苏科版数学七年级下册第10章二元一次方程章节检测卷（综合练习）
一、选择题（每题4分，共40分）
1．（2024七下·海曙期末） 下列方程中， 属于二元一次方程的是 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、该方程中含有3个未知数，不属于二元一次方程，故不符合题意
B、该方程含有未知数的项最高次数是2，不属于二元一次方程，故不符合题意．
C、该方程符合二元一次方程的定义，故符合题意．
D、该方程不是整式方程，不是二元一次方程，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据二元一次方程的定义，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程解答即可．
2．（2024七下·铁东期中）若是关于x、y的二元一次方程的解，则a的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】将代入原方程，可得：，解得：
故答案为：C
【分析】
将方程组的解代入方程，可得关于a的一元一次方程，解方程即可得到a的值．
3．（2024七下·石家庄期末）【问题】已知关于，的方程组的解满足.求的值.
嘉嘉同学有如下两种解题思路和部分步骤：
Ⅰ.将方程组中的两个方程相加并整理，可得到，再求的值；
Ⅱ.解方程组得到再代入中，可求的值.
下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ的解题思路不正确
B．Ⅱ的解题思路不正确
C．Ⅱ的解题思路正确，求解不正确
D．Ⅰ与Ⅱ的解题思路与求解都正确
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：Ⅰ：，
①+②得：4x+2y=4k，
2x+y=2k，
∵关于x，y的方程组的解满足2x+y=3，
∴2k=3，
解得：k=，
∴Ⅰ的解题思路正确；
Ⅱ：∵关于x，y的方程组的解满足2x+y=3，
∴的解满足3x+5y=4k-2，
①×3得：6x+3y=9③，
②+③得：x=，把x=代入①得：y=-，
把x=，y=-代入3x+5y=4k-2得：k=，
∴Ⅱ的解题思路也正确，
∴Ⅰ和Ⅱ的解题思路与求解都正确，
∴A，B，C选项均错误，D选项正确，
故答案为：D．
【分析】按照已知条件中的方法Ⅰ和Ⅱ，解方程组，求出k，然后进行判断即可。
4．（2024八上·天心开学考）已知实数，满足，且，则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：，
①＋②得：5x＋5y＝7k＋4，
∴x+y=，
∵，
∴，
解得：k＝.
故答案为：C．
【分析】先利用加减消元法可得5x＋5y＝7k＋4，可得x+y=，再结合可得，最后求出k的值即可.
5．（2023八上·福州开学考）九章算术是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中有这样一个问题：若人坐一辆车，则人需要步行，若“”问：人与车各多少？小明同学设有辆车，人数为，根据题意可列方程组为，根据已有信息，题中用“”表示的缺失条件应补为（ ）
A．三人坐一辆车，有一车少坐人 B．三人坐一辆车，则人需要步行
C．三人坐一辆车，则有两辆空车 D．三人坐一辆车，则还缺两辆车
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：∵人坐一辆车，则人需要步行， 设有辆车，人数为，
∴2x+9=y，
∵另一个方程为y=3（x-2），
∴ 三人坐一辆车，则有两辆空车 .
故答案为：C.
【分析】利用已知条件可知第一个方程为2x+9=y，由第二个方程，可知空出两辆车，三人坐一辆车，据此可求解.
6．（2022七下·北仑期中）商店用3000元购进甲乙两种货物，卖出后，甲种货物的利润率是10%，乙种货物的利润率是11%，两种货物共获利315元。设该商店购进这两种货物所用的费用分别为x元，y元，则列出方程组是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解： 设该商店购进这两种货物所用的费用分别为x元，y元，
根据题意得：.
故答案为：D.
【分析】 设该商店购进这两种货物所用的费用分别为x元，y元，根据总费用为3000元和总利润为315元列出方程组，即可得出答案.
7．（2024七下·黄石港期末）已知关于，的方程组的解，比相应的解，正好都小则，的值分别为( )
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：设的解为，
则的解为，
∴，解得，
∴的解为，方程的解为，
∴，
解得.
故答案为：C.
【分析】设②方程的解为，则①程的解为，据此可得出关于m、n的方程组，求出m、n的值，继而得出关于a、b的方程组解之即可.
8．（2024八上·兰州新期末）某人要在规定时间内驾车从甲地赶往乙地，如果他以的速度行驶，那么就会迟到；如果他以的速度行驶，那么可提前到达乙地，求甲、乙两地之间的距离，设甲、乙两地之间的距离为，从甲地到乙地的规定时间为，则可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意得：，
故答案为：B．
【分析】 设甲、乙两地之间的距离为，从甲地到乙地的规定时间为，根据“路程、速度和时间”的关系列出方程组即可.
9．（2023七上·海曙期中）现有1张大长方形和3张相同的小长方形卡片，按如图所示的两种方式摆放，则小长方形的长与宽的差是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】整式的加减运算；用代数式表示几何图形的数量关系；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：设小长方形的长为，宽为，大长方形的长为，
则根据题意得：，
，
，
，．
，
即小长方形的长与宽的差是，
故选：A．
【分析】本题主要考查了整式的加减，设小长方形的长为，宽为，大长方形的长为，结合图形，得方程组，取得方程组的解，得到，进而得到小长方形的长与宽的差，得出答案.
10．（2023七下·巴南期末）对于x，y定义一种新运算F，规定（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，，下列结论：①；②若，则m，n有且仅有4组正整数解；③若对任意实数x，y均成立，则．正确的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，解得：，
∴，
∴，故①符合题意；
∵，
∴，
整理得：，
∴其正整数解为：，，，，故②符合题意；
∵，
∴，
∴，
上式对任意实数x，y均成立，
∴，
∴，故③符合题意；
故选：A.
【分析】先根据新定义运算法则，列出二元一次方程，解方程求出a和b的值，即可得出，再根据运算法则逐个计算，即可求解.
二、填空题（每题5分，共25分）
11．（2024七下·江门期中）若关于x、y的方程是二元一次方程，则 ．
【答案】2
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：根据题意得：，
解得．
故答案为：．
【分析】本题主要考查二元一次方程的概念，把含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程，列出方程组，据此解答，即可得到答案．
12．某眼镜厂有工人 25 人， 每人每天平均生产镜架 72 个或镜片 96 片， 为了使每天生产的镜架和镜片刚好配套， 安排 人生产镜架， 人生产镜片． 根据题意，可列方程组为
【答案】
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设安排 人生产镜架， 人生产镜片，
根据题意可得：，
故答案为：.
【分析】设安排 人生产镜架， 人生产镜片，根据“ 某眼镜厂有工人 25 人 ”和“ 每人每天平均生产镜架 72 个或镜片 96 片， 为了使每天生产的镜架和镜片刚好配套 ”列出方程组即可.
13．（2024七下·新宁月考）一个两位数，个位数字与十位数字之和为8，个位数字与十位数字互换后所成的新两位数比原两位数小18，则原两位数是 .
【答案】53
【知识点】二元一次方程组的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设原两位数的个位数数字为x，十位数数字为y，
根据题意可得：，
解得：，
∴原两位数是53，
故答案为：53.
【分析】设原两位数的个位数数字为x，十位数数字为y，根据“ 个位数字与十位数字之和为8，个位数字与十位数字互换后所成的新两位数比原两位数小18 ”列出方程组，再求解即可.
14．（2024八上·伊通期末）已知，，则的值为 ．
【答案】3
【知识点】幂的乘方运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵，，
∴，解得：，
则．
故答案为：3．
【分析】利用幂的乘方运算性质将原式变形，列出方程组，解方程组即可求得x，y的值，再代入即可求得x-y的值.
15．如图，长方形 ABCD 中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图），则图中阴影部分的面积是 .
【答案】64
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设每个小长方形的长为a，宽为b，
根据题意得：
解得：
∴大长方形的宽为7+3b=16，
∴图中阴影部分的面积为19×16-8×3×10=64.
故答案为：64
【分析】设出小长方形的长和宽，通过水平和垂直线段之间的等量关系建立方程，求得小长方形的长和宽，然后用大长方形的面积减去8个小长方形的面积，再求出图中阴影部分的面积即可.
三、计算题（共2题，共16分）
16． 解下列方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
①+②得到3x-y+5y-1=5+3x+5，变形得到。
将代入①中，得到，解得
∴
（2）解：
①×12、②×6，得到方程组，
③+④×3，得到11x=11，即x=1；
将x=1代入④中，得到1-3y=-2，即y=1。
∴
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）题观察可以发现，当两式相加，即可同时消去x，只保留并且计算出y的值，然后将y的值代入任意方程中即可求出x的值；（2）题先将分式方程变为整式方程，然后消元进行计算即可。
17． 解下列方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
①+②，可得：5x-2z=14 ④
①+③，可得：4x+2z=15 ⑤
④+⑤，可得：9x=29，解得：
将代入④中，可得：
将，代入③中，可得：
∴方程组的解为
（2）解：
①+③×4，可得：17x+4y=85 ④
①×3+②×4，可得：23x+16y=115 ⑤
④×4-⑤，可得：x=5
将x=5代入④，可得：y=0
将x=5，y=0代入①，可得z=-3
∴方程组的解为
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【分析】根据加减消元法解方程组即可求出答案.
四、解答题（共3题，共30分）
18．（2023七下·道县期中）数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题：
已知关于，的二元一次方程组的解满足③，求的值．
（1）按照小云的方法，的值为 ，的值为 ；
（2）请按照小辉的思路求出的值．
【答案】（1）5；-3
（2）解：①+②，得，
即，
，
，
，
解得：．
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程
【解析】【解答】 (1) 将①③联立可得新的方程组：，解这个方程组得；
故第1空答案为5，第2空答案为-3.
【分析】(1) 将方程①③联立成为不含m的方程组，解方程组即可求得x，y的值；
(2) 直接①+②得出2x+3y等于一个含有m的式子，又因为2x+3y=1，从而得到一个关于m的一元一次方程，解方程即可求得m的值。
19．（2024七下·广丰期中） 小明和小文同解一个二元一次方程组，小明把方程①抄错，求得的解为，小文把方程②抄错，求得的解为．
（1）求原方程组中a，b的值；
（2）求原方程组的解．
【答案】（1）解：把代入②得，
把代入①得，
③、④联立成方程组，
解得： ．
（2）解：把代入原方程组得，
，得：
，
解得：
把代入①得
所以原方程组的解为．
【知识点】二元一次方程（组）的错解复原问题
【解析】【分析】(1)根据二元一次方程组解的含义，分别把，代入方程②，①得到关于a，b的方程组即可求出a，b.
(2)将（1）中求出的a，b的值代入原方程组得到关于x，y的方程，即可求出原方程组的解.
20．（2024七下·石家庄期中）在《二元一次方程组》这一章的复习课上，刘老师给出了下面的题目：
在某市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为扶贫村庄修建一条4000米长的公路，甲队每天修建200米，乙队每天修建250米，一共用18天完成．
（1）李东同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组，请写出李东所列方程组中未知数表示的意义：表示 ，表示 ；并写出该方程组中处的数应是 ，处的数应是 ；
（2）陈彬同学的思路是想设甲工程队一共修建了米公路，乙工程队一共修建了米公路．下面请你按照陈彬的设想列出方程组，并求出乙队修建了多少天？
【答案】（1）甲队修建的时间；乙队修建的时间；18；4000；
（2）解：根据题意得：，
解得：，
（天）
答：乙队修建了8天．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-工程问题
【解析】【解答】（1）解：由题意知，x表示甲队修路的天数，y表示乙队修路的天数；该方程组中△处的数应是，□处的数应是，
故答案为：甲队修路的天数；乙队修路的天数；；；
【分析】（1）根据工程问题的等量关系，结合方程组等式的意义进行判断即可；
（2）基本关系： 甲工程队的工作量+ 乙工程队的工作量=4000 ，工作时间=工作量÷工作效率，据此列二元一次方程组求解即可。
五、综合题（共3题，共39分）
21．（2022七下·晋州期中）如图，，两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到地的距离是到地距离的倍，现该食品厂从地购买原料，全部制成食品制作过程中有损耗卖到地，两次运输第一次：地食品厂，第二次：食品厂地共支出公路运费元，铁路运费元．已知公路运费为元千米吨，铁路运费为元千米吨．
（1）求该食品厂到地，地的距离分别是多少千米？
（2）求该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？
（3）若该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，要想该批食品销售完后工厂共获利863800元，求卖出的食品每吨售价是多少元？（利润总售价总成本总运费）
【答案】（1）解：设这家食品厂到地的距离是公里，到地的距离是公里，
根据题意，得：，
解得：，
答：这家食品厂到地的距离是千米，到地的距离是千米．
（2）解：设该食品厂买进原料吨，卖出食品吨，
由题意得：，
解得：，
答：该食品厂买进原料吨，卖出食品吨．
（3）解：设卖出的食品每吨售价为元，
由题意得：，
解得：，
答：卖出的食品每吨售价是元．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设这家食品厂到地的距离是x公里，到地的距离是y公里，根据题意列出方程组，再求解即可；
（2）设该食品厂买进原料m吨，卖出食品n吨，根据题意列出方程组，再求解即可；
（3）设卖出的食品每吨售价为a元，根据题意列出方程，再求解即可。
22．（2024七下·遵义期末）【阅读理解】
我们把四个数a，b，c，d排成两行两列，记为，称为二阶行列式，规定它的运算法则为.
小李同学在学习二元一次方程组的解法时，发现可以利用二阶行列式求解.例如：求二元一次方程组的解.
解：记，，
，则原方程组的解为
【类比应用】
（1）若二阶行列式，求x的值；
（2）已知方程组利用二阶行列式求得，请求，，并写出该方程组的解.
【答案】（1）解：由题意得：
解得：
（2）解： 由题意得：
所以方程组的解为
【知识点】二元一次方程（组）的新定义问题
【解析】【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程，有理数的混合运算，理解新定义是解答本题的关键．
（1）根据已知条件列方程求解即可；
（2）先观察小李同学的方法中二元一次方程组系数的运用，然后根据小李同学的方法分别求出Dx和Dy，再代入求方程组的解即可．
23．（2024七上·上海市期中）已知是两个边长不相等的正方形纸片，它们的边长之和是，边长之差是．
（1）如图，用含的代数式表示两个正方形纸片的面积之和：______；
当时，两个正方形纸片的面积之和：______．
（2）如图，如果两个正方形纸片的面积之和为，阴影部分的面积为，试求的值．
（3）现将正方形纸片并排放置后构成新的正方形（图），将正方形放在正方形的内部（图），如果图和图中阴影部分的面积分别是和，那么两个正方形纸片的面积之和为：______．
【答案】（1），
（2）解：设两个正方形纸片的边长分别为，由题意得：，，
∴，，
∵，，
∴，，
∵，
∴，．
（3）
【知识点】整式的加减运算；完全平方公式的几何背景；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：设两个正方形纸片的边长分别为，
由题意得：，
解得：，
∴两个正方形纸片的面积之和为，
即，
当时，两个正方形纸片的面积之和为，
故答案为：，．
（3）解：设两个正方形纸片的边长分别为，
由题意得：，，
∴，
∴，
∴两个正方形纸片的面积之和为，
故答案为：．
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，完全平方公式的应用，整式的加减的应用．
（1）设两个正方形纸片的边长分别为，根据图形的特点列出方程组，解方程组可求出a和b的值，进而可求出大正方形的面积与小正方形的边长，利用正方形的面积公式可求出面积和，再将a和b的值代入计算可求出答案．
（2）设两个正方形纸片的边长分别为，由题意得：，，利用完全平方公式可求出， ，进而可求出，，再进行计算可求出的值．
（3）设两个正方形纸片的边长分别为，由题意得：，，据此可求出， 再进行计算可求出，进而可求出两个正方形纸片的面积之和 ．
（1）解：设两个正方形纸片的边长分别为，
由题意得：，
解得：，
∴两个正方形纸片的面积之和为，
即，
当时，两个正方形纸片的面积之和为，
故答案为：，．
（2）解：设两个正方形纸片的边长分别为，
由题意得：，，
∴，，
∵，，
∴，，
∵，
∴，．
（3）解：设两个正方形纸片的边长分别为，
由题意得：，，
∴，
∴，
∴两个正方形纸片的面积之和为，
故答案为：．
1 / 1苏科版数学七年级下册第10章二元一次方程章节检测卷（综合练习）
一、选择题（每题4分，共40分）
1．（2024七下·海曙期末） 下列方程中， 属于二元一次方程的是 ( )
A． B． C． D．
2．（2024七下·铁东期中）若是关于x、y的二元一次方程的解，则a的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024七下·石家庄期末）【问题】已知关于，的方程组的解满足.求的值.
嘉嘉同学有如下两种解题思路和部分步骤：
Ⅰ.将方程组中的两个方程相加并整理，可得到，再求的值；
Ⅱ.解方程组得到再代入中，可求的值.
下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ的解题思路不正确
B．Ⅱ的解题思路不正确
C．Ⅱ的解题思路正确，求解不正确
D．Ⅰ与Ⅱ的解题思路与求解都正确
4．（2024八上·天心开学考）已知实数，满足，且，则的值为( )
A． B． C． D．
5．（2023八上·福州开学考）九章算术是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中有这样一个问题：若人坐一辆车，则人需要步行，若“”问：人与车各多少？小明同学设有辆车，人数为，根据题意可列方程组为，根据已有信息，题中用“”表示的缺失条件应补为（ ）
A．三人坐一辆车，有一车少坐人 B．三人坐一辆车，则人需要步行
C．三人坐一辆车，则有两辆空车 D．三人坐一辆车，则还缺两辆车
6．（2022七下·北仑期中）商店用3000元购进甲乙两种货物，卖出后，甲种货物的利润率是10%，乙种货物的利润率是11%，两种货物共获利315元。设该商店购进这两种货物所用的费用分别为x元，y元，则列出方程组是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024七下·黄石港期末）已知关于，的方程组的解，比相应的解，正好都小则，的值分别为( )
A．和 B．和 C．和 D．和
8．（2024八上·兰州新期末）某人要在规定时间内驾车从甲地赶往乙地，如果他以的速度行驶，那么就会迟到；如果他以的速度行驶，那么可提前到达乙地，求甲、乙两地之间的距离，设甲、乙两地之间的距离为，从甲地到乙地的规定时间为，则可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023七上·海曙期中）现有1张大长方形和3张相同的小长方形卡片，按如图所示的两种方式摆放，则小长方形的长与宽的差是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023七下·巴南期末）对于x，y定义一种新运算F，规定（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，，下列结论：①；②若，则m，n有且仅有4组正整数解；③若对任意实数x，y均成立，则．正确的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
二、填空题（每题5分，共25分）
11．（2024七下·江门期中）若关于x、y的方程是二元一次方程，则 ．
12．某眼镜厂有工人 25 人， 每人每天平均生产镜架 72 个或镜片 96 片， 为了使每天生产的镜架和镜片刚好配套， 安排 人生产镜架， 人生产镜片． 根据题意，可列方程组为
13．（2024七下·新宁月考）一个两位数，个位数字与十位数字之和为8，个位数字与十位数字互换后所成的新两位数比原两位数小18，则原两位数是 .
14．（2024八上·伊通期末）已知，，则的值为 ．
15．如图，长方形 ABCD 中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图），则图中阴影部分的面积是 .
三、计算题（共2题，共16分）
16． 解下列方程组：
（1）
（2）
17． 解下列方程组：
（1）
（2）
四、解答题（共3题，共30分）
18．（2023七下·道县期中）数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题：
已知关于，的二元一次方程组的解满足③，求的值．
（1）按照小云的方法，的值为 ，的值为 ；
（2）请按照小辉的思路求出的值．
19．（2024七下·广丰期中） 小明和小文同解一个二元一次方程组，小明把方程①抄错，求得的解为，小文把方程②抄错，求得的解为．
（1）求原方程组中a，b的值；
（2）求原方程组的解．
20．（2024七下·石家庄期中）在《二元一次方程组》这一章的复习课上，刘老师给出了下面的题目：
在某市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为扶贫村庄修建一条4000米长的公路，甲队每天修建200米，乙队每天修建250米，一共用18天完成．
（1）李东同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组，请写出李东所列方程组中未知数表示的意义：表示 ，表示 ；并写出该方程组中处的数应是 ，处的数应是 ；
（2）陈彬同学的思路是想设甲工程队一共修建了米公路，乙工程队一共修建了米公路．下面请你按照陈彬的设想列出方程组，并求出乙队修建了多少天？
五、综合题（共3题，共39分）
21．（2022七下·晋州期中）如图，，两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到地的距离是到地距离的倍，现该食品厂从地购买原料，全部制成食品制作过程中有损耗卖到地，两次运输第一次：地食品厂，第二次：食品厂地共支出公路运费元，铁路运费元．已知公路运费为元千米吨，铁路运费为元千米吨．
（1）求该食品厂到地，地的距离分别是多少千米？
（2）求该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？
（3）若该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，要想该批食品销售完后工厂共获利863800元，求卖出的食品每吨售价是多少元？（利润总售价总成本总运费）
22．（2024七下·遵义期末）【阅读理解】
我们把四个数a，b，c，d排成两行两列，记为，称为二阶行列式，规定它的运算法则为.
小李同学在学习二元一次方程组的解法时，发现可以利用二阶行列式求解.例如：求二元一次方程组的解.
解：记，，
，则原方程组的解为
【类比应用】
（1）若二阶行列式，求x的值；
（2）已知方程组利用二阶行列式求得，请求，，并写出该方程组的解.
23．（2024七上·上海市期中）已知是两个边长不相等的正方形纸片，它们的边长之和是，边长之差是．
（1）如图，用含的代数式表示两个正方形纸片的面积之和：______；
当时，两个正方形纸片的面积之和：______．
（2）如图，如果两个正方形纸片的面积之和为，阴影部分的面积为，试求的值．
（3）现将正方形纸片并排放置后构成新的正方形（图），将正方形放在正方形的内部（图），如果图和图中阴影部分的面积分别是和，那么两个正方形纸片的面积之和为：______．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、该方程中含有3个未知数，不属于二元一次方程，故不符合题意
B、该方程含有未知数的项最高次数是2，不属于二元一次方程，故不符合题意．
C、该方程符合二元一次方程的定义，故符合题意．
D、该方程不是整式方程，不是二元一次方程，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据二元一次方程的定义，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程解答即可．
2．【答案】C
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】将代入原方程，可得：，解得：
故答案为：C
【分析】
将方程组的解代入方程，可得关于a的一元一次方程，解方程即可得到a的值．
3．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：Ⅰ：，
①+②得：4x+2y=4k，
2x+y=2k，
∵关于x，y的方程组的解满足2x+y=3，
∴2k=3，
解得：k=，
∴Ⅰ的解题思路正确；
Ⅱ：∵关于x，y的方程组的解满足2x+y=3，
∴的解满足3x+5y=4k-2，
①×3得：6x+3y=9③，
②+③得：x=，把x=代入①得：y=-，
把x=，y=-代入3x+5y=4k-2得：k=，
∴Ⅱ的解题思路也正确，
∴Ⅰ和Ⅱ的解题思路与求解都正确，
∴A，B，C选项均错误，D选项正确，
故答案为：D．
【分析】按照已知条件中的方法Ⅰ和Ⅱ，解方程组，求出k，然后进行判断即可。
4．【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：，
①＋②得：5x＋5y＝7k＋4，
∴x+y=，
∵，
∴，
解得：k＝.
故答案为：C．
【分析】先利用加减消元法可得5x＋5y＝7k＋4，可得x+y=，再结合可得，最后求出k的值即可.
5．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：∵人坐一辆车，则人需要步行， 设有辆车，人数为，
∴2x+9=y，
∵另一个方程为y=3（x-2），
∴ 三人坐一辆车，则有两辆空车 .
故答案为：C.
【分析】利用已知条件可知第一个方程为2x+9=y，由第二个方程，可知空出两辆车，三人坐一辆车，据此可求解.
6．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解： 设该商店购进这两种货物所用的费用分别为x元，y元，
根据题意得：.
故答案为：D.
【分析】 设该商店购进这两种货物所用的费用分别为x元，y元，根据总费用为3000元和总利润为315元列出方程组，即可得出答案.
7．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：设的解为，
则的解为，
∴，解得，
∴的解为，方程的解为，
∴，
解得.
故答案为：C.
【分析】设②方程的解为，则①程的解为，据此可得出关于m、n的方程组，求出m、n的值，继而得出关于a、b的方程组解之即可.
8．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意得：，
故答案为：B．
【分析】 设甲、乙两地之间的距离为，从甲地到乙地的规定时间为，根据“路程、速度和时间”的关系列出方程组即可.
9．【答案】A
【知识点】整式的加减运算；用代数式表示几何图形的数量关系；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：设小长方形的长为，宽为，大长方形的长为，
则根据题意得：，
，
，
，．
，
即小长方形的长与宽的差是，
故选：A．
【分析】本题主要考查了整式的加减，设小长方形的长为，宽为，大长方形的长为，结合图形，得方程组，取得方程组的解，得到，进而得到小长方形的长与宽的差，得出答案.
10．【答案】A
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，解得：，
∴，
∴，故①符合题意；
∵，
∴，
整理得：，
∴其正整数解为：，，，，故②符合题意；
∵，
∴，
∴，
上式对任意实数x，y均成立，
∴，
∴，故③符合题意；
故选：A.
【分析】先根据新定义运算法则，列出二元一次方程，解方程求出a和b的值，即可得出，再根据运算法则逐个计算，即可求解.
11．【答案】2
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：根据题意得：，
解得．
故答案为：．
【分析】本题主要考查二元一次方程的概念，把含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程，列出方程组，据此解答，即可得到答案．
12．【答案】
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设安排 人生产镜架， 人生产镜片，
根据题意可得：，
故答案为：.
【分析】设安排 人生产镜架， 人生产镜片，根据“ 某眼镜厂有工人 25 人 ”和“ 每人每天平均生产镜架 72 个或镜片 96 片， 为了使每天生产的镜架和镜片刚好配套 ”列出方程组即可.
13．【答案】53
【知识点】二元一次方程组的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设原两位数的个位数数字为x，十位数数字为y，
根据题意可得：，
解得：，
∴原两位数是53，
故答案为：53.
【分析】设原两位数的个位数数字为x，十位数数字为y，根据“ 个位数字与十位数字之和为8，个位数字与十位数字互换后所成的新两位数比原两位数小18 ”列出方程组，再求解即可.
14．【答案】3
【知识点】幂的乘方运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵，，
∴，解得：，
则．
故答案为：3．
【分析】利用幂的乘方运算性质将原式变形，列出方程组，解方程组即可求得x，y的值，再代入即可求得x-y的值.
15．【答案】64
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设每个小长方形的长为a，宽为b，
根据题意得：
解得：
∴大长方形的宽为7+3b=16，
∴图中阴影部分的面积为19×16-8×3×10=64.
故答案为：64
【分析】设出小长方形的长和宽，通过水平和垂直线段之间的等量关系建立方程，求得小长方形的长和宽，然后用大长方形的面积减去8个小长方形的面积，再求出图中阴影部分的面积即可.
16．【答案】（1）解：
①+②得到3x-y+5y-1=5+3x+5，变形得到。
将代入①中，得到，解得
∴
（2）解：
①×12、②×6，得到方程组，
③+④×3，得到11x=11，即x=1；
将x=1代入④中，得到1-3y=-2，即y=1。
∴
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）题观察可以发现，当两式相加，即可同时消去x，只保留并且计算出y的值，然后将y的值代入任意方程中即可求出x的值；（2）题先将分式方程变为整式方程，然后消元进行计算即可。
17．【答案】（1）解：
①+②，可得：5x-2z=14 ④
①+③，可得：4x+2z=15 ⑤
④+⑤，可得：9x=29，解得：
将代入④中，可得：
将，代入③中，可得：
∴方程组的解为
（2）解：
①+③×4，可得：17x+4y=85 ④
①×3+②×4，可得：23x+16y=115 ⑤
④×4-⑤，可得：x=5
将x=5代入④，可得：y=0
将x=5，y=0代入①，可得z=-3
∴方程组的解为
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【分析】根据加减消元法解方程组即可求出答案.
18．【答案】（1）5；-3
（2）解：①+②，得，
即，
，
，
，
解得：．
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程
【解析】【解答】 (1) 将①③联立可得新的方程组：，解这个方程组得；
故第1空答案为5，第2空答案为-3.
【分析】(1) 将方程①③联立成为不含m的方程组，解方程组即可求得x，y的值；
(2) 直接①+②得出2x+3y等于一个含有m的式子，又因为2x+3y=1，从而得到一个关于m的一元一次方程，解方程即可求得m的值。
19．【答案】（1）解：把代入②得，
把代入①得，
③、④联立成方程组，
解得： ．
（2）解：把代入原方程组得，
，得：
，
解得：
把代入①得
所以原方程组的解为．
【知识点】二元一次方程（组）的错解复原问题
【解析】【分析】(1)根据二元一次方程组解的含义，分别把，代入方程②，①得到关于a，b的方程组即可求出a，b.
(2)将（1）中求出的a，b的值代入原方程组得到关于x，y的方程，即可求出原方程组的解.
20．【答案】（1）甲队修建的时间；乙队修建的时间；18；4000；
（2）解：根据题意得：，
解得：，
（天）
答：乙队修建了8天．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-工程问题
【解析】【解答】（1）解：由题意知，x表示甲队修路的天数，y表示乙队修路的天数；该方程组中△处的数应是，□处的数应是，
故答案为：甲队修路的天数；乙队修路的天数；；；
【分析】（1）根据工程问题的等量关系，结合方程组等式的意义进行判断即可；
（2）基本关系： 甲工程队的工作量+ 乙工程队的工作量=4000 ，工作时间=工作量÷工作效率，据此列二元一次方程组求解即可。
21．【答案】（1）解：设这家食品厂到地的距离是公里，到地的距离是公里，
根据题意，得：，
解得：，
答：这家食品厂到地的距离是千米，到地的距离是千米．
（2）解：设该食品厂买进原料吨，卖出食品吨，
由题意得：，
解得：，
答：该食品厂买进原料吨，卖出食品吨．
（3）解：设卖出的食品每吨售价为元，
由题意得：，
解得：，
答：卖出的食品每吨售价是元．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设这家食品厂到地的距离是x公里，到地的距离是y公里，根据题意列出方程组，再求解即可；
（2）设该食品厂买进原料m吨，卖出食品n吨，根据题意列出方程组，再求解即可；
（3）设卖出的食品每吨售价为a元，根据题意列出方程，再求解即可。
22．【答案】（1）解：由题意得：
解得：
（2）解： 由题意得：
所以方程组的解为
【知识点】二元一次方程（组）的新定义问题
【解析】【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程，有理数的混合运算，理解新定义是解答本题的关键．
（1）根据已知条件列方程求解即可；
（2）先观察小李同学的方法中二元一次方程组系数的运用，然后根据小李同学的方法分别求出Dx和Dy，再代入求方程组的解即可．
23．【答案】（1），
（2）解：设两个正方形纸片的边长分别为，由题意得：，，
∴，，
∵，，
∴，，
∵，
∴，．
（3）
【知识点】整式的加减运算；完全平方公式的几何背景；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：设两个正方形纸片的边长分别为，
由题意得：，
解得：，
∴两个正方形纸片的面积之和为，
即，
当时，两个正方形纸片的面积之和为，
故答案为：，．
（3）解：设两个正方形纸片的边长分别为，
由题意得：，，
∴，
∴，
∴两个正方形纸片的面积之和为，
故答案为：．
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，完全平方公式的应用，整式的加减的应用．
（1）设两个正方形纸片的边长分别为，根据图形的特点列出方程组，解方程组可求出a和b的值，进而可求出大正方形的面积与小正方形的边长，利用正方形的面积公式可求出面积和，再将a和b的值代入计算可求出答案．
（2）设两个正方形纸片的边长分别为，由题意得：，，利用完全平方公式可求出， ，进而可求出，，再进行计算可求出的值．
（3）设两个正方形纸片的边长分别为，由题意得：，，据此可求出， 再进行计算可求出，进而可求出两个正方形纸片的面积之和 ．
（1）解：设两个正方形纸片的边长分别为，
由题意得：，
解得：，
∴两个正方形纸片的面积之和为，
即，
当时，两个正方形纸片的面积之和为，
故答案为：，．
（2）解：设两个正方形纸片的边长分别为，
由题意得：，，
∴，，
∵，，
∴，，
∵，
∴，．
（3）解：设两个正方形纸片的边长分别为，
由题意得：，，
∴，
∴，
∴两个正方形纸片的面积之和为，
故答案为：．
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