
当m－2<0，即m<2时，f(x)在[0，1]上单调递增，可得f(1)为最大值，
即f(1)＝＝，解得m＝3不成立；
综上可得m＝.故选B.
答案：B
10．解析：显然当x>1时，f(x)＝为单调减函数，f(x)当x≤1时，f(x)＝－x2＋2ax＋4，则对称轴为x＝－＝a，f(1)＝2a＋3，
若f(x)是[－，＋∞)上的减函数，则解得a∈[－1，－].故选A.
答案：A
11．解析：f(x)＝＝b＋在(－2，＋∞)上单调递增，则满足：a－2b<0，即a<2b，故a＝1，b>满足，a＝－1，b＝2满足．故选AC.
答案：AC
12．解析：对于A，如g(x)＝2x，f(x)＝()x，g(1)＋f(1)＝，g(－1)＋f(－1)＝，故g(x)＋f(x)不一定为增函数，故A错误；对于B，g(x)是增函数，则－g(x)为减函数，又f(x)是减函数，故f(x)－g(x)＝f(x)＋[－g(x)]为减函数，故B正确；对于C，如g(x)＝2x，f(x)＝()x，f(x)g(x)＝1不满足增函数，故C错误；对于D，由于g(x)是增函数，且g(x)>0，所以>0且单调递减，又f(x)>0，f(x)为减函数，故＝f(x)×为减函数，故D正确．故选BD.
答案：BD
13．解析：设u＝x2－2x，对称轴x＝1，
在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，
因为函数y＝()x为减函数，
所以f(x)＝()x2－2x的单调递增区间为(－∞，1).
答案：(－∞，1)
14．解析：∵对任意的实数x1≠x2都有>0成立，
∴函数f(x)＝在R上单调递增，
∴，解得4≤a<8.
答案：[4，8)
15．解析：(1)由题意，得即
解得a＝2，b＝－10.故f(x)＝.
(2)f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．
证明： x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1则f(x2)－f(x1)＝－
＝＝.
由x2>x1>－1，得x2－x1>0，x2＋1>0，x1＋1>0，
所以f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1).故f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．
16．解析：对于A，f(x)的定义域为(－∞，4]，令＝t(t≥0)，则x＝4－t2，
∴y＝－t2＋t＋4＝－(t－)2＋，y∈(－∞，]，
不存在正数M，使得|y|≤M恒成立，∴f(x)不是有界函数；
对于B，f(x)的定义域为{x|－3≤x≤1}，
∴0≤－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4≤4，∴0≤f(x)≤2，
∴存在M≥2，使得|f(x)|≤M，∴f(x)是有界函数；
对于C，∵2x2－4x＋3＝2(x－1)2＋1≥1，
∴0<≤5，
∴存在M≥5，使得|f(x)|≤M，∴f(x)是有界函数；
对于D，f(x)＝x|x＋1|＝，
∵x<－1时，f(x)单调递增，此时f(x)∈(－∞，0)，
故不存在正数M，使得|y|≤M恒成立，∴f(x)不是有界函数．
故选BC.
答案：BC
17．解析：(1)根据f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，
令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)－1，解得f(0)＝1，
再令x＝1，y＝－1，则有f(0)＝f(1)＋f(－1)－1，
解得f(－1)＝2.
(2)设x＋y＝x1，x＝x2，x1>x2，则y＝x1－x2>0，
所以f(x1)＝f(x2)＋f(y)－1，即f(x1)－f(x2)＝f(y)－1，
因为y>0，所以f(y)<1，所以f(x1)－f(x2)<0，
即 x1，x2∈R，x1>x2，都有f(x1)所以f(x)在R上单调递减．
(3)由题可知f(x)＋f(y)＝f(x＋y)＋1，
所以2f(x)＝f(x)＋f(x)＝f(2x)＋1，
所以由f(2x2－3x－2)＋2f(x)>4得f(2x2－3x－2)＋f(2x)＋1>4，
即f(2x2－3x－2＋2x)＋1＋1>4，即f(2x2－x－2)>2，
又因为f(－1)＝2，所以f(2x2－x－2)>f(－1)，
由(2)知f(x)在R上单调递减，所以2x2－x－2<－1，
即2x2－x－1<0，即(2x＋1)(x－1)<0，解得－所以解集为(－，1).