苏科版数学七年级下册11.4-11.5一元一次不等式（组）及其应用（分层练习）
一、基础夯实
1．（2023七下·平昌月考）如图，数轴上表示的不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022七下·宜城期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024七下·贺州期末）如下图所示，运行程序从“输入整数x”到“结果是否大于21”为一次程序操作，若输入整数x后程序操作仅进行了2次就停止，则x的值是（ ）
A．5 B．6 C．10 D．11
4．（2024七下·梧州期末）把一批书分给若干名同学，如果每人分3本，那么剩余6本；如果前面的同学每人分5本，那么最后一人就分不到3本，则这批书共有 本．
5．解下列不等式组：
（1）
（2）
（3）
（4）
6．（2023七下·澄海期末）现有甲乙两个工程队参加一条道路的改造施工，受条件限制，每天只能由一个工程队施工．若甲工程队先单独施工3天，再由乙工程队单独施工5天，则可以完成380米施工任务；若甲工程队先单独施工2天，再由乙工程队单独施工4天，则可以完成280米的施工任务．
（1）求甲、乙两个工程队平均每天分别能完成多少米施工任务？
（2）要改造的道路全长1800米，先由甲工程队先单独施工若干天，再由乙工程队单独完成剩下的施工任务，若工期不能超过40天，那么甲工程队至少要施工多少天？
7．（2023七下·承德期末）我们知道乌鸦喝水的故事．现在来做一个道理相同的游戏：如图，水平放置的容器内原有210毫米高的水，将若干个球逐一放入该容器中，每放入一个大球水面就上升5毫米，每放入一个小球水面就上升4毫米，假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出．
（1）如果放1个大球、1个小球，水面高度达到 毫米；只放入 个大球时，水面高度会达到230毫米；
（2）仅放入6个大球后，开始放入小球．
①求最多放入多少个小球时，水面高度会超不出原高度54毫米；
②限定水面高不超过285毫米，最多能放入几个？
二、巩固提高
8．（2024七下·黔江期中）若关于的不等式组有且只有2个整数解，且关于的方程的解是负整数，则符合条件的所有整数的和是（ ）
A．33 B．28 C．27 D．22
9．（2024七下·石家庄期中）关于的不等式组的解集为，则的值为（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
10．（2024七下·长沙期末）关于的不等式组无解，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
11．（2024七下·云梦期末）已知不等式组，如果这个不等式组有解，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
12．（2024七下·涪城期末）如果关于的不等式组有且仅有三个整数解，则符合条件的所有整数的个数是( )
A． B． C． D．
13．（2024七下·旌阳期末）若数使关于的方程有非负数解，且关于的不等式组恰好有两个偶数解，则符合条件的所有整数的和是（ ）
A． B． C． D．
14．（2024七下·易县期末）已知关于x的不等式组下列说法不正确的是（ ）
A．若它的解集是，则
B．当时，此不等式组无解
C．若它的整数解只有2，3，4，则
D．若不等式组无解，则
15．（2024七下·哈尔滨期中）不等式组，所有整数解的和是 ．
16．（2024七下·丰都县期末）若使关于的不等式组有且只有两个整数解，且使关于的方程的解为正数，则符合题意的所有整数之积为 ．
17．（2023七下·惠城期末）已知不等式组的解集为，则 ， ；
18．（2024七下·南通期末）关于x，y的二元一次方程组，若x﹣3y≥0，则k的取值范围是 ．
19．（2024七下·涿州期末）某体育用品商场采购员到厂家批发购进篮球和排球共100只，付款总额不得超过11800元，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如表，设商场采购员到厂家购买x只篮球，试解答下列的问题：
品名 厂家批发价(元/只) 商场零售价(元/只)
篮球 130 160
排球 100 120
(1)该采购员最多可购进篮球多少只？
(2)若商场把100只球全部售出，为使商场的利润不低于2580元，采购员有哪几种采购方案，哪种方案商场盈利最多？
20．（2023七下·自贡期末）某快递公司为提高工作效率，计划购买，两种型号的机器人来搬运货物，已知每台型机器人比每台型机器人每天少搬运10吨，型机器人10天搬运货物量与型机器人9天搬运的货物量相同．
（1）求每台型机器人和每台型机器人每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台型机器人售价1.2万元，每台型机器人售价 2万元，该公司计划采购，两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2840吨，购买金额不超过48万元．请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？
21．（2023七下·易县期末）某公司装修需用A型板材240块、B型板材180块，A型板材规格是，B型板材规格是．现只能购得规格是的标准板材．一张标准板材尽可能多地裁出A型、B型板材，共有下列三种裁法：（图1是裁法一的裁剪示意图）
裁法一 裁法二 裁法三
A型板材块数 1 2 0
B型板材块数 2 m n
若每张标准板材裁出1个A型板材，2个B型板材，则剩余；若每张标准板材裁出2个A型板材，剩余的材料还差才能再裁出一个B型板材．
（1）求a，b的值．
（2） ， ．
（3）设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁了x张、按裁法二裁了y张、按裁法三裁了z张，且所裁出的A，B两种型号的板材刚好够用．若按照裁法一裁的张数不少于60张，求x的取值范围．
三、拓展提升
22．（2024七下·义乌月考）某工厂加工圆柱形的茶叶盒，购买了块相同的金属板材，已知每块金属板材可以有，，三种裁剪方式，如图，方式：裁剪成个圆形底面和个侧面．方式：裁剪成个侧面．方式：裁剪成个圆形底面．已知个圆形底面和个侧面组成一个圆柱形茶叶盒，且要求圆形底面与侧面恰好配套．现已有块金属板材按方式裁剪，其余都按、两种方式裁剪．
（1）设有块金属板材按方式裁剪，块金属板材按方式裁剪．
①可以裁剪出圆形底面共 ▲ 个（用含的代数式表示），侧面共有 ▲ 个（用含，的代数式表示）；
②当时，最多能加工多少个圆柱形茶叶盒？
（2）现将块相同的金属板材全部裁剪完，为了使加工成的圆形底面与侧面恰好配套，则的值可以是 ．（其中）
23．（2023七下·长沙期末）我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．
例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”
（1）已知①，②，③，试判断方程解是否为它与它们中某个不等式的“梦想解”；
（2）若关于x，y的二元一次方程组的解是不等式组的梦想解，且m为整数，求m的值．
（3）若关于x的方程的解是关于x的不等式组的“梦想解”，且此时不等式组有7个整数解，试求m的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：由图可以看出，两个解集公共部分为，
∴不等式的解集为，
故答案为：A．
【分析】根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将表示在数轴上的不等式组的解集读出来即可.
2．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组
3．【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
4．【答案】21
【知识点】一元一次不等式组的应用
5．【答案】（1）解：解得：
因此，该不等式组的解集为：.
（2）解：解得，
因此，该不等式组的解集为：x>5.
（3）解： 解得
因此，该不等式组的解集为：x.
（4）解： 解得
因此，该不等式组无解.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】(1)-(4)分别求出两个不等式的解集，再写出它们的解集的公共部分，即求出不等式组的解集.
6．【答案】（1）解：设甲、乙工程队每天分别施工x米、y米，
由题意得：，
解得：，
答：甲、乙工程队每天分别施工60米、40米．
（2）解：设甲工程队施工m天，
由题意得：，
解得：．
答：甲工程队至少施工10天．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）设甲、乙工程队每天分别施工x米、y米，根据甲工程队先单独施工3天，再由乙工程队单独施工5天，则可以完成380米施工任务可得3x+5y=380；根据甲工程队先单独施工2天，再由乙工程队单独施工4天，则可以完成280米的施工任务可得2x+4y=280，联立求解即可；
（2）设甲工程队施工m天，则甲工程队m天可施工60m米，剩余1800-60m，利用剩余的米数除以乙工程队每天施工的米数可得所需的天数，加上甲工程队的天数=总天数结合题意可得关于m的不等式，求解即可.
7．【答案】（1）219；4
（2）解：①设放入个小球，
根据题意：，
解得；
答：最多放入6个小球时，水面高度会超不出原高度54毫米；
②设最多放入个小球，
根据题意列出不等式：，
解得：；
∵为整数，
∴最大为．
答：限定水面高不超过毫米，最多能放入11个．
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：水面高度：210+5+4=219（毫米），
设只放入x个大球时，水面高度会达到230毫米，
由题意可得：210+5x=230，
解得：x=4，
故答案为：219；4.
【分析】（1）根据题意求出水面高度为219毫米，再列方程计算求解即可；
（2）①根据题意，列出不等式 ， 再计算求解即可；
②根据题意先求出 ， 再求出 ，最后求解即可。
8．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解；一元一次不等式组的特殊解
9．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组
10．【答案】D
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：∵ x-1＞0，∴ x＞1；∵x-a＜0，∴ x＜a；
∵ 不等式组无解，∴ a≤1.
故答案为：D.
【分析】先分别解两个不等式，再根据不等式组无解即可求得a的取值范围.
11．【答案】A
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
解①得：x＞2，
∵不等式组有解，
∴，
解得：1＜a＜2.
故答案为：A.
【分析】首先解不等式①得出x＞2，再根据不等式组有解，可得出，解不等式组，即可得出a的取值范围。
12．【答案】D
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解方程组得
不等式组有且仅有三个整数解
整数解为-3，-2，-1，
解得：
符合条件的所有整数m=1，2，3，4，共4个
故答案为：D．
【分析】先解不等式组，并确定不等式组的三个整数解，建立关于m的不等式组，求解即可．
13．【答案】C
【知识点】解一元一次方程；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
14．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：解得，
A、 若它的解集是，则a=4，正确，故不符合题意；
B、 当时，此不等式组无解， 正确，故不符合题意；
C、 若它的整数解只有2，3，4，则，正确，故不符合题意；
D、若不等式组无解，则a≤1， 故符合题意；
故答案为：D.
【分析】先求出各不等式的解，再根据各项中的条件分别求解，再判断即可.
15．【答案】
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
16．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：解不等式得：，
解不等式得：，
∵不等式组有且只有两个整数解，
∴不等式组的解为：，且，
解得．
解方程得：，
因为此方程的解为正数，
所以，
解得，
综上所述，的取值范围是：，
则所有符合题意的整数为：，，，
所以它们的积为：．
故答案为：．
【分析】根据所给不等式组只有两个整数解，得到，继而可得的取值范围，再根据所给方程的解为正数，得到，同样求得的取值范围，综合可确定符合题意的所有整数的的值，再相乘即可．
17．【答案】；
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式x-a<1，的x
解不等式x-2b>3，得x>2b+3，
∴不等式组的解集为2b+3∵不等式组的解集为-1∴2b+3=-1，a+1=3，
∴a=2，b=-2.
故答案为：2，-2.
【分析】分别求出两个不等式的解集，然后取其公共部分即为不等式组的解集，然后结合不等式组的解集为-118．【答案】k≤﹣1．
【知识点】解一元一次不等式组
19．【答案】(1)采购员最多购进篮球60只；(2)采购员有三种采购方案，分别是方案一：购进篮球58个，排球42个．方案二：购进篮球59个，排球41个．方案三：购进篮球60个，排球40个．方案三使商场盈利最多．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次不等式组的应用
20．【答案】（1）解：设每台型机器人每天分别搬运货物吨，每台型机器人每天分别搬运货物吨，
由题意得，解得，
每台型机器人每天分别搬运货物90吨，每台型机器人每天分别搬运货物100吨．
（2）解：设购买型机器人台，购买总金额为万元，则购买的型机器人为台，
由题意得，
解得，的整数解为15，16，
，
当时，，
当时，，
当，时，最小，
当购买型机器人16台，B型机器人14台时，购买总金额最少，最少金额是47.2万元．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）设每台型机器人每天分别搬运货物吨，每台型机器人每天分别搬运货物吨，根据“每台型机器人比每台型机器人每天少搬运10吨，型机器人10天搬运货物量与型机器人9天搬运的货物量相同”列出方程组，再求解即可；
（2）设购买型机器人台，购买总金额为万元，则购买的型机器人为台，根据题意列出不等式组，再求解即可.
21．【答案】（1）解：由题可列方程组为，
解得
（2）0；3
（3）解：由题意得，，，
∴，，
∵，，
∴，
解得
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】 解：（1）由题可列方程组为 ，
解得 ；
（2）∵ ，
∴裁法二裁出2个A型板材后，不能再裁出B型板材，即 ，
∵ ，
∴裁法三只能裁出3个B型板材，即 ，
故答案为：0，3；
【分析】（1）根据表格信息结合题意即可列出二元一次方程组，进而即可求解；
（2）根据题意进行运算即可求出m和n；
（3）由题意得，，，进而得到，，再结合题意列出不等式组即可求解。
22．【答案】（1）解：①；；
②根据题意得：，
解得：，
，
答：当时，最多能加工个圆柱形茶叶盒；
（2）或或
【知识点】二元一次方程的应用；一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：（1）①根据题意可知，可以裁剪出圆形底面共：个；侧面共有：个
故答案为：；；
（2）根据题意得：，
，
，均为整数，
是的倍数，
又，且，
，
解得：，
的值可取：、、，
当时，；
当时，；
当时，；
故答案为：或或．
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，列代数式，一元一次不等式组．
（1）①结合，，三种裁剪方式，可求出可以裁剪出圆形底面和侧面 ；
②根据板材共20张及剪裁的底面的数量=侧面的数量的2倍列出二元一次方程组，解方程组可求出答案；
（2）利用“个圆形底面和个侧面组成一个圆柱形茶叶盒，”可得关于，的二元一次方程，变形可得，结合，均为整数，可得是的倍数，由，且，得出关于的一元一次不等式组，解不等式组可求出的值，进而求出的值 ．
23．【答案】（1）解：解方程得，
解①得：，故方程不是①的“梦想解”；
解②得：，故方程不是②“梦想解”；
解③得：，故方程是③的“梦想解”；
故答案为：③
（2）解：解方程
得：
∴
∵解是不等式组的梦想解
∴
∴
m为整数，
∴m为14或15；
（3）解：解不等式组得：，
不等式组的整数解有7个，
令整数的值为，，，，，，
则有：，．
故，
且，
，
，
，
，
解方程得：，
方程是关于的不等式组的“梦想解”，
，
解得，
综上的取值范围是．
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）先求出方程2x-3=1的解，再根据不等式组的解集，即可判断。
（2）先求出方程组的解为x+y=2m-31，根据题意得出一5<2m一31<1，解不等式组即可。
（3）先求出不等式组的解集，得不等式组有7个整数解，即可得出≤m<，然后解方程 x+4=3m得：x=3m-4，根据“梦想解"的 定义得出m> ，即可得出≤m<。
1 / 1苏科版数学七年级下册11.4-11.5一元一次不等式（组）及其应用（分层练习）
一、基础夯实
1．（2023七下·平昌月考）如图，数轴上表示的不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：由图可以看出，两个解集公共部分为，
∴不等式的解集为，
故答案为：A．
【分析】根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将表示在数轴上的不等式组的解集读出来即可.
2．（2022七下·宜城期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组
3．（2024七下·贺州期末）如下图所示，运行程序从“输入整数x”到“结果是否大于21”为一次程序操作，若输入整数x后程序操作仅进行了2次就停止，则x的值是（ ）
A．5 B．6 C．10 D．11
【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
4．（2024七下·梧州期末）把一批书分给若干名同学，如果每人分3本，那么剩余6本；如果前面的同学每人分5本，那么最后一人就分不到3本，则这批书共有 本．
【答案】21
【知识点】一元一次不等式组的应用
5．解下列不等式组：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：解得：
因此，该不等式组的解集为：.
（2）解：解得，
因此，该不等式组的解集为：x>5.
（3）解： 解得
因此，该不等式组的解集为：x.
（4）解： 解得
因此，该不等式组无解.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】(1)-(4)分别求出两个不等式的解集，再写出它们的解集的公共部分，即求出不等式组的解集.
6．（2023七下·澄海期末）现有甲乙两个工程队参加一条道路的改造施工，受条件限制，每天只能由一个工程队施工．若甲工程队先单独施工3天，再由乙工程队单独施工5天，则可以完成380米施工任务；若甲工程队先单独施工2天，再由乙工程队单独施工4天，则可以完成280米的施工任务．
（1）求甲、乙两个工程队平均每天分别能完成多少米施工任务？
（2）要改造的道路全长1800米，先由甲工程队先单独施工若干天，再由乙工程队单独完成剩下的施工任务，若工期不能超过40天，那么甲工程队至少要施工多少天？
【答案】（1）解：设甲、乙工程队每天分别施工x米、y米，
由题意得：，
解得：，
答：甲、乙工程队每天分别施工60米、40米．
（2）解：设甲工程队施工m天，
由题意得：，
解得：．
答：甲工程队至少施工10天．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）设甲、乙工程队每天分别施工x米、y米，根据甲工程队先单独施工3天，再由乙工程队单独施工5天，则可以完成380米施工任务可得3x+5y=380；根据甲工程队先单独施工2天，再由乙工程队单独施工4天，则可以完成280米的施工任务可得2x+4y=280，联立求解即可；
（2）设甲工程队施工m天，则甲工程队m天可施工60m米，剩余1800-60m，利用剩余的米数除以乙工程队每天施工的米数可得所需的天数，加上甲工程队的天数=总天数结合题意可得关于m的不等式，求解即可.
7．（2023七下·承德期末）我们知道乌鸦喝水的故事．现在来做一个道理相同的游戏：如图，水平放置的容器内原有210毫米高的水，将若干个球逐一放入该容器中，每放入一个大球水面就上升5毫米，每放入一个小球水面就上升4毫米，假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出．
（1）如果放1个大球、1个小球，水面高度达到 毫米；只放入 个大球时，水面高度会达到230毫米；
（2）仅放入6个大球后，开始放入小球．
①求最多放入多少个小球时，水面高度会超不出原高度54毫米；
②限定水面高不超过285毫米，最多能放入几个？
【答案】（1）219；4
（2）解：①设放入个小球，
根据题意：，
解得；
答：最多放入6个小球时，水面高度会超不出原高度54毫米；
②设最多放入个小球，
根据题意列出不等式：，
解得：；
∵为整数，
∴最大为．
答：限定水面高不超过毫米，最多能放入11个．
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：水面高度：210+5+4=219（毫米），
设只放入x个大球时，水面高度会达到230毫米，
由题意可得：210+5x=230，
解得：x=4，
故答案为：219；4.
【分析】（1）根据题意求出水面高度为219毫米，再列方程计算求解即可；
（2）①根据题意，列出不等式 ， 再计算求解即可；
②根据题意先求出 ， 再求出 ，最后求解即可。
二、巩固提高
8．（2024七下·黔江期中）若关于的不等式组有且只有2个整数解，且关于的方程的解是负整数，则符合条件的所有整数的和是（ ）
A．33 B．28 C．27 D．22
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解；一元一次不等式组的特殊解
9．（2024七下·石家庄期中）关于的不等式组的解集为，则的值为（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组
10．（2024七下·长沙期末）关于的不等式组无解，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：∵ x-1＞0，∴ x＞1；∵x-a＜0，∴ x＜a；
∵ 不等式组无解，∴ a≤1.
故答案为：D.
【分析】先分别解两个不等式，再根据不等式组无解即可求得a的取值范围.
11．（2024七下·云梦期末）已知不等式组，如果这个不等式组有解，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
解①得：x＞2，
∵不等式组有解，
∴，
解得：1＜a＜2.
故答案为：A.
【分析】首先解不等式①得出x＞2，再根据不等式组有解，可得出，解不等式组，即可得出a的取值范围。
12．（2024七下·涪城期末）如果关于的不等式组有且仅有三个整数解，则符合条件的所有整数的个数是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解方程组得
不等式组有且仅有三个整数解
整数解为-3，-2，-1，
解得：
符合条件的所有整数m=1，2，3，4，共4个
故答案为：D．
【分析】先解不等式组，并确定不等式组的三个整数解，建立关于m的不等式组，求解即可．
13．（2024七下·旌阳期末）若数使关于的方程有非负数解，且关于的不等式组恰好有两个偶数解，则符合条件的所有整数的和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次方程；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
14．（2024七下·易县期末）已知关于x的不等式组下列说法不正确的是（ ）
A．若它的解集是，则
B．当时，此不等式组无解
C．若它的整数解只有2，3，4，则
D．若不等式组无解，则
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：解得，
A、 若它的解集是，则a=4，正确，故不符合题意；
B、 当时，此不等式组无解， 正确，故不符合题意；
C、 若它的整数解只有2，3，4，则，正确，故不符合题意；
D、若不等式组无解，则a≤1， 故符合题意；
故答案为：D.
【分析】先求出各不等式的解，再根据各项中的条件分别求解，再判断即可.
15．（2024七下·哈尔滨期中）不等式组，所有整数解的和是 ．
【答案】
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
16．（2024七下·丰都县期末）若使关于的不等式组有且只有两个整数解，且使关于的方程的解为正数，则符合题意的所有整数之积为 ．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：解不等式得：，
解不等式得：，
∵不等式组有且只有两个整数解，
∴不等式组的解为：，且，
解得．
解方程得：，
因为此方程的解为正数，
所以，
解得，
综上所述，的取值范围是：，
则所有符合题意的整数为：，，，
所以它们的积为：．
故答案为：．
【分析】根据所给不等式组只有两个整数解，得到，继而可得的取值范围，再根据所给方程的解为正数，得到，同样求得的取值范围，综合可确定符合题意的所有整数的的值，再相乘即可．
17．（2023七下·惠城期末）已知不等式组的解集为，则 ， ；
【答案】；
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式x-a<1，的x解不等式x-2b>3，得x>2b+3，
∴不等式组的解集为2b+3∵不等式组的解集为-1∴2b+3=-1，a+1=3，
∴a=2，b=-2.
故答案为：2，-2.
【分析】分别求出两个不等式的解集，然后取其公共部分即为不等式组的解集，然后结合不等式组的解集为-118．（2024七下·南通期末）关于x，y的二元一次方程组，若x﹣3y≥0，则k的取值范围是 ．
【答案】k≤﹣1．
【知识点】解一元一次不等式组
19．（2024七下·涿州期末）某体育用品商场采购员到厂家批发购进篮球和排球共100只，付款总额不得超过11800元，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如表，设商场采购员到厂家购买x只篮球，试解答下列的问题：
品名 厂家批发价(元/只) 商场零售价(元/只)
篮球 130 160
排球 100 120
(1)该采购员最多可购进篮球多少只？
(2)若商场把100只球全部售出，为使商场的利润不低于2580元，采购员有哪几种采购方案，哪种方案商场盈利最多？
【答案】(1)采购员最多购进篮球60只；(2)采购员有三种采购方案，分别是方案一：购进篮球58个，排球42个．方案二：购进篮球59个，排球41个．方案三：购进篮球60个，排球40个．方案三使商场盈利最多．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次不等式组的应用
20．（2023七下·自贡期末）某快递公司为提高工作效率，计划购买，两种型号的机器人来搬运货物，已知每台型机器人比每台型机器人每天少搬运10吨，型机器人10天搬运货物量与型机器人9天搬运的货物量相同．
（1）求每台型机器人和每台型机器人每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台型机器人售价1.2万元，每台型机器人售价 2万元，该公司计划采购，两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2840吨，购买金额不超过48万元．请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？
【答案】（1）解：设每台型机器人每天分别搬运货物吨，每台型机器人每天分别搬运货物吨，
由题意得，解得，
每台型机器人每天分别搬运货物90吨，每台型机器人每天分别搬运货物100吨．
（2）解：设购买型机器人台，购买总金额为万元，则购买的型机器人为台，
由题意得，
解得，的整数解为15，16，
，
当时，，
当时，，
当，时，最小，
当购买型机器人16台，B型机器人14台时，购买总金额最少，最少金额是47.2万元．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）设每台型机器人每天分别搬运货物吨，每台型机器人每天分别搬运货物吨，根据“每台型机器人比每台型机器人每天少搬运10吨，型机器人10天搬运货物量与型机器人9天搬运的货物量相同”列出方程组，再求解即可；
（2）设购买型机器人台，购买总金额为万元，则购买的型机器人为台，根据题意列出不等式组，再求解即可.
21．（2023七下·易县期末）某公司装修需用A型板材240块、B型板材180块，A型板材规格是，B型板材规格是．现只能购得规格是的标准板材．一张标准板材尽可能多地裁出A型、B型板材，共有下列三种裁法：（图1是裁法一的裁剪示意图）
裁法一 裁法二 裁法三
A型板材块数 1 2 0
B型板材块数 2 m n
若每张标准板材裁出1个A型板材，2个B型板材，则剩余；若每张标准板材裁出2个A型板材，剩余的材料还差才能再裁出一个B型板材．
（1）求a，b的值．
（2） ， ．
（3）设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁了x张、按裁法二裁了y张、按裁法三裁了z张，且所裁出的A，B两种型号的板材刚好够用．若按照裁法一裁的张数不少于60张，求x的取值范围．
【答案】（1）解：由题可列方程组为，
解得
（2）0；3
（3）解：由题意得，，，
∴，，
∵，，
∴，
解得
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】 解：（1）由题可列方程组为 ，
解得 ；
（2）∵ ，
∴裁法二裁出2个A型板材后，不能再裁出B型板材，即 ，
∵ ，
∴裁法三只能裁出3个B型板材，即 ，
故答案为：0，3；
【分析】（1）根据表格信息结合题意即可列出二元一次方程组，进而即可求解；
（2）根据题意进行运算即可求出m和n；
（3）由题意得，，，进而得到，，再结合题意列出不等式组即可求解。
三、拓展提升
22．（2024七下·义乌月考）某工厂加工圆柱形的茶叶盒，购买了块相同的金属板材，已知每块金属板材可以有，，三种裁剪方式，如图，方式：裁剪成个圆形底面和个侧面．方式：裁剪成个侧面．方式：裁剪成个圆形底面．已知个圆形底面和个侧面组成一个圆柱形茶叶盒，且要求圆形底面与侧面恰好配套．现已有块金属板材按方式裁剪，其余都按、两种方式裁剪．
（1）设有块金属板材按方式裁剪，块金属板材按方式裁剪．
①可以裁剪出圆形底面共 ▲ 个（用含的代数式表示），侧面共有 ▲ 个（用含，的代数式表示）；
②当时，最多能加工多少个圆柱形茶叶盒？
（2）现将块相同的金属板材全部裁剪完，为了使加工成的圆形底面与侧面恰好配套，则的值可以是 ．（其中）
【答案】（1）解：①；；
②根据题意得：，
解得：，
，
答：当时，最多能加工个圆柱形茶叶盒；
（2）或或
【知识点】二元一次方程的应用；一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：（1）①根据题意可知，可以裁剪出圆形底面共：个；侧面共有：个
故答案为：；；
（2）根据题意得：，
，
，均为整数，
是的倍数，
又，且，
，
解得：，
的值可取：、、，
当时，；
当时，；
当时，；
故答案为：或或．
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，列代数式，一元一次不等式组．
（1）①结合，，三种裁剪方式，可求出可以裁剪出圆形底面和侧面 ；
②根据板材共20张及剪裁的底面的数量=侧面的数量的2倍列出二元一次方程组，解方程组可求出答案；
（2）利用“个圆形底面和个侧面组成一个圆柱形茶叶盒，”可得关于，的二元一次方程，变形可得，结合，均为整数，可得是的倍数，由，且，得出关于的一元一次不等式组，解不等式组可求出的值，进而求出的值 ．
23．（2023七下·长沙期末）我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．
例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”
（1）已知①，②，③，试判断方程解是否为它与它们中某个不等式的“梦想解”；
（2）若关于x，y的二元一次方程组的解是不等式组的梦想解，且m为整数，求m的值．
（3）若关于x的方程的解是关于x的不等式组的“梦想解”，且此时不等式组有7个整数解，试求m的取值范围．
【答案】（1）解：解方程得，
解①得：，故方程不是①的“梦想解”；
解②得：，故方程不是②“梦想解”；
解③得：，故方程是③的“梦想解”；
故答案为：③
（2）解：解方程
得：
∴
∵解是不等式组的梦想解
∴
∴
m为整数，
∴m为14或15；
（3）解：解不等式组得：，
不等式组的整数解有7个，
令整数的值为，，，，，，
则有：，．
故，
且，
，
，
，
，
解方程得：，
方程是关于的不等式组的“梦想解”，
，
解得，
综上的取值范围是．
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）先求出方程2x-3=1的解，再根据不等式组的解集，即可判断。
（2）先求出方程组的解为x+y=2m-31，根据题意得出一5<2m一31<1，解不等式组即可。
（3）先求出不等式组的解集，得不等式组有7个整数解，即可得出≤m<，然后解方程 x+4=3m得：x=3m-4，根据“梦想解"的 定义得出m> ，即可得出≤m<。
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